Computer-Graphik II Verallgemeinerte Baryzentrische Koordinaten
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- Hilko Baum
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1 4/22/10 lausthal omputer-raphik II Verallgemeierte Baryzetrische Koordiate. Zachma lausthal Uiversity, ermay Verallgemeieruge der baryzetr. Koord. 1. Was macht ma im 2D bei (kovexe) Polygo mit k > 3 Ecke? 2. Aalog: was macht ma im D bei k > +1 Ecke 3. Was macht ma bei icht kovexe ebiete? 4. Was macht ma, falls das ebiet icht durch Polygozug (stückweise lieare Kurve) beschräkt ist, soder durch eie glatte, geschlossee (kovexe) Kurve?. Zachma omputer-raphik 2 SS 10 Verallgemeierte baryzetrische Koordiate 2 1
2 Literatur Siehe die Papers auf der Vorlesugs-Homepage! Uter "Olie-Literatur". Zachma omputer-raphik 2 SS 10 Verallgemeierte baryzetrische Koordiate 3 Verallg. baryzetrische Koord. für k>3 im 2D Defiitio: Sei Ω ei kovexes Polygo im R 2, gegebe durch Pukte P 1,..., P, 3, i W Aordug ( couter-clockwise ). Eie Mege vo Fuktioe λ i : Ω R heißt baryzetrische Koordiate, we für alle Ω folgede Bediguge gelte: 1. Teilug der Eis (partitio of uity): λ i( )=1 2. Lieare Präzisio (liear precisio): λ i( )P i = 3. Kovexe Kombiatio: i =1... : λ i ( ) 0. Zachma omputer-raphik 2 SS 10 Verallgemeierte baryzetrische Koordiate 4 2
3 Weitere wüscheswerte Eigeschafte: Schöes Verhalte außerhalb vo lattheit: λ soll aus i sei Affie Ivariaz Ω. Zachma omputer-raphik 2 SS 10 Verallgemeierte baryzetrische Koordiate 5 Iterpolatioseigeschaft Satz: Solche verallgemeierte baryzetrische Koordiate habe die Iterpolatioseigeschaft. D.h.: seie i de P i Datewerte f i gegebe, so ist die Fuktio f ( )= λ i ( ) f i tatsächlich iterpoliered (ud icht etwa approximiered), d.h. i : f (P i )=f i. Zachma omputer-raphik 2 SS 10 Verallgemeierte baryzetrische Koordiate 6 3
4 Beweis Zu zeige ist: λ i (P j )=δ ij (Kroecker Delta) 1. Wege Eigeschafte 1 & 2 ka ma alle lieare Fuktioe reproduziere. De: Sei f(p) solch eie lieare Fuktio. Da ist: f (P) =ap x + bp y + c Eig. 2 (li. prec.) Eig. 1 (Teilug der Eis) = a λ i (P)P i,x + b λ i (P)P i,y + c λ i (P) = λ i (P)[aP i,x + bp i,y + c] = λ i (P)f (P i ). Zachma omputer-raphik 2 SS 10 Verallgemeierte baryzetrische Koordiate 7 2. Defiiere Ebee l(p) so, daß l(p 1 )=0 i 2: l(p i ) > 0 Das geht, da Ω ei kovexes Polygo. 3. Aus (1.) folgt l(p) = λ i (P) l(p i )= λ i (P) l(p i ) i=2 l(p 1 ) = 0 P 1 l(p) l wurde speziell gewählt, so daß l(p i ) > 0 0=l(P 1 )= λ i (P 1 )l(p i ) i 2: λ i (P 1 )=0 i=2 4. Wege Eigeschaft (1) ist 1= λ i (P 1 )=λ 1 (P 1 ) (3.). Zachma omputer-raphik 2 SS 10 Verallgemeierte baryzetrische Koordiate 8 4
5 Triviale Lösuge Triaguliere das Polygo (irgedwie) Bestimme baryzetrische Koordiate bzgl. des Dreiecks, i dem liegt Probleme: Die Triagulierug ist icht eideutig - Diese verallgemeierte baryzetrische Koordiate sid icht eideutig Die baryzetrische Koordiate sid ur 0 -stetig Fortsetzug für Pukte außerhalb des Polygos ist icht klar. Zachma omputer-raphik 2 SS 10 Verallgemeierte baryzetrische Koordiate 9 Kostruktio verallg. baryzetr. Koordiate Ziel: baryzetrische Koord. für beliebige, kovexe Polygoe i 2D Beobachtug: wege λi =1 gilt λi P i = λ i (P i )=0 Hat ma Fuktioe w i = w i (), für die wi (P i ) = 0 (1) gilt, so ka ma daraus leicht echte baryzetrische Koordiate mache, idem ma setzt ud i : w i 0 (2) λ i = w i P w i Suche also im Folgede w i, die die Bediguge (1) & (2) erfülle.. Zachma omputer-raphik 2 SS 10 Verallgemeierte baryzetrische Koordiate 10 5
