5 Für alle n N sei A n die Menge der natürlichen Zahlen von 1 bis n. Bestimmen Sie die. Übungen zur Vorlesung Analysis I

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1 . Übugsblatt, 0. Oktober 008 Dr. A. Wotzke Zeige Sie für Aussage A, B, C folgede Schlussregel a) ((A B) A) B, der direkte Beweis; b) ((A B) B) A, der idirekte Beweis; c) (A B) (B C) (A C) Ketteschluss; d) ((A B) A) B. (je 5 Pukte) Bestimme Sie die Mege A B, A B ud (A \ B) (B \ A), wobei a) A = {x < x < }, B = {x x 3}; b) A = {x x 3x < 0}, B = {x x 4x + 3 0}. (je 5 Pukte) 3 Es seie A, B, C ud D Mege. Zeige Sie a) A (A B) = A (A B) = A; b) A \ B (A \ C) (C \ B); c) (A B) (C D) = (A C) (B D). (je 5 Pukte) 4 Zeige Sie, dass a) die Mege gazer Zahle Z b) die Mege positiver ratioaler Zahle Q + abzählbar sid. (je 5 Pukte) 5 Für alle N sei A die Mege der atürliche Zahle vo bis. Bestimme Sie die Mächtigkeit der Potezmege P(A ) vo A ud beweise Sie Ihre Behauptug mit Hilfe der vollstädige Iduktio. (5 Pukte)

2 . Übugsblatt, 7. Oktober 008 Dr. A. Wotzke Zeige Sie, dass für alle N Folgedes gilt: a) = (+)(+) 6 ; b) = ( ). (je 5 Pukte) Es seie x k > 0 reelle Zahle für alle k =,..., mit x x x =. Zeige Sie ud ferer x + x + + x (x + x + + x = ) ( k =,..., : x k = ). Beweise Sie mit Hilfe dieser Aussage, dass folgede Beziehug zwische dem harmoische, dem geometrische ud dem arithmetische Mittel gilt: x + x + x x x x x + x + + x. () (40 Pukte) 3 Zeige Sie, dass für alle > folgede Ugleichuge gelte: a)! < ( ) +, wobei! = 3 die Fakultät vo ist; b) (!) < ( ) (+)(+) ; 6 c) 3 4 < +. Tipp zu a) ud b): Beutze Sie die zweite Ugleichug aus (). (je 5 Pukte) 4 Zeige Sie, dass die Mege { m } M = 0 < m <, wobei m ud atürliche teilerfremde Zahle kei Miimum ud kei Maximum besitzt. Bestimme Sie das Ifimum if(m) ud das Supremum sup(m) vo M. (5 Pukte) 5 Für m, N seie M eie m-elemetige ud N eie -elemetige Mege. a) Zeige Sie, dass es m Abbilduge vo M ach N gibt. b) Es sei m. Zeige Sie, dass es! ( m)! ijektive Abbilduge vo M ach N gibt. (je 0 Pukte)

3 Präsezaufgabe P Mit Hilfe der vollstädige Iduktio köe wir folgede Behauptug beweise: Alle Autos habe die gleiche Farbe. Beweis: Es reicht zu zeige, dass für jedes N i eier Mege vo Autos alle die gleiche Farbe habe. Iduktiosafag = : Die Aussage ist offebar richtig. Iduktiosschritt + : Wir betrachte eie Mege M = {a, a,..., a + } vo + Autos. Nehme wir Auto a heraus, so bekomme wir eie Mege M = {a,..., a + } vo Autos, die ach Iduktiosaahme alle die gleiche Farbe habe. Nehme wir stattdesse Auto a + aus der Mege M heraus, so bekomme wir die Mege M = {a, a,..., a } vo Autos, die wiederum ach Iduktiosaahme alle die gleiche Farbe habe. Also habe alle Autos a,..., a + die gleiche Farbe. Nach dem Prizip der vollstädige Iduktio habe damit gezeigt, dass alle Autos die gleiche Farbe habe. Wo steckt der Fehler i dieser Argumetatio? P Es sei M = { m, m N }. Bestimme Sie Ifimum, Supremum, Miimum ud Maximum falls sie existiere. P3 Es seie X, Y Mege ud f : X Y eie Abbildug. Es seie A ud B Teilmege vo X. Zeige Sie f(a B) = f(a) f(b). P4 Für alle k seie 0 x k π. Zeige Sie ( ) si x k k= Tipp: Verwede Sie die Sius-Summatiosformel: si(x k ). k= si(x + y) = si(x) cos(y) + cos(x) si(y) die Dreiecksugleichug ud die Tatsache, dass cos(x). P5 Zeige Sie, dass Folgedes gilt: a) + > ( + ), für 3; b) ()! < (!), für >.

