Elemente aus Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Transkript

1 Elemete aus Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Beispiele ud Areguge zur Umsetzug im Uterricht mit TI-IterActive! 2008 Friedrich Tihof BHAK Eisestadt Some Mathematics becomes more importat because techology requires it. Some Mathematics becomes less importat because techology replaces it. Some Mathematics becomes possible because techology allows it. Bert Waits, Ohio State Uiversity (2000)

2 Statistik ud Wahrscheilichkeit 2 Empirische Verteiluge; Häufigkeitsverteiluge Eie Grudgesamtheit ist durch eie Stichprobe hisichtlich eies Merkmals zu utersuche. Das Merkmal immt i dieser Stichprobe bestimmte Merkmalsauspräguge a. Für jede Merkmalausprägug wird festgestellt, wie oft sie auftritt. Die Häufigkeit f i (frequecy) der i-te Merkmalausprägug wird ermittelt. Beispiel: I eiem Wohblock wird die Azahl der i eiem Haushalt lebede Persoe, die Haushaltsgröße vo 20 Haushalte erhobe. (Haushaltsgröße.tii) Es ergebe sich folgede Werte (Urliste): 2, 3, 5, 4, 6, 2, 2, 6, 2, 2, 2, 3,, 3, 3, 4, 3,, 7, 4 Merkmalausprägug x i Azahl der im Haushalt lebede Persoe Strichliste absolute Häufigkeit f i relative Häufigkeit h i relative Häufigkeit i Prozet // % 2 //// / % 3 //// % 4 /// % 5 / % 6 // % 7 / % Summe 20 00% = 20 Stichprobeumfag xi Merkmalausprägug, Haushaltsgröße, Azahl der im Haushalt lebede Persoe xi {, 2, 3, 4, 5, 6, 7} x = ; x2 = 2; x3 = 3;...; x7 = 7 fi absolute Häufigkeit (egl. frequecy) der Haushaltsgröße xi 7 fi = fi h i = h i = hi relative Häufigkeit der Haushaltsgröße xi ; 20 i= Darstellug der absolute Häufigkeite als Diagramm: i= 7 Klicke Sie auf, um de Data Editor vo TII zu öffe. Gebe Sie die xi-werte i Liste L(ud die fi-werte i Liste L2) ei. Klicke Sie auf Ihr TII-Arbeitsblatt. Der Data Editor bleibt geöffet. Klicke Sie im Data Editor auf das Schaltzeiche, wähle Sie da die statistische Grafik ud gebe Sie i das erste Eigabefester de Name der Liste L ei. Klicke Sie auf das Symbol sie zu formatiere., um die Grafik azupasse ud um

3 Statistik ud Wahrscheilichkeit 3 Histogramm: Stabdiagramm: Statistische Kegröße: Drücke Sie ud öffe sie damit das Stat Calculatio Tool. Trage Sie L für die Werte der X List ei. Frequecy bleibt zuächst leer. Calculate & Save Results Mit der Eigabe showstat() i eie eue Mathbox erhalte Sie die Kegröße ud dere Systembezeichug.

4 Statistik ud Wahrscheilichkeit 4 Date mit dem Zufallsgeerator (Pseudozufallszahle): Gazzahlige Zufallszahle erhält ma mit radit(uteregreze,oberegreze,azahl) Mit radseed(code) ka der Zufallsgeerator iitialisiert werde, sodass alle Beutzer desselbe Codes auch dieselbe Zufallszahle erhalte. Mit L werde die ermittelte Zufallszahle i Liste L gespeichert. Sortiere der Listeelemete: Liiediagramm: Beim Liiediagramm müsse die Koordiate der Pukte i Listeform gegebe sei! Da i L scho die Urliste steht, verwede wir L2 ud L3. (haushaltsgröße.tii; radseed(234))

5 Statistik ud Wahrscheilichkeit 5 Vo besoderer Bedeutug für die folgede Überleguge ist auch die Summehaüfigkeit (kumulierte Häufigkeit) Fortsetzug des letzte Beispiels: Im utersuchte Lizer Wohblock wurde die Haushaltsgröße vo 20 Haushalte erhobe. Die Auswertug der Date erfolgte i Tabelleform. - I wie viele Haushalte lebe bis zu maximal 2 Persoe? Wir müsse die Haushalte mit eier Perso ud die Haushalte mit 2 Persoe addiere = f + f 2 = f j = 8 2 j= I 8 Haushalte lebe maximal 2 Persoe. - I wie viele Haushalte lebe bis zu maximal 3 Persoe? Wir müsse die Haushalte mit eier, zwei ud die Haushalte mit drei Persoe addiere = f + f 2 + f 3 = f j = 3 3 j= I 3 Haushalte lebe maximal 3 Persoe. - I wie viele Haushalte lebe bis zu maximal 6 Persoe? Wir müsse die Haushalte mit eier, zwei, drei, vier, füf ud die Haushalte mit sechs Persoe addiere. i i = f j j= = f + f 2 + f 3 + f 4 + f 5 + f 6 = f j = 9 I 9 Haushalte lebe maximal 6 Persoe. 6 j= F absolute Summehäufigkeit (kumulierte Häufigkeit) H = relative Summehäufigkeit i h j j= i Fortsetzug des letzte Beispiels: Darstellug i Tabelleform: i ist die Zeileummer i x i f i h i absolute Summehäufigkeit relative Summehäufigkeit Summe 20