6 4/22/10 Notatio Pi+1 Flächeihalte: := Pi Ai := Ai ( ) = ri+1 ri 1 2 si αi ri ri +1 = F Pi Pi +1 Bi := Bi ( ) = 1 ri 1 ri +1 si(αi 1 + αi ) 2 = F Pi +1 Pi 1 := i ( ) = F Pi 1 Pi Pi +1 = Ai + Ai 1 + Bi ud somit. Zachma P+1 = P1, Ai-1 ri-1 Pi-1 Pi+1 i Bi Pi+1 Idizes: im Folgede sid alle Idizes "modulo " gemeit, d.h. αi-1 Bi Pi α i-1 i Pi ri αi+ - Achtug: setze Vorzeiche vo Bi egativ, falls außerhalb Pi 1 Pi Pi +1 Ai αi Pi Pi-1 Pi := Pi mod P 1 = P 1 omputer-raphik 2 SS 10 Pi-1 Verallgemeierte baryzetrische Koordiate 11 Erierug: Im Dreieck sid Ai /i, Bi /i, Ai-1/i baryzetrische Koordiate, d.h. Ai Bi Ai 1 (Pi 1 ) + (Pi ) + (Pi +1 ) = 0 i i i Ai Pi Pi+1 Ai-1 Bi Pi-1 Also: Ai (Pi 1 ) + Bi (Pi ) + Ai 1 (Pi +1 ) = 0 Homogee baryzetrische Koordiate. Zachma omputer-raphik 2 SS 10 Verallgemeierte baryzetrische Koordiate 12 6
7 wi 4/22/10 Betrachte jetzt der Reihe ach alle Dreiecke P i 1 P i P i+1 Asatz: bilde ei gewichtetes Mittel der (homogee) baryzetrische Koordiate bzgl. jedes dieser Dreiecke: w i := w i ( )=σ i 1 A i 2 + σ i B i + σ i+1 A i+1 wobei die σ i := σ( ) beliebige Fuktioe sei dürfe (zuächst). Jeder Vertex ist also a 3 baryzetrische Koordiate "beteiligt" A i-2 B i A i+1 P i. Zachma omputer-raphik 2 SS 10 Verallgemeierte baryzetrische Koordiate 13 Behauptug 1: Diese w i = σ i 1 A i 2 + σ i B i + σ i+1 A i+1 erfülle die Bedigug (1) aus der Defiitio für baryzetrische Koordiate A i+1 A i-2 B i Beweis: w i (P i )= =0 σ i Ai (P i 1 )+B i (P i )+A i 1 (P i+1 ) P i. Zachma omputer-raphik 2 SS 10 Verallgemeierte baryzetrische Koordiate 14 7
8 Behauptug 2: Falls das Polygo kovex ist ud i : σ i ( ) > 0 da ist wi ( ) > 0 für alle aus dem Iere des Polygos. Beweis: w i ( )= σ i ( ) i > 0, da i : i > 0 Achtug: σ i > 0 alleie garatiert och icht w i > 0! Kovexität des Polygos ist ötig.... Zachma omputer-raphik 2 SS 10 Verallgemeierte baryzetrische Koordiate 15 Bemerkug: damit klappt da auch die Normierug vo w i auf. λ i Erierug: w i > 0 beötigt ma für Bedigug (2) aus der Defiitio Ziel: suche u ach geeigete σ i, so daß w i > 0 ud σ i > 0. Zachma omputer-raphik 2 SS 10 Verallgemeierte baryzetrische Koordiate 16 8
9 Eiige Kadidate Naiver Asatz: wähle σ i = 1 i P i+1 Damit wäre Leider ist wi ( ) w i ( ) > 0 icht garatiert Folge: die Iterpolatioseigeschaft gilt icht i P i P i-1 Wachspress-Koordiate: wähle Damit ist w i := 1 σ i ( )= A i 1 A i F P i 1 P i P i+1 F P i 1 P i F Pi P i+1 Nachteil: sie verhalte sich i eiem icht-kovexe Polygo uschö, da wi ( )=0 werde ka, d.h. die habe dort eie Polstelle λ i. Zachma omputer-raphik 2 SS 10 Verallgemeierte baryzetrische Koordiate 17 Der beste Kadidat (zur Zeit) [ca. 2000] Mea Value oordiates (MVs): P i+1 Wähle Damit ist r i σ i = A i 1 A i w i ( )= r i 1A i + r i B i + r i+1 A i 1 A i 1 A i A i r i A i-1 P i P i-1 Mit eiige trigoometrische Umformuge: P i+1 w i = ta (α i 1/2) + ta (α i /2) r i /2 Behauptug: die MVs sid baryzetrische Koordiate für alle aus dem Iere des Polygos Klar, de: we im Iere alle σ i > 0 ud alle w i > 0 r i α i α i-1 P i P i-1. Zachma omputer-raphik 2 SS 10 Verallgemeierte baryzetrische Koordiate 18 9
