Übungen zu Analysis in einer Variable für das Lehramt SS 2016

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1 Übuge zu Aalysis i eier Variable für das Lehramt SS 06 Christoph Baxa ) Drei Lehramtsstudete mache gemeisam Urlaub im Süde. Da sie weig Geld habe, suche sie eie billige Uterkuft. Tatsächlich fide sie ei güstiges Hotel, i dem sie gemeisam um 30 Euro überachte köe. Jeder der drei bezahlt dem Rezeptioiste 0 Euro ud sie gehe auf ihr Zimmer. Weig später erkudigt sich der Hotelbesitzer beim Rezeptioiste ach der Buchugslage. Als er vo de drei Studete hört, macht er de Rezeptioiste darauf aufmerksam, dass das Hotel das Zimmer für Studete sogar um ur 5 Euro abietet. Also macht sich der Rezeptioist mit 5 Euro auf de Weg zu de Studete. Uterwegs überlegt er sich, dass ma die 5 Euro ja gar icht verüftig auf drei Persoe aufteile ka. Also gibt er jedem der drei ur eie Euro zurück ud behält zwei Euro als Trikgeld. Nu hat jeder der Studete 9 Euro für das Zimmer bezahlt ud der Rezeptioist hat Euro. Das macht i Summe 9 Euro. Wo ist der 30. Euro gebliebe? ) Welches der drei Symbole =, = oder ka ma i de folgede Aussage a der Stelle der drei Pukte... eisetze, sodass eie wahre Aussage etsteht? a) Heute ist Diestag... Morge ist Mittwoch b) Es reget... Die Straße ist ass c) Matura bestade... Alle Note im Zeugis sid positiv d) Matura bestade... Mathematikote ist positiv e) Die gaze Zahl a ist durch 3 teilbar... Die Ziffersumme vo a ist durch 3 teilbar f) Die gaze Zahl a ist durch 9 teilbar... Die Ziffersumme vo a ist durch 3 teilbar g) a = 3... a = 9 3) Fide Sie de Fehler im folgede Beweis. Wir wolle zeige, dass = gilt. Dazu wähle wir zwei beliebige Zahle a ud b mit der Eigeschaft a = b. a = b a = ab a + a = a + ab a = a + ab a ab = a + ab ab a ab = a ab a ab) = a ab) =

2 CHRISTOPH BAXA, ANALYSIS IN EINER VARIABLE FÜR DAS LEHRAMT, SS 06 4) Fide Sie de Fehler im folgede Beweis. Wir wolle zeige, dass 4 = 5 gilt. 0 = = = ) = ) 4 9 ) = 5 9 ) 4 9 = = 5 5) Fide Sie de Fehler im folgede Beweis. Behauptug. Alle atürliche Zahle sid gleich. Beweis. Wir zeige = = = durch Iduktio. Iduktiosafag: Die Behauptug stimmt für =, de =. Iduktiosvoraussetzug: Es gilt = = =. Iduktiosschritt: Aus = folgt = + ud daher = = = = +. 6) Fide Sie de Fehler im folgede Beweis. Behauptug. Je beliebige Pukte i eier Ebee liege stets auf eier Gerade. Beweis. Wir zeige die Behauptug durch Iduktio. Iduktiosafag: Die Behauptug ist für = ud = offesichtlich korrekt. Iduktiosvoraussetzug: Die Behauptug sei für Pukte scho gezeigt. Iduktiosschritt: Gegebe seie die + Pukte P,..., P + i der Ebee. Nach Iduktiosvoraussetzug liege die Pukte P,..., P auf eier Gerade g. Ebefalls ach Iduktiosvoraussetzug liege die Pukte P,..., P + auf eier Gerade h. Da die beide Pukte P ud P auf beide Gerade g ud h liege, muss g = h gelte ud daher liege P,..., P + alle auf eier Gerade. 7) Mit A) werde die Aussage = 8 + ) bezeichet. Zeige Sie, dass A + ) aus A) folgt. Ist die Aussage A) wahr? 8) Fide Sie de Fehler im folgede Beweis. Behauptug. Die größte atürliche Zahl N ist. Beweis. Wir führe de Beweis idirekt. Ageomme N. Da 0 < ist N 0 ud daher N >. Daraus folgt N > N, was der Defiitio vo N widerspricht.

