Die Exponentialfunktion - Herleitung und einige Eigenschaften

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1 Die Expoetialfuktio - Herleitug ud eiige Eigeschafte Klaus-R Löffler Ihaltsverzeichis 0 Die Fuktioalgleichug 0 Die Ableitug 03 Vo der Differetialgleichug zur Fuktioalgleichug 04 Eigeschafte der Eulersche Fuktio 3 05 Eie Berechug vo e 3 06 Näherug der Eulersche Fuktio durch ei Polyom 4 07 Die Irratioalität vo e 5 08 Die Umkehrug der Eulersche Fuktio 5 09 Die Fuktio mit der Gleichug y = x x 6 00 Die hyperbolische Fuktioe 7 0 Die allgemeie expoetielle) Wachstumsfuktio 8 0 Die Fuktioalgleichug Ausgagspukt für die achfolgede Überleguge ist das Wachstum oder der Zerfall als egatives Wachstum) eier Masse, wobei der Zuwachs bzw die durch Zerfall verschwudee Masse) i eiem bestimmte Zeitraum proportioal zur Afagsmasse ist Bezeichet ma also die Masse zum Zeitpukt t mit ft) ud betrachtet ei Zeititervall der Läge h, so gilt ) ft + h) ft) ft) = fh) f0) f0) Zur Vereifachug ka ma die Eiheit für die Masse so wähle, dass die zerfallede bzw wachsede Substaz zum Zeitpukt t = 0 bezüglich dieser Eiheit die Maßzahl hat Es darf also vorausgesetzt werde ) f0) = Durch Eisetze vo f0) = ud Multipliziere vo ) mit ft) f0) ergibt sich 3) ft + h) ft) = fh) ft) ft), also ft + h) = fh) ft) Die Gleichug wird auch als Fuktioalgleichug der Expoetialfuktio bezeichet: 4) fa + b) = fa) fb) a,b R

2 0 Die Ableitug Die Fuktio f wird achfolged als differezierbar vorausgesetzt Ihre Ableitug erhält ma als Grezwert des Differezequotiete ft+h) ft) h a der Stelle 0 Aufgrud der Fuktioalgleichug ud wege f0) = gilt 5) also 6) ft + h) ft) = ft) fh) ft) = fh) f0)) ft), ft + h) ft) h = ft) fh) f0) h We h gege 0 strebt, strebt der like Teil der Gleichug 6) gege die Ableitug vo f a der Stelle t, währed die rechte Seite gege ft) f 0) strebt Daraus folgt, dass a jeder Stelle t R die Ableitug vo f de Wert f 0) ft) hat Die Maßzahl für die Zerfallsgeschwidigkeit hägt vo der gewählte Zeiteiheit ab; diese sei zur Vereifachug u so gewählt, dass zu f 0) die Maßzahl gehört Nachfolged wird also der Spezialfall der Wachstums- bzw Zerfallsfuktio f betrachtet, für welche die folgede Differetialgleichug gilt: 7) f x) = fx) f0) = f 0) = x R Diese Fuktio wird zu Ehre des Mathematikers Leohard Euler als Eulersche Fuktio bezeichet Ihr Fuktioswert a der Stelle wird mit dem Buchstabe e bezeichet A späterer Stelle wird ei Näherugswert für diese Eulersche Zahl e bestimmt 03 Vo der Differetialgleichug zur Fuktioalgleichug I der bisherige Darstellug war der Ausgagspukt für die Utersuchug der Eulersche Fuktio die kokrete Aufgabe des gleichmäßige Wachstums ud seier Beschreibug durch eie a der Stelle 0 differezierbare Fuktio I umgekehrter Richtug wird hier als Startpukt die Differetialgleichug gewählt, aus der da die Fuktioalgleichug erschlosse wird De ist f eie auf R differezierbare Fuktio mit 8) f0) = f = f, so ist ach Kette- ud Produktregel der Differetialrechug auch die für a R defiierte Fuktio h mit x R hx) := fa x) fx) differezierbar Da sich a jeder Stelle x die Ableitug h x) = f a x) ) fx) + fa x) f x) = fa x) fx) + fa x) fx) = 0 ergibt, ist die Fuktio h kostat; ihr Fuktioswert errechet sich als ha) = f0) fa) = fa) Aus dem Ergebis 9) fa x) fx) = fa) a R x R folgt mit a = 0 die Idetität 0) f x) fx) = f0) = ) Die Fuktio hat also keie Nullstelle ud immt somit wege f0) > 0 ur positive Werte a Mit der Substitutio a := y + x ergibt sich aus 9) die Fuktioalgleichug der Eulersche Fuktio: fy) fx) = fy + x)