6 Statistik ud Wahrscheilichkeit 6 Grafische Darstellug der Summehäufigkeit: (haushaltsgröße.tii) Aus Summehäufigkeite köe wieder die eizele Häufigkeite ermittelt werde: f = F F i =, 2, k i i i h i = H i H i i =, 2, k Mit F o = 0 ud H o = 0 Beispiel Fortsetzug: Die Tabelle gibt die Haushaltsgröße vo 20 Haushalte i eiem Wohblock a. Wieviele Persoe lebe im Durchschitt i eiem Haushalt? L L2 L3 L4 i x i f i h i x i h i Summe: Durchschittlich lebe 3.25 Persoe i eiem Haushalt. Media Der Media darf ab ordialskalierte Date (Reihefolge gegebe) berechet werde. Der Media teilt eie der Größe ach geordete Datebestad i zwei gleich große Hälfte ud wird vo Ausreißer kaum beeiflusst. Defiitio Der Media vo Messwerte, die ihrer Größe ach geordet sid, ist - der Wert i der Mitte, bei ugerader Azahl vo Date. - bei gerader Azahl vo Date das arithmetische Mittel der beide Datewerte i der Mitte. Beispiel: 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8 Media = 4 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 8 Media = (4 + 5)/2 = 4.5

7 Statistik ud Wahrscheilichkeit 7 Fortsetzug des Beispiels Haushaltsgröße Media = 3 Quartile Der Media teilt die der Größe ach geordete Date i eie obere ud i eie utere Hälfte. Das utere Quartil Q ist der Media der utere Datehälfte. Das obere Quartil Q 3 ist der Media der obere Datehälfte. Das mittlere Quartil Q 2 ist der Media aller Date. Urliste: 2, 3, 5, 4, 6, 2, 2, 6, 2, 2, 2, 3,, 3, 3, 4, 3,, 7, 4 Der Größe ach geordete Date:,, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 6, utere 44 7Hälfte , 4243, 2, 2, 2, 2, , 2, 3, 3,.Viertel 2.Viertel 644 obere 44 7Hälfte , 3, 3, 4, 4, 4, , 6, 6,7 3.Viertel 4.Viertel Q Q 2 Media Q = = Q2 = = Q3 = = 4 2 Q 3

8 Statistik ud Wahrscheilichkeit 8 Die Füf-Pukte-Zusammefassug (ach Joh Turkey) eier Häufigkeitsverteilug besteht aus 5 Maßzahle:. Miimalwert 2. uteres Quartil Q 3. Media Q 2 4. oberes Quartil Q 3 5. Maximalwert Ei Box-Plot-Diagramm ist eie grafische Veraschaulichug der Füf- Pukte-Zusammefassug. Die Box erstreckt sich über das Itervall [Q ; Q 3 ], de Quartilsabstad. Der Media wird i der Box durch eie Strich markiert. Zwei Liie (whiskers, Schurrhaare eier Katze) außerhalb der Box gehe bis zum Miimalwert bzw. Maximalwert. Fortsetzug des Beispiels Haushaltsgröße. (haushaltsgröße.tii/pdf) Die Datewerte liege i Liste L vor. Lösug mit TII Klicke Sie auf de Pfeil ebe dem Schaltsymbol für Grafik. Wähle Sie die statistische Darstellug. Im Eigabefester für statistische Date gebe Sie für XList L ei. Äder Sie Weight auf die mittlere Dicke ud die Farbe auf rot. Aus der Auswahlliste für de Plot Type wähle Sie de Regular Box- Plot. Bestätige Sie Ihre Eistelluge mit OK ud aktiviere Sie das Kotrollkästche vor der eigegebee Liste. Passe Sie die Festereistelluge a ud füge Sie Ihre Grafik mit i das aktuelle Arbeitsblatt ei Amerkug: Das Modified BoxPlot stellt Ausreißer als Eizelpukte dar. Verschiedee Darstellugsforme köe auch kombiiert werde.

9 Statistik ud Wahrscheilichkeit 9 Veraschaulichug ud Iterpretatio der Stadardabweichug x s x x + s x x = 4. s =.9975 x = 3.95 s =.43 x = 4.5 s = Die Stadardabweichug s ist umso größer, je mehr die Date gestreut sid. Bei umfagreiche, aäherd ormalverteilte Date gilt: ca. 70% der Werte liege im eifache Streuitervall [ x- s ; x+ s] ca. 95% der Werte liege i zweifache Streuitervall [ x- 2 s ; x+ 2 s] Beispiel: Die Körpergröße eier Populatio ( = 2000) sei ageähert ormalverteilt. (koerpergr.tii/pdf; 229) Der Mittelwert sei x =70 cm, die Stadardabweichug sei s = 0 cm. x 2s x s x x + s x + 2s Es gilt äherugsweise: 68% (360 Persoe) der Populatio sid zwische 60 cm ud 80 cm groß. 95% (900 Persoe) der Populatio sid zwische 50 cm ud 90 cm groß. Eigabe: Iitialisierug: 2000 ormalverteilte Zufallszahle i L (µ=70; σ = 0): radorm(µ,σ,) f(x): ormalpdf(x,70,0)*2000