3 CHRISTOPH BAXA, ANALYSIS IN EINER VARIABLE FÜR DAS LEHRAMT, SS 06 Beweise Sie für eie Körper K ur mit Hilfe der Körperaxiome bzw. de i der Vorlesug daraus abgeleitete Folgeruge: 9) Das Eiselemet K) ist eideutig bestimmt. 0) Zu gegebeem a K, a 0 ist das multiplikative Iverse a eideutig bestimmt. ) Zu a, b K, a 0 gibt es geau ei x K, sodass a x = b. ) Für alle a K \ {0} gilt a = a. 3) Für alle a, b K \ {0} gilt a b = a b. 4) Für alle a, b K gilt a b) = a b). 5) Für alle a, b, c, d K mit b, d 0 gilt a b = c d a d = b c. 6) Für alle a, b, c, d K mit b, d 0 gilt a b c d = a c b d. 7) Für alle a, b, c, d K mit b, c, d 0 gilt a b c d = a d b c. 8) Für alle a, b, c, d K mit b, d 0 gilt a b + c d = a d+b c b d. 9) Beweise Sie, dass F, +, ) ei Körper ist. 0) Beweise Sie für a, b K wobei K ei ageordeter Körper sei soll): a) We a, b > 0 da a + b > 0 ud a b > 0. b) We a, b < 0 da a + b < 0 ud a b > 0. ) Beweise Sie: We 0 < a < b da 0 < b < a. ) Beweise Sie für a, b, c K wobei K ei ageordeter Körper sei soll): a) We a b ud b c da a c. b) We a b ud c > 0 da a c b c. c) We a b ud c < 0 da a c b c. d) We a b ud b a da a = b.

4 CHRISTOPH BAXA, ANALYSIS IN EINER VARIABLE FÜR DAS LEHRAMT, SS 06 3) Beweise Sie, dass es kei x Q mit der Eigeschaft x = 3 gibt d.h. 3 / Q). 4) Beweise Sie, dass für alle a, b R mit b 0 gilt, dass a b = a b. 5) Beweise Sie, dass für alle a, b R die Ugleichug a b a + b gilt. 6) Beweise Sie: Für alle a,..., a R gilt die Dreiecksugleichug a k k= a k. k= 7) Beweise Sie für a, b R die folgede beide Gleichuge: a) max{a, b} = a + b + b a b) mi{a, b} = a + b b a 8) Sid die folgede Mege ach ute bzw. obe beschräkt? We ja, was ist ihr Ifimum bzw. Supremum? Hadelt es sich dabei um ei Miimum bzw. Maximum? a), ) b) [ 3, ) c) 3, ) [, + ) d) { N \ {0} } e) { ) + + N \ {0} } 9) a) Für N sei I = [, + ). Beweise Sie I + I für 0 ud =0 I =. b) Ebeso für I = 0, ) für N \ {0}. Widerspreche diese Ergebisse dem Itervallschachtelugsprizip? 30) Es seie A = [3, ], B = {,, 8}, C = [0, ) {} ud D =, 00]. Bereche Sie A, B, 3C, 3D, A + B, A + C, A + D, B + C, B + D ud C + C. 3) Es seie M, N R ud M, N. Beweise Sie: We M ud N ach obe beschräkt sid, ist auch M N ach obe beschräkt ud es gilt supm N) = max{sup M, sup N}. 3) Es sei a < 0 ud p N ugerade. Beweise Sie: Es gibt geau ei x < 0 mit der Eigeschaft x p = a. Verwede Sie keie Dedekidsche Schitte, soder führe Sie die Behauptug auf Satz aus der Vorlesug zurück.

5 CHRISTOPH BAXA, ANALYSIS IN EINER VARIABLE FÜR DAS LEHRAMT, SS 06 33) Beweise Sie für k, N: ) ) a) = für 0 k b) k k ) ) + = k k + ) + k + für 0 k < Gebe Sie für beide Aussage eie Beweis mit Hilfe der Defiitio der Biomialkoeffiziete ud eie mittels ihrer kombiatorische Iterpretatio. 34) Beweise Sie für N \ {0}: a) 0) + ) + ) + + ) =, b) 0) ) + ) + + ) ) = 0. Köe Sie eie kombiatorische Iterpretatio dieser Idetitäte gebe? 35) Beweise Sie für N \ {0}: ) = 3 ) 4 ) 36) Es sei a > 0 ud, p N mit ud p <. Beweise Sie ap + p a ). 37) Zeige Sie für a,..., a R), dass ) a k a k. k= k= 38) Beweise Sie die folgede Variate der Beroullische Ugleichug: Ist x ud N \ {0}, so gilt + x) + x. 39) Es sei a R. Beweise Sie direkt aus der Grezwertdefiitio lim + a = 0. Die Folgeglieder sid für > a sicher defiiert.) 40) Bereche Sie de Grezwert der Folge a ) für a) a = b) a = + )