3 04 Eigeschafte der Eulersche Fuktio Ihaltsverzeichis Die Eulersche Fuktio wird achfolged mit E bezeichet Für jede reelle Zahl x gilt Ex) E x) = E0) =, also Ex) 0 Also hat die Eulersche Fuktio keie Nullstelle, ud da zusamme mit 8) folgt Ex) = E x ) = E x ) 0, sid alle Fuktioswerte positive Zahle: ) Ex) > 0 x R Aus der vorausgesetzte) Differezierbarkeit vo E a der Stelle 0 folgte icht ur die Differezierbarkeit auf gaz R, soder wege E = E auch die Existez der Ableituge beliebig hoher Ordug Aus x R Ex) > 0 E = E = E folgt, dass der Graph der Eulersche Fuktio liksdrehed ist, streg mooto steigt ud gaz oberhalb der x-achse verläuft Aus der Fuktioalgleichug ergibt sich für reelles x ud atürliches durch vollstädige Iduktio mit der Rekursio E + )x) = Ex + x) = Ex) Ex) : ) Ex) = Ex)) x R N Die Gleichug 8) gilt icht ur für atürliche Zahle, soder für alle gaze Zahle, de für = 0 ist sie wege E0x) = E0) = = Ex) 0 erfüllt, ud ist egativ, so hat ma 3) Ex) = Ex) E x) E x) Ud schließlich folgt für p Z, q N 4) = E0) E x) = Ex) = Ex) Ep) = Eq p q ) = Ep q )q, also E p q ) = q Ep) = q E) p = e p q Da die Eulersche Fuktio stetig ist, folgt aus 3), dass für alle reelle Zahle gilt: Ex) = e x Als Folgerug aus der etsprechede Potezregel erhält ma Ex)) y = Ex y), de 5) Ex)) y = e x ) y = e x y = Ex y) 05 Eie Berechug vo e Für jede positive gaze Zahl liefert Mittelwertsatz der Differetialrechug über dem Itervall [ + ; 0], agewedet auf die Eulersche Fuktio, die Existez eier Stelle ξ ] + ; 0[ mit 6) E0) E + ) = E ξ) = Eξ) < E0) =, also E + ) < + + Elemetare Umformug ergibt 7) 8) E + ) > + = e = E) = E ) < + ) +, also E ) > ud somit + + ) + = + ) + Mit = erhält ma daraus als erste grobe Abschätzug ach obe e < 4 Üblicherweise wird ihr Wert a eier Stelle x als e x oder expx) otiert 3