4 3. Übugsblatt, 3. November 008 Dr. A. Wotzke Es seie X ud Y icht leere, beschräkte Mege reeller Zahle. Zeige Sie, dass a) if(x) + if(y ) = if{x + y x X, y Y }; b) sup(x) sup(y ) sup{x y x X, y Y }. (je 0 Pukte) Gebe Sie möglichst allgemeie zusätzliche Voraussetzuge a Mege X ud Y, so dass i b) stehts die Gleichheit gilt. (5 Pukte) Bestimme Sie die Lösugsmege L R vo a) x + x + x + = 0; b) 5x + 3 3x 5; c) x+ x < 3. Gebe Sie Ifimum ud Supremum sowie Miimum ud Maximum vo L a, isofer diese existiere. (je 5 Pukte) 3 Es sei (K, +, ) ei Körper. Beweise Sie uter aussließlicher Beutzug der Körperaxiome, dass es zu jedem a K geau ei Iverses a der Additio gibt. (4 Pukte) Beweise Sie ur mit Axiome (K) (K5), dass Folgedes gilt a) a K \ {0}: a a = ; b) a K \ {0}: a = a; c) Es gibt ur ei eutrales Elemet der Multiplikatio. (je 7 Pukte) 4 Es sei a R. Zeige Sie, dass a) a > a > a > 3 a > 4 a >... > ; b) a < a < a < 3 a < 4 a <... <. (je 0 Pukte) 5 Es sei (K, +,, <) ei geordeter Körper. Beweise Sie mit de Recheregel für Körper ud de Aordugsaxiome (A) ud (A), dass a, b K : a > b > 0 a < b. Tipp: Zeige Sie zuächst, dass a > 0 a > 0 (5 Pukte)

5 Präsezaufgabe P Es sei (K, +,, <) ei geordeter Körper. Zeige Sie, dass für alle x, y K Folgedes gilt: a) x y x y ; b) x+y + x+y < x + x + y + y ; c) x y x y. P Beweise Sie de Biomische Lehrsatz. Es sei x, y K. Da gilt für alle N 0 : (x + y) = k=0 ( ) x k y k, k wobei ( ) k =!. Zeige Sie zuächst, dass Folgedes gilt: k!( k)! ( ) ( ) ( ) + + =. k k k P3 Es sei F = { 0, } mit = 0, + 0 =, + = 0; 0 0 = 0, 0 = 0, = ; Zeige Sie, dass (F, +, ) ei Körper ist. Verallgemeierug auf F p, wobei p eie Primzahl ist. P4 Bestimme Sie die Lösugsmege L R vo a) x + < 0; b) x > x + ; c) x + x <. P5 Etscheide Sie ob Ifimum, Supremum bzw. Miimum, Maximum folgeder Teilmege vo R existiere: a) X = {x Z x }; b) Y = {x Q x }; c) Z = {x R x }. Bestimme Sie diese gegebeefalls.

