Übungen zur Analysis 3

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1 Mathematisches Istitut der Uiversität Müche Prof Dr Fraz Merkl Witersemester 0/04 Blatt Übuge zur Aalysis 9 addichte eier Gleichverteilug Die Gleichverteilug auf dem Dreieck ist das Maß : {(a, b) 0 a b } ν : B( ), ν(a) λ (A ) λ ( ) Bereche Sie die beide addichte vo ν bezüglich des Lebesguemaßes Ma beachte die Form des Dreiecks auf der rechte Seite Es gilt a [0,] {a} [a, ] b [0,] [0, b] {b} Folglich ist π (ν)(a) ν(π (A)) dν π (A) λ ( ) π (A) dλ λ 0 ((π (A)) a ) da 0 Aλ ([a, ]) da A [0,]( a) λ (da) ud wir erhalte die addicht f (a) ( a) [0,] Aalog erhält ma π (ν(b)) A [0,]b λ (db), d h addicht f (b) b b a 9 Modifizierte Besselfuktioe Für N 0 werde die modifizierte Besselfuktioe I : + ud K : + durch defiiert Zeige Sie: I (x) K (x) e x cos t cos(t) dt, e x cosh t cosh(t) dt (a) Sowohl I als auch K erfüllt die modifizierte Besselsche Differetialgleichug, die durch x y (x) + xy (x) (x + )y(x) 0 gegebe wird Achte Sie bei der Begüdug sorgfältig auf die echtfertigug der Vertauschug vo Itegral ud Ableitug (b) Für alle N 0 gilt die folgede Asymptotik: xe x I (x) x, x π ex K (x) x

2 zu (a): Es gilt I (x) I (x) cos(t)e x cos(t) cos(t)dt cos (t)e x cos(t) cos(t)dt Die Vertauschug vo Itegral ud Ableitug ist uproblematisch, da [, π] edliches Maß hat ud gegebe x die Fuktio x cos(t)e x cos(t) cos(t), bzw x cos (t)e x cos(t) cos(t) auf (x 0, x 0 + ) beschräkt ist Ferer gilt I (x) partielle Itegratio Was zu zeige war e x cos(t) cos(t) dt }{{} si(t) π x(si(t))e x cos(t) si(t) }{{} partielle Itegratio x( si(t))e x cos(t) si(t)dt cos(t) dt ( x cos(t)e x cos(t) x si (t)e x cos(t)) cos(t)dt xi (x) + x (cos (t) )e x cos(t) cos(t)dt xi (x) + x I (x) x I (x) Für K (x) e x cosh(t) cosh(t)dt beachte, dass cosh(t)e x cosh(t) (et + e t )e et +e t Die Itegriebarkeit vo (et + e t )e et +e t folgt aus der Substitutio t log(t) Ebeso gilt d ( e x cosh(t) cosh(t) ) x cosh(t)e x cosh(t) cosh(t) dx x 4 (et + e t )(e t ) + (e t ) )e et +e t ud widerum zeigt die Substitutio t log(t), dass auch die Ableitug des Itegrade itegrierbar ist, die auf alle Itervalle der Form (x 0, x 0 + ) eie itegrierbare Majorate besitzt Also köe Itegral ud Ableitug vertauscht werde Es folgt K (x) x cosh(t)e x cosh(t) cosh(t)dt ud K (x) x cosh (t)e x cosh(t) cosh(t)dt

3 (Die Vertauschbarkeit vo Itegral ud Ableitug zur Berechug vo K (x) folgt ählich wie im Fall K (x)) Aalog zum Fall I (x) berechet ma mit partieller Itegratio ud uter Verwedug vo cosh(t) sih(t) ud cosh (t) sih (t), dass K (x) xk (x) + x K (x) x K (x) zu (b): Wir verwede die Laplace-Methode für asymptotische Gaußsche Itegrale Da die Notatio im Skript ud i der Aufgabe hierfür etwas verwirred sid, schreibe wir I r () (e cos(x) ) cos(rx)dx Da hat f(x) e cos(x) i O ei globales Maximum ud es gilt f(0) e ud b (log f) (0) Damit folgt aus Lemma, dass e I r () f(0) Die echug für K (x) folgt aalog f(x) cos(rx)dx b cos(r 0) cos(0) 9ε Vollziehe Sie de Beweis des Satzes 7 elemetargeometrisch am Beispiel ( ) A ach: Bereche Sie hierzu (mit Notatioe wie im Beweis des Satzes) die Matrize L, B, K, C ud zeiche Sie Π A, Π B ud Π C auf kariertes Papier, am beste farbig Überlege Sie sich auch elemetargeometrisch, dass Π A, Π B ud Π C de gleiche Flächeihalt besitze Es ist a ud L muss La e, Le e für die zweite Spalte a erfülle D h Weiter ist L (e, e )(e, a ) (e, a ) B LA ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 Als ächstes defiiere wir b La (, ) t (b, b ) t, b La (0, ) t (b, b ) t e als die Spalte vo B ud bestimme K (k ij ) ij mit Kb b ud (Kb ) : k b + k b b, (Kb ) : k b + k b 0 Wir erhalte ( ) 0 K (e, e )(b, e ) (b, e ) ud C KB ( ) ( ) 0 0 ( ) 0 0

4 Ma beachte: e e e A B C e B ist ei Parallelogramm B hat eie Seiteläge ud die etsprechede Höhe ist ebefalls, d h Flächeihalt λ ( C ) Zur Berechug vo A köe wir z B die Fläche etlag der lägere Diagoale i zwei gleichgroße Teile zerlege ud das Volume des Teilstückes uterhalb (aus e -ichtug) der Diagoale liegede Ateils als Differez vo Dreiecke ud eiem Trapez bereche: ( ) ( 4 (4 ) ( ) λ + 4 ) A e e 94 Fouriertrasformierte der multidimesioale Normalverteilug Es sei Σ, Σ Σ t, eie positiv defiite Matrix ud ν Σ die zetrierte multidimesioale Normalverteilug zur Kovariazmatrix Σ Zeige Sie die folgede Verallgemeierug der Formel (0) aus Beispiel 5 : e i k,x ν Σ (dx) exp ( ) kt Σk () Es ist zu zeige, dass e i k,x () det Σ e xt Σ x dx e ktσk Aalysis III Skript 4

5 Dazu sei wie i Beispiel 4 A eie Matrix mit Σ A t A Da gilt e i k,x e xt Σ x dx e i k,x e (Ax)t(Ax) dx () det Σ () det Σ x Ax e i k,a x e x det A dx () det Σ e i (At ) k,x e x dx () k (A t ) k e i k,x e x dx () Π () je ik j,x j e x j dx Fubii Π j () () Π je k j e k,k e (At ) k,(a t ) k e ((At ) )k) t (A t ) k e ((A ) t k) t (A ) t k e (kt (Σ t ) k e (kt (Σ) k Π je ik j,x j e x j dx dx e ik j,x j e x j dxj wobei i der zweite Zeile der Trasformatiossatz verwedet wurde, die dritte Gleichug aus det A (det Σ) folgt, zur Berechug der Itegrale Beispiel 5 verwedet wurde ud die letzte Gleichug gilt, weil Σ symmetrisch ist 5