Anhang A: Die Gamma-Funktion

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1 O. Forster: Zetafuktio ud Riemasche Vermutug Ahag A: Die Gamma-Fuktio A.. Defiitio. Die Gamma-Fuktio ist für eie komplee Variable z mit Rez > durch das Euler-Itegral Γz := t z e t defiiert. Da mit := Rez gilt t z e t = t e t, folgt die Kovergez des Itegrals aus der etsprechede Tatsache im reelle Fall. Ma hat die Abschätzug Γz ΓRez für Rez >. Da das Itegral holomorph vo z abhägt, folgt, dass die Gamma-Fuktio i der Halbebee H = {z C : Rez > } holomorph ist. Wie im reelle Fall beweist ma mit partieller Itegratio die Fuktioalgleichug zγz = Γz +. Da Γ =, ergibt sich daraus Γ + =! für alle N. Durch + -malige Awedug der Fuktioalgleichug erhält ma Γz = Γz + + zz +... z +. I dieser Formel, die zuächst für Rez > hergeleitet wurde, stellt die rechte Seite eie i der Halbebee H = {z C : Rez > } meromorphe Fuktio dar, die Pole. Ordug a de Stelle z = k, k =,,..., hat. Daher ka ma diese Formel beutze, um die Gamma-Fuktio zu eier meromorphe Fuktio i der gaze komplee Ebee C fortzusetze. Diese fortgesetzte Fuktio hat Pole erster Ordug a de Stelle z =, N, ud ist sost überall holomorph. Ab jetzt sei als Gamma-Fuktio immer diese i gaz C meromorphe Fuktio verstade. Die Gamma-Fuktio ka folgedermaße aiomatisch charakterisiert werde: A.. Satz H. Wiela 939. Sei F eie meromorphe Fuktio i C mit folgede Eigeschafte: i F ist holomorph i der Halbebee H = {z C : Rez > }. ii F geügt der Fuktioalgleichug zfz = Fz +. iii F ist beschräkt im Streife {z C : Rez }. Ahag A zuletzt geädert am: 7--7 A.

2 Ahag A: Die Gamma-Fuktio Da ist F bis auf eie multiplaktive Kostate gleich der Gamma-Fuktio: Fz = c Γz, wobei c := F. Beweis. Es ist klar, dass Γ die Eigeschafte i bis iii besitzt. Die Eigeschaft iii folgt daraus, dass Γz ΓRez ud Γ auf dem Itervall als stetige Fuktio beschräkt ist. Wir setze c := F ud F z := Fz c Γz. Da geügt F ebeso de Bediguge i bis iii ud es gilt F =. Aus der Fuktioalgleichug F z = F z + /z folgt, dass F a der Stelle z = holomorph ist ud dass F im Streife S := {z C : Rez } beschräkt ist. Daher ist auch die Fuktio Φz := F zf z i S beschräkt. Es gilt Φz + = F z + F z = zf zf z = F zf z + = Φz. Daraus ergibt sich, dass Φ periodisch mit Periode ud i gaz C beschräkt ist. Nach dem Satz vo Liouville ist daher Φ kostat. Da Φ = Φ, muss die Kostate gleich sei. Aus der Gleichug = F zf z folgt u, dass auch F idetisch verschwidet, d.h. Fz = c Γz, q.e.d. A.3. Satz. a Für z C { Z : } gilt! z Γz = lim zz +... z + Dies ist die Gaußsche Darstellug der Gamma-Fuktio. b /Γ ist eie gaze holomorphe Fuktio mit der Weierstraßsche Produkt-Darstellug Γz = eγz z + z = e z/, γ = Euler-Mascheroische Kostate. Das Produkt kovergiert ormal i C. Beweis. Wir beweise a ud b simulta i mehrere Schritte. Sei Ez := ze z. Da gilt, wie ma aus der Potezreihe-Etwicklug sieht, Ez z + z + z +..., A.