6 CHRISTOPH BAXA, ANALYSIS IN EINER VARIABLE FÜR DAS LEHRAMT, SS 06 4) Bereche Sie de Grezwert der Folge a ) für a) a = b) a = ) Es seie a 0, a,..., a p, b 0, b,..., b q R, a p 0 ud b q 0. Beweise Sie a p p + + a + a 0 lim b q q = + + b + b 0 { ap /b q falls p = q, 0 falls p < q. Bemerkug. Ma ka relativ leicht zeige, dass die Folgeglieder für geüged großes sicher defiiert sid. Sie köe diese Tatsache ohe Beweis verwede. 43) Bereche Sie: a) lim ) + + ) q für q < 44) Bereche Sie: a) lim 3 45) Bereche Sie: a) lim + ) ) ) ) ) 3 Hiweis. Verwede Sie m m+) = m m+ i Teil a). 46) Es sei p N. Bereche Sie lim p ud lim / p. Was köe Sie aus de Ergebisse über de Wert vo lim a folger, we die Folge a ) für fast alle die Relatio p < a < p erfüllt? 47) Beweise Sie: We lim a = a ud a 0 für alle da gilt auch a 0 ud a = a. 48) Beweise Sie: lim a) lim + ) = ) = 3

7 CHRISTOPH BAXA, ANALYSIS IN EINER VARIABLE FÜR DAS LEHRAMT, SS 06 49) Es seie a, b R. Beweise Sie lim ) ) ) a b = a + b. Ab welchem Idex sid die Folgeglieder sicher defiiert? 50) Beweise Sie: We 0 a b c da gilt lim a + b + c = c. Gebe Sie eie aaloge Aussage für p Zahle 0 a a a p a ud beweise Sie sie). 5) Beweise Sie: We lim a = a ud p eie Polyomfuktio ist, da gilt auch lim pa ) = pa). 5) Beweise Sie: We lim a = a ud lim b = b da gelte lim max{a, b } = max{a, b} ud lim mi{a, b } = mi{a, b}. Hiweis. Ei früheres Beispiel ist sehr hilfreich. 53) Beweise Sie: We a 0 für alle ud es ei q 0, ) gibt, derart dass a + /a q für fast alle, da ist a ) eie Nullfolge. 54) Beweise Sie für x R beliebig fest gewählt: 55) Bereche Sie lim + +. ) x lim! = 0 56) Die Folge a ) sei folgedermaße iterativ defiiert: a :=, a := a +, allgemei a + := a + für. Beweise Sie: a) Die Folge a ) wächst mooto, b) Die Folge a ) ist durch ach obe beschräkt, c) lim a =. Hiweis. Verwede Sie Iduktio ach für die Teile a) ud b). 57) Beweise Sie: Ist die Folge a ) koverget, so ist die Folge a + a ) eie Nullfolge. Gilt die Umkehrug? 58) Beweise Sie, dass die Folge a ) mit a = ) eie Cauchyfolge ud daher koverget) ist.

8 CHRISTOPH BAXA, ANALYSIS IN EINER VARIABLE FÜR DAS LEHRAMT, SS 06 59) Zeige Sie, dass es a, b R \ Q mit der Eigeschaft a b Q gibt. Hiweis. Experimetiere Sie mit. Beachte Sie, dass Sie a ud b icht explizit agebe müsse. 60) Beweise Sie: p a) lim = + mit p N \ {0}) 6) Es gelte lim a = + ud Beweise Sie: a) lim a + b ) = + r = + mit r > 0 ratioal) lim b = + ud die Folge c ) sei koverget. a + c ) = + 6) Es gelte lim a = +, lim b = + ud α R. Beweise Sie { + falls α > 0, a) lim αa ) = falls α < 0. a b ) = + 63) Beweise Sie: a) lim + 3 7) = + 3 5) = + 64) Bestimme Sie die Häufugspukte ud lim a) a = { falls gerade, falls ugerade. b) a = a ud lim a für die Folge a ) : + falls = 3k für ei k, + + falls = 3k + für ei k 0, falls = 3k + für ei k 0. 65) Fide Sie eie ubeschräkte Folge a ), die als Häufugspukte die drei Zahle 63, 7 ud e besitzt. 66) Welche der folgede Reihe kovergiere? a) e b) c) ) 3 67) Welche der folgede Reihe kovergiere? a) b) ) c) 68) Bereche Sie die Summe der folgede Reihe: a) 3 b) 3) 4 c) = ) Bereche Sie die Summe der folgede Reihe mit Hilfe vo Teleskopsumme: a) b) c) )+) = +)+)

