Konfidenzintervall_fuer_pi.doc Seite 1 von 6. Konfidenzintervall für den Anteilswert π am Beispiel einer Meinungsumfrage

Transkript

1 Kofidezitervall_fuer_pi.doc Seite 1 vo 6 Kofidezitervall für de Ateilswert π am Beispiel eier Meiugsumfrage Nach eier Meiugsumfrage der Wochezeitug Bezirksblatt vom März 005, ei halbes Jahr vor de Ladtagswahle im Burgelad (Stichprobeumfag = 40) ergab folgede Umfrageergebisse (siehe Bild rechts): Bei sofortige Ladtagswahle würde die SPÖ 55%, die ÖVP 35%, die FPÖ 5% ud die Grüe würde 5% der Stimme erhalte. Wir wolle eie Hochrechug für de Wahlausgag durchführe ud bereche Kofidezitervalle für de Stimmeateil der vier Parteie. Weiters bereche wir die Schwakugsbreite e für alle berechete Kofidezitervalle ud vergleiche die berechete Kofidezitervalle mit de tatsächliche Ergebisse der Wahl: SPÖ: 5.% ; ÖVP: 36.3% ; FPÖ: 5.8%; Grüe: 5.%. Bei Meiugsumfrage ist es üblich mit eiem Kofideziveau c = 95% zu reche. Die Azahl X der Wähler der Partei A i eier Stichprobe vom Umfag ist biomialverteilt mit dem bekate Parameter ud eiem ubekate π (µ = π). Wir bereche zuächst ei Kofidezitervall für die SPÖ auf klassische Weise mit dem V00, mit dem TI-84 Plus, mit TI-IterActive! ud mit TI-Nspire. pˆ = 0,55 = 1 40 Arbeite Sie beim V00 mit der Listestatistik. Wähler vo Partei A i der Stichprobe = 40 Umfag der Stichprobe c = 95% Niveau des Kofidezitervals pˆ = Wählerateil (bekat) vo Partei 40 A i der Stichprobe Für das Kofidezitervall des Ateilswertes π eier Grudgesamtheit gilt für 0,3 < pˆ < 0,7 die Näherugsformel: pˆ z π pˆ + z bild. + mit = Φ 1 c 1 z (für c = 0,95 gilt z 1,96) oder [ pˆ e ; pˆ + e] mit e = z e = Fehlertoleraz; Schwakugsbreite bild3.gif Alle TI-Produkte bereche Kofidezitervalle für Ateilswerte ach dieser Formel im 1-PropZIt. p_hat = pˆ ME = e scree01 scree0 scree03 Wählerateil i Stichprobe Schwakugsbreite

2 Kofidezitervall_fuer_pi.doc Seite vo 6 TI-84 Plus scree05/06 spire3 spire TI-IterActive! scree07 Bild4.gif Iterpretatio der Ergebisse: Mit eier Wahrscheilichkeit vo 95% liegt der Wählerateil der SPÖ zwische 50,1% ud 59,8% der abgegebee Stimme. Kofidezitervall SPÖ: [0,5011 ; 0,5984] c = 0,95 Der Stimmeateil der SPÖ bei Wahl war 5,% ud liegt somit im Kofidezitervall. Auf aaloge Weise köe die Kofidezitervalle auch für die adere Parteie berechet werde. Iteressater ist es allerdigs die Kofidezitervalle grafisch als Kofidezellipse darzustelle. Bild5.gif TI-Nspire CAS Arbeite Sie im Calculator um Kofidezitervalle direkt zu bereche. spire1 Grafische Darstellug vo Kofidezitervalle Für die Veraschaulichug vo Kofidezitervalle werde zuerst die Gleichuge der begrezede Fuktioe defiiert. Diese Fuktioe werde da für kokrete Werte vo ud pˆ dargestellt. I diesem Beispiel gilt: p steht für pˆ. Zuächst werde die begrezede Fuktioe piu(,p) ud pio(,p) sowie die Fuktio für die Schwakugsbreite e(,p) defiiert. Das vertikale Geradestück zwische de Ellipsehälfte stellt das Kofidezitervall für de Wert pˆ (hier p) dar.

