mathphys-online Abiturprüfung Berufliche Oberschule 2010 Mathematik 13 Technik - B I - Lösung

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1 Abiturprüfug Berufliche Oberschule 2010 Mathematik 13 Techik - B I - Lösug Teilaufgabe 1.0 Die Firma Sparlux stellt Eergiesparlampe i großer Azahl her, die, je achdem, wie geau sie die Neleistug eihalte, zwei verschiedee Güteklasse, etweder A oder B, agehöre köe. Lagfristig habe 80% der hergestellte Lampe die Güte A, der Rest die Güte B. Äußerlich sid Lampe der beide Güteklasse icht zu uterscheide. Die Lampe werde zum Versad i quadratische Kartos mit gleich große ummerierte Wabe agelegt. Die Skizze zeigt de Grudriss eies er-kartos. Teilaufgabe 1.1 (4 BE) Bereche Sie, auf wie viele verschiede Weise 7 Lampe i eie er-karto gepackt werde köe, we a) die Lampe icht uterscheidbar sid, b) alle Lampe verschiede gekezeichet sid (z. B. durch eie Serieummer), c) die Lampe ur die Güteklasse als Uterscheidugsmerkmal habe. N a = = 36 NR: combi( 2) 36 7 N b = = NR: N c = 7 27 = 4608 NR: combi( 2) Teilaufgabe 1.2 (3 BE) Geau zwei der Lampe i eiem volle er Karto habe Güteklasse B. Bereche Sie die Wahrscheilichkeit, dass diese beide Lampe i Wabe liege, die jeweils eie gemeisame Trewad habe. Mögliche Lage ebeeiader: ( 12) ( 23) ( 45) ( 56) ( 78) ( 8) ( 14) ( 25) ( 36) ( 47) ( 58) ( 6) Azahl der mögliche Lage ebeeiader: 12 Azahl der mögliche Lage der zwei Lampe im Karto: 2 = 36 P Seite 1 vo 5

2 Teilaufgabe 1.3 (4 BE) Bereche Sie, wie viele Lampe ei Karto midestes ethalte muss, damit die Wahrscheilichkeit, daruter keie B-Lampe zu fide, kleier ist als die Wahrscheilichkeit, dass ma i dem Karto midestes eie Lampe der Güte B vorfidet. PX ( = 0) PX ( 1) PX ( = 0) 1 P( X = 0) 2PX ( = 0) 1 PX ( = 0) 0.50 Beroulli: auflöse aufrude: = 4 Ei Karto muss midestes 4 Lampe ethalte. Teilaufgabe 2 (6 BE) Ei Großkude behauptet, dass der Ateil der B-Lampe größer als 20% geworde sei (Gegehypothese) ud verlagt deshalb eie Preisachlass. Um dies i eiem Sigifikaztest auf dem Sigifikaziveau vo 5% zu überprüfe, misst die Firma Sparlux bei 200 Lampe die Leistug möglichst geau ach. Ermittel Sie die Midestazahl vo Lampe der Güte A uter de 200 getestete, ab der Sparlux dem Kude eie Preisachlass verweiger wird. Testgröße: X: Azahl der B-Lampe uter 200. p 0.2 Nullhypothese H 0 : p 0 p p Gegehypothese H 1 : p 1 p p Aahmebereich: A = { k } Ablehugsbereich: A = { k 1 k } PA 0.05 PX ( k 1) P( X k) 0.05 PX ( k) 0.5 k i 0 B( i) = k = 4 A = { } A = { } Bei höchstes 4 gefudee B-Lampe, d. h. bei midestes 151 A-Lampe, wird dem Großkude kei Preisachlass gewährt. Seite 2 vo 5

3 Teilaufgabe 3.0 Ei weiterer Großkude beötigt midestes 240 Lampe der Güte A. Teilaufgabe 3.1 (3 BE) Bereche Sie die Wahrscheilichkeit, dass i eier Lieferug vo 300 Lampe geau 240 die Güte A habe. X: Azahl der A-Lampe uter 300 Lampe. X ist biomialverteilt ach B( k). p 0.8 P( X = 240) = B( ) = Tascherecher versagt. 240 μ p 240 p ( 1 p) 6.28 Näherug mit NV P( X = 240) = 1 φ k μ = φ = φ( 0) = = Teilaufgabe 3.2 (8 BE) Bereche Sie, wie viele Lampe der Großkude midestes bestelle muss, damit die Wahrscheilichkeit größer als 5% ist, dass sich daruter weigstes 240 Lampe der Güte A befide. μ = 0.8 = = P( X 240) P( X 23) 0.5 P( X 23) 0.05 Φ Substitutio: = z 0.8z z auflöse z Gleitkommazahl 5 z z z z Aufrude: 314 Ma muss midestes 314 Lampe bestelle. Seite 3 vo 5

4 Teilaufgabe 4.1 (7 BE) Lampe der Güteklasse A, dere Ateil 80% beträgt, müsse die Neleistug vo 10,0 Watt mit eier maximale Abweichug vo ± 4% geau eihalte. Die übrige sid - obwohl voll fuktiosfähig - der iedere Güteklasse B zugeordet. Bei der Lampeleistug Y ist vo eier ormalverteilte Zufallsgröße mit μ = 10.0 Watt auszugehe. Bereche Sie die Stadardabweichug der Zufallsgröße Y, ud bestimme Sie, mit welcher Wahrscheilichkeit eie zufällig ausgewählte Lampe eie Leistug vo höchstes,2 Watt aufweist. [ Teilergebis: = 0.312Watt μ = 10 Abweichug: 10 4% 1 10 P(.6 X 1) = P( 1) P(.6) Φ.6 10 = = Φ Φ = 2 Φ = 1 Φ Bedigug: 2Φ 1 = 0.80 Φ = 0.0 = P( X.2) = Φ = Φ( 2.564) = 1 Φ( 2.56) = 1 77 = Teilaufgabe 4.2 (5 BE) 60% der Lampe werde mit großer E27-Fassug, die restliche 40% mit kleier E14-Fassug agefertigt. Durch Qualitätskotrolle wurde herausgefude, dass 25% der E14-Lampe die Güte B aufweise. Alle Lampe der Güte B werde ach der Kotrolle i eiem Cotaier gesammelt. Bereche Sie die Wahrschelichkeit, dass eie zufällig dem Cotaier etommee Lampe die Fassugsgröße E27 aufweist. E27: eie zufällig ausgewählte Lampe besitzt eie E27-Fassug. E14: eie zufällig ausgewählte Lampe besitzt eie E14-Fassug. A: eie zufällig ausgewählte Lampe hat die Güteklasse A. B: eie zufällig ausgewählte Lampe hat die Güteklasse B. Gegebe: PA ( ) = 0.8 aus 4.1 P( E27) = 0.6 P( E14) = 0 P E14 ( B) = 0.25 Gesucht: P B ( E27) Seite 4 vo 5

5 Lösug: P E14 ( B) P( E14 B) = P( E14 B) = P P( E14) E14 ( B) P( E14) = = A B E E P B ( E27) = = Seite 5 vo 5