10 Statistik ud Wahrscheilichkeit 0 2 Zweidimesioale Verteiluge; Regressiosrechug Wir habe bisher ur eidimesioale Häufigkeitsverteiluge utersucht. I der Praxis fidet ma aber oft eie Zusammehag zwische zwei Variable X ud Y. Regressiosaalyse, Tredliie Mit der Regressiosaalyse wird versucht, de Zusammehag vo quatitative Merkmale i Form eier mathematische Fuktio azugebe. Beispiel: Vo 5 zufällig gewählte Persoe wurde Körpergröße ud Körpermasse (Gewicht) gemesse. Gibt es eie Zusammehag (Tred) zwische Körpergröße ud Körpermasse? (Körpergröße5pers.tii/pdf) Name Körpergröße i cm Körpermasse i kg Atoia Berta Claudia Dorothea Erika Die Datepaare (x i y i ) werde als Pukte im Streudiagramm (egl. Scatter Plot) i eiem kartesische Koordiatesystem dargestellt. Die dargestellte Pukte bilde eie Puktewolke. Gesucht ist u eie Tredliie, dh. zuächst eie Kurve, die de Zusammehag zwische Körpergröße ud Körpermasse am beste wiedergibt. Die Frage ist ur, welche Kurve ist die Beste? Der eifachste Typ eier Näherugskurve ist die Gerade mit der Gleichug y = a x + b. Die Eiflussgröße x (uabhägige Variable, Körpergröße) bedigt die Werte der Zielgröße y (abhägige Variable, Körpermasse). Zur Apassug der Näherugskurve a das Streudiagramm wird üblicherweise die Welche Gerade gibt de Zusammehag,de Tred zwische x- ud y-werte am beste wieder? Methode der kleiste Quadrate verwedet. Wir passe eie Gerade mit der Gleichug y = a x +b so a das Streudiagramm a, dass die Summe der Quadrate der vertikale Fehler (Residue e i ) miimal wird. Der Fehler zwische dem berechete y-wert auf der Regressiosliie ud dem gemessee y-wert für das Wertepaar (x i y i ) ist das Residuum e i. e i = y { i (a x 42 i + b) i =, 2, 3,. 43 Messwert Modellwert e e 2 e 3 e 5 e 4 Die Residue sid die Abstäde zwische de gemessee Werte yi ud de Modellwerte (Pukte auf der Regressiosliie).

11 Statistik ud Wahrscheilichkeit Die Quadratsumme F aller Fehler (Residue) der gemessee Wertepaare (x i y i ) beträgt: F(a, b) = ei = (a x 4243 i b) y i y(x 23 i ) y + = { i Miimum i= i= y(x ) i= Modellwert Messwert i Summe der Fehlerquadrate Die Modellparameter a ud b sid so zu bereche, dass F(a,b) miimal wird. Hädisch ist dies sehr recheitesiv. Mit CAS ist die Lösug der Extremwertaufgabe eifach zu bereche. Lösug mit TII Auf aaloge Weise ka auch Regressiosrechug mit Fuktioe höhere Grades betriebe werde. (methode_d_kl_quadr.tii/pdf) Amerkug: Allgemei gültige Berechugsformel zur Regressio fide Sie i eischlägige Bücher. Auf die Möglichkeit Regressiosliie mit Hilfe vo Matrize zu bereche wird hier icht eigegage.

12 Statistik ud Wahrscheilichkeit 2 Wüscheswert ist jetzt och eie Aussage über de Zusammeahag der statistische Date i Form eier Kezahl geauer auszudrücke. Dafür defiiere wir de Pearso sche Korrelatioskoeffiziete x i i= y i i= x = Mittelwert der x-koordiate der gegebee Date y = Mittelwert der y-koordiate der gegebee Date s xy = (xi x)(yi y) i= ( x y) etspricht dem Schwerpukt der Puktewolke Kovariaz positiv, we die Date vo liks ute ach rechts obe liege egativ, we die Date vo liks obe ach rechts ute liege r = s s x xy s y Korrelatioskoeffiziet (Pearso) Die Kovariaz wird durch die Stadardabweichuge s x ud s y dividiert. Durch diese Normierug gilt für r: - r. R² = r² = B Bestimmtheitsmaß 0 r² Der Pearso sche Korrelatioskoeffiziet r ist auch ei Maß für die Liearität des Zusammehages zweier Merkmale. Er ist daher für ichtlieare Zusammehäge icht geeiget. r = - r² = Wege des große Recheaufwades wird die Tredliie i Folge ausschließlich mit Techologieuterstützug berechet.

13 Statistik ud Wahrscheilichkeit 3 Tredliie mit Hilfsmittel berechet Der GTR (TI-83/TI-84) bietet Regressiosvariate, die es ermögliche schell ud eifach die Gleichug eier Regressioskurve zu bereche. TII ud adere Softwareprodukte biete och mehr Möglichkeite für die Regressio. Berechug der Tredliie mit TI IterActive! (Fortsetzug des Beispiels) Gebe Sie im erste Schritt die gegebee Date i Liste L ud L2 ei. Markiere Sie die Liste mit de Date. Öffe Sie das Stat Calculatio Tool mit. Eigabe i das Fester der Statistics Calculatio: Calculatio Type: aus der Liste Liear Regressio (ax+b) wähle XList: L YList: L2 Residual List: Listeame frei wählbar Regressio Equatio: Name der Fuktio(x) Calculate Markiere ( ) Sie Recheergebisse, die auf Ihrem Arbeitsblatt dargestellt werde solle. Klicke Sie auf Save Results, um die Ergebisse der Regressiosrechug is Arbeitsblatt zu überehme. Grafik Klicke Sie auf. Eigabe i das Eigabefester: Festereistelluge:

14 Statistik ud Wahrscheilichkeit 4 Eifüge der Grafik mit ud des Data Editors mit i Ihr Arbeitsblatt. Das Arbeitsblatt muss uter Umstäde och im Layout verbessert werde. (regressiosrechug.tii) Aufgabe Ü) Das 3. Gesetz vo Kepler Die Plaete bewege sich auf elliptische Bahe um die Soe. Es ist offesichtlich, dass der Abstad vo der Soe eie Eifluss auf die Umlaufzeit der Plaete hat. Die Frage ist ur, ob dieser Zusammehag liear, quadratisch, expoetiell oder vo eier gaz adere Form ist. Utersuche Sie mit Hilfe der Regressiosrechug de fuktioale Zusammehag zwische Bahradius (geauer: großer Ellipsehalbachse) ud Umlaufzeit. Vergleiche Sie die Regressiostype liear, quadratisch, expoetiell ud poteziell. Bereche Sie r². Amerkug: Vergrößer Sie i Ihrer Grafik de Bereich für Merkur, Veus, Erde ud Mars. Welche Regressio modelliert i dieser Vergrößerug die Puktewolke besser? (Kepler3.tii/pdf) Ü2) Sius Regressio Die Tabelle ethält die Tagesläge i Miute im ördliche Burgelad, gemesse a bestimmte Kaledertage. Bereche Sie eie Fuktio, die die Pukte optimal aähert. A welchem Tag ist die Tagesläge maximal? A welchem Tag ist die Zuahme der Tagesläge maximal? Tag Tagesläge (SiusTaglaeg.tii/pdf; vergleiche: 366Tage.tiipdf)

