Vorbereitung auf 6. Übungsblatt (Präsenzübungen) - Lösungen

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1 Prof. Dr. Raier Dahlhaus Statisti Witersemester 06/07 Vorbereitug auf 6. Übugsblatt Präsezübuge - Lösuge Aufgabe P0 Bereche vo UMVU-Schätzer. Gegebe sei jeweils ei statistisches Modell R, B R, P θ, θ Θ ud eie vollstädige Statisti T : R R für θ. Wede Sie jeweils eimal Methode i ud ii vo Blatt 6, Aufgabe 0 a um die UMVU-Schätzer für das agegebee gθ zu bestimme. a P θ Bi, θ mit θ 0,, T x i x i, gθ θ θ. b P θ vexpθ, λ mit θ R, λ > 0, T x mi{x,..., x } ud gθ θ. Hiweis: Die Dichte eie vexpθ, λ-verteilug ist gegebe durch f θ,λ x exp λx θ {x θ}. Lösug: a i Beatermaße gilt P T θ Bi, θ. Es folgt: θ θ gθ ht dp T θ t h θ θ θ θ Setze ψ 0 0 θ θ θ h h ] 0 θ θ. ψ +ψ. Mit θ θ ψ + ψ folgt: ] ψ ψ + ψ Bi. Lehrsatz ψ 0 ψ ψ. Auf der lie ud rechte Seite der Gleichug stehe u Polyome i ψ. Mit Koeffizietevergleich folgt: h0 0, h 0, h,..., Beachte, dass somit 0,..., : h. Somit folgt: S x ht x T x T x ist der UMVU-Schätzer für gθ die empirische Stadardabweichug. ii Es ist P T θ Bi, θ ud daher x i x E θ T θ, E θ T Var θ T + E θ T θ θ + θ θ + θ i

2 Asatz: Drüce Poteze vo θ durch Kombiatioe vo E θ T ud E θ T ] aus, ud daach die gesuchte zu schätzede Futio gθ. Damit ist E θ T T ] θ, ud also θ θ θ θ E θt Damit ist S T T b i Es gilt P T θ gelte Das ist äquivalet zu E θt T ] der gesuchte UMVU-Schätzer. T T ] E θt T ] E θ. vexpθ, λ achreche mit üblichem Miimum-Argumet. Es soll θ gθ ht dp T θ θe λθ λ θ θ htλe λt θ dt. hte λt dt. Mit dem Hauptsatz der Differetial- ud Itegralrechug folgt Ableite ach θ auf beide Seite, wir ehme a, dass hte λt 0 für t : λθe λθ λhθe λt hθ θ λ. Damit ist S h T T mi{x λ,..., X } ii Wege P T θ vexpθ, λ ist λ der gesuchte UMVU-Schätzer. Damit folgt E θ T also ist S T λ θ tλe λt θ dt x:t θ ] E θ T θ, λ der gesuchte UMVU-Schätzer. 0 x + θλe λx dt λ + θ. Aufgabe P Charaterisierug ud Eideutigeit vo UMVU-Schätzer. Sei P {P θ : θ Θ} eie Familie vo Verteiluge ud S ei U-Schätzer für θ mit E θ S ] < für alle θ Θ. Zeige Sie: a Es gilt die folgede Äquivalez: S ist ei UMVU-Schätzer für θ geau da, we für jede U-Schätzer S vo 0 mit E θ S ] < für alle θ Θ gilt: E θ SS ] 0 für alle θ Θ. b Es gibt höchstes eie UMVU-Schätzer für θ. HIweis: Nehme Sie a, es gäbe zwei UMVU-Schätzer S, S ud zeige Sie S S P θ -f.s. für alle θ Θ. Nutze Sie dabei die Charaterisierug i a. Lösug: a " ": Sei S UMVU-Schätzer. Ageomme, es gibt eie U-Schätzer S für 0 mit θ Θ : E θ S ] < ud ei θ 0 Θ mit E θ0 SS ] 0. Ist E θ0 S ] 0, würde scho S 0 P θ0 -f.s. folge, was ei Widerspruch zu E θ0 SS ] 0 wäre. Also ist E θ0 S ] > 0. I diesem Fall defiiere wir mit λ 0 : E θ 0 SS ] E θ0 S ] : S : S + λ 0 S.

