( ), der genau auf der Geraden ( ) 2 ( ) #( ) 8. Lineare Regression. = f i. Nach der Summe der kleinsten. mx i

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1 8. Lieare Regressio 8.1. Die Methode der kleiste Quadrate Regressiosgerade bzw. Ausgleichsgerade sid eie Auswertug vo statistische Messdate. Ziel dieses Verfahres ist es, Beziehuge zwische zwei Merkmale festzustelle. Zusammehäge köe da quatitativ beschriebe ud progostiziert werde. Vo de viele Kriterie zur Bestimmug eier optimale Ausgleichsgerade bzw. Regressiosfuktio hat sich die Methode der kleiste Quadrate, selteer auch Kriterium der kleiste Quadrate, durchgesetzt. Dieses Kriterium baut auf folgede Gedake auf: Datepukte sid gegebe ( x 1, y 1 ),( x, y ), ( x, y ) es soll u eie Gerade gefude werde, die am beste durch die Datepukte verläuft Zuächst ehme wir a, dass die Gerade durch auf jede Fall durch 0, 0 verläuft ud ( ) ( ), der geau auf der Gerade somit durch y = mx beschriebe wird. Für eie Pukt, liegt, gilt :. Da wir aber aehme, dass keier der Pukte geau auf der Gerade liegt, erhalte wir bei jedem Pukte eie Fehler m = f i. Nach der Summe der kleiste Fehlerquadrate müsse diese Fehler aufsummiert ud soweit miimiert werde wie ur möglich: soll ( ) m y i der Fehler wurde quadriert Fide das Miimum der Fuktio F(m) = = F(m). Jetzt kommt die Aufgabe, dass F(m) miimiert werde "( m ) Wir leite die Fuktio ab ud setze die Ableitug Null: F '(m) = 0 ( ) F(m) = m " m + ( ) F '(m) = m " ( ) F '(m) = 0 = m " = m " = m " $ m = Jetzt ka mit der Steigug weitergerechet werde y = mx 1

2 Bisher habe wir die Betrachtuge darauf beschräkt, dass die gesuchte Gerade durch de Ursprug (0,0) verläuft. Allgemei gilt aber y = mx + b. Hier sid u Ubekate vorzufide, m ud b. y = mx + b ( ) icht auf der Gerade liegt, gilt ( ) = Fehler 1 ( ) = Fehler Falls der Pukt x 1, y 1 y 1 mx 1 + b y mx + b F(m,b) = ( ( m + b) ) Die Summe der quadratische Fehler ist da: F(m,b) = y m ( i + b) a umgeschriebe durch ( a b) : F(m, b) = "( y i ( m + b) + ( m + b) ) "( ) = m b + m + mb + b b soll miimiert werde Da es wie gesagt Ubekate sid, müsse die beide Ubekate jeweils eizel betrachtet werde ud es muss die Ableitug gebildet werde. Ableitug vo F(m,b) bezoge auf m: ( ) F m '(m,b) = + mx i + b = 0 Im Miimum ist die erste Ableitug Null. Ableitug vo F(m,b) bezoge auf b: ( ) F b '(m,b) = + m + b = 0 Daraus folgt: " m x i + b = $ $ m + b = % $ Wir erhalte Gleichuge mit Ubekate m ud b Um diese zu löse beutze wir folgedes Bezeichugssystem: 13

3 = A = B = C = D $ " % m A + b B = D & m B + b = C Ergebisse: m = x y x i i i x i ud b = x i ( ) x i ( ) Führt ma für beide Größe x ud y die Mittelwerte ei: x = 1 ud y = 1 so ergebe sich für m ud b die Formel: S xy = xy ud S xx = x i x, m = S xy S xx ud b = y mx 8.. Korrelatioskoeffiziete (Abb. 1) I de bisherige Betrachtuge wurde vo eier Puktwolke ausgegage, durch die ma die Regressiosgerade lege ka. Dabei hat die Regressiosgerade bezüglich x ( y(x) )die Steigug a1 ud die Regressiosgerade bezüglich y ( x(y) )die Steigug a. Ma sieht (Abb. 1), dass die Größe der Steiguge a1 ud a ei Maßstab für die Stärke des Zusammehags zwische de beide Variable x ud y darstellt (die Steigug köte auch weiterhi mit m betitelt werde, ich habe eifachheitshalber darauf verzichtet). Wäre der Zusammehag streg liear, wie dies z.b. für die beide agegebee Fuktioe y(x) ud x(y) der Fall ist beide Fuktioe habe de gleiche Graphe, sie sid idetisch so ist das Produkt der Steiguge a1 ud a gleich eis (Beispiel 1). 14

