Dr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK. Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren

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1 Dr. Jürge Seger INDUKTIVE STATISTIK Wahrscheilichkeitstheorie, Schätz- ud Testverfahre ÜBUNG 9 - LÖSUNGEN. Ziehug vo Kugel aus eier Ure a. Die Zahl der Permutatio der Kugel, die aus Klasse utereiader gleicher Elemete bestehe, beträgt!!!! !! 5! 4! b. Die Azahl der Stichprobe vom Umfag k ist gleich der Azahl der Kombiatioe k-ter Ordug ohe Wiederholug ud ohe Berücksichtigug der Aordug! 0 k!(!. Wahl eier füfköpfige Kommissio a. Die Azahl der Kommissioe ist gleich der Zahl der Kombiatioe 5-ter Ordug ohe Wiederholug ud ohe Berücksichtigug der Aordug der 0 Kadidate k b. Die Azahl der Möglichkeite der Stimmabgabe ist gleich der Zahl der Kombiatioe -ter Ordug mit Wiederholug ud ohe Berücksichtigug der Aordug + k k c. We Ethaltug erlaubt ist, erhöht sich die Zahl der Auswahlmöglichkeite um eis. Dieselbe Wirkug hätte ei weiterer Kadidat. + k + 66 k Seger Iduktive Statistik

2 ÜBUNG 9 - LÖSUNGEN. Gewichace beim Documeta-Rätsel a. We richtige Lösuge eigehe, beträgt die Gewierwartug E( g( g( i f ( i ( i , b. We die Gewierwartug midestes dem Postkarteporto vo 45 Cet etspreche soll, da dürfe höchstes Lösuge eigehe. Es gilt für die Gewierwartug E ( g( ,45 N Aufgelöst ach der Zahl der eigegagee richtige Lösuge N N ,45 4. Ausschußwahrscheilichkeit i der Produktio Wir uterscheide die Ereigisse A B D Eiheit im Werk A gefertigt Eiheit im Werk B gefertigt Eiheit defekt Gegebe sid folgede Wahrscheilichkeite A 0,65 B 0,5 D / A 0,0 D / B 0,06 a. Die Wahrscheilichkeit, daß eie zufällig im Zetrallager überprüfte Eiheit magelhaft ist, beträgt (Satz vo der totale Wahrscheilichkeit D A D / A + B D / B 0,65 0,0 + 0,5 0,06 0,0+ 0,0 0,04 Seger Iduktive Statistik

3 ÜBUNG 9 - LÖSUNGEN b. Die Wahrscheilichkeit, daß eie magelhafte Eiheit im Werk A erzeugt wurde, beträgt (Satz vo Bayes A D A D / A 0,65 0,0 A/ D D D 0,04 0,0 0, 0,04 5. Wahrscheilichkeitsfuktio eier biomialverteilte Zufallsvariable Aahmegemäß ist die Zufallsvariable biomialverteilt: B (; p B (6; 0,5 a. Die Wahrscheilichkeitsfuktio lautet daher 6 6 f ( 0,,,..., b. Grafische Darstellug der Wahrscheilichkeitsfuktio f ( 0,4 0, 0, 0, f ( 0 0,70 0,560 0,966 0, 4 0,00 5 0, ,000 c. Wahrscheilichkeite Die Wahrscheilichkeit dafür, daß die Zufallsvariable ugerade Werte aimmt, beträgt A 6 6 ugerade A {,, 5} 4 4 0, , + 0,0044 0,49 Seger Iduktive Statistik

4 ÜBUNG 9 - LÖSUNGEN 4 Die Wahrscheilichkeit dafür, daß die Zufallsvariable Werte aimmt, die icht mehr als vom Erwartugswert E( abweiche, P ( E( bereche wir, idem wir zuächst die Betragsugleichug löse: E( E( E( E( + Mit E ( p 6,5 4 folgt E(,5 0,5 E( +,5 +,5 Die Wahrscheilichkeit, daß die Zufallsvariable Werte aimmt, die icht kleier als 0,5 ud icht größer als,5 sid, beträgt E( 0,5,5 0 < F( F(0 0,06 0,70 0,656 Uter Verwedug der Wahrscheilichkeitsfuktio ergibt sich P ( 0,5,5 0 < f ( + f ( 0, ,966 0,656 Seger Iduktive Statistik

