Klausur 3 Kurs 11ma3g Mathematik

Transkript

1 Klausur 3 Kurs ma3g Mathematik Lösug I eier Lotto-Ure befide sich 49 Kugel, die mit de Zahle vo bis 49 beschriftet sid. Eie eizige Kugel wird gezoge. Bereche Sie die Wahrscheilichkeit, dass diese Kugel eie der Zahle 3, 32, 33, 34, 35, 36, 37 trägt. Es liegt ei Laplace-Versuch vor, da für jede Zahl die Wahrscheilichkeit p fürs Ziehe gleich ist. Da 7 Zahle vo 49 eie Erfolg bedeute, ist p= 7 49 = 7. 2 Gebe Sie Beispiele für jeweils eie Zufallsversuch a, bei dem es sivoll ist a) de Zetralwert statt des arithmetische Mittelwerts, We fast alle Zahle aus eiem eg begrezte Zahlbereich stamme ud weige sehr viel größere oder kleiere Zahle existiere, ist es sivoll, die Ausreißer icht zu berücksichtige. Beispiel: Das Alter der Mesche i eiem Klasseraum wird erfragt. Wird der (über 60 Jahre alte) Lehrer mit i die Befragug eibezoge, so würde der arithmetische Mittelwert eie Wert ergebe, der über dem Alter der meiste Schüler liegt. Beispiel: 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 6: Zetralwert ist 7 ud arithmetischer Mittelwert ist 9,2. b) de arithmetische Mittelwert statt des Zetralwerts Häufe sich die Zufallswerte bei Werte sehr uterschiedlicher Größe, ka der Zetralwert eie verzerrte Eidruck des Ergebisses erwecke. Beispiel: Ma würfelt ud erhält für jede 6 eie Auszahlug vo 2. Hat ma keie 6 gewürfelt, erhält ma ichts (also 0 ): 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 2. Aus dem Zahlebeispiel folgt: arithmetischer Mittelwert ist 2, Zetralwert ist 0. azugebe. 3 I eiem Gefäß befide sich 0 rote, 5 gelbe, 3 grüe ud 2 blaue Kugel eiheitlicher Größe ud eiheitliche Materials. Es wird Kugel gezoge. Je ach Farbe erhält ma eie Preis: für rot, 2 für gelb, 3 für grü ud 4 für blau. Gebe Sie a (Stichpukte), welche Schritte der Reihe ach otwedig sid, um de Erwartugswert ud die Stadardabweichug mit Bleistift ud Papier, also ohe Tascherecher oder Computer, zu bereche. Führe Sie da diese Rechuge mit Hilfe der Listeasicht des GTR durch ud protokolliere Sie die Werte (Zwischeergebisse ud E(X) ud σ(x)). Die Preise (i ) werde mit de Wahrscheilichkeite (Azahl der Kugel eier Farbe dividiert durch die Azahl aller Kugel) für die Kugel der etsprechede Farbe multipliziert. Diese Ergebisse addiert ergebe de Erwartugswert. Die Differeze der Preise vom Erwartugswert werde quadriert ud mit de etsprechede Wahrscheilichkeite multipliziert. Diese Ergebisse addiert ergebe die Variaz. Die Wurzel aus der Variaz ergibt die Stadardabweichug. Etsprechede Rechug mit dem Tascherecher auf der ächste Seite: Klausur 3 Kurs ma3g Mathematik - Lösug Seite /5

2 Der Erwartugswert ist also E ( X )=,85, die Variaz hat de Wert V (X )=,027 ud die Stadardabweichug ist damit σ( X ),04. 4 Facebook hat folgede Teilehmerzahle veröffetlicht: a) Die mittlere Spalte wurde zu Ihrer Erleichterug hizugefügt. Erkläre Sie die Bedeutug der Zahle i dieser Spalte. Da die Date icht immer im selbe Moat erhobe wurde, liege zwische de Date der Messwerte uterschiedlich lage Zeiträume. Die 2. Spalte gibt die Zeit i Moate vo Begi 2004 a ud ermöglicht so eie korrekte graphische Darstellug ud Auswertug. b) Stelle Sie die Date der 2. ud 3. Spalte graphisch dar ud fide Sie mit Hilfe eier Regressio eie Fuktiosgleichug zur Beschreibug der Date. Bei der Regressio liefert sowohl ExpReg (Expoetialfuktio - im mittlere Bereich die utere Kurve) als auch PwrReg (Potezfuktio) keie brauchbare Ergebisse. Falls es keie eideutige Lösug gibt, teile Sie de Datebereich i 2 Teile ud führe Sie die Regressio für jede Teil gesodert durch. Die erste 5 Werte werde zuächst utersucht (dort liegt eie gekrümmte Kurve vor, bei de ächste 5 Werte scheit eie lieare Fuktio vorzuliege). Auf Grud des Korrelatioskoeffiziete ud des Kurveverlaufs scheit die Expoetialfuktio y =0,34, x das Asteige der Teilehmerzahle i de erste Jahre am beste darzustelle Klausur 3 Kurs ma3g Mathematik - Lösug Seite 2/5