6 4. Übugsblatt, 0. November 008 Dr. A. Wotzke Zeige Sie, dass zwische beliebige ratioale Zahle a ud b mit a < b uedlich viele irratioale Zahle gibt. (0 Pukte) a) Es sei r eie ratioale Zahl ud x R eie irratioale Zahl. Zeige Sie, dass x + r ud x r, mit r 0 irratioal sid. b) Es sei M R eie icht leere, edliche oder abzählbare Mege. Beweise Sie, dass es auf der Mege M R keie Körperaxiome erfüllede Additio ud Multiplikatio gibt, die eigeschräkt auf R die übliche Additio + ud Multiplikatio ergebe. Gebe Sie ei Gegebeispiel a. Bemerkug: Die erweiterte Zahlegerade R := R {± } ist z.b. kei Körper. (je 5 Pukte) 3 Zeige Sie, dass k für k, N etweder eie gaze oder eie irratioale Zahl ist. Sie dürfe dabei die Eideutigkeit der Primfaktorzerlegug gazer Zahle voraussetze. (0 Pukte) 4 Schreibe Sie folgede komplexe Zahle i der Forme x + iy a) ( 4+6i i + i 3+i) ; b) ( + i 3) 55 ; c) i. (je 0 Pukte) 5 Zeiche Sie folgede Mege: a) M = {z C z = Re(z) + }; b) M = {z C z, Re(z), Im(z) > 0}. (je 5 Pukte)

7 Präsezaufgabe P Es sei ε eie positive reelle Zahl. Zeige Sie, dass ei N existiert mit < ε. P Beweise Sie folgede Aussage: a) Für alle a, b R + ud alle r, s Q gilt: a r a s = a r+s, a r b r = (a b) r, (a r ) s = a r s ; b) Es sei r Q. i) r > 0 ( x, y R + : x < y x r < y r ); ii) r < 0 ( x, y R + : x < y y r < x r ); c) Für alle r, s Q mit r < s gilt: i) a r < a s, für a > 0; ii) a s < a r, für a < 0; d) Für jedes kompakte Itervall J R existiert C > 0 mit r, s J Q : a r a s < C r s. Tipp: Beutze Sie die zweite Ugleichug aus () auf dem. Übugsblatt P3 Schreibe Sie folgede komplexe Zahle i der Form x + iy ( a) i ) 3 5; b) ; c) ; d) +i 3. i +i i 3 P4 Bestimme Sie alle Lösuge folgeder Gleichuge i C: a) z 4 = 0; b) z i 3 = 0. P5 Es seie a, b C mit a = b. Zeiche Sie Mege M = {z C (z a )(z b ) = 0}. Zeige Sie, dass für die Ecke z, z, z 3, z 4 vo M Folgedes gilt z = z = z 3 = z 4 ud z + z + z 3 + z 4 = 0.

8 5. Übugsblatt, 7. November 008 Dr. A. Wotzke Zeige Sie, dass Folgedes gilt: a) lim = 0; b) lim! = 0. (je 0 Pukte) Bestimme Sie de Grezwert lim a der Folge (a ) N, wobei a) a = 4 8 ; b) a = (je 5 Pukte) 3 Es sei x > 0 eie reelle Zahl ud Folge (a ) N, wobei a = ud a + = x + a. Zeige Sie, dass diese Folge koverget ist, ud bestimme Sie ihre Grezwert. Bemerkug: Für x = ist der Grezwert vo (a ) N goldeer Schitt. (0 Pukte) 4 Es seie a ud b positive reelle Zahle. Überprüfe Sie die Kovergez der Folge (x ) N i R, wobei x = (a + b ) /, ud bereche Sie gegebeefalls de Grezwert. 5 Es sei (z ) N eie Folge i C. Für N defiiere s := ( + ) k z k. a) Folgt aus der Kovergez vo (z ) N die Kovergez vo (s ) N? k= (0 Pukte) b) Folgt aus der Kovergez vo (s ) N die Kovergez vo (z ) N? (je 5 Pukte)