9 CHRISTOPH BAXA, ANALYSIS IN EINER VARIABLE FÜR DAS LEHRAMT, SS 06 70) Kovergiere die folgede Reihe? a)! 3 b) 7) Kovergiere die folgede Reihe? a) ) + + b) ) + 7) Sid die folgede Reihe koverget bzw. absolut koverget? a) b) ) 3 ) +3 73) Kovergiere die folgede Reihe wobei i Teil c) a R sei soll)? a) b)!) )! c) a +a ) 74) Kovergiere die folgede Reihe wobei i Teil a) a 0 sei soll)? a) a ) b) ) c) 75) Beweise Sie die Kovergez der Reihe + ) = durch Agabe eier kovergete Majorate. Überprüfe Sie, dass die Kovergez dieser Reihe mit Hilfe des Wurzelkriteriums, icht aber mit dem Quotietekriterium erkebar ist. 76) Es seie p : R R ud q : R R zwei Polyomfuktioe. Beweise Sie: a) gradp q) = grad p + grad q b) gradp + q) max{grad p, grad q} Dabei gelte die Kovetioe + = + ) = ) + ) = sowie max{, } = bzw. max{, } = ud bzw. für N. 77) Lagragesches Iterpolatiospolyom) Es seie a 0, a,..., a R paarweise verschiede ud b 0, b,..., b R die icht verschiede zu sei brauche). Beweise Sie, dass durch px) = k=0 b k x a 0 ) x a k )x a k+ ) x a ) a k a 0 ) a k a k )a k a k+ ) a k a ) eie Polyomfuktio mit de Eigeschafte grad p ud pa k ) = b k für 0 k ) gegebe ist.!

10 CHRISTOPH BAXA, ANALYSIS IN EINER VARIABLE FÜR DAS LEHRAMT, SS 06 78) Gaußklammer) Für x R sei [x] := max{k Z k x} d.h. [x] ist die größte gaze Zahl x). Zeiche Sie de Graphe der Fuktio f : R R, fx) = [x]. Ist die Fuktio f gerade bzw. ugerade? Fide ud beweise Sie eie Formel, die [ x] durch [x] ausdrückt. 79) a) Es sei p : R R eie Polyomfuktio mit grad p ud α R eie Nullstelle vo p. Beweise Sie, dass es eie Polyomfuktio q mit grad q = grad p ud der Eigeschaft px) = x α) qx) gibt. Hiweis. Verwede Sie Polyomdivisio mit Rest. b) Beütze Sie Teil a), um zu zeige: Ist p : R R eie Polyomfuktio ud grad p, so besitzt p ur edlich viele Nullstelle. 80) Es seie A, B R. Beweise Sie die folgede Idetitäte für die charakteristische Fuktioe der Mege A B ud A B: a) c A B = c A c B b) c A B = c A + c B c A B 8) Für A, B R wird die symmetrische Differez A B defiiert als A B := A B) \ A B) = A \ B) B \ A). Drücke Sie c A B durch c A ud c B aus ud beweise Sie Ihre Behauptug. 8) Es sei D R ud D = D. Beweise Sie: a) Sid f, g : D R zwei gerade bzw. ugerade) Fuktioe, so sid f ± g : D R ebefalls zwei gerade bzw. ugerade) Fuktioe. b) Ist die Fuktio f : D R sowohl gerade als auch ugerade, so ist f = 0 d.h. fx) = 0 für alle x D). 83) Beweise Sie: Jede Fuktio f : R R lässt sich auf eideutige Weise als Summe eier gerade ud eier ugerade Fuktio schreibe. Hiweis. Verwede Sie für die Existez die Gleichug fx) = ) fx) + f x) + ) fx) f x). 84) Die Fuktio f : R R sei gegebe durch fx) = { x + 3 für x, 3x für x >. Gebe Sie eie detaillierte Beweis dafür, dass f im Pukt stetig ist d.h. argumetiere Sie mit ε > 0 ud δ > 0).