10 Nachweis, daß w i stimmt: w i = σ i 1 A i 2 + σ i B i + σ i+1 A i+1 = r i 1 A i 2 A i 1 A i 2 + r i A i 1 A i B i + r i+1 A i A i+1 A i+1 = r i 1 A i 1 + r i A i 1 A i B i + r i+1 A i = Da: für A i ud B i die Flächeformel mit si eisetze ud trigoometrische Idetitäte verwede. Zachma omputer-raphik 2 SS 10 Verallgemeierte baryzetrische Koordiate 19 10
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TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Prof Dr R Köig Dr M Prähofer Zetralübug TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik Mathematik für Physiker (Aalysis ) MA90 Witersem 07/8 Lösugsblatt 4 http://www-m5matumde/allgemeies/ma90 07W (007)
Analysis I. Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2014/2015. Vorlesung 20. Konvexe Funktionen
Prof. Dr. H. Breer Osabrück WS 2014/2015 Aalysis I Vorlesug 20 Kovexe Fuktioe Eie kovexe Teilmege. Eie ichtkovexe Teilmege. Defiitio 20.1. Eie Teilmege T R heißt kovex, we mit je zwei Pukte P, Q T auch
1 Randomisierte Bestimmung des Medians
Praktikum Diskrete Optimierug (Teil 0) 0.07.006 Radomisierte Bestimmug des Medias. Problemstellug ud Ziel I diesem Abschitt stelle wir eie radomisierte Algorithmus zur Bestimmug des Medias vor, der besser
Funktionenreihen. 1-E1 Ma 2 Lubov Vassilevskaya
Fuktioereihe Erst durch Newto wurde die Theorie uedlicher Reihe zu eiem eigestädige Forschugsgebiet i der Mathematik, das da i Britaie besodere Beachtug ud weitere Etwicklug durch Brook Taylor ud Coli
4.6 Berechnung von Eigenwerten
4.6 Berechug vo Eigewerte 4.6 Berechug vo Eigewerte I diesem Abschitt befasse wir us mit dem Eigewertproblem: zu gegebeer Matrix A R sid die Eigewerte (ud gegebeefalls Eigevektore) gesucht. Wir erier a
Diesen Grenzwert nennt man partielle Ableitung von f nach x i und
Bevor wir zum ächste Kapitel übergehe, werde wir de Begri eier Fuktio i mehrere Variable eiführe. Eie Fuktio vo Variable ist eie Vorschrift, die jedem Pukt (x 1,x,...,x ) eier Teilmege D des IR eie bestimmte
6. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen + Selbsttest-Auflösung
6. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge + Selbsttest-Auflösug Aufgabe 6: Utersuche Sie die Folge, dere Glieder ute für N agegebe sid, auf Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez bzw. Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez
A 2. Abb. 1: Analogon zum rechtwinkligen Dreieck
Has Walser, [0076], [0080] Verallgemeierug des Satzes vo Pythagoras Hiweis: H. Sch., W. Im Raum. Aalogo zum rechtwiklige Dreieck Wir ersetze de zweidimesioale rechte Wikel durch eie Raumecke, wie sie bei
Grundbegriffe der Differentialrechnung
Wirtschaftswisseschaftliches Zetrum Uiversität Basel Mathematik für Ökoome 1 Dr. Thomas Zehrt Grudbegriffe der Differetialrechug Referez: Gauglhofer, M. ud Müller, H.: Mathematik für Ökoome, Bad 1, 17.