5 ÜBUNG 9 - LÖSUNGEN 5 Seger Iduktive Statistik 6. Variaz eier biomialverteilte Zufallsvariable Zufallseperimet:?-maliges Ziehe mit Zurücklege aus eier Ure mit rote, schwarze ud 4 blaue Kugel Zufallsvariable : Azahl A blaue Kugel Erfolgs- ud Mißerfolgswahrscheilichkeite 0,5 ( 0,5, 4 ( q p A P p A P Biomialverteilug B(; p B(; 0,5 Aahmegemäß beträgt die Wahrscheilichkeit, daß alle gezogee Kugel blau sid ( P Wir beutze diese Iformatio dazu, die Zahl der Versuche zu bereche. Die Wahrscheilichkeitsfuktio lautet: f ( Für gilt da ( 0 f Wir löse die Gleichug ach auf l l l l

6 ÜBUNG 9 - LÖSUNGEN 6 Die Variaz der B(; 0,5-Verteilug beträgt Var ( pq 7. Prämiefod der Etwicklugsabteilug 4 I der Etwicklugsabteilug des Großuterehmes werde im Durchschitt jährlich Erfiduge gemacht. Jede Erfidug wird mit eier Prämie i Höhe vo 5.000,- Euro beloht. Der dafür eigerichtete Fod verfüge jährlich über.000,- Euro. Die Azahl der Erfiduge pro Jahr ist poissoverteilt mit Ps(μ Ps( Es köe jährlich maimal,4 Erfiduge prämiert werde.000, a. Die Wahrscheilichkeit dafür, daß der Fod i eiem Jahr icht für die Auszahlug der Prämie ausreicht, beträgt >,4,4 F Ps ( 0,4 0,576 Mit der Wahrscheilichkeit vo 57,6% werde i eiem Jahr mehr als,4 also oder mehr Erfiduge gemacht. Da reicht der Fod icht aus, jede Erfidug mit zu prämiere. b. We der Fod mit der Wahrscheilichkeit vo 96,65% für die Auszahlug der Prämie ausreiche soll, da muß der Fod aufgestockt werde. Zuächst bereche wir die Zahl der Erfiduge, die mit der Wahrscheilichkeit vo 96,65% zu erwarte ist. P Ps ( F ( 0,9665 FPs (0, Mit der Wahrscheilichkeit vo 96,65% werde jährlich 6 Erfiduge gemacht. Der Fod muß auf aufgestockt werde, we er mit eier Wahrscheilichkeit vo 96,65% dafür ausreiche soll, alle Erfiduge zu prämiere. Seger Iduktive Statistik

7 ÜBUNG 9 - LÖSUNGEN 7. Variaz eier ormalverteilte Zufallsvariable Aahmegemäß ist die Zufallsvariable ormalverteilt mit dem Mittelwert μ 0 ud ubekater Variaz N(μ;σ N(0;σ Aus der gegebee Wahrscheilichkeit 5 5 0,9544 wird u mit Hilfe der Stadardormalverteilug die Stadardabweichug σ berechet P ( 5 5 Φ Φ σ σ 5 Φ σ 5 Φ σ 0,9544 0, Φ σ 5 Φ σ 0, Φ σ 0, Φ σ 0, , Φ 0,977 σ 5 Φ σ 5 σ,5 (0,977 Die Variaz beträgt da Var ( σ,5 6,5 Seger Iduktive Statistik

8 ÜBUNG 9 - LÖSUNGEN 9. Würfelspiel (Lotterie Zufallseperimet: -maliges Werfe eies Würfels Zufallsvariable : Azahl A Glückszahl (z.b. Augezahl 6 Erfolgs- ud Mißerfolgswahrscheilichkeite P ( A p 6 P ( A p q 5 6 Biomialverteilug B(; p B(; /6 Wahrscheilichkeitsfuktio 5 f ( 0,,, 6 6 a. Wahrscheilichkeitsfuktio ud Gewifuktio g( f( g( f ( 0 0 5/6 0 75/6 75/6 5/6 0/6 /6 /6 Σ 6/6 0/6 b. Gewierwartug c. Fairer Lospreis E( g( i f ( i f ( i ,5 Der faire Lospreis ist gleich der Gewierwartug i Höhe vo 50 Cet. Bei eiem Spieleisatz vo eiem Euro wird der Spieler im Durchschitt 50 Cet pro Spiel verliere. Es hadelt es sich daher icht um ei faires Spiel. Seger Iduktive Statistik