4 Ereute Awedug des Mittelwertsatzes, diesmal über [0; ], liefert die Existez eies ξ ]0; [ mit E ) E0) = E ξ) = Eξ) > E0) =, also E ) > + ud somit e > + 9) ) Mit 4) ud 5) hat ma + ) < e < + ) + 0) N Umforme ergibt ) 0 < e + ) < + ) + + ) = + ) < e < 4 Nach dem Majoratekriterium kovergiert also die Folge + ) ) vo ute gege die Eulersche Zahl 06 Näherug der Eulersche Fuktio durch ei Polyom Wie achfolged gezeigt wird, liefert für N das Polyom p x) := xi eie utere Abschätzug für Ex) mit x R + De aufgrud der Isotoie vo E ud wege E0) = gilt Ex) für jedes positive reelle x, so dass die Aussage Ex) p 0 x) als richtig bestätigt ist Aus der Iduktiosvoraussetzug N, Ex) p x) x R + folgt durch Itegratio über [0; x] u x 0 Et)dt x 0 ti dt, also Ex) E0) x i+ i + )!, mithi Ex) i= x i ud damit Ex) Da p x) das -te Schmiegepolyom 3 der Eulersche Fuktio ist, gibt es ach dem Satz vo Taylor für jedes x R + eie Stelle ξ im Itervall ]0; x[ mit Ex) p x) = fξ) + )! x+ Da für jede reelle Zahl x die Folge x! ) gege 0 kovergiert4, ka ma mit p als Ersatzfuktio jede Wert der Eulersche Fuktio beliebig geau bereche Speziell für x = ergibt sich ) e = ; e < e+ + )! < 4+ + )! ZB mit = 0 ergibt sich mit ), dass die Eulersche Zahl zwische,7 ud,9 liegt Verwedet ma als Folgerug e < 3, zeigt die etsprechede Verschärfug vo ), dass scho weiger Summade für eie gute Approximatio vo e ausreiche A späterer Stelle wird gezeigt, dass mit diesem Polyom als Näherugsfuktio die Werte vo E beliebig geau ausgerechet werde köe 3 Das a der Stelle 0 etwickelte -te Schmiegepolyom eier midestes) -mal bei 0 differezierbare Fuktio g hat die Form g i) 0) x i 4 De für m x hat ma x! = xm m! x m m+)m+) xm m! x m = m x m x) m m! 0 für x i 4

5 07 Die Irratioalität vo e Die Eulersche Zahl ist icht ratioal Zum Nachweis wird die Aahme, es gäbe atürliche Zahle p, q mit e = p q OBdA q ) achfolged zum Widerspruch geführt e = p q = q! e = q q! + i=q+ q! Da sowohl q! e als auch q q! gazzahlig sid, muss dies auch für q! i=q+ gelte Für jede atürliche Zahl i, die größer als q ist, gilt 3 i q q! Das ist für i = q + wege q + )! = q + ) q! 3 q! offesichtlich richtig ud folgt für i > q + da durch vollstädige Iduktio wege Daher ist = i i )! q + ) 3 i q q! 3 i q q! i=q+ q! i=q+ 3 i q = 3 i = i= Damit ist die Aahme, dass die Eulersche Zahl ratioal ist, zum Widerspruch geführt 08 Die Umkehrug der Eulersche Fuktio Als streg isotoe Fuktio ist die Eulersche Fuktio ijektiv ud somit umkehrbar Da die Fuktio ach obe icht beschräkt ist 5, hat sie über der positive x-achse die Wertemege [; [ ud immt wege E x) = Ex) über R als Werte alle positive reelle Zahle a Die Umkehrfuktio liefert a jeder Stelle x als Fuktioswert de sogeate atürliche Logarithmus vo x a I dieser Darstellug wird die Fuktio achfolged mit L bezeichet 6 Folgeruge aus de Eigeschafte der Eulersche Fuktio: ) Argumetmege vo L ist die Mege der positive reelle Zahle, Wertemege ist gaz R ) L ist differezierbar; die Ableitug a der Stelle x R + ist L x) = x, de mit der Ketteregel erhält ma für jedes x R+: ELx)) = x E Lx)) L x) = ELx)) L x) = x L x) = L x) = x 3) Für alle positive Zahle a, b gilt: La b) = La) + Lb), de mit α := La), β = Lb) hat ma La b) = LEα) Eβ)) = LEα + β)) = α + β = La) + Lb) 4) Wege L x) = x ud L) = 0 lasse sich die Werte der Logarithmusfuktio auch für alle x R + erhalte als 3) Lx) = x t dt Der atürliche Logarithmus eier positive Zahl x lässt sich also auch deute als Maßzahl der Fläche, die im Koordiatesystem vo der positive x-achse, dem Graphe der Kehrwertfuktio u ux) = x ), Fuktio L ud de beide vertikale Gerade durch die Pukte A; 0), Bx; 0) beradet wird 5 zb, weil uter ihre Werte alle Glieder der ach obe icht beschräkte Folge e ) vorkomme 6 Übliche Bezeichuge der Fuktio sid log oder l 5