3 Kofidezitervall_fuer_pi.doc Seite 3 vo 6 I TII defiiere Sie zuächst Werte ud Fuktioe mit MathBoes im Arbeitsblatt. I N-Spire gebe Sie die Defiitioe der Werte ud Fuktioe zuächst i de Calculator ei. Bild8.gif Gebe Sie die Fuktiosbezeichuge i de Fuktioseditor ei. Nspire4 Im ächste Schritt werde die Grafe der soebe defiierte Fuktioe i eiem geeigete Koordiatesystem für de vorliegede Stichprobeumfag = 40 dargestellt. Mit Hilfe der TRACE-Fuktio werde a der Stelle p = 0,55 die Fuktioswerte ermittelt ud die Werte agezeigt. Die y-koordiate der berechete Pukte ergebe die Greze des Kofidezitervalls. Bild7.gif Bei de Hadhelds gebe Sie die Fuktiosgleichuge direkt im Fuktioseditor ei. Bild9.gif scree10 Scree1 Scree15

4 Kofidezitervall_fuer_pi.doc Seite 4 vo 6 Bild9.gif Bild11.gif Scree11 Scree13 Scree13a scree14 Aus de Grafike wird für p = 0,55 das Kofidezitervall [0,501 ; 0,599] ud die Schwakugsbreite e = 0,0486 ( 5%) abgelese. I TII köe die Kofidezitervalle optisch och besser aufbereitet werde: Bild1.gif Bei der Darstellug des Kofidezitervalls mit dem N-Spire habe Sie sogar de Vorteil der Iterakivität der Grafik. Durch Ziehe der vertikale Gerade, ka pˆ (hier p) ud damit das Kofidezitervall verädert werde. Bild10.gif Nspire5 Ma erhält folgede weitere Kofidezitervalle: ÖVP: [0,3041 ; 0,3974] FPÖ/Grüe: [0,085 ; 0,071] Alle Kofidezitervalle ethalte de tatsächliche Stimmeateil der jeweilige Partei ach der Wahl. Die Hochrechug hat also richtige Vorhersage geliefert.

5 Kofidezitervall_fuer_pi.doc Seite 5 vo 6 Die Berechuge zeige weiters, dass die Schwakugsbreite e sehr stark vom Ateilswert pˆ (i der Grafik p) ud vom Umfag der Stichprobe abhägt. Ma ka allgemei zeige, dass die maimale Schwakugsbreite bei pˆ = 0.5 auftritt. Aus der Grafik (c = 0,95) erket ma weiters, dass beispielsweise Umfrage mit = 100 eie Schwakugsbreite vo fast 10% (Breite des Kofidezitervalls 0%) habe ud somit für Schätzuge ubrauchbar sid. Sivoll sid erst Umfrage mit eiem Stichprobeumfag vo > 300. Für de Stichprobeumfag = 40 ergibt sich eie maimale Schwakugsbreite vo ca. 4,9%. Überleguge zum Umfag eier Stichprobe für de Ateilswert π Geht ma vom Kofidezitervall mit e = z aus ud bereche Sie daraus durch elemetare Umformuge de z Stichprobeumfag = mit e + = Φ 1 c 1 z. Das Problem ist allgemei, dass bei der Berechug des Stichprobeumfags der Ateilswert π der Grudgesamtheit icht bekat ist. Ma ka dieses Problem dadurch löse, idem ma eie Vorerhebug mit kleiem Stichprobeumfag macht ud daraus pˆ = π ermittelt. Fortsetzug der Berechuge: Die Blitzumfrage uter 40 Wahlberechtigte ergab, dass bei der ächste Wahl = 1 vo de gefragte Persoe die SPÖ wähle würde. Der Rest der Stimme verteilt sich auf adere Parteie. Es wurde ei 95% Kofidezitervall für de ubekate Wählerateil π der SPÖ uter alle Wahlberechtigte ermittelt: [0,501 ; 0,599]. Die Schwakugsbreite ist allerdigs ca. 5%. Dem Kadidate der SPÖ ist diese Schätzug zu upräzise. Er möchte ei Ergebis auf ± 1% (dh. e = 0.01) geau. Wie groß muss dafür der Stichprobeumfag sei (c = 0.95)? pˆ = 1/40 = % z (1 0.55) = = = e ; Stichprobeumfag = 9508 Die Blitzumfrage mit = 40 ka als Vorerhebug aufgefasst werde. Daraus wird pˆ = 55% berechet. Alterativ ka ma de worst case aehme: Dabei wird für pˆ = 0.5 verwedet, da 0.5 (1-0.5) = 0.5 ei Maimum der Fuktio mit f(p) = p (1- p) ist (1 0.5) = = 9604; Der Stichprobeumfag ist mit = 9604 größer als im 0.01 vorige Fall mit eier Vorerhebug. Dies ist i der Prais aus Kostegrüde iteressat. Grafische Darstellug des Stichprobeumfages, i Abhägigkeit vo der Fehlertoleraz e. c = 0.95 ud pˆ = (e) = e

6 Kofidezitervall_fuer_pi.doc Seite 6 vo 6 Friedrich Tihof Budeshadelsakademie Eisestadt T3 Österreich fritz.tihof@t3oesterreich.at Literatur: Mathematik Bad V für HAK Trauer Verlag