Mathematik Name: Lösung Nr.5 K2 Punkte: /30 Note: Schnitt:

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1 Mathematik Name: Lösu Nr.5 K Pukte: / Note: Schitt: 8..8 Pflichtteil (etwa mi) Ohe Tascherecher ud ohe Formelsammlu (Dieser Teil muss mit de Lösue abeebe sei, ehe der GTR ud die Formalsammlu verwedet werde dürfe.) Aufabe : [P] Bestimme Sie die erste Ableitu vo f ( x) = x si( x) Lösusvorschla : f '( x) = si( x) + x cos( x) x Bem.: Deke beim Ableite immer a die Produktreel (besteht aus zwei Summade!) ud die Kettereel. Bei dieser Aufabe beötie wir die Produktreel. Ausdrücke wie x oder werde vor dem Ableite i Poteze umewadelt, x x d.h.,5 x bzw. = x. Wer will, merkt sich ( x )' = x x x Aufabe : [P] Bestimme Sie eie Stammfuktio vo ( x) = x. x Wie lautet die Stammfuktio, die durch de Pukt P(/) eht? Lösusvorschla : Jede Stammfuktio ist vo der Gestalt Gc ( x) = x dx = l x x + c x Die Schar G ( x ) heißt Mee aller Stammfuktioe. c Nu ist c so zu bestimme, dass ilt Gc () = l + c=. Da l() = ist, muss + c = sei, also c =,5 sei. Also ist die esuchte Stammfuktio Gc ( x) = l x x +,5 5 Aufabe : [P] Löse Sie die Gleichu l( x ) = + mit Hilfe eier eeiete Substitutio. l( x ) Lösusvorschla : Da l(x) im Zähler ud im Neer steht, erhalte wir eie quadratische Gleichu, we wir mit l(x) multipliziere. Wir substituiere t = l( x) ud multipliziere die Gleichu mit t. t = t+ 5 oder t t 5 = Die Mitterachtsformel liefert: ( ) 5 8 x/ = = = 5 / Nu mache wir die Substitutio rückäi:

2 Mathematik Name: Lösu Nr.5 K Pukte: / Note: Schitt: 8..8 t = 5: l x = 5 x = e 5 t = : l x = x = e = e Vorsicht: l(x) = ist lösbar, icht aber exp(x) = Das x bei l(x) ka aber ur positive Werte aehme (der Defiitiosbereich vo l sid ur die positive Zahle), das x bei exp(x) ka aber alle Werte aehme. Aufabe : [P] Geebe sid die Gerade ud die bee durch : x = + t ud : x y + z = 5 a) [P] Bestimme Sie de Schittpukt der Gerade mit der bee. b) [P] Beschreibe Sie mit Worte, wie sie de Schittwikel zwische Gerade ud bee bestimme. Lösusvorschla : a Zu a) Sei S(a/b/c) ei Schittpukt, da ilt: es ibt ei t mit b = + t ud c a b + c = 5. Jetzt habe wir vier Gleichue für die vier ubekate Zahle t, x ud y! Setze wir die erste drei Gleichue i die vierte ei, erhalte wir eie + t t + t = 5 oder + 8t + t + t = 5 oder Gleichu mit t. ( ) ( ) t = oder t =. Damit erebe die erste drei Gleichue a b = + =. Der Schittpukt muss also S(//) sei. Dieser Pukt c ist auch ei Schittpukt, wie ma durch isetze leicht überprüft. Zu b) Wir bereche die Normale der bee, falls wir sie icht der beeform etehme köe, z.b. weil die bee i Koordiateform eebe ist. beso lese wir de Richtusvektor der Gerade ab, ämlich u. Nu bereche wir si( ) = u u u u. Für de Schittwikel α der bee ud der Gerade ilt. Also ist = si u u

3 Mathematik Name: Lösu Nr.5 K Pukte: / Note: Schitt: 8..8 Wahlteil (etwa mi) Mit GTR ud Formelsammlu ach Ababe des Pflichtteils ka der GTR ud die Formelsammlu verwedet werde. Aufabe 5: I eier Ure befide sich viele rote ud schwarze Kuel. Jemad vermutet, dass der Ateil der schwarze Kuel höchstes % beträt. r zieht Kuel zufälli, um zu teste, ob vielleicht doch mehr als % schwarze Kuel i der Ure sid. a) [P] Formuliere Sie die Nullhypothese ud die Alterative, ebe Sie die Parameter a. b) [P] Bereche Sie de rwartuswert des Tests ud ihre Stadardabweichu. c) [P] Wie roß ist die Wahrscheilichkeit, dass eau Kuel schwarz sid? Wie roß ist die Wahrscheilichkeit, dass weier als 8 Kuel, bzw. mehr als Kuel schwarz sid? d) [P] Bestimme Sie de eaue Aahmebereich der Nullhypothese auf dem Siifikaziveau 5%. Wie viele schwarze Kuel muss ma midestes ziehe, damit ma die Nullhypothese siifikat (auf dem Niveau 5%) ablehe muss? d) [P] Sid mehr als % schwarze Kuel i der Ure, we ma die Nullhypothese siifikat ablehe ka? Berüde Sie Ihre Aussae. Lösusvorschla 5: Zu a) Die Nullhypothese ist p(schwarze Kuel) = p(treffer) % Die Alterative der Nullhypothese ist p(schwarze Kuel) >, Damit liet ei rechtsseitier Siifikaztest vor. Der Ablehusbereich der Nullhypothese beit bei der kleiste Trefferzahl k, für die P( X k) =,5ist. (Würde die Kuel icht zurückelet, äderte sich die Wahrscheilichkeit für das Ziehe eier schwarze Kuel, we ma eie Kuel ezoe hat.) Zu b) p(treffer) =, ud =. Für de rwartuswert ilt: = p=, = 8 Die Stadardabweichu ist = p( p) =,,6 =,9 ( = ) =,, =, 7% Amerku: Die mathematische Darstellu der Beroulliverteilu muss (im Abi auch) aeebe werde. Die Befehle, die ma beim WTR beutzt, sid icht erforderlich. Zu c) PX ( ) 7 i i P( X 8) = P( x 7) =, (, ) =, 6% i= i i i P( X ) = P( x ) =, (, ) =,% i= i Zu d) ie Schätzu der utere Greze des Ablehusbereichs erhalte wir mit = + = 8 +,9 =,8 Die eaue utere Greze des Ablehusbereichs für das Siifikaziveau 5% ist der kleiste Wert k, für de ilt P( X k),5 = 5% Da wir P( X k) icht mit dem GLK bereche köe, müsse wir zum Geeereiis überehe. Die Wahrscheilichkeit für ei reiis P( X k),5% ist wee P( X k) = P( X k ), 5% oder,5% P( X k ) äquivalet zu,95% P( X k ).Wir suche also die kleiste Zahl k mit P( X k),5%