15 Statistik ud Wahrscheilichkeit 5 2 Wahrscheilichkeitsrechug Historischer Wahrscheilichkeitsbegriff: P(A) h() für große Die relative Häufigkeit h() stellt für eie hireiched große Azahl vo Durchführuge des Zufallsexperimets eie Schätzwert für die gesuchte Wahrscheilichkeit P dar. Beispiel: Darstellug der relative Häufigkeit h(i) mit TI IterActive!. (WerfeWürfel.tii) Die Darstellug wurde durch Verwedug eies kleie Programms automatisiert. Utersuchtes Ereigis: Augezahl 6 bei 500 Würfe Die Häufigkeit h(i) stabilisiert sich i der Nähe der Wahrscheilichkeit P /6. Es stellt sich die Frage: Ka ma rel. Häufigkeite h(i) vorhersage oder weigstes eischräke? Beispiel: I eier Klasse der BHAK Eisestadt befide sich 25 Schüler. a) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass a eiem Tag mehr als ei Schüler Geburtstag hat? b) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass allgemei bei Persoe a eiem Tag mehr als eie Perso Geburtstag hat? c) Ab wie viele Persoe ist es wahrscheilicher, dass mehrere Persoe am selbe Tag Geburtstag habe, als dass alle Persoe a verscheidee Tage Geburtstag habe? Bei der Lösug der Aufgabe ehme wir a, dass alle 365 Tage eies Jahres gleichwertig sid ud wir verachlässige Schaltjahre. (Geburtstagsproblem.tii) A... A... mehrere Persoe habe a eiem Tag Geburtstag alle Persoe habe a verschiedee Tage Geburtstag Zahl der Persoe Wahrscheilichkeit, dass Persoe a verschiedee Tage Geburtstag feier. P (A) Wahrscheilichkeit, dass bei Persoe mehrere Persoe a eiem Tag Geburtstag habe. P(A) = - P (A) = = = = 0,997 0, = = 0, = = 0,984 0,

16 Statistik ud Wahrscheilichkeit ( ) ( ) ( ) = ( ) ( 366 ) = ( ) 365 P(A) =... ( ) ( 365 )! 365! = ( 365 )!365 ( 365 )! für < 366 Eie direkte Berechug aller Wahrscheilichkeite ist wege der Berechug vo 365! icht möglich. Wir wähle die rekursive Form zur Berechug der Wahrscheilichkeite. Lösugsasatz mit TII: Zelle A4: Zelle B4: Zelle C4: 0 Zelle A5: 2 Zelle B5: = B4*(366 A5)/365 Zelle C5: = B5 Kopiere Sie die Zelle A5:C5 i die daruter liegede Zeile ud erstelle Sie eie geeigete Grafik. Die Lösug der Aufgabe mit Excel erfolgt ählich der Lösug mit TI IterActive!.

17 Statistik ud Wahrscheilichkeit 7 Biomialverteilug Die Biomialverteilug (Beroulliverteilug) ist wahrscheilich die wichtigste diskrete Wahrscheilichkeitsverteilug. Grudlage ist ei Zufallsexperimet mit zwei mögliche, eiader ausschließede Ergebisse A ud A. P(A) = p Erfolgswahrscheilichkeit P( A ) = - p = q Misserfolgswahrscheilichkeit Das Zufallsexperimet wird -mal durchgeführt, wobei die Durchführuge uabhägig voeiader sei solle (Ziehe mit Zurücklege). Utersucht wird die Azahl der Erfolge x bei uabhägige Durchführuge des Zufallsexperimets. Beispiel: I eier Ure befide sich 5 Kugel. Davo sid 7 rot ud 8 Kugel blau. Es werde 3 Kugel mit Zurücklege etomme. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit keie, eie, zwei oder drei rote Kugel zu ziehe? N = 5 Umfag der Grudmege M = 7 Azahl der Elemete mit bestimmter Eigeschaft (hier: Farbe der Kugel ist rot). M 7 p = = Erfolgswahrscheilichkeit p N 5 M 8 q = = Misserfolgswahrscheilichkeit q = - p N 5 = 3 Umfag der Stichprobe (mit Zurücklege) X = Azahl der rote Kugel i der Stichprobe, x i {0,, 2, 3} P(X = 0) = P(ie rot) = P(b b2 b3) = = 0.57 (= ) P(X = ) = P(eimal rot ud zweimal icht rot) = = P((r b2 b3) (b r2 b3) (b b2 r3) ) = = P(r b2 b3) +P(b r2 b3) + P(b b2 r3) = 7/ = + + = rot 8/ / Start = 3 = /5 P(X = 2) = P(zweimal rot ud eimal icht rot) = = P((r r2 b3) (r r2 b3) (r r2 b3) ) = = P(r r2 b3) +P(r b2 r3) + P(b r2 r3) = = + + = = 3 = P(X = 3) = P(dreimal rot) = P(r r2 r3) = Summe: P = = 0.06 = Die Lösug der Aufgabe ahad eies Ereigisbaumes ist eher mühsam. Für große (z.b. 00 Kugel werde gezoge) ist diese Vorgagsweise sogar fast udurchführbar. Eie Verallgemeierug der Vorgagsweise ist agebracht. blau 3 8/5 7/5 0 blau rot blau rot 7/5 8/5 7/5 8/5 7/5 8/5 7/5 8/5 rot blau rot blau rot blau rot blau