9 Präsezaufgabe P Zeige Sie, dass Folgedes gilt a) lim a = ; b) lim = ; c) lim k a = 0, wobei a > ; d) lim q = 0, we q <. P Tipps zu Aufgabe b): Es sei q <. Zeige Sie, dass Folgedes gilt lim k=0 q k = q. Zeige Sie, dass für alle N Folgedes gilt:! > ( 3 ). P3 Überprüfe Sie folgede Aussage: a) Falls lim a = a, so liege i jeder Umgebug vo a uedlich viele Folgeglieder vo (a ) N. b) Falls i jeder Umgebug vo a uedlich viele Folgeglieder vo (a ) N liege, da gilt lim a = a. P4 Es seie (a ) N ud (b ) N Folge i C mit folgede Eigeschafte (a ) N ist eie Nullfolge; (b ) N ist beschräkt, d.h., C > 0, N: b < C. Zeige Sie, dass (a b ) N eie Nullfolge ist. P5 Es seie (a ) ud (b ) kovergete Folge mit a = lim a ud b = lim b. Beweise Sie a) lim (a + b ) = a + b; b) Es sei b 0. Da existiert ei N N, so dass b 0 für alle N ud a lim = a b N b.

10 6. Übugsblatt, 4. November 008 Dr. A. Wotzke Es sei a = + 5. Wir bilde die Folge (a ) N durch a =, a + = + a a +. Zeige Sie, dass lim a = a. Tipp: Beutze Sie folgede Argumetatioskette: (0 Pukte) + x +x < a für alle 0 < x < a; < a < a für alle ; a < a + für. Es seie a ud b positive reelle Zahle. Wir bilde die Folge (x ) N ud (y ) N durch x = a, y = b, x + = x y, y + = x + y. Zeige Sie, dass die Folge (x ) N ud (y ) N de gleiche Grezwert habe. (0 Pukte) Tipp: Zeige Sie, dass x x + y + y. 3 Zeige Sie, dass Folge (x ) N ud (y ) N mit y = x die gleiche Häufugspukte habe. (0 Pukte) 4 Kostruiere Sie eie Folge (x ) N i R, a) die keie edliche Häufugspukte hat; b) die ur eie edliche Häufugspukt hat, jedoch icht koverget ist; c) die uedlich viele Häufugspukte hat; d) die als Häufugspukt jede reelle Zahl hat. (je 5 Pukte) 5 Es sei Folge positiver reeller Zahle wie folgt defiiert: Es seie zwei aufeiader folgede Folgeglieder gegebe. Da ist das ächste Folgeglied im Produkt mit dem erste das zweite Glied, das ums Eis erhöht wurde, d.h., x + x = x + +. Bestimme Sie die maximale Azahl der Häufugspukte dieser Folge. (0 Pukte)

11 Präsezaufgabe P Bestimme Sie die Häufugspukte vo,,,, 3,,, 3, 4, P Zeige Sie, dass lim ( + ) = 0. P3 Es sei Zeige Sie, dass Folgedes gilt: ( a) 0 < e + ) < 3 für alle N; ) b) lim ( = e.!! Leite Sie damit folgede Formel her ( lim + = e. ) e = +! ! + θ!, 0 < θ <. () P4 Beweise Sie, dass Folgedes gilt: a) eie kovergete Folge i R hat ei Maximum, oder ei Miimum, oder beides; b) eie Folge i R, die gege + bestimmt divergiert, hat ei Miimum. Kostruiere Sie zugehörige Beispiele. P5 Es sei (a ) N eie Folge positiver reeller Zahle mit lim a = 0. Da gibt es uedlich viele N, für die a größer als alle folgede Folgeglieder a +, a +,... ist.

12 7. Übugsblatt,. Dezember 008 Dr. A. Wotzke Eie Folge (x ) N i C ist vo beschräkter Variatio, we eie positive reelle Zahl C existiert, so dass für alle Folgedes gilt: x x + x 3 x x x < C. Zeige Sie, dass eie Folge vo beschräkter Variatio eie Cauchyfolge ist. Kostruiere Sie eie Cauchyfolge, die icht vo edlicher Variatio ist. ( Pukte) Tipp: Betrachte Sie die Folge y = x x x x. Es sei (x ) N eie Folge i R mit 0 x m+ x m + x für alle m, N. Zeige Sie, dass x lim existiert. ( Pukte) Tipp: Zeige Sie zuächst, dass if{ x für hireiched große q. N} existiert. Folger Sie da aus xm m α < ɛ xqm+r, dass qm+r α < ɛ 3 Für N sei a der Nachkommaateil vo (3 + 7). Zeige Sie, dass lim a =. Tipp: Verwede Sie die Folge (3 + 7) + (3 7). ( Pukte) 4 Bestimme Sie if{x N} ud sup{x N} sowie lim x ud lim x der Folge (x ) N, wobei a) x = ; b) x = ( ) ( + 3 ) ; c) x = ( ) + +( ). (je 8 Pukte) 5 Es sei (x ) eie Folge mit x > 0 für alle N ud lim x lim =. x Zeige Sie, dass (x ) kovergiert. (0 Pukte)