3 O. Forster: Zetafuktio ud Riemasche Vermutug also Ez z für z. Daraus folgt + z e z/ = + f z mit f z z für z. Deshalb kovergiert das uedliche Produkt Gz := e γz z + z e z/ = ormal i gaz C gege eie holomorphe Fuktio mit Nullstelle a de Stelle z = Z,. Wir setze Damit gilt! z F z := zz +... z + G z := e γz z + z e z/k. k k= F zg z = z e γz k= ud { e z/k = ep z log + γ k= }. k Daraus folgt ach Defiitio der Euler-Mascheroische Kostate lim F zg z = ep =. Da ach für alle z U := C { Z : } gilt Gz = lim G z, eistiert für alle z U auch der Limes Fz := lim F z mit Fz = Gz. 3 Es bleibt och zu beweise, dass Fz = Γz. Dies zeige wir mittels Satz A.. Bedigug i ist erfüllt, da Gz i der Halbebee H holomorph ud ugleich ist. Zur Fuktioalgleichug ii: Wege gilt F z + =! z+ z +... z + z + + F z + F z = z F z +, also lim = z. z + + F z A.3

4 Ahag A: Die Gamma-Fuktio Dies zeigt Fz + = zfz. Zu iii. Für := Rez gilt F z! = F, also ach Grezübergag Fz F. Da aber F = im Itervall G stetig, also beschräkt ist, ist auch Fz im Streife Rez beschräkt. Nach Satz A. gilt also Fz = cγz mit eier Kostate c. Diese Kostate ist gleich F = lim F = lim! +! = lim + =, q.e.d. A.4. Lemma. Sei f : C C eie gaze holomorphe Fuktio. Es gebe positive reelle Kostate K, α ud r, so dass Re fz K z α für alle z C mit z r. Da ist f ei Polyom vom Grad α. Beweis. Sei fz = = c z die Taylor-Etwicklug vo f. Da gilt für z = re it Re fre it = Rec + Daraus folgt für alle r > c r e it + c r e it. = Re f = Rec = π Re fre it, π sowie für alle gaze Zahle c = π Re fre it e it. πr Da π e it =, folgt weiter c = π Kr α Re fre it e it. πr Für r r ist ach Voraussetzug Kr α Re fre it, also Kr α Re fre it = Kr α Re fre it. A.4

5 O. Forster: Zetafuktio ud Riemasche Vermutug Daraus ergibt sich die Abschätzug c π Kr α Re fre it = πr r Krα Ref. Lässt ma r gege gehe, erhält ma c = für alle > α, also ist f ei Polyom vom Grad α. A.5. Satz. Für die Gamma-Fuktio gelte folgede Formel: a Ergäzugssatz vo Euler: ΓzΓ z = siπz. π b Verdoppelugsformel vo Legedre: z z + Γ Γ = z π Γz. Bemerkug. Als Spezialfall vo a ergibt sich mit z = die bekate Formel Γ = π. Beweis a Da Γz für Rez beschräkt ist, sid die Fuktioe Γ+z ud Γ z für Rez beschräkt. Daraus folgt, dass die Fuktio Φz := ΓzΓ z = Γ + zγ z z z i S := {z C : Rez, Imz } beschräkt ist. Die Fuktio Φ hat Pole. Ordug i de Pukte z =, Z ud ist sost überall holomorph. Es gilt Φz + = Φz ud Φ z = Φz. Da siπz Nullstelle der Ordug a de Stelle z =, Z, hat, ist das Produkt Fz := siπzφz = siπzγzγ z auf gaz C holomorph ud überall. Außerdem ist F periodisch mit Periode ud eie gerade Fuktio, d.h. Fz = F z. Schreibt ma F i der Form Fz = siπz z Γ + zγ z, A.5

6 Ahag A: Die Gamma-Fuktio sieht ma F = π. Aus der Beschräktheit vo Φ auf S erhält ma mit eier Kostate K > eie Abschätzug Fz Ke π z für alle z S. Da F stetig ud periodisch ist, gilt eie solche Abschätzug auf gaz C. Weil F irgeds verschwidet, gibt es eie gaze holomorphe Fuktio g mit Fz = e gz für alle z C. Aus der Abschätzug für Fz ergibt sich wege log Fz = Re gz, dass Re gz K z für alle z r. mit geeigete Kostate K, r >. Aus Lemma A.4 folgt u Fz = e a+bz, a, b C. Da F eie gerade Fuktio ist, muss b = sei. Also ist F eie Kostate, d.h. Fz = F = π für alle z C. Damit ist Teil a bewiese. b Dies zeigt ma durch Awedug vo Satz A. auf die Fuktio z Fz := z Γ Γ z +. Es ist klar, dass Fz i der Halbebee Rez > holomorph ud im Streife Rez beschräkt ist. Ma berechet z + z z + z z Fz + = z+ Γ Γ + = z+ Γ Γ = zfz. Also gilt ach Satz A. Fz = cγz mit c = F = Γ = π. Daraus folgt die Behauptug. A.6. Corollar Produkt-Darstellug des Sius. siπz = πz z. = Beweis. Aus Satz A.3b folgt Γ z = zγ z = e γz z e z/. = Multipliziert ma dies mit der Produkt-Darstellug vo /Γz, ergibt sich mit Satz A.5a die Behauptug. A.6