4 Beispiel 1: Beispiel : y(x) = 0, 5x + x(y) = y " a 1 =, 65; a = 0,36; a 1 = ; a = 0, 5; a 1 a = 1 a 1 "a =, 65" 0,36 ( ) = 0, % Je stärker der Zusammehag zwische de Merkmale, desto eger rücke die Pukte der Puktwolke zusamme ud desto kleier wird der Wikel zwische de beide Regressiosfuktioe. Ei wichtiges Maß für die Stärke des Zusammehags ist das Produkt a 1 a. Dieses Maß wird mit r bezeichet ud heißt Bestimmtheitsmaß " r = a 1 a $ %. Dieses Maß gibt a, wie viel Prozet der Veräderug der y- Werte auf Eiflüsse der x- Werte zurückzuführe sid. Das sid im obige ca. 95% (Beispiel ). Wichtiger als das Bestimmtheitsmaß ist der Korrelatioskoeffiziet r. Er ist die Wurzel aus dem Bestimmtheitsmaß " r = a 1 a $ %. Da sich die Steiguge a1 ud a jeweils durch adere Terme (die Summe aus vorigem Kapitel) ersetze lasse, ergibt sich folgeder Satz: Sid Paare ( x 1, y 1 ),( x, y ), ( x, y ) ( ) vo Merkmalswerte gegebe, da berechet sich der lieare Korrelatioskoeffiziet r = a 1 a ach r = ( x )( y). ( x ) ( y) Mit de obe eigeführte Abkürzuge S xy = xy ud S xx = x i x ud der och fehlede S yy = y i y lässt sich der Korrelatioskoeffiziet bereche durch r = S xy S xx S yy. Amerkuge: Für de Korrelatioskoeffiziete lasse sich folgede Fälle uterscheide: 1. r > 0 steigede Regressiosgerade,. r < 0 fallede Regressiosgerade Für die Bewertug der Korrelatio gilt folgede Tabelle: r 0 (0 ; 0.3) (0.3 ; 0.7) (0.7 ; 1) 1 Korrelatio keie schwache mittlere starke volle Wir schaue us all diese Zusammehäge a eiem ausführliche Beispiel a: Bei eier ladesweit durchgeführte Polizeikotrolle wurde die Reaktiosfähigkeit vo Mesche, abhägig vom Alkoholgehalt i ihrem Blut, utersucht. Alkoholgehalt i 0, 0,3 0,4 0,6 0,8 1,0 Reaktioszeit i s 0,13 0,158 0,18 0,3 0,7 0,33 a.) Zeiche Sie die Wertepaare i ei Diagramm b.) Bestimme Sie die lieare Korrelatio 15

5 c.) Ermittel Sie die Regressiosgerade bezüglich x ud zeiche Sie sie i das Diagramm uter a.) Lösug a) Der äherugsweise lieare Zusammehag ist i etwa a de Messpukte zu erkee. b) Ma bereche die Mittelwerte x ud y ud verwedet zur Bestimmug der lieare Korrelatio die obe hergeleitete Formel: 0,+ 0,3+ +1,0 0,13+ 0, ,33 x = = 0,55 ; y = = 0, Zur bessere Übersicht führt ma die Rechug am Beste mit Hilfe eier Tabelle durch: x y ( x )( y) ( x ) ( y) 1-0,35-0,086 0,0301 0,15 0, ,5-0,058 0,0145 0,065 0, ,15-0,036 0,0054 0,05 0, ,05 0,014 0,0007 0,005 0, ,5 0,054 0,0135 0,065 0, ,45 0,114 0,0513 0,05 0, ,00 0,1155 0,475 0,08164 Der Korrelatioskoeffiziet zeigt eie starke Korrelatio zwische dem Alkoholgehalt im Blut ud der Reaktiosfähigkeit. 0,1155 r = = 0, 999 0, 4750, 0814 c) Zur Berechug vo m ud b werde die obe hergeleitete Formel verwedet 16

6 m = 0,43 b = 0,0835 Die Regressiosgerade bezüglich x hat die Gleichug: y = 0, 43x + 0,