18 Statistik ud Wahrscheilichkeit 8 Zusammefassug: p = Erfolgswahrscheilichkeit ; q = p = Misserfolgswahrscheilichkeit P(X = Azahl der Erfolge) = Azahl der Pfade p Azahl der Erfolge Azahl der Misserfolge q Die Azahl der Pfade lasse sich mit Kombiatorik bereche: Wieviele Möglichkeite gibt z.b. es aus 3 freie Plätze 2 Plätze für p auszuwähle? 3 = 3 2 Möglichkeite (ppq oder pqp oder qpp) (siehe Seite 53) Wieviele Möglichkeite gibt es aus freie Plätze x Plätze für p auszuwähle? 7 Möglichkeite x 2 Diese Zahl gibt a, wie viele Pfade es gibt, bei Versuche, x Erfolge zu erhalte. Biomialverteilug B(; p) x {0,, 2, 3,, }; diskret x x f(x) = P(X = x) = p ( p) x i= P(X = xi ) = Wahrscheilichkeitsfukt. F(x k ) = P(X x k ) = P(X = 0) + P(X = )+ + P(X = x k ) = P (X = x i ) Verteilugsfuktio µ = E(X) = p Erwartugswert σ = V(X) = p ( p) Stadardabweichug k i= Verwedug vo Techologie Fortsetzug des letzte Beispiels: I eier Ure befide sich 5 Kugel. Davo sid 7 rot ud 8 Kugel blau. Es werde 3 Kugel mit Zurücklege etomme. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit keie, eie, zwei oder drei rote Kugel zu ziehe? Bei TI-Produkte gibt es eiheitliche Fuktioe zur berechug der Biomialverteilug: x x f = P(X = x) = p ( p) x etspricht die Fuktio biompdf(,p,x) F(x) = P(X x) etspricht die Fuktio biomcdf(,p,x). Dabei steht die Abkürzug pdf für probability distributio/desity fuctio (Dichtefuktio) ud cdf für cumulative distributio/desity fuctio (Summefuktio, Verteilugsfuktio). Die Berechug ist mit TII bis = möglich! TI IterActive! (B(3_7_5).tii) Defiiere Sie im eue Arbeitsblatt zuächst die vorliegede Parameter ud p. Es ist auch zweckmäßig ( ud p äder sich icht) die verwedete Fuktioe vereifacht eu zu defiiere. Daach köe Sie die gefragte Wahrscheilichkeite durch Eisetze der x i {0,, 2,, } bereche ud die Ausgabe ach Wusch formatiere. Für P(U X O) verwede Sie P(U X O) = F (O) F (U-); mit U ud O {0,, 2,, }

19 Statistik ud Wahrscheilichkeit 9 Öffe Sie de Listeeditor, idem Sie auf klicke. Klicke Sie acheiader auf de Spaltekopf der Liste L, L2 ud L3 ud gebe Sie i das erscheiede Eigabefester für Formel, die aus dem Bild ersichtliche Formel ei., um die Eigabe für die grafische Darstellug vorzu- Nach dem Erstelle der Liste klicke Sie auf ehme.

20 Statistik ud Wahrscheilichkeit 20 Eigabe für die Wahrscheilichkeitsfuktio f(x) (Stabdiagramm): Füge Sie die Grafik mit i Ihr Arbeitsblatt. Klicke Sie ochmals auf, um auch die Verteilugsfuktio F(x) zu zeiche. Eigabe für die Verteilugsfuktio F(x): Füge Sie auch die zweite Grafik mit i Ihr Arbeitsblatt. Amerkug: Die exakte Darstellug der Verteilugsfuktio (Bild gaz rechts) ist sehr aufwädig zu erstelle. Wir begüge us i Folge mit der geäherte Darstellug als der Verteilugsfuktio als Histogramm (Bild i der Mitte). Mit rufe Sie das Stat Calculatio Tool auf. Eigabe: Calculatio Type: Oe-Variable Statistics X List: L Frequecy: L2 OK Save Results Sie erhalte Erwartugswert ud Stadardabweichug berechet.

21 Statistik ud Wahrscheilichkeit 2 Stichprobeaweisug Ei Betrieb stellt moatlich eie sehr große Stückzahl eies Produktes A her ud liefert dieses Produkt a eie Abehmer. Der Produzet versichert, dass maximal p = 5% der vo ihm gelieferte Produkte fehlerhaft sid. Zur Sicherug der Qualität wird jede Lieferug mit Stichprobe überprüft. Beim Abschluss des Liefervertrages eiigt ma sich darauf eie -c-stichprobeaweisug durchzuführe. Bei jeder Lieferug wird eie Zufallsstichprobe vom Umfag = 00 etomme. Die Zahl c = 5 ist die Aahmezahl. Fidet ma bis zu 5 defekte Produkte i der utersuchte Lieferug, wird diese Lieferug trotzdem ageomme. Fidet ma mehr als 5 defekte Produkte i der Lieferug, wird das Los (die gesamte Lieferug) abgeleht. Die Wahrscheilichkeit dass eie Lieferug ageomme wird, heisst Aahmewahrscheilichkeit P a. P a = P(X c) = F(c) = P(X = 0) + P(X = ) + + P(X = c) p ist der Ateil der fehlerhafte Produkte i eiem Los (Fehlerateil). (_c_stichprobeaweisug.tii) Zur Berechug der Aahmewahrscheilichkeit eiget sich die Biomialverteilug. Für umfagreichere Berechuge ist es oft sivoll eie eigee Fuktio zu defiiere. yb p := biomcdf, p, c yb p = biomcdf 00, p, 5 a) Wie groß ist die Aahmewahrscheilichkeit bei eiem Fehlerateil vo p = 5%? P a = P(X 5) = biomcdf(00,.05,5) = 0.66 biomcdf, 0.05, c = yb.05 = Bei eiem Fehlerateil vo 5% werde ca. 6.6% der Lose ageomme. b) Wie groß ist die Aahmewahrscheilichkeit bei eiem Fehlerateil vo p = 0%? P a = P(X 5) = biomcdf(00,.,5) = Bei eiem Fehlerateil vo 0% werde ur och ca. 5.76% der Lose ageomme. c) Wie hoch darf der Fehlerateil p maximal sei, we die Aahmewahrscheilichkeit P a = 90% sei soll. Bei TII ist die Berechug mit solve( ud solve( ist icht zielführed. Ma muss zusätzlich ei Itervall für p agebe! solve biomcdf, p, c = 0.9, p EVAL ERROR: Probability must be i [0,] iterval. solve biomcdf, p, c = 0.9, p p 0 ad p =.0387 Eifacher ist die grafische Berechug des Schittpuktes der Gerade y2(x)=0.9 mit der Kekurve i der Grafik. Eigabe TII: Vergleiche: y = biomcdf(00,p,5) y2 = 0.9 y = biomcdf(00,p,5) y2 = biomcdf(200,p0) y3 = biomcdf(000,p,50). Aahmewahrscheilichkeit y4 = biomcdf(0000,p,500) (.0387,.9) (.05,.65999) Fehlerateil p