3 Lieare Regressio bei mit letzte 5 Werte: Es ergibt sich die Gerade mit der Gleichug y =20,5 x 20,2. c) Gebe Sie eie begrüdete Progose über die weitere Etwicklug der Nutzerzahle. Berücksichtige Sie dazu ur die gegebee Tabelle ud keie aktuelle Erketisse. Da das Awachse der Nutzerzahle zuächst durch eie Expoetialfuktio ud da durch eie lieare Fuktio beschriebe werde ka, hat sich die Wachstumsgeschwidigkeit verrigert. Würde sich die Wachstumsgeschwidigkeit weiter verriger, würde die Ausgleichskurve als Rechtskurve weiter geführt werde. Möglich wäre also ei sich aschließedes begreztes Wachstum, so dass isgesamt ei logistisches Wachstum vorliege würde. 5 Alle 74 Schüler/ie der GFS erhielte eie Eiladug zum Schulfest. Leider wurde die beschriftete Umschläge ud die persoalisierte Eiladugsschreibe (Seriebrief) per Zufall eiader zugeordet. Bereche Sie die Wahrscheilichkeit dafür, dass geau ei(e) eizige(r) Schüler(i) eie Brief erhalte hat, i dem die Adresse ud die Arede übereistimmte. Lösug mit Biomialverteilug: Versuch: Schüler/i vergleicht Aschrift ud Arede. Es gibt die beide Ergebisse Erfolg=Übereistimmug ud Misserfolg=keie Übereistimmug. Die Zufallsvariable X gibt die Azahl der Erfolge a. Die Wahrscheilichkeit für Erfolg ist immer p= 74. Gesucht ist B ( X =)= 74 ; 74 ( 74 ) ( 74) ( , ) Berechug mit dem Tascherecher auch mit der Fuktio biompdf(74,/74,) möglich. Lösug 2 mit dem /e-gesetz: Ist gleich /p bzw. p gleich /, so ergibt sich für größere äherugsweise B ; ( X =0)=B ( X =)= ; e =0, Klausur 3 Kurs ma3g Mathematik - Lösug Seite 3/5

4 6 Zeige Sie mit Hilfe eier allgemeie Rechug (also mit Buchstabe), dass folgede Beziehug zwische 2 Biome gültig ist: ( a b) = ( a a b). Es gilt ( k) =! k! ( k)!. Daraus folgt ( a b) = a! b! (a b)! ud ( a b) a = a! (a b)! (a (a b))! = a! (a b)! (a a+b)! = a! (a b)! b! = a! b! (a b)! = ( a b), q. e. d. 7 Bei eiem Gewispiel darf ma für,50 Eisatz teilehme. Es wird mit eiem (echte) W6-Würfel maximal 4-mal gewürfelt. Würfelt ma beim. Wurf eie 6, so erhält ma 4 ud das Spiel ist beedet. Würfelt ma beim 2. Wurf eie 6, so erhält ma 3 ud das Spiel ist beedet. Würfelt ma beim 3. Wurf eie 6, so erhält ma 2 ud das Spiel ist beedet. Würfelt ma beim 4. Wurf eie 6, so erhält ma ud das Spiel ist beedet. Bereche Sie de Erwartugswert (Gewi pro Spiel) ud beatworte Sie die Frage, ob das Spiel fair ist oder wer (der Spielede oder der Spielabieter) eie Vorteil hat. Würfelt ma zum erste Mal eie 6 im -te Wurf, so hat ma vorher (-)-mal keie 6 geworfe. Die Wahrscheilichkeit ist da p()=( 5 (. Für die obe dargestellte Fälle ergebe sich deshalb folgede Wahrscheilichkeite: p()=( 5 0 ( = 6 ( ; p(2)= 5 ( = 5 ; p 6 (3)=( 5 2 ( = 52 ; 2 6 p(4)=( 5 3 ( = Für de Erwartugswert gilt deshalb (Summe über alle Produkte k P(X=k); k sid Gewie i ): E ( X )= ,4 Ma gewit also etwa,4 pro Spiel. Da der Eisatz,50 pro Spiel beträgt, gewit der Spieleabieter etwa 9 Cet pro Spiel. Das Spiel ist also icht fair ud der Spieleabieter hat eie Vorteil. 8 Ei großer Zoo hat am Eigag 3 Eigags-Drehkreuze eigerichtet. Jede Perso beötigt im Schitt 5 Sekude, um durch das Drehkreuz zu gelage. I der Hauptbesuchszeit gehe 2000 Persoe pro Stude i de Zoo hiei. a) Bereche Sie, wie viele Drehkreuze währed der Hauptbesuchszeit im Schitt zur selbe Zeit beötigt werde (icht rude, soder Dezimalzahl agebe). Als Beobachtugs-Zeitraum wird Stude gewählt. I dieser Zeit durchquere =2000 Persoe die Drehkreuze. Die Wahrscheilichkeit, dass ei Gast a eiem Drehkreuz agetroffe wird, beträgt p=5/=/720 ( Stude hat Sekude). Wir reche mit der Biomialverteilug, weil es ur 2 Ergebisse gibt (Drehkreuz wird vom Gast beutzt, Drehkreuz wird vom Gast icht beutzt) ud weil sich die Wahrscheilichkeit dafür, dass ei Gast das Drehkreuz beutzt,icht ädert. Für de Erwartugswert gilt also E ( X )= p= ,78. Ma sollte also aehme, dass 3 Drehkreuze reiche Klausur 3 Kurs ma3g Mathematik - Lösug Seite 4/5