3 S ist wieder ei U-Schätzer für θ mit der Eigeschaft E θ S ] < für alle θ Θ. Es gilt E θ0 S ] E θ0 S ] E θ 0 SS ] E θ0 S ] < E θ 0 S ], ud daher auch beachte, dass sowohl S als auch S U-Schätzer sid Var θ0 S < VarS. Das ist ei Widerspruch zur UMVU-Eigeschaft vo S. " ": Wir müsse zeige, dass S uter der agegebee Eigeschaft ei UMVU-Schätzer ist. Sei also S ei beliebiger weiterer U-Schätzer vo θ mit der Eigeschaft E θ S ] < für alle θ Θ. Sei u θ Θ fest gewählt. Da ist S S U-Schätzer für 0. Mit der Charaterisierug folgt E θ SS S] 0 E θ S CSU ] E θ S S] E θ S ] / E θ S ] /. hierbei ist CSU eie Abürzug für die Cauchy-Schwarz-Ugleichug. SIm Falle E θ S ] 0 ist ichts zu zeige, de da wäre S 0 P θ -f.s. ud hätte die leistmögliche Variaz. Für E θ S ] > 0 folgt aus *: E θ S ] E θ S ] ud daher beides U-Schätzer Var θ S Var θ S. Damit ist S UMVU-Schätzer. b Ageomme, es gäbe zwei UMVU-Schätzer S, S. Es folgt mit a: Für alle θ Θ ist E θ SS S] 0 E θ S S] E θ S ] Cov θ S, S Var θ S beide UMVU Var θ S. Damit folgt aber Corr θ S, S Korrelatio gleich. Laut eiem Satz aus der Eiführugsvorlesug muss es daher a, b R mit a, b 0, 0 gebe mit as + b S 0 P θ -f.s. Es ist aber da 0 E θ as + b S] a + bθ für alle θ Θ, d.h. a + b 0. Wir schließe S S P θ -f.s. für alle θ Θ. Aufgabe P Berechug vo MRE-Schätzer. Es seie X,..., X iid Pθ : Nθ, σ bzw. Uθ σ, θ + σ] uabhägig ud idetisch ormalverteilt bzw. gleichverteilt mit Parameter θ R, σ > 0. a Bereche Sie de MRE-Schätzer vo θ für die quadratische Verlustfutio Lθ, s : s θ mittels der Pitma-Formel Satz 3.7. Im Folgede soll der MRE-Schätzer vo θ für die lieare Verlustfutio Lθ, s s θ auf zwei verschiedee Weise bestimmt werde. Sei Y X X,..., X X. b Betrachte Sie für X X,..., X P 0 de äquivariate Schätzer SX X ud bereche Sie eie Media v y vo P SX Y y. c Es ist beat, dass SX i X i diese Aufgabe ur für die Normalverteilug eie vollstädige Statisti für θ ist. Bereche Sie mit Hilfe des Lemmas vo Basu eie Miimierer v y vo E SX v Y y]. Hiweis: Sie müsse hier die Verteilug vo SX bereche. Bestimme Sie de i beide Fälle gleiche Schätzer S X SX v Y. 3