22 Statistik ud Wahrscheilichkeit 22 Beispiel Überbuchug: Ei Feriehotel hat 300 Zimmer. Der Direktor weiss, dass durchschittlich 5% aller reservierte Zimmer icht belegt werde. Aus diesem Grud wird das Hotel machmal überbucht. Es werde mehr als 300 Zimmerbestelluge etgegegeomme. a) Wie viele Buchuge dürfe höchstes ageomme werde, we mit eier Wahrscheilichkeit vo midestes 95% icht zu viele Gäste (= höchstes 300 Gäste/Zimmerbeleguge) eitreffe solle. Dh. die Wahrscheilichkeit, dass das Hotel überbucht ist, darf 5% icht übersteige. X = Azahl der tatsächlich eigetroffee Gäste; p = 0.95 Stichprobeumfag; Azahl der Buchuge; gesucht p := 0.95 m := p :: s := p - p σ = µ =.95 Erfolgswahrscheilichkeit; Gast kommt tatsächlich Es soll gelte: P X > P X Die Wahrscheilichkeit, dass mehr als 300 Gäste komme soll maximal 0.05 sei. Die Berechug der zulässige Buchuge erfolgt durch Probiere oder mit eier Tabelle. Probiere: =30: - biomcdf 30, p, 300 = > 0.05 =309: - biomcdf 309, p, 300 = < 0.05 Somit dürfe maximal 309 Gäste gebucht werde! seq x, x, 300, 350 L seq - biomcdf x, p, 300, x, 300, 350 L E E E I Liste L2 steht die Wahrscheilichkeit, dass das Hotel überbucht ist. Der Direktor darf maximal 309 Buchuge akzeptiere. Je weiger Buchuge der Direktor zulässt, umso sicherer ist, dass das Hotel icht überbucht ist. Bei 300 akzeptierte Buchuge ist das Hotel sicher icht überbucht. Ab 30 Buchuge ist das Hotel mit mehr als 5%-iger Wahrscheilichkeit überbucht. Durchschittlich werde µ = p = = Zimmer belegt sei.

23 Statistik ud Wahrscheilichkeit 23 b) Rud um die Osterzeit ädert sich das Verhalte der Kude. Zu dieser Zeit werde ur ca. % der gebuchte Zimmer icht tatsächlich belegt. Wie viele Buchuge dürfe höchstes ageomme werde, we die Wahrscheilichkeit, dass das Hotel überbucht (= höchstes 300 Gäste) ist, 5% icht übersteige darf. X = Azahl der tatsächlich eigetroffee Gäste; p = 0.99 Stichprobeumfag; Azahl der Buchuge; gesucht p := 0.99 Erfolgswahrscheilichkeit; Gast kommt tatsächlich seq - biomcdf x, p, 300, x, 300, 350 L3 0. P(X>500) Überbuchug E E Zimmerreservieruge 303 3E % Greze (=309. P= ) Der Direktor darf jetzt ur maximal 30 Buchuge akzeptiere. Zetraler Grezwertsatz; Simulatioe mit TII Die praktische Bedeutug der Normalverteilug liegt dari, dass viele real vorkommede Zufallsgröße zumidest äherugsweise ormalverteilt sid. Der zetrale Grezwertsatz (allgemei bewiese vom Russe Ljapuoff) lautet i etwas vereifachter Form: Eie Zufallsvariable X, die sich aus der Summe vo viele (beliebig verteilte) Zufallsgröße gleicher Größeordug X, X 2,, X zusammesetzt, ist ageähert (geauer: asymptotisch) ormalverteilt. - Die Güte der Aäherug steigt mit der Azahl ( 30). - Die Zufallsvariable sid voeiader uabhägig. Meist sid die X i Stichprobe aus eier Grudgesamtheit. Beispiel Simulatio: k-maliges Werfe eies Würfels; X = geworfee Augezahl x i p i = P(X=x i ) 6 / 6 µ = E(X) = x i p i = 3.5; i= 6 / 6 / σ² = V(X) = ( x i µ ) pi = = 2.967; Stadardabweichug: σ = = i= / 6 / 6 / 6