13 Präsezaufgabe P Es sei (x ) N eie kovergete ud (y ) N eie divergete Folge i C. Welche Kovergezaussage köe Sie über folgede Folge treffe: a) (x + y ) N ; b) (x y ) N. Kostruiere Sie etsprechee Beispiele. P Bestimme Sie if{x N} ud sup{x N} sowie lim x ud lim x der Folge (x ) N, wobei a) x = ( ) ; b) x = + ( ) + + 3( ) ( ). P3 Zeige Sie, dass ( k= ) k N keie Cauchyfolge ist. P4 Bestimme Sie das maximale Folgeglied vo (x ) N, wobei a) x = ; b) x = 000!. P5 a) Es seie S = {x R 3 x + x + x 3 = } die Eiheitssphäre im dreidimesioale Euklidische Raum ud N = (0, 0, ). Die stereographische Projektio f : S \ {N} C, mit f(x, x, x 3 ) = ( x x 3, x ), x 3 wobei wir R mit C idetifiziere. Bestimme Sie die Umkehrabbildug vo f. b) Es seie H = {z C Im(z) > 0} die obere Halbebee ud D = {z C Re(z) + Im(z) < } die Eiheitsscheibe i C. Zeige Sie, dass die Cayley-Trasformatio f : C \ { i} C, z z i z + i H auf D abbildet. Bestimme Sie die Umkehrabbildug vo f.

14 8. Übugsblatt, 8. Dezember 008 Dr. A. Wotzke Zeie Sie, dass Folgedes gilt: a) k= k z k = z(z+) ( z) 3 für z C mit z < ; b) k= =. k(k+)(k+) 4 Bestimme Sie de Grezwert folgeder Reihe a) = ; (3 )(3+) (je Pukte) b) =( ). (je Pukte) 3 Zeige Sie, dass eie reelle Zahl, dere Dezimalbruchdarstellug periodisch wird, ratioal ist. ( Pukte) 4 Es seie = a ud = b kovergete Reihe. Zeige Sie, dass folgede Reihe koverget sid a) = a b ; b) = (a + b ) ; c) a =. (+6+6 Pukte) 5 Utersuche Sie die Kovergez folgeder Reihe a) = ; b) = ( +) (+). (6+ Pukte)

15 Präsezaufgabe P Es sei s Q. Zeige Sie, dass die Reihe = s für { s > kovergiert; s divergiert. P Es sei A 0, A Mat 4 (R) quadratische 4 4 Matrix vo der folgede Form λ λ 0 0 A 0 = 0 λ λ 0, A = 0 λ λ λ λ Bestimme Sie exp(a i ) := A i =0 für i = 0,.! P3 Zeige Sie: a mit a 0 kovergiert = =0 =0 Zeige Sie, dass die Umkehrug falsch ist. a kovergiert. P4 Utersuche Sie die Kovergez folgeder Reihe a) = ( ) +( ) ; b) +i =, wobei 3 + i =. P5 Es sei ( ) a (3) mit a > 0 ud lim a = 0. Ist Reihe (3) koverget? Betrachte Sie = = ( ) + ( ).