7 O. Forster: Zetafuktio ud Riemasche Vermutug A.7. Corollar. a Wallissche Produktformel: π = +. = b Für gilt die asymptotische Beziehug. π Bemerkug. I b ist =! der mittlere Biomial-Koeffiziet i der Formel! + = k= k =. Die Zahl lässt sich iterpretiere als die Wahrscheilichkeit, dass beim - malige Müzwurf als Ergebis geau -mal Zahl ud geau -mal Wappe erscheit. Beweis. a Aus dem Sius-Produkt Corollar A.6 erhält ma mit z = = π = π 4 = Daraus folgt die Behauptug. b Die Wallissche Formel besagt π = lim k= = k k k + +. = lim +! Durch Wurzelziehe erhält ma π = lim +! Da k =!, folgt weiter! k= π = lim +!! Daraus ergibt sich die Behauptug. = lim. A.7

8 Ahag A: Die Gamma-Fuktio A.8. Satz Stirligsche Formel. Für hat ma die asymptotische Beziehug! π e Beweis. Wir wede die Euler-Maclaurische Summeformel f = f + f + fd + k= auf die Fuktio f = log a ud erhalte log! = log k = log + log d + k= = log + log + + sawf d saw Durch Awedug der Epoetialfuktio wird daraus! = e α, e saw d. d wobei α = + saw d = + B + B d. Die letzte Darstellug zeigt, dass der Limes α := lim α = + saw eistiert. Wir habe also die asymptotische Beziehug! e α. e Es bleibt zu zeige, dass e α = π. Dies sieht ma wie folgt: Divisio der asymptotische Beziehuge d! e e α ud e! α e ergibt e α. Nu folgt mit Corollar A.7c, dass e α = π, q.e.d. A.8

9 O. Forster: Zetafuktio ud Riemasche Vermutug Für spätere Gebrauch merke wir och a, dass wir hiermit bewiese habe: + saw d = log π. Aus der klassische Stirligsche Formel lässt sich u ihre Verallgemeierug für die Gamma-Fuktio ableite. A.9. Satz Asymptotische Etwicklug der Gamma-Fuktio. Für jede gaze Zahl r ad alle z C { R : } gilt log Γz = z log z z + log π + B r t r z + t r. r k= B k k k z k Hier sid log Γz ud log z diejeige Zweige des Logarithmus, die für positive reelle Argumete reelle Werte habe. Beispiel. Für r = 5 lautet die Summe 5 k= B k k k z = k z 36z + 3 6z 5 68z z 9. Beweis. Wir gehe aus vo der Gaußsche Darstellug der Gamma-Fuktio Satz A.3.a ud erhalte log Γz = lim z log + log k k= k= Nach der Euler-Maclaurische Summeformel gilt log k = log + log t + k= = log + log + + logz + k. sawt t sawt t ud logz + k = log z + logz + + logz + t + k= = sawt z + t log z + logz + + z + logz + z log z sawt + z + t. A.9

10 Ahag A: Die Gamma-Fuktio Daraus folgt Da ud erhalte wir z log + log k k= logz + k k= = z log z z + + log + z + sawt sawt + t z + t. lim z + + log + z = z lim + sawt = log π, siehe, t log Γz = z log z z + log π sawt z + t. Die Behauptug des Satzes ergibt sich u durch mehrmalige partielle Itegratio vo sawt = lim z + t sawt z + t wie beim Beweis der allgemeie Euler-Maclaurische Summatios-Formel uter Verwedug vo d k z + t = k! k z + t k+. Die Ausführug sei dem Leser überlasse. Bei der Utersuchug der Nullstelle der Zetafuktio im kritische Streife beötigt ma das Verhalte vo log Γz für Imz. Dazu ist der folgede Satz ützlich. A.. Satz. Das Restglied aus Satz A.9 geügt für r ud y := Imz > der Abschätzug B r t r z + t r B r π r y r. Beweis. O.B.d.A. sei Imz >, also z = + iy mit, y R, y >. Es geügt zu zeige, dass π z + t r y r. A.

11 O. Forster: Zetafuktio ud Riemasche Vermutug Dies sieht ma so: also z + t r = + t + iy r = + t + y r, z + t r = + t + y = r y r y r t + y r + t/y = r y r + t = π y r, q.e.d. + t r A.