24 Statistik ud Wahrscheilichkeit 24 Es zeigt sich, dass sich die real ermittelte statistische Kezahle ur weig vo de theoretische Werte µ ud σ abweiche. Beispiel Simulatio: k-maliges Werfe vo zwei Würfel; X = X + X 2 = Summe der Augezahle; X i Augezahl des i-te Würfels. Simulatio mit TII TI IterActive! hat gegeüber de Hadhelds de Vorteil vom Speicherplatz (fast) icht beschräkt zu sei. Es lasse sich somit Simulatioe mit eier sehr große Zahl k vo Durchführuge reche. Die Dateie werde allerdigs sehr groß, köe aber durch Zippe deutlich verkleiert werde. Iitialisiere Sie zuächst Ihre Recher wieder mit 23. Die Vorgagsweise ist hier etwas komplizierter als bei der erste Simulatio ud soll daher i Schritte erklärt werde. Die Formel für die eigetliche Berechug ergibt sich erst im letzte Schritt. - radit(,6) erzeugt eie gazzahlige Zufallszahl zwische ud 6 - radit(,6,2) erzeugt eie Liste aus zwei Zufallszahle zwische ud 6. - sumlist(radit(,6,2)) berechet die Summe der Werte eier Liste mit zwei Zufallszahle zwische ud 6. - seq(sumlist(radit(,6,2),x,,2000)) berechet eie Liste mit 2000 Summe zweier Zufallszahle (Augesumme vo 2 Würfel). Diese Liste soll wieder i L gespeichert werde.

25 Statistik ud Wahrscheilichkeit 25 E(X) = 7 = µ = E(X ) + E(X ) = = x 2 + σ = = 2.4 (Amerkug: σ = s - = s x ) V(X) = 2.25² = σ² = 2 35/2 = 5.8 Mit der Fuktio Y = ormalpdf(x,*3.5, ( *35/2))*k ka die Güte der Approximatio grafisch überprüft werde. Eigabe: Y = ormalpdf(x,2*3.5, ( 2*35/2))*2000 (Simulatio2Wuerfel.tii; Simulatio5Wuerfel.tii;)

26 Statistik ud Wahrscheilichkeit 26 Beispiel: k-maliges Werfe vo 0 Würfel; X = X + X X 0 = Summe der Augezahle ; X i Augezahl des i-te Würfels. Vermutug für de Erwartugswert E(X) der Augesumme ud die Variaz V(X) der Augesumme: 35 E(X) = = 35; V(X) = 0 = (simulatio_wuerfel_kdurchfuehruge.tii) Aufgrud der vorliegede Ergebisse vermute wir für X = X + X 2 + X X Erwartugswert: E(X) = E(X ) + E(X 2 ) + E(X 3 ) + + E(X ) Variaz: V(X) = V(X ) + V(X 2 ) + V(X 3 ) + + V(X ) Amerkug: X i ud X j sid paarweise uabhägig

27 Statistik ud Wahrscheilichkeit 27 Beispiel Simulatio: Die -gewichtete Variaz der Stichprobe ist icht gleich der Variaz der Grudgesamtheit! Dies gilt aber für die (-)-gewichtete Variaz! Mit Hilfe eier Simulatio soll dieser Sachverhalt veraschaulicht werde. S - 2 ist ei erwartugsgetreuer Schätzer der Variaz der Grudgesamtheit. Die ubekate Variaz σ 2 der Zufallsvariable X (Grudgesamtheit) ist durch σ s zu schätze. Eie Beweis des Satzes fide Sie i Kreyszig, Seite 392. (simulatio_s-.tii) 2 2

28 Statistik ud Wahrscheilichkeit 28 3 Kofidezitervalle; Vertrauesbereiche für de Ateilswert π Ei Kofidezitervall (Vertrauesbereich) mit dem Kofideziveau c ist ei Bereich, i dem ei ubekater Parameter mit der Wahrscheilichkeit c liegt. Mit der Irrtumswahrscheilichkeit α = c liegt der Parameter icht im berechete Itervall. Meist verwedet ma α = 5% (c = 95%; 95%-Kofidezitervall) oder α = % (c = 99%; 99%-Kofidezitervall. Beispiel: Ei 95%-Kofidezitervall überdeckt de gesuchte Parameter der Grudgesamtheit i ca. 95 vo 00 berechete Itervalle. Ca. 5 der 00 Itervalle überdecke de gesuchte Parameter der Grudgesamtheit icht. Wir betrachte i diesem Kapitel ur zweiseitige Kofidezitervalle für Ateilswerte. Beispiel: Eie Telefoumfrage uter 300 Wahlberechtigte ergab, dass bei der ächste Wahl x = 40 vo de gefragte Persoe de Kadidate der Partei A wähle würde. Der Rest der Stimme verteilt sich auf adere Parteie. Bereche Sie ei 95% Kofidezitervall für de ubekate Wählerateil π der Partei A uter alle Wahlberechtigte. Die Azahl X = Wähler der Partei A i eier Stichprobe vom Umfag ist biomialverteilt B(; π) mit dem bekate Parameter ud eiem ubekate µ = π. Der Ateilswert π der Grudgesamtheit ist ubekat. x = 40 beabsichtigte Wähler vo A i Stichprobe = 300 Umfag der Stichprobe c = 95% Niveau des Kofidezitervalls 40 pˆ = Wählerateil (bekat) vo A i der Stichprobe 300 pˆ ( pˆ) pˆ ( pˆ) + pˆ z π pˆ + z mit = Φ c z 2 [pˆ e ; pˆ + e] mit e = z pˆ ( pˆ) für 0.3 < pˆ < 0.7 e heißt Fehlertoleraz oder Schwakugsbreite Diese Näherugsformel fidet für >30 ud pˆ (- pˆ) > 9 fidet i der Praxis sehr häufig verwedet. Alle TI-Produkte reche ur mit dieser Näherugsformel! Fortsetzug des letzte Beispiels Berechug des Kofidezitervalls ( ) ( ) ; = [0.4023; ] Iterpretatio: Mit eier Wahrscheilichkeit vo 95% liegt der Wählerateil des Kadidate der Partei A zwische 4% ud 52.3% der abgegebee Stimme. Bei Verwedug vo TII klicke Sie auf ud öffe damit ei Fester zur Berechug vo Kofidezitervalle. Trage Sie die gegebee Werte i die dafür vorgesehee Eigabefester ei ud klicke Sie auf Calculate. Mit Save Results füge Sie die Ergebisse i Ihr Arbeitsblatt ei.