11 CHRISTOPH BAXA, ANALYSIS IN EINER VARIABLE FÜR DAS LEHRAMT, SS 06 85) Bereche Sie sofere sie existiere) die folgede Grezwerte: a) lim x x 3x + x x x ) 8 x 3 86) Beweise Sie x lim x 0 x =. 87) Es sei b >. Beweise Sie: a) Für alle x, y > 0 gilt b log x y = b log x b log y. b) Für alle x > 0 ud alle y R gilt b log x y = y b log x. log 88) Beweise Sie lim = 0. Hiweis. I der Vorlesug wurde lim = bewiese. 89) a) Beweise Sie: We die Abbildug f : [a, b] [a, b] stetig ist, besitzt sie eie Fixpukt ξ [a, b]. Hiweis. Betrachte Sie die Abbildug g : [a, b] R, gx) = fx) x. b) Gebe Sie Beispiele für stetige Fuktioe f : I I ohe Fixpukt a, wobei I ei Itervall, aber etweder icht abgeschlosse oder icht beschräkt ist. 90) Es sei f : R R, fx) = x c Q x). Beweise Sie, dass f im Pukt 0 differezierbar ist ud bereche Sie f 0). 9) Es sei I R ei offees Itervall, ξ I ud f,..., f : I R seie alle i ξ differezierbar. Beweise Sie: Da ist auch f f : I R i ξ differezierbar ud es gilt f f f ) ξ) = f f f )ξ) + f f f 3 f )ξ) + + f f f )ξ). 9) Bestimme Sie die erste drei Ableituge der folgede Fuktioe f: a) fx) = x x+ x+ mit x ) b) fx) = e x+3 c) fx) = x log x mit x > 0) 93) Differeziere Sie die Fuktio fx) = x x mit x > 0). 94) Beweise Sie, ausgehed vo der Gleichug die folgede Idetitäte für N \ {0, }: a) ) k = b) k k= k=0 ) ) k k = 0 c) k k= ) k x k = +x), mittels Differeziere ) kk ) = ) k k=

12 CHRISTOPH BAXA, ANALYSIS IN EINER VARIABLE FÜR DAS LEHRAMT, SS 06 95) Fide Sie eie geschlossee Ausdruck für die folgede Fuktioe wobei gelte soll, dass N \ {0} ud x R \ {}): a) fx) = + x + 3x + 4x x. b) fx) = x + x + 3 x x x. 96) Es sei 0 < a. Beweise Sie mit Hilfe des Satzes vo Rolle, dass die Polyomfuktio px) = ax 3 3ax + b mit b R beliebig) im Itervall [ a, a] höchstes eie Nullstelle besitzt. 97) Es seie a,..., a R. Wo immt die Fuktio f : R R, fx) = x a j ) ei j= Miiumum a? 98) Welche Bedigug müsse a, b, c R erfülle, damit f : R R, fx) = ax + bx + c ei lokales Maximum besitzt? 99) Welche Bedigug muss b R erfülle, damit f : R R, fx) = x 3 + bx + 3x + 5 kei lokales Extremum besitzt? 00) Fide Sie die lokale Miima ud Maxima der Fuktio f : [, 7] R, fx) = 7x 5 + x 3 + x x. 0) Bestimme Sie das Rechteck mit maximalem Flächeihalt, das dem Eiheitskreis eigeschriebe werde ka. 0) Bestimme Sie das achseparallele Rechteck mit maximalem Umfag, das der Ellipse = eigeschriebe werde ka. x a + y b Die folgede Beispiele beschäftige sich mit de Hyperbelfuktioe, die für alle x R folgedermaße defiiert werde: sih x = ex e x tah x = sih x cosh x cosh x = ex + e x coth x = tah x für x 0) 03) a) Skizziere Sie die Graphe dieser Fuktioe. b) Beweise Sie cosh x sih x = Diese Relatio erklärt die Name. Welcher Teil der Hyperbel x y = wird durch t cosh t, sih t) parametrisiert?)