16 9. Übugsblatt, 5. Dezember 008 Dr. A. Wotzke Überprüfe Sie folgede Reihe auf Kovergez ud absolute Kovergez a) = 0 ; b) = ( ) ( )( ) (+) ; c)! = ( ). (je 8 Pukte) Es seie m eie atürliche Zahl ud = a eie kovergete Reihe. Zeige Sie, dass der Grezwert s vo = a uter Umordug σ m : N N mit σ() m für alle N sich icht ädert. (5 Pukte) 3 Es sei (a ) N eie mooto fallede Nullfolge. Zeige Sie: a) = a kovergiert = a kovergiert; b) = a kovergiert = lim a = 0. (je 5 Pukte) 4 Bestimme Sie de Grezwert folgeder Reihe: a) =0 x[ ] y [ + ] für xy <, wobei [r] := max{k Z k r} für r R; b) + =0 ( ). (je 0 Pukte) Tipp zu b): Schreibe Sie die Partialsumme s m als m l=0 σ l(m), wobei σ 0 (m) = m k=0 ( )k ud σ l (m) = m k=l ( )k für l 0 auf. 5 Orde Sie die kovergete Reihe = ( )+ derart um, dass sie diverget wird. Tipp: Betrachte Sie folgede Umordug ( ) + ( ( Pukte)

17 Präsezaufgabe P Es sei = a eie kovergete Reihe ud b lim =. a Was ka ma über das Kovergezverhalte vo = b sage? Betrachte Sie zum Beispiel folgede Reihe = ( ) ud ( ( ) + ) = P Beweise Sie, dass das Produkt zweier kovergeter Reihe ( ) = α, mit α > 0 ud ( ), mit β > 0 β eie kovergete Reihe ist, falls α + β > ud eie divergierede Reihe ist, falls α + β <. P3 Es sei s C. Utersuche Sie das Kovergezverhalte vo =0 = ( ) s z. P4 überprüfe Sie folgede Reihe auf Kovergez ud absolute Kovergez a) ( ) + = ; 3 b) + = ; 3 c) =!. P5 Es sei [ ]: R R Fuktio defiiert durch x [x] = max{k Z k x}. Diese Fuktio heißt die Gaußsche Klammer. Ist diese Fuktio ijektiv, surjektiv oder sogar bijektiv? Zeiche Sie de Graphe dieser Fuktio im kartesische Koordiatesystem auf.

18 0. Übugsblatt, 5. Jauar 009 Dr. A. Wotzke Zeige Sie, dass die Doppelreihe kovergiert. m, N (m + i) 3 (0 Pukte) Es seie α, β, γ komplexe Zahle mit γ 0,,,.... Utersuche Sie das Kovergezverhalte der hypegeometrische Reihe F (α, β, γ; z) = + αβ γ α(α + )β(β + ) z + z!γ(γ + ) + α(α + )(α + )β(β + )(β + ) z !γ(γ + )(γ + ) Diskutiere Sie die Ausahmefälle i Abhägigkeit vo α, β ud γ. (0 Pukte) 3 4 Ma stelle die geometrische Reihe ud die Biomialreihe mittels der hypergeometrische Reihe F (α, β, γ; z) dar. (0 Pukte) Bestimme Sie de Kovergezradius folgeder Reihe a)!z ; =0 b) = (!) ()! z ; c) =! z, wobei a > ; a d) ( + )z. =0 (je 0 Pukte) 5 Bestimme Sie de Kovergezradius vo 0 ν() = ( x), wobei ν() die Zifferzahl vo ist. (0 Pukte) Tipp: Zeige Sie, dass ν() = [log()] + ist, wobei [ ]: R Z die Gaußsche Klammer ist.

19 Präsezaufgabe Für s C ist ( s ) defiiert durch ( ) s = s(s ) (s +), > 0;!, = 0; 0, < 0. P Es seie s ud z komplexe Zahle. Bestimme Sie das Kovergezverhalte der Biomialreihe s ( ) s B s (z) = z s(s ) = + sz + z +. =0 Diskutiere Sie die Ausahmefälle i Abhägigkeit vo s. P Zeige Sie, dass für alle komplexe s, t ud k N 0 Folgedes gilt k j=0 ( )( ) s t = j k j ( s + t k ). P3 Es seie t, s, z C mit z <. Beweise Sie das Additiostheorem für die Biomialreihe: B t (z) B s (z) = B t+s (z). (4) P4 Folger Sie aus (4), dass für alle s R ud < x < Folgedes gilt B s (x) = ( + x) s. P5 Schreibe Sie die erste drei Glieder der Biomialetwicklug (4) für s = / ud s = / auf. Leite Sie hiermit aus der Eergie ( E = m 0 c ) (v/c) eies mit Geschwidigkeit v bewegte Körpers mit Ruhemasse m 0 die Ruheeergie E 0 ud die kietische Eergie E ki der klassische Mechaik her. Hierbei bezeichet c die Lichtgeschwidigkeit.