4 Lösug: Normalverteilug: a Die -dimesioale Normalverteilug P θ hat Dichte p θ x exp x i θ πσ σ i bzgl. des Lebesgue-Maßes, wobei p 0 x πσ exp σ πσ exp σ i x i. x i θ p 0 x µ, i Es gilt x i u i x i u i x i + u i ] u x x + x ] u ux + x u x + ] x x, damit: u p 0 x u,..., x u du R πσ u exp R σ x i u du i πσ e σ x x π σ u exp u x R σ πσ e σ x x π σ x. π σ } {{ } Dichte vo Nx, σ du Aalog: R p 0 x u,..., x u du πσ e σ x x π σ. Daher: S x R u p 0x u,..., x u du R p 0x u,..., x u du x. b Wie im Beweis vo Satz 3.7 bestimme wir zuächst mittels der Trasformatiosformel die Dichte vo Y, X, welche gegebe ist durch ürze ab: y y,..., y : f Y,Xy, x p 0 y + x,..., y + x, x. mit obigem p 0. Daraus erhalte wir die bedigte Dichte beachte SX X : f SX Y y s f Y,SXy, s f Y y p 0 y + s,..., y + s, s p 0y + s,..., y + s, s ds 4

5 Ei Media m R vo P SX Y y erfüllt s.o., u:x s m m x m f SX Y y s ds m p 0 y + s,..., y + s, s ds exp f SX Y y s ds σ u x du m x m p 0 y + s,..., y + s, s ds exp σ u x du Die Itegrale öe hier icht ohe Weiteres explizit ausgerechet werde. Offesichtlich ist der Itegrad aber symmetrisch um u x. Daher muss die Greze der Itegrale x m x erfülle. Es folgt m x x. Wir erhalte beachte v y m S X SX v Y X X X X. c Nach Voraussetzug ist SX vollstädig für θ R. Aus der Vorlesug ist beat, dass Y verteilugsfrei für θ R ist. Mit dem Lemma vo Basu folgt, dass Y, SX uabhägig sid. Damit ist: fv : E 0 SX v Y y] E 0 SX v, d.h. fv ist ostat i y. Es bleibt die Verteilug vo SX zu bestimme. Aus beate Regel für die lieare Trasformatio ud Faltug vo Normalverteiluge folgt uter P 0 : SX X N0, σ. Da diese Verteilug symmetrisch ist, ist ihr Media 0. v y miimiert v E 0 SX v, d.h. v y ist ei Media vo P SX 0. Damit muss aber v y 0 gelte ud wir erhalte S X SX v y X. Gleichverteilug: a Die gemeisame Dichte vo X,..., X uter P θ lautet p θ x p 0 x θ mit ürze ab: x x,..., x Es folgt p 0 x i σ σ,σ]x i σ { σ mi{x,...,x }} {max{x,...,x } σ} p 0 x u,..., x u σ {u σ mi{x,...,x }} {max{x,...,x } u+σ} Wir erhalte für de Pitma-Schätzer: S R x u p mi{x,...,x }+σ 0x u,..., x u du R p 0x u,..., x u du u du max{x,...,x } σ mi{x,...,x }+σ max{x,...,x du } σ mi{x,..., x } + σ max{x,..., x } σ mi{x,..., x } + σ max{x,..., x } σ max{x,..., x } + mi{x,..., x } σ. b Wie obe erhalte wir für die bedigte Dichte f SX Y y s p 0 y + s,..., y + s, s p 0y + s,..., y + s, s ds. 5

6 Ei Media m R muss erfülle u:x s m x m f SX Y y s ds p 0x u,..., x u du p 0x u,..., x u du m p 0y + s,..., y + s, s ds p 0y + s,..., y + s, s ds s.o. x m mi{x,...,x }+σ max{x,...,x } σ du 3σ + mi{x,..., x } max{x,..., x } Uter der Aahme x m mi{x,..., x } + σ gelage wir zu der Gleichug x m max{x,..., x } σ 3σ + mi{x,..., x } max{x,..., x } 3 σ + mi{x,..., x } max{x,..., x } x m max{x,..., x } + σ m σ + x max{x,..., x } mi{x,..., x } max{x,..., x } x max{x,..., x } mi{x,..., x } σ. Wege v y m folgt S X SX v Y X X max{x,..., X } mi{x,..., X } σ max{x,..., X } mi{x,..., X } σ. Homepage der Vorlesug: 6