8. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen

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1 8. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge Aufgabe 36: Bestimme Sie alle z C, für die die folgede Potezreihe kovergiere: z z a, b! +, c z +. = = Lösug 36: Wir bezeiche de Kovergezradius mit r. a Wir wede das Quotietekriterium a:! z + +! z = z 0 < für alle z + Die Potezreihe kovergiert für alle z. b Wir wede das Wurzelkriterium a: z z + = + z r = Die Potezreihe kovergiert für alle z mit z < z <. Der Kovergezkreis ist daher ei Kreis um mit r =. Radpukte: z = Da z z + = + = + e 0 divergiert die Reihe a dem Rad. c Wir wede das Wurzelkriterium a: z + = z + für z ; z + = 0 0 für z = Kovergez ur im Pukt z =. Aufgabe 37: Bestimme Sie die Potezreihe a x zu der Fuktio f : R \ } R, defiiert durch a Zeige Sie: a = k! für N 0. fx = ex x, x R \ }. b Bestimme Sie alle x R, für die die Potezreihe kovergiert. Lösug 37: a Wir stelle hier zwei Lösugsmöglichkeite dar: Es muss gelte x a x! = e x = Die Reihe zur Expoetialfuktio ist absolut koverget *. Somit lässt sich die like Seite umforme zu: x a x = a x x + = a x a x + Idexversch. = a 0 + a a x. x!. =

2 Durch Koeffizietevergleich ergebe sich die Bediguge a 0 =, a = a +!. Die Behauptug folgt jetzt durch eie leichte vollstädige Iduktio. De Iduktiosafag bildet die Relatio a 0 =. Der Iduktiosschritt: Aus folgt was zu beweise war. a = a + = k! ud a + = a + +! + k! + +! = k!, Diese Aufgabe lässt sich für x < auch elegat mit Hilfe der geometrische Reihe ud dem Cauchy Produkt löse, siehe Satz 4.7. Beachte Sie, dass der Kovergezradius der geometrische Reihe ist: vgl. Skript, Bsp 4.3 a. x < fx = ex = x j x j=0 m k! xm = m=0 m=0 x m m x k k! = m=0 k!. m x k Durch de Koeffizietevergleich erhalte wir die Behauptug. b Mit dem Quotietekriterium folgt: lim a + a = lim x + / k! k! = ex e m k! xm k = = x. Also ist der Kovergezradius der Potezreihe. Im Radpukt x = hat die Reihe die Form a. Da a aber keie Nullfolge ist, ka diese Reihe icht kovergiere. Aalog ist die Reihe x = der Form a, daher divergiert auch diese Reihe, da a keie Nullfolge ist. Isgesamt kovergiert die Potezreihe also ur auf dem Itervall,. Aufgabe 38: Die Fuktioe z+, z C \ } ud z+, z C \ } lasse sich als Potezreihe um de Etwicklugspukt z 0 = 0 darstelle. a Bestimme Sie die beide Potezreihe ud ihre Kovergezradie. b Bereche Sie das Cauchy-Produkt der beide Reihe, um die Fuktio als Potezreihe darzustelle. c Wo kovergiert das Cauchy-Produkt? z+ z+ Lösug 38: a Für die geometrische Reihe gilt Folglich sid z+ ud z+ q k = q für q <. die Summe folgeder geometrische Potezreihe: ud + z = k z k etspricht q = z z + = + z = k z k z etspricht q = = k k+ zk.

3 Mit dem Wurzelkriterium erhalte wir für die erste Reihe : Ud für die zweite Reihe : b Es ist z + z + = k lim k k z k = z < r = k lim k z k k k = z < z < r = = = z k z k = z l=0 z l = Bemerkug. Am eifachste ist aber die Lösug, we ma die Idetität = z z + z + = z + z + l=0 l l z + + z. 3 berücksichtigt. Auf diesem Weg erhält ma die Atwort 3 durch Substraktio der Reihe ud. c Als Differez zweier Potezreihe um 0 mit Kovergezradie bzw. kovergiert die Reihe 3 i dem kleiste vo de zwei Kovergezkreise. Das heisst, der Kovergezradius ist r = mi r, r } = mi, } =. Aufgabe 39: Zeige Sie, dass für alle z C die folgede Idetitäte gelte: a cosiz = cosh z ud cos z = coshiz, b cosz = cosz, c sihz = sih z cosh z. Lösug 39: a cos iz = e iiz + e iiz / = e z + e z / = cosh z. Ersetzt ma z durch iz, so folgt cosh iz = cosiiz = cos z = cos z b Falls z = x + iy: e iz = e ix+iy = e ix y = e ix y = e y e ix = e y cos x + i si x = e y cosx i six e y cosx + i six = e y+ix = e iiy+x = e iz Also, e iz = e iz. Aalog e iz = e iz. Jetzt habe wir: cos z = e i z + e i z = e iz + e iz = e iz + e iz = e iz + e iz = cos z Also, cos z = cos z. c Mit Hilfe der 3.biomische Formel erhält ma sihz = e z e z = [e z ] [e z ] = e z + e z e z e z = coshz sihz. Aufgabe 40: Gebe Sie die Expoetialdarstellug z = re iϕ, ϕ π, π], folgeder komplexer Zahle a