13 CHRISTOPH BAXA, ANALYSIS IN EINER VARIABLE FÜR DAS LEHRAMT, SS 06 04) Beweise Sie: a) d sih x = cosh x, was ist d d cosh x? Was ist sih x, was d cosh x? b) d tah x = cosh x = tah x, was ist d coth x? 05) a) Beweise Sie: coshx + y) = cosh x cosh y + sih x sih y b) Fide Sie eie aaloge Formel für sihx + y) 06) Beweise Sie: a) coshx) = cosh x + sih x ud sihx) = sih x cosh x, b) cosh x + sih x) = coshx) + sihx) für alle Z. 07) Beweise Sie a) cosh x = cosh x + b) sih x = cosh x 08) Beweise Sie tahx + y) = tah x + tah y + tah x tah y 09) Defiiere Sie die Umkehrfuktioe zu sih, cosh ud tah, geat Arsih lies: Area sius hyperbolicus), Arcosh ud Artah auf R, [, + ) ud, ), skiziere Sie ihre Graphe ud bereche Sie ihre Ableituge. 0) Beweise Sie: a) Arsih x = logx + x + ) für x R, b) Arcosh x = logx + x ) für x, c) Artah x = +x log x für x, ). ) Überprüfe Sie durch Differeziere auf de drei Itervalle, ),, ) ud, + ), dass x = log + x x. Auf welcher Mege ist die Gleichug = Artah x gültig? x ) Fide Sie die folgede Stammfuktioe: a) x x + b) x x + 4 c) 3 x + x )

14 CHRISTOPH BAXA, ANALYSIS IN EINER VARIABLE FÜR DAS LEHRAMT, SS 06 3) Bereche Sie die folgede Itegrale: a) 0 xx ) 5 b) 0 x + ) 3 x ) 4) Verwede Sie partielle Itegratio, um Rekursiosformel zur Berechug der folgede beide Stammfuktioe herzuleite: a) x sih x b) x cosh x 5) Fide Sie die folgede Stammfuktioe: a) x + 3 b) 4x c) x + x + x + 6) Fide Sie die folgede Stammfuktioe: a) x x + ) 3 b) x /3 x /3 + ) /3 c) + x x 7) Bereche Sie die folgede Itegrale: a) x x + ) 3 b) 0 x x 3 ) 3 c) 8 x 3 + x 4 8) Fide Sie die folgede Stammfuktioe mit Hilfe der Substitutio x = sih t: a) x + b) + x 3 9) Zeige Sie die folgede Formel: a) f x)e fx) = e fx), b) f x) fx) ) = + fx) ) + mit N, c) f x) fx) = log fx) wobei fx) 0. 0) Beweise Sie die folgede Formel ud fide Sie eie aaloge Formel für cos x+cos y: si x + si y = si x + y cos x y für alle x, y R

15 CHRISTOPH BAXA, ANALYSIS IN EINER VARIABLE FÜR DAS LEHRAMT, SS 06 ) Beweise Sie: Für alle x R gilt a) si ) x = cosx) b) cos x = + cosx) ) ) Beweise Sie: Für alle x R gilt a) cos3x) = 4 cos 3 x 3 cos x b) si3x) = 4 si 3 x + 3 si x 3) a) Zeige Sie mit Hilfe des vorletzte Beispiels siπ/4) = cosπ/4) = /. b) Zeige Sie mit Hilfe des voragegagee Beispiels cosπ/6) = 3/ ud folger Sie daraus siπ/6) = /. c) Zeige Sie mit Hilfe vo Teil b), dass cosπ/3) = / ud siπ/3) = 3/. 4) Beweise Sie: tax + y) = ta x + ta y ta x ta y Leite Sie Formel für tax y), tax) ud cotx + y) ab. 5) Beweise Sie: a) Für x gilt arcsi x + arccos x = π/. b) Für alle x R gilt arcta x + arccot x = π/. 6) Suche Sie de Fehler i der folgede Argumetatio: Da d si x = si x cos x = six) = d ) cosx) sid sowohl x si x als auch x cosx) Stammfuktio vo x six), also muss si x = cosx) gelte. 7) Fide Sie Rekursiosformel für die folgede Stammfuktioe wobei N\{0}): a) cos x b) x cos x 8) Fide Sie die folgede Stammfuktioe: a) arcsi x b) arcta x 9) Fide Sie die folgede Stammfuktioe: a) siαx) cosαx) für α 0) b) siαx) cosβx) für α = β ) 30) Bereche Sie die folgede Grezwerte mit Hilfe der Regel vo de l Hospital: cos x a) lim x 0 x log x) x 0 si x e c) lim x e x x 0 ta x e d) lim x +e x x 0 cos x