4 Mathematik Name: Lösu Nr.5 K Pukte: / Note: Schitt: 8..8 oder mit P( X k ),95 k- P( X k ),9,979 Also ist k = oder k =. Also spricht bis eischließlich k = ichts ee die Nullhypothese, d.h. {,, } ist der Aahmebereich. rst we ma bei Ziehue midestes schwarze Kuel zieht, ka ma die Aussae, dass i der Ure höchstes % schwarze Kuel sid, auf dem 5%-Siifikaziveau ablehe. Der Ablehusbereich ist also {,, }. D.h. bei höchstes 5% der xperimete zieht ma bei p =, midestes schwarze Kuel. Zu ) Nei, die Nullhypothese ka bei jedem rebis der Wirklichkeit etspreche. We ma eie Nullhypothese auf dem Siifikaziveau 5% ableht, heißt das ur, dass aufrud der Aahme der Nullhypothese das rebis (oder ei schlechteres) i weier als 5% der Stichprobe vorkommt. Mit adere Worte, i 5% aller der Utersuchusfälle leht ma die Nullhypothese fälschlicherweise ab. We ma eauer reche will, ilt obe i,% der Fälle wird die Nullhypothese fälschlicherweise abeleht. Dies ist ei wichtier Pukt, we ma Siifikazerebisse ableht. Im Durchschitt liefert jedes. Testerebis mit der Aussae ma ka die Nullhypothese auf dem Siifikaziveau siifikat ablehe, ei falsches rebis. Dies et ma Fehler. Art. Wie roß die Wahrscheilichkeit, dass ma ei rebis icht ableht, obwohl die Alterativhypothese richti ist, ka ma icht feststelle. Das hät ja davo ab, wie roß der wirkliche Wert ist, aber de ket ma ja icht. Diese (icht äher bestimmbare Fehler, et ma Fehler. Art. Aufabe 6: Bei dem abebildete Glücksrad sid alle acht Sektore leich roß. a) [P] Das Glücksrad wird viermal edreht. Bereche Sie die Wahrscheilichkeite der folede zwei reiisse: A: Die Zahl w wird höchstes zweimal ezoe B: Die Summe der aezeite Zahle ist höchstes 5 (Mit welche Zahle ka ma bzw. 5 erreiche?) b) [P] Bestimme Sie, wie oft ma das Glücksrad höchstes drehe darf, damit mit eier Wahrscheilichkeit vo höchstes 5% mehr als zweimal die Zahl auftritt. Lösusvorschla 6: Zu a) Die Wahrscheilichkeite der lemetarereiisse sid p() =, p() = 8 ud p() = 8

5 Mathematik Name: Lösu Nr.5 K Pukte: / Note: Schitt: 8..8 Zu A): P(A) erhält ma mit der Biomialverteilu, wobei =, p =,75 ist. i i 5 P( A) = =,88 i= 8 8 zu B: We ma viermal die dreht, erhält ma. Die Wahrscheilichkeit hierfür ist = 56 Dreht ma -mal die ud -mal die, erhält ma 5. Alle adere Variate erebe eie Zahlesumme rößer als 5. Da die a vier verschiedee Stelle stehe ka, ilt P( B) 7 = + = + = =, Zu b) Die Wahrscheilichkeit, dass eie is ezoe wird ist p =. Mit X bezeiche wir die Berechu der Azahl der iser, we ma viermal dreht. X ist biomi- alverteilt. s ist jetzt so zu bestimme, dass P( X ),5 bei diesem ist. Da ma dies icht direkt mit eier Formel bereche ka, beutzt ma P X = PX ),5 oder PX ( ),5 ( ) ( Gesucht ist also das rößte, so dass PX ( ),5 Durch Probiere erhält ma die Tabelle PX ( ),56,55 Damit ist die esuchte Zahl =.

6 Mathematik Name: Lösu Nr.5 K Pukte: / Note: Schitt: 8..8 Aufabe 7: [P] Alfos wirft Müze, so dass sie mölichst ahe a der Wad zu liee komme. Die Müze pralle dabei oft ab ud rolle zurück. Der Abstad X i Meter