4 a i b + i c ie iπ d 3 + 4i i e i i + Lösug 40: Für eie komplexe Zahl z = a + ib gilt r = z = a + b a ud ϕ = Argz = arccos a +b falls b 0 ud ϕ = Argz = arccos falls b < 0. a a +b a ϕ = arccos0 = π ud r = 0 + = i = e i 3π b r = + = ud ϕ = arccos = 3π 4 + i = e i 3π 4 c ie iπ = i = + i b = e i 3π 4 d z = 3+4i +i i +i = + 7i r = + 7 = ud ϕ = arccos = arccos, 73 z = e i,73. e z = i i+ i+ i+ = 3i r = + 3 = ud ϕ = arccos = arccos 0, 49 z = 0 e i,49. Aufgabe 4: Die Fuktio f : R R sei defiiert durch fx = x +, x R. Zerlege Sie R i möglichst weig Itervalle, auf dee f umkehrbar ist. Gebe Sie jeweils die Umkehrfuktio a ud skizziere Sie diese. Lösug 4: Wir müsse zuächst die Beträge auflöse. Für de iere Betrag gilt: x, x x = x, x < Damit köe wir f schreibe als fx = Wie löse wieder die Beträge auf: x 3, x 3 x 3 = 3 x, x < 3 x 3 +, x x +, x < ud x = x, x x, x > Für f folgt also x, x 3 = f x, x < 3 = f fx = x +, < x < = f 3 3 x, x = f 4

5 Die Fuktio f. Schräkt ma f auf geeigete Itervalle ei, so existiert jeweils die Umkehrfuktio. Die Fuktio f ist also abschittsweise liear ud die auf de Itervalle, ] ud [, 3] jeweils streg mooto falled ud auf de Itervalle [, ] ud [3, streg mooto steiged. Schräke wir f auf eies dieser vier Itervalle ei, so köe wir f umkehre. Die Umkehrfuktioe sid: f : [, [3,, x x + f : [, 3] [, 3], x x f 3 : [, 3] [, ], x x f 4 : [,, ], x 3 x Wir zeige dies geauer für de erste Fall: Wir bereche die Umkehrfuktio zu f x = x, idem wir i der Gleichug y = x, x ud y vertausche ud die durch de Tausch resultierede Gleichug wieder ach y auflöse: x = y = y = x + = f x = x + Die Bildmege vo f ist die Defiitiosmege vo f, bzw. [3,. Daher ist es leicht zu sehe dass die Defiitiosmege der Umkehrfuktio [, ist. Aufgabe 4: Bestimme Sie alle Pukte x R, i dee die folgede Fuktioe stetig sid: xx xx, x R \ 0, } x +, x < a fx =, x = 0, b gx = x x [, ] /, x = x x, x >. Lösug 4: a Wir utersuche, a welche Stelle der Term im Betrag im Zähler das Vorzeiche wechselt: Dies ist der Fall für x = 0 oder x =. Damit müsse wir drei Fälle uterscheide:. Fall :x < 0 Da ist xx = x x = xx, also fx =.. Fall :0 < x < Hier habe wir xx = x x = x x, also fx =. 3. Fall :x > Nu ist xx = xx, also fx =. Damit ist f bereits auf R \ 0, } sicherlich stetig. Jetzt wede wir us de Pukte x = 0 ud x = zu. Wir betrachte die Folge Es ist x =, y = +, N. lim x = 0 ud lim y =. Bemerkug: wir köe auch allgemei zwei Folge x mit 0 < x <, lim x = 0 ud y mit y, lim y = ehme. Ferer gilt = f 0 lim f x =, = f lim f y =.

6 Nach der Defiitio vo Stetigkeit ist f ist i x = 0 ud x = icht stetig. Also ist f stetig auf R \ 0, }. b Die stückweise Teilfuktioe vo g sid Polyome ud daher stetig. Damit ka g höchstes i de Nahtstelle, } ustetig sei. Wir defiiere wieder die Hilfsfolge x =, y = +, N ud bereche: lim f x = lim = 0 = f, ud lim f y = = f. Daraus folgt: a x = ist g icht stetig, a x = ist g dagege stetig. Also ist g stetig auf R \ }. Aufgabe 43: Es ist die reelle Folge a gegebe durch die Rekursiosformel a + = a ud a 0 4. a Zeige Sie: Mit 4 a 0 ist a [, ] für N ud mit a 0 ist a für N. b Begrüde Sie, dass die Folge für jede Startwert a 0 4 kovergiert. c Bereche Sie de Grezwert vo a für eie Startwert a 0 4. Lösug 43: a Mit Iduktio beweise wir die Behauptuge. Begie wir mit dem Iduktiosafag. Aufgrud der Mootoie der Wurzelfuktio gilt a = a 0 für a 0 4 ud für a 0 folgt a = a =. Also ist a [, ]. Aalog erhalte wir für de Iduktiosschritt a + [, ], falls a [, ] gilt ud die Iduktio ist abgeschlosse. Im Fall a 0 folgt a = a 0 ud iduktiv a + = a, we a ist. Also ist a für alle N. b Wir utersuche die Folge auf Mootoie. Es gilt a + a = a a = 4 + a a 4 + a + a a a = 4 + a + a 0, a [, ] = 0, a Damit ist die Folge mooto steiged für a 0 [ 4, ] ud mooto falled für a 0. Mit dem Mootoiekriterium ud der Beschräkug der Folgeglieder aus Teil a folgt i beide Fälle Kovergez. Dabei ist zu beachte, dass im Fall a 0 durch a eie obere Schrake für die Folge a gegebe ist, da sie mooto fällt. c Aus der Fixpuktgleichug a = a folgt bzw. a = 4 + a a a = 0. Eisetze der beide Kadidate a = 0 ud a = liefert a = als eizige mögliche Fixpukt. Somit folgt für jede Startwert a 0 4. lim a =

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