6 Mit dieser Darstellug als Itegral eier eifache isotoe Fuktio ka ma Näherugswerte der Logarithmusfuktio mit weig Aufwad bestimme; für das Itegral eier solche isotoe Fuktio f über eiem Itervall [a; b] gilt ja allgemei b a fa + i b a) ) b a ft) dt b a fa + i= i b a) ), also zb mit a =, b =, fx) = x : +i L) i= +i Nach 5) gilt für a R +, b Q : e b La) = e La) ) b = ELa)) b = a b Als Ableitug der allgemeie Expoetialfuktio f mit fx) = a x mit a R + erhält ma daher wege a x = Ex La)) uter Verwedug der Ketteregel f x) = La) a x 09 Die Fuktio mit der Gleichug y = x x Bei der Frage, wie die Potezdefiitio auf de Ausdruck 0 0 sivoll auszudehe ist, gibt es die Variate 0 0 := 0 bzw 0 0 :=, je achdem, ob ma die Variable x i dem Ausdruck x 0 = ) oder im Ausdruck 0 x = 0) gege 0 strebe lässt I diesem Zusammehag stellt sich die Frage ach Existez ud im Falle der Existez) dem Wert vo lim x 0 x x Die Fuktio f mit fx) = x x = Ex Lx)) hat die Argumetmege R + ud ist - als Ergebis der Verkettug differezierbarer Fuktioe - differezierbar 6

7 Die Ableitug vo f ergibt sich ach Kette- ud Produktregel als 4) f x) = x x Lx) + ) = + Lx)) x x, ist also egativ über ] 0; E-) [ ud positiv über ] E-); [ Nach der L Hospitalsche Regel hat x Lx) = Lx) wege x Lx) lim x 0 = lim x 0 x x x = lim x 0 x = 0 aus der Stetigkeit vo Logarithmus ud Expoetialfuktio 5) lim x 0 xx = lim Ex Lx)) = Elim x Lx)) = E0) = x 0 x 0 00 Die hyperbolische Fuktioe Jede auf gaz R oder eiem zu symmetrische Itervall) defiierte Fuktio f lässt sich auf geau eie Weise als Summe eier ugerade 7 Fuktio g ud eier gerade 8 Fuktio h durh folgede Fuktiosdefiitioe darstelle: 6) gx) = fx) f x), hx) = fx) + f x) Bei der Eulersche Fuktio wird der ugerade Bestadteil als hyperbolischer Sius 9 ud der gerade Bestadteil als hyperbolischer Kosius 0 bezeichet: 7) sihx) = Ex) E x), coshx) = Ex) + E x) Im Gegesatz zu de trigoometrische Fuktioe sid die hyperbolische Fuktioe zwar icht periodisch, habe aber gaz ähliche Differetialgleichuge: si = cos, cos = -si, si0) = 0, cos0) = sih = cosh, cosh = sih, sih0) = 0, cosh0) = 7 Eie Fuktio g heißt ugerade, we für alle Stelle x der Argumetmege g x) = gx) gilt 8 Eie Fuktio h heißt gerade, we für alle Stelle x der Argumetmege h x) = hx) gilt 9 Sius hyperbolicus 0 Cosius hyperbolicus 7

8 0 Die allgemeie expoetielle) Wachstumsfuktio Geht ma bei eier allgemeie Wachstumsfuktio f davo aus, dass die Masse proportioal zur Wachstumsgeschwidigkeit ist - das Wachstum also icht liear, beschräkt oder logistisch ist - ), dass es also eie Kostate k gibt, so dass die Differetialgleichug f = k f gilt, so ka ma wege fx) > 0 f ) x) fx) = k x R durch Itegratio über [; x] folger, dass es eie Kostate c R gibt, welche für alle x R die Gleichug Lfx)) = kx + c, also fx) = Ekx + c) erfüllt Der Wert f0) = Ec)) wird auch als Afagsbestad bezeichet Stad Ei Wachstum heißt logistisch mit der Schrake S, we die Äderugsrate ft + ) ft) bzw f t) icht kostat, soder proportioal zum Produkt aus Bestad ft) ud Sättigugsmako ft) S ft)) ist 8