20 . Übugsblatt,. Jauar 009 Dr. A. Wotzke Es sei f : ]0, ] R eie stetige Fuktio. Zeige Sie, dass f geau da gleichmäßig stetig ist, we lim x 0 f(x) exitiert. (5 Pukte) Beweise Sie, dass die Gleichug x3 + x + = e x midestes eie positive ud eie egative Lösug hat. (0 Pukte) 3 Eie Fuktio f : R R heißt atiperiodisch, we ei T > 0 existiert, so dass für alle x f(x + T ) = f(x). Zeige Sie, dass f eie periodische Fuktio vo der Periode T ist, d.h. f(x + T ) = f(x). (0 Pukte) 4 5 Es seie a < b reelle Zahle. Zeige Sie, dass jede stetige Fuktio f : [a, b] [a, b] eie Fixpukt hat, d.h., es existiert x 0 [a, b], so dass f(x 0 ) = x 0. (5 Pukte) Die Riemasche Fuktio ist defiiert durch f(x) = {, falls x = m, wobei m ud teilerfremde gaze Zahle; 0, falls x irratioal ist. Zeige Sie, dass f ustetig a alle ratioale ud stetig a alle irratioale Stelle ist. Tipp: Beutze Sie das Folgekriterium für die Stetigkeit. (0 Pukte)

21 Präsezaufgabe P Utersuche Sie folgede Fuktio auf Stetigkeit f : R R, x [x], wobei [ ] die Gaußsche Klammer ist. P Es sei die Dirichlet-Fuktio defiiert durch {, falls x ratioal; χ(x) = 0, falls x irratioal. Zeige Sie, dass für alle q Q folgedes gilt χ(x + q) = χ(x). Das heißt, χ ist eie periodische Fuktio mit Periode q Q. P3 Zeige Sie, dass die Dirichlet-Fuktio χ: R R überall ustetig ist. P4 Zeige Sie, dass die Fuktio ]0, [ x icht gleichmäßig stetig auf ]0, [ ist. x

22 . Übugsblatt, 9. Jauar 009 Dr. A. Wotzke Bestimme Sie folgede Grezwerte a) lim x q x+ x+ x x+ ; b) lim x 0 (+x) / x, wobei Z. (je 0 Pukte) Zeige Sie, dass die Fuktio si( π ) auf ]0, [ stetig ud beschräkt jedoch icht gleichmäßig x stetig ist. (5 Pukte) 3 Bestimme Sie für die folgede Fuktioefolge (f ) N die jeweilige Grezfuktio f(x) = lim f (x). Kovergiere die Fuktioefolge gleichmäßig auf D? a) f (x) = +x, D = R; b) f (x) = x +x, D = [0, ]. (je 0 Pukte) 4 Utersuche Sie die folgede Fuktioereihe auf puktweise Kovergez ud gleichmäßige Kovergez: a) =0 x ( x); b) si(x) =0. (je 5 Pukte) 5 Es seie (φ k) k N eie Folge mootoer Fuktioe auf eiem Itervall [a, b] ud k= φ k(x) eie Reihe, die absolut koverget i a ud b ist. Zeige Sie, die Reihe k= φ k(x) absolut ud gleichmäßig koverget auf [a, b] ist. (5 Pukte)

