7 Brownsche Bewegung (Version Januar 2012)

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1 7 Browsche Bewegug (Versio Jauar 0) Wir führe zuerst die Defiitio eier Browsche Bewegug ei ud zeige da, dass ei solcher Prozess eistiert. Daach beweise wir eie Reihe vo Eigeschafte der Browsche Bewegug, wie das Gesetz vom iterierte Logarithmus ud die Nichtdifferezierbarkeit der Pfade der Browsche Bewegug. 7. Defiitio ud grudlegede Eigeschafte Wir erier zuächst dara, dass ei reellwertiger Prozess (X i ) i I Gaußprozess heisst, we für jedes m N ud i,..., i m I der Vektor (X i,..., X im ) ormalverteilt ist. Defiitio 7.. Ei reellwertiger stochastischer Prozess (W t ) t 0 auf eiem Wahrscheilichkeitsraum (Ω, F, P) heißt Wieerprozess oder Browsche Bewegug, we die beide folgede Eigeschafte gelte: (i) W ist ei Gaußprozess mit EW t = 0 ud cov(w s, W t ) = s t für alle s, t 0, (ii) t W t (ω) ist stetig für fast alle ω Ω (d.h. W hat stetige Pfade). Bemerkug 7.. Aus de Tatsache, dass EW 0 = 0 ud cov(w 0, W 0 ) = 0 folgt W 0 = 0 fast sicher. Wir zeige die Eistez eies solche Prozesses mit dem Satz vo Dosker (eie adere Möglichkeit ist die im Skript vo Bolthause: Wahrscheilichkeitstheorie Frühjahr 09 ausgeführte Lévy-Ciesielski Kostruktio). Sei wie im letzte Kapitel (C, B C, µ) der Wieerraum, das heißt, B C ist die Borel-σ-Algebra auf C = C[0, ] ud µ das Wieermaß auf (C, B C ). Seie W (), W (),... uabhägige (C, B C )- wertige Zufallsvariable mit Verteilug µ auf eiem Wahrscheilichkeitsraum (Ω, F, P). Wir defiiere W t (ω) := W (k) (ω) + W () t ( ) (ω), falls t <, N. k= Propositio 7.3. Der soebe defiierte Prozess W ist ei Wieerprozess. Beweis. W hat ach Kostruktio stetige Pfade ud ist ei Gaußprozess. Offebar gilt EW t = 0 für alle t 0. Weiter gilt für 0 s t mit m s < m, t < : (( m )( cov(w s, W t ) = E k= W (k) + W (m) )) s (m ) j= W (j) + W () t ( ) = m + (s (m )) = s = s t.

2 Bemerkug 7.4. Ma ka sich frage, ob Eigeschaft (ii) i Defiitio 7. icht automatisch aus (i) folgt. Dass dem icht so ist, zeigt das folgede Argumet. We (W t ) t 0 ei Wieerprozess auf dem Raum (Ω, F, P) ist (also isbesodere stetige Pfade hat), ud X eie vo W uabhägige auf [0, ] gleichverteilte Zufallsgröße, da erfüllt W t (ω) := W t (ω) + X(ω)+Q (t) Eigeschaft (i) vo Defiitio 7., aber W hat icht ur keie stetige Pfade, soder mit Wahrscheilichkeit sid sogar alle Pfade i jedem Pukt ustetig. Propositio 7.5. Ei Wieerprozess (W t ) t 0 hat uabhägige Zuwächse, das heißt für jedes m N ud 0 t 0 < t <... < t m sid die Zufallsgröße W t W t0,..., W tm W tm uabhägig. Beweis. Der Vektor W t W t0,..., W tm W tm ist ormalverteilt mit Erwartugswert 0 ud cov(w ti W ti, W tj W tj ) = δ ij (t i t i ). Da bei eiem ormalverteilte Vektor die Kompoete uabhägig sid geau da we sie ukorreliert sid, folgt die Behauptug. Bemerkug 7.6. Es gilt auch eie Art (eifach zu zeigede) Umkehrug vo Propositio 7.5: Ist (W t ) t 0 ei reeller Prozess mit stetige Pfade ud uabhägige Zuwächse ud ist für jedes 0 s < t < W t W s ormalverteilt mit Erwartugswert Null ud Variaz t s, da ist W ei Wieerprozess. Wir formuliere u wichtige Ivariazeigeschafte des Wieerprozesses. Propositio 7.7. Sei (W t ) t 0 ei Wieerprozess ud seie c, s > 0. Da sid die Prozesse (i) W () t (ω) := W t (ω), t 0, (ii) W () t (ω) := c W c t(ω), t 0, (iii) W (3) t W/t (ω), t > 0 t (ω) := 0, t = 0 (iv) W (4) t (ω) := W t+s (ω) W s (ω), t 0 ebefalls Wieerprozesse. Beweis. Offesichtlich sid alle W (i) Gaußprozesse. Ma rechet leicht ach, dass sie zetriert sid ud dieselbe Kovariazfuktio wie ei Wieerprozess habe. Weiter habe W (), W () ud W (4) offesichtlich fast sicher stetige Pfade. Ma überzeugt sich sehr leicht davo, dass dies auch für W (3) so ist (da W (3) auf (0, ) stetig ist ud W (3) (0) = 0 ist).