Lösungen zur Klausur Maß- und Integrationstheorie WS 2012/13
Lösuge zur Klausur 45 Maß- ud Itegratiostheorie S 22/3 Lösug zu Aufgabe I der Aufgabestellug ist kei Tippfehler. Es steht dort fx, y, x dλ 3 x, y, z. z fx, y, x ist kostat i z. Falls jemad fx, y, z dλ
Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. WS 05/06 3..05 Höhere Mathemati für die Fachrichtug Physi Lösugsvorschläge zum 3. Übugsblatt Vorbemerug
Übung 2 (für Pharma/Geo/Bio) Uni Basel. Besprechung der Lösungen: 1. Oktober 2018 in den Übungsstunden
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Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. WS 05/06 04..05 Höhere Mathematik für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zum 6. Übugsblatt Aufgabe
4. Der Weierstraßsche Approximationssatz
H.J. Oberle Approximatio WS 213/14 4. Der Weierstraßsche Approximatiossatz Wir gebe i diesem Abschitt eie ostrutive Beweis des Weierstraßsche Approximatiossatzes, der mit de so geate Berstei-Polyome (Felix
Vorbereitung auf 6. Übungsblatt (Präsenzübungen) - Lösungen
Prof. Dr. Raier Dahlhaus Statisti Witersemester 06/07 Vorbereitug auf 6. Übugsblatt Präsezübuge - Lösuge Aufgabe P0 Bereche vo UMVU-Schätzer. Gegebe sei jeweils ei statistisches Modell R, B R, P θ, θ Θ
Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 2012. Musterlösung zu Blatt 11. c n (z a) n,
f : a P UNIVERSIÄ DES SAARLANDES FACHRICHUNG 6. MAHEMAIK Prof. Dr. Rolad Speicher M.Sc. obias Mai Übuge zur Vorlesug Fuktioetheorie Sommersemester 202 Musterlösug zu Blatt Aufgabe. Zeige Sie durch Abwadlug
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Vorlesug 4 6 + 9 April Bei w,, w m, v R ; (w,, w m =: A R (,m ud ieres Produkt = euklidisches Produkt schrieb sich das Approximatiosproblem so: Fide w = Wiederholug: m ζ k w k mit w v w v w spa{w,, w m
Fit in Mathe. April Klassenstufe 10 Wurzelfunktionen
Thema Fit i Mathe Musterlösuge 1 April Klassestufe 10 Wurzelfuktioe Uter der -te Wurzel eier icht-egative Zahl (i Zeiche: ) versteht ma die icht-egative Zahl, die mal mit sich selber multipliziert, die
Determinante und Resultante Azadeh Pasandi
Determiate ud Resultate 07.01.2009 Azadeh Pasadi Defiitio ud Grudeigeschafte: sei U, V, W ud Vektor-Raum über Körper F ud beachte eie Abbildug f ( u,v ) vo kartesische Produkt: f: U x V W Diese Abbildug
Eingangsprüfung Stochastik,
Eigagsprüfug Stochastik, 5.5. Wir gehe stets vo eiem Wahrscheilichkeitsraum (Ω, A, P aus. Die Borel σ-algebra auf wird mit B bezeichet, das Lebesgue Maß auf wird mit λ bezeichet. Aufgabe ( Pukte Sei x
Lösungsvorschlag zur Klausur zur Analysis III
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Metrisierbarkeit. Technische Universität Wien Seminararbeit aus Analysis WS 2014 Sinan Özcaliskan
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Tests statistischer Hypothesen
KAPITEL 0 Tests statistischer Hypothese I der Statistik muss ma oft Hypothese teste, z.b. muss ma ahad eier Stichprobe etscheide, ob ei ubekater Parameter eie vorgegebee Wert aimmt. Zuerst betrachte wir
Zahlenfolgen und Konvergenzkriterien