29 Statistik ud Wahrscheilichkeit 29 Wie ist das Kofidezitervall u zu iterpretiere? Nehme wir a, wir ziehe 00 Stichprobe zu je 300 Persoe ud erhebe de Ateilswert der Wähler vo Kadidat A i diese 00 Stichprobe sowie die Stadardabweichug ud die Greze des Kofidezitervalls zum Sigifikaziveau 95 %. Da köe wir erwarte, dass 95 der 00 Kofidezitervalle de Ateilswert der Grudgesamtheit ethalte, aber 5 Kofidezitervalle ethalte de Ateilswert der Grudgesamtheit icht. Beachte Sie: Ei eizeles Kofidezitervall ethält etweder de Grudgesamtheitsparameter π oder es ethält ih icht. Ob es de Grudgesamtheitsparameter ethält, köe wir ur mit eier Sicherheit behaupte, die durch das Kofideziveau c (meistes 95 %) agegebe ist. Die folgede Grafik zeigt 0 Kofidezitervalle vo 0 verschiedee Stichprobe aus eier Grudgesamtheit mit dem Ateilswert π zum Kofideziveau 80 %. 8 der 0 Kofidezitervalle ethalte im Schitt de Grudgesamtheitsparameter π, zwei aber icht! (kofidezsimulatateilswert.tii) Grafische Darstellug vo Kofidezitervalle durch Kofidezellipse Für das Kofidezitervall des Ateilswertes π eier Grudgesamtheit gilt x pˆ ( pˆ) + pˆ e π pˆ + e mit pˆ = ud e = z ud = Φ c z 2 Der Ateilswert der Grudgesamtheit π liegt also mit Wahrscheilichkeit c zwische eier obere ud eier utere Greze des Kofidezitervalls. Zur grafische Veraschaulichug vo Kofidezitervalle werde zuerst die Gleichuge der begrezede Fuktioe y u (, pˆ ) ud y o (, pˆ ) - das sid gleichzeitig auch die Greze des Kofidezitervalls - defiiert. Ausserdem wird die Fuktio für die Schwakugsbreite e(, pˆ ) defiiert. Schwakugsbreite e: e(, pˆ) pˆ ( pˆ) + = z mit = Φ c z 2

30 Statistik ud Wahrscheilichkeit 30 Utere begrezede Fuktio: y u (, pˆ ) = pˆ e(, pˆ ) Obere begrezede Fuktio: y o (, pˆ ) = pˆ + e(, pˆ ) Diese beide Fuktioe y u (, pˆ ) ud y o (, pˆ ) werde da für kokrete Werte vo ud pˆ als uabhägige Variable i eiem passede Koordiatesystem dargestellt. Die Grafik rechts zeigt die Kofidezellipse für = 300; x = 40; c = 0,95. I der Grafik gebe die y-koordiate zweier Pukte auf der Kofidezellipse die Greze des Kofidezitervalls für de Wert pˆ = 0,4667 a. (Amerkug: Aus techische Grüde wird i der Grafik p astelle vo pˆ verwedet.) (Kofidezellipse.tii, kofidez.tii) Kofidezitervall: [0,40; 0,523] Die folgede Bilder zeige Kofidezellipse für verschiedee Kofideziveaus. Es zeigt sich, dass die Dicke der Ellipse mit dem Kofideziveau c steigt. = 300; x = 40; c = 0,80 = 300; x = 40; c = 0,95 = 300; x = 40; c = 0,9999 Eie Vergrößerug des Stichprobeumfags führt zu eier Verrigerug der Breite eies Kofidezitervalls, = 30; x = 4; c = 0,95 = 50; x = 70; c = 0,95 = 3000; x = 400; c = 0,95

31 Statistik ud Wahrscheilichkeit 3 Beispiel: Meiugsforschug (Schwakugsbreite.tii/pdf) Im Bezirksblatt vom März 2005 ist das Ergebis eier Telefoumfrage zum Bekatheitsgrad eiiger burgelädischer Ladespolitiker abgedruckt. Mit de Umfrageergebisse ist auch der Stichprobeumfag mit = 402 sowie die maximale Schwakugsbreite mit ± 5% agegebe. Bereche Sie die gegebee Schwakugsbreite für die eizele Politiker. c = 0.95 Was ist uter dieser maximale Schwakugsbreite zu verstehe? (Schwakugsbreite.tii) pˆ ( pˆ) pˆ ( pˆ) Berechugsformel: e = z =.96 z = ivorm(.95/2) = ( ) Niessl: e =.96 = 0 ±0%; Jeder ket Niessl! ( 0.94) Steidl: e =.96 = ± 2.3% [9.7% ; 96.3%] ( 0.58) Illedits: e =.96 = ± 4.82% [53.2% ; 62.8%] ( 0.47) Kölly: e =.96 = ± 4.88% 5% [42.% ; 5.9%] 402 Die Berechuge zeige, dass die Schwakugsbreite sehr stark vom Ateilswert p (= pˆ ) der Stichprobe abhägt. Hr. Niessl hat Schwakugsbreite 0, währed das Kofidezitervall vo Hr. Kölly eie Breite vo fast 0% hat. Ma ka allgemei zeige, dass die maximale Schwakugsbreite bei p = 0.5 auftritt. Aus der Grafik erket ma, dass beispielsweise Umfrage mit = 00 eie Schwakugsbreite vo fast 0% (Breite des Kofidezitervalls 20%) habe ud somit ubrauchbar sid. Sivoll sid Umfrage somit erst ab > 300.