3 7. Das Gesetz vom iterierte Logarithmus Wir formuliere ud beweise u das Gesetz vom iterierte Logarithmus für die Browsche Bewegug. Dazu beötige wir och ei Lemma, welches auch sost sehr ützlich ist. Lemma 7.8. Es gelte folgede Abschätzuge: a) b) c) Beweis. a) y ep dy y ep dy y ep dy π y ep dy ep für > 0, ep für, ep für 0. y y ep dy ep. b) ( Für > ) 0 gilt e 3 = ( ) 3 ep y dy y ep dy, y 4 woraus mit Teil a) die Behauptug folgt. c) Es gilt für 0 d ( e d ep y dy ) ( = e e + ep y dy ) 0, wobei das letzte aus Teil a) folgt. Da die Ugleichug i c) offesichtlich für = 0 gilt, folgt die Behauptug. Satz 7.9. (Gesetz vom iterierte Logarithmus) Sei (W t ) t 0 ei Wieerprozess. Da gilt lim sup t W t t log log t = f.s.. Beweis. (ach Durrett: Probability: Theory ad Eamples) Wir zeige zuerst, dass die like Seite kleier oder gleich der rechte ist. Sei zuächst g : [0, ) (0, ) mooto ichtfalled ud 0 t 0 t... mit lim t =. We P ma W s g(t ) <, (7.) t st + =0 3

4 da impliziert das erste Borel-Catelli Lemma lim sup t W t /g(t) fast sicher. Setze u für α > t = α ud g(t) := α t log log t für hireiched große t. Da gilt für hireiched groß P ma W s g(t ) P t st + ma 0st + W s g(t ) t+ t+ = P ma W s g(t ) = e 0s t+ g(t d )/ t + π t+ π g(t ) ep g(t ) = α + t + π α + log(log α ) ep α+ log(log α ) α + = πα log(log α ) ep α(log + log log α) c α α, wobei wir Teil a) des obige Lemmas beutzte. Wege α > kovergiert also die Reihe (7.). Da α > beliebig war, folgt somit lim sup t W t t log log t f.s.. Nu zeige wir die adere Richtug. Wir wähle wieder t = α mit α >, lasse später aber α gehe. Wähle ( α ) g(t) := t log(log t), α wobei t hireiched groß ist (damit g strikt positiv ist). Es folgt uter Beutzug vo Teil b) vo Lemma 7.8 ud mit β := α α PW t+ W t g(t + ) = P W t + W t t+ t g(t +) t+ t α (α ) π g(α + ) = ep α + β log(log α + ) α (α ) πβ log( + ) + log log α ( + ) β e β log log α. Die Summe über divergiert ud daher folgt aus dem zweite Borel-Catelli Lemma wege der Uabhägigkeit der Zuwächse vo W, dass fast sicher für uedlich viele gilt: W t+ W t t + β log log t +. Aus derm erste Teil des Beweises wisse wir (wege der Symmetrie der Verteilug vo W ), dass W lim sup t t log log t 4