23 Präsezaufgabe Wiederhole Sie die Defiitio vo Kosius ud Sius aus der Schule. P Es sei φ(x) = cos(x) + i si(x) für x R. Zeige Sie, dass Folgedes gilt: a) φ(0) = ; b) φ(x + y) = φ(x) + φ(y) für alle x, y R; c) lim x 0 φ(x) x = i. Es sei die Expoetialfuktio. exp(z) = =0 z!, z C P Beweise Sie die Eulersche Formel: exp(ix) = cos(x) + i si(x) x R. Folger Sie daraus cos(x) = Re(e ix ), si(x) = Im(e ix ). P3 Zeige Sie, dass cos(x) = si(x) = ( ) x ()!, ( ) x + ( + )!. =0 =0 Bestimme Sie de Kovergezradius dieser Reihe. P4 Stelle Sie die Tages- ta(z) ud Kotages-Fuktio cot(z) mittels der Expoetialfuktio e iz P5 Diskutiere Sie die hyperbolische Fuktioe cosh(z), sih(z) sowie tah(z), coth(z) ud ihre Umkehrfuktioe.

24 3. Übugsblatt, 6. Jauar 009 Dr. A. Wotzke Beweise Sie die Produktregel: (fg) () = k=0 ( ) f (k) g ( k), k wobei h (0) = h ist. (0 Pukte) Für N sei m die größte gaze Zahl kleier als. Zeige Sie, dass für x R Folgedes gilt: m ( ) si(x) = ( ) k cos (k+) (x) si k+ (x). k + k=0 Tipp: Verwede Sie die Expoetialfuktio. (5 Pukte) 3 Bestimme Sie die Ableitug vo f : (0, ) R, wobei a) f(x) = (x x ) x ; b) f(x) = log log( + x); c) f(x) = cos(x) +si log(x). (je 0 Pukte) 4 Es sei f eie differezierbare Fuktio. Zeige Sie, dass für atürliche Folgedes gilt: lim (f ( x + ) ) f(x) = f (x). Ka ma umgekehrt aus der Existez des obige Grezwertes die Differeziebarkeit der Fuktio f folger? Tipp: Betrachte Sie die Dirichlet-Fuktio χ, Präsezaufgabe. (5 Pukte) 5 Es sei f : R R Fuktio defiiert durch x f(x) = { x, für x > 0; 0, für x 0. Für welche Z ist f differezierbar im Pukt 0? (0 Pukte)

25 Präsezaufgabe P Bestimme Sie die Umkehrfuktio der gebrocheratioale Trasformatio z az + b ( ) a b cz + d, SL(, R). c d P Bestimme Sie die Ableitug vo f(x) = ( + x x 3, si(cos (si 3 4x 5 )), e 4x5 ) P3 Zeige Sie, dass Folgedes gilt: a) (a x ) = a x log(a), a > 0; b) (cosh x) = sih x; c) (tah x) = cosh x ; d) (arccos x) = x ; e) (artah x) = x, x <. P4 Bestimme Sie die Ableitug vo x f(x) = xy x + y +. P5 Zeige Sie, dass die Ableitug folgeder Fuktio ( ) x si x x, x 0; 0 e x f(x) = ( ) 0 0, x = 0, 0 icht steig ist.

26 4. Übugsblatt,. Februar 009 Dr. A. Wotzke Präsezaufgabe P Bestimme Sie die logarithmische Ableitug vo x a) f(x) = x ; +x b) f(x) = (x + + x ). P Zeige Sie, dass die Fuktio f(x) = C cosh(x)+c sih(x), wobei C, C Kostate sid, folgeder Gleichug geügt: f (x) = f(x). P3 Methode der kleiste Quadrate. Es seie a,..., a reelle Zahle. Gesucht ist a R, so dass miimal wird. (a a i ) i= P4 Zeige Sie, dass alle Nullstelle eies Legedre-Polyoms P m (x) := m m! [(x ) m ] (m) reell sid ud i ], [ liege. P5 Bestimme Sie folgede Grezwerte a) lim x 0 si(ax) si(bx) ; a b) lim x x a x a, wobei a > 0. x a P6 Utersuche Sie folgede Fuktio auf Differezierbarkeit i x = 0 f(x) = { x e x, für x 0;, für x = 0.