5 b) Bereche Sie die Wahrscheilichkeit dafür, dass ma währed der Hauptbesuchszeit a de Drehkreuze warte muss. Zu bereche ist die Wahrscheilichkeit, dass mehr als 3 Drehkreuze beötigt werde: B ( X >3)= B ( X 3) 0,697=0, ; ; I etwa 30% der Zeit werde mehr als 3 Drehkreuze beötigt. Zusatz: Wie wäre die Situatio bei 4 Drehkreuze? B 5 (X > 4)= B 5 ( X 4) 0,85=0, ; 2000 ; 9 Ei Lehrer erstellt eie Akreuztest mit 0 Aufgabe. Wer weiger als 5 Aufgabe richtig beatwortet, besteht de Test icht. Bereche Sie, wie viel Atwortmöglichkeite für jede Aufgabe zur Auswahl gestellt werde müsse, damit die Wahrscheilichkeit, de Test ur durch Rate zu bestehe, kleier als 5% ist. Es liegt ei Beroulli-Versuch vor, da es bei eier Atwort 2 Möglichkeite gibt (richtig ud falsch) ud die Wahrscheilichkeit bei jeder Aufgabe für die richtige Lösug durch Rate gleich ist. =0 ist gegebe. Die Wahrscheilichkeit, 5 oder mehr Aufgabe richtig zu beatworte, soll kleier als 5% sei. Als Formel: B 0, p ( X 5)<5%=0,05 oder B 0, p ( X 4)>00% 5%=0,95. Zur Lösug werde im Tascherecher die Werte für B 0, p ( X 4) berechet, idem ma für p die für die Azahl der Lösugsvorschläge etsprechede Wahrscheilichkeit eisetzt: 2 Lösuge: p=/2; 3 Lösuge: p=/3; 4 Lösuge: p=/4; 5 Lösuge: p=/5 usw. Ma schaut dabei ach, wa die Wahrscheilichkeit größer als 0,95 wird. B 0, 2 ( X 4) 0,377 ; B 0, 3 ( X 4) 0,787 ; B 0, 4 ( X 4) 0,922 ; B 0, 5 (X 4) 0,967 Daraus folgt, dass bei 5 Atwortmöglichkeite die Wahrscheilichkeit, mehr als 4 Aufgabe richtig gerate zu habe, kleier als 5% ist. Alterativ hätte ma mit dem Solver bereche köe, bei welcher Wahrscheilichkeit p sich geau 5% ergebe würde: p=0, gehört zu /p=4, Frage, d. h. ab 5 Frage ist die Greze vo 5% überschritte. Formel: h= H σ( X )= i x= x +x x E ( X )= k i p( X =k i ) i (k i E ( X )) 2 p ( X =k i ) ( k) =! k! ( k)! 0! = ;!= ; 2... =! B ; p ( X =k )= ( k) pk q ( k) Viel Erfolg bei der Bearbeitug der Aufgabe! Klausur 3 Kurs ma3g Mathematik - Lösug Seite 5/5