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6. Übung - Differenzengleichungen
6. Übug - Differezegleichuge Beispiel 00 Gesucht sid alle Lösuge vo a) x + 3x + = 0 ud b) x + x + 7 = 0, jeweils für 0. Um diese lieare Differezegleichug erster Ordug zu löse, verwede wir die im Buch auf
Folgen und Reihen. 23. Mai 2002
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Übungen zur Linearen Algebra 1
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Lineare Algebra und analytische Geometrie II
Prof. Dr. H. Breer Osabrück SS 2016 Lieare Algebra ud aalytische Geometrie II Vorlesug 50 Ei Tetraeder (eie Pyramide mit gleichseitige Dreiecke als Seite). Ei Oktaeder (ei Achtflächer). Ei Dodekaeder,
Mathematische Probleme, SS 2016 Freitag $Id: convex.tex,v /05/27 12:19:07 hk Exp $
$Id: covete,v 130 2016/05/27 12:19:07 hk Ep $ 3 Kovegeometrie 32 Die platoische Körper User mometaes Ziel ist die Berechug der geometrische Date der platoische Körper Gemäß des i der letzte itzug eschrieee
4. Vektorräume mit Skalarprodukt
4. Vektorräume mit Skalarprodukt Wiederholug: V=R x, y R: x= x x i x, y= y y, :R R R Skalarprodukt Stadardskalarprodukt lieare Abbildug mit 2 Argumete 4. Eigeschafte vo Skalarprodukte Def.: Es sei V ei
4.1 Dezimalzahlen und Intervallschachtelungen. a) Reelle Zahlen werden meist als Dezimalzahlen dargestellt, etwa
20 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit 4 Kovergete Folge 4. Dezimalzahle ud Itervallschachteluge. a) Reelle Zahle werde meist als Dezimalzahle dargestellt, etwa 7,304 = 0+7 +3 0 +0 00 +4 000. Edliche Dezimalzahle
Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt
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Zusammenfassung: Gleichungen und Ungleichungen
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Normierte Vektorräume Wir betrachte im Folgede ur Vektorräume über R 1. Sei also V ei Vektorraum. Wir möchte Metrike auf V betrachte, die im folgede Sie mit der Vektorraumstruktur verträglich sid:, y,
Langrange-Multiplikators und Hinreichende Bedingungen
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Lösug zu Übug 4 Prof. Dr. B.Grabowski E-Post: grabowski@htw-saarlad.de Zu Aufgabe ) Wir weise die Gültigkeit der 4Axiome der sigma-algebra für die Potezmege eier edliche Mege A ach! ) Die leere Mege ud
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Empirische Verteilungsfunktion
KAPITEL 3 Empirische Verteilugsfuktio 3.1. Empirische Verteilugsfuktio Seie X 1,..., X uabhägige ud idetisch verteilte Zufallsvariable mit theoretischer Verteilugsfuktio F (t) = P[X i t]. Es sei (x 1,...,
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Eiige Beispiele für Mege im R. Itervalle i R. Seie a, b R mit a < b. [a, b] : {x a x b} abgeschlossees Itervall (a, b : {x a < x < b} offees Itervall [a, b : {x a x < b} halboffees Itervall (a, b] : {x
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LGÖ Ks VMa Schuljahr 7/8 Zusammefassug: Gleichuge ud Ugleichuge Ihaltsverzeichis Polyomgleichuge ud -ugleichuge Bruch-, Wurzel- ud Betragsgleichuge ud ugleichuge 6 Für Experte 8 Polyomgleichuge ud -ugleichuge