5 fast sicher. Also eistiert für fast alle ω zu jedem ε > 0 ei 0 (ε, ω), so das W t t log log t ( + ε) t + α log log t +( + ε) für alle 0 (ε, ω) gilt, also - mit der Abkürzug γ := t log log t : W t+ γ + = W t + W t γ + + W t γ + β + ε α für uedlich viele. Da α > beliebig war, folgt (mit α ) lim sup t W t t log log t fast sicher, womit der Beweis vollstädig ist. Ohe Beweis formuliere wir och das bemerkeswerte allgemeiere Strasse sche Gesetz vom iterierte Logarithmus Satz 7.0. Sei (W t ), t 0 ei Wieerprozess ud für t 3 Y t die durch Y t (s) := W st t log log t, s [0, ] defiierte C-wertige Zufallsgröße. Da ist fast sicher die Mege aller Häufugspukte i C vo Y t gleich H := f C : f(0) = 0, f abs. stetig ud 0 (f (t)) dt. 7.3 Nichtdifferezierbarkeit der Pfade der Browsche Bewegug Wir zeige u die Nichtdifferezierbarkeit der Pfade der Browsche Bewegug. Satz 7.. Für fast alle ω Ω ist die Abbildug t W t (ω) i keiem Pukt t 0 differezierbar. Beweis. Wir folge dem Beweis i Breima: Probability, der sich wiederum auf eie Arbeit vo Dvoretski, Erdös ud Kakutai stützt. Offesichtlich geügt es, die Aussage für alle t [0, ] zu zeige. Wir fiiere β > 0. Ist f C[0, ] a der Stelle s [0, ] differezierbar mit Ableitug f (s), die f (s) < β erfüllt, da eistiert ei 0, so dass für alle 0 ud alle t [0, ] mit t s / folgt, dass f(t) f(s) β t s. Für N sei A = f C[0, ] : s mit f(t) f(s) β t s für alle t mit t s. 5

6 Da gilt A A f C[0, ] : s mit f diff.bar i s ud f (s) < β. Für f C[0, ] ud k,..., sei ( f k + ) ( k + ) (, f k + ) ( k ) (, f k y k (f) := ma f f f ) Für f A gilt y k (f) 3β für midestes ei k,...,. Also folgt für ( k ). B := f : k,..., so dass y k (f) 3β, dass A B. Es geügt daher, für de Wieerprozess lim PW [0,] B = 0 zu zeige (für jedes β > 0). Nu gilt PW [0,] B = P ( k= y k (W ) 3β ) ( W k + ) ( k + ) (, W k + ) ( k ) (, W k ( k ) P ma W W W ) 3β k= ( W 3 ( ) (, W ( ) (, W P ma W W ) ) ) 3β ( W ( ) = P 3β ) 3 ( = P W () 3β ) 3 ( 6β ) 3 0. π Damit ist die Aussage gezeigt. 7.4 Stetigkeitssatz vo Kolmogorov ud Hölderstetigkeit der Pfade Wir formuliere ud beweise zuächst de Stetigkeitssatz vo Kolmogorov, der i der Wahrscheilichkeitstheorie vielfache Awedug fidet. Mit diesem Satz ka ma icht ur die Eistez eier stetige Modifikatio der Browsche Bewegug zeige, soder sogar die Hölderstetigkeit der Pfade. Im folgede sei für R := i ud := ma i : i =,...,. i= Defiitio 7.. Seie I eie Idemege, (E, E) ei Messraum ud (Z i ) i I ud (Ẑi) i I E- wertige Prozesse auf eiem Wahrscheilichkeitsraum (Ω, F, P). We für jedes i I gilt, dass PZ i = Ẑi =, da heisst Ẑ eie Modifikatio vo Z. Sid zusätzlich auf I ud E Metrike gegebe (ud ist E die zugehörige Borel-σ-Algebra auf E) ud ist die Abbildug i Ẑi(ω) stetig für (fast) alle ω Ω, da heisst Ẑ stetige Modifikatio vo Z. 6

7 Satz 7.3. (Stetigkeitssatz vo Kolmogorov) Sei (S, d) ei polischer Raum mit vollstädiger Metrik d ud Z t, t [0, ] ei S-wertiger Prozess. We a, b, c > 0 eistiere, so dass für alle, y [0, ] E ( (d(z, Z y )) a) c y +b gilt, da hat Z eie stetige Modifikatio Ẑ. Weiter eistiert für jedes κ (0, b/a) eie reelle Zufallsvariable Y mit E(Y a ) caκ b ud aκ b sup d(ẑ(ω), Ẑy(ω)) :, y [0, ], y r für jedes r [0, ]. Isbesodere gilt für alle u > 0 P sup d(ẑ, Ẑy) u,y [0,] κ Y (ω)rκ (7.) ( ) a c aκ b κ aκ b u a. (7.3) Beweis. Die Aussage (7.3) folgt mit der Markovugleichug sofort aus (7.) mit r = ud der Mometeabschätzug für Y. Für m N sei D m := (k,..., k ) m ; k,... k,..., m ξ m (ω) := mad(z (ω), Z y (ω)) :, y D m, y = m. Die ξ m, m N sid messbar, da (S, d) separabel ist. Weiter gilt Daher gilt für κ (0, b a ), ( ) E ( κm ξ m ) a = m=, y D m : y = m m. κma E(ξm) a m= ( ) κma E (d(z (ω), Z y (ω)) a (,y) Dm, y = m κma m c m(+b) = c m(b aκ) = caκ b <. aκ b m= m= m= Daher eistiert eie Mege Ω 0 F, P(Ω 0 ) = so dass Y (ω) := sup κm ξ m (ω) < für alle ω Ω 0. m Weiter gilt ( ) E(Y a ) E ( κm ξ m ) a m= caκ b aκ b. 7

8 Seie, y D so gewählt dass y r < k, wobei k N 0. Da gibt es eie Folge i m=k+ = =,..., l = y D m so dass für alle i =,..., l ei (i) k + eistiert, so dass i, i+ D (i), i i+ = (i) ud i,..., l : (i) = M für alle M k +. gilt. Für ω Ω 0 ud 0 < r < mit k r < k gilt supd(z (ω), Z y (ω));, y m=k+ ξ m (ω) Y (ω) m= m=k+ D m, y r κm = κ(k+) Y (ω) κ Y κ (ω)rκ. Also ist für jedes ω Ω 0 die Abbildug Z (ω) vo D := m=d m ach S gleichmäßig stetig. Da D dicht i [0, ] liegt ud (S, d) vollstädig ist, lässt sich für jedes ω Ω 0 die Abbildug eideutig zu eier stetige Abbildug Ẑ auf [0, ] fortsetze. Auf Ω c 0 wähle wir eifach Ẑ als eie beliebige Kostate. Es bleibt zu zeige, dass Ẑ eie Modifikatio vo Z ist. Sei [0, ]. Da eistiert eie Folge,,... i D, die gege kovergiert. Da Ẑ i = Z i fast sicher ud lim i Ẑ i = Ẑ gaz sicher (wege Stetigkeit) ud lim i Z i = Z i Wahrscheilichkeit (ach Voraussetzug), folgt Ẑ = Z fast sicher, das heißt, Ẑ ist eie Modifikatio vo Z. Korollar 7.4. Für jedes α (0, ) sid fast alle Pfade des Wieerprozesses Hölderstetig zum Epoet α, das heißt, für jedes T > 0 eistiert eie reelle Zufallsgröße V T, so dass W t W s V T t s α für alle 0 s, t T gilt. Beweis. Wege der Skalierugseigeschaft des Wieerprozesses köe wir T = aehme. Wir überprüfe die Voraussetzuge des Kolmogorovsche Stetigkeitssatzes 7.3 mit E = R, = ud Z = W : es gilt für beliebiges a > 0 ud 0 s t E( W t W s a ) = t s a/ E( W a ). Da für eie ormalverteilte Zufallsgröße alle Momete edlich sid, sid für jedes a > die Voraussetzuge des Stetigkeitssatzes mit b := a ud c := E( W a ) erfüllt. Dabei ist b/a =, das heißt, für jedes κ (0, /) fide wir ei hireiched großes a, so dass a κ < b/a ist. Somit folgt die Aussage des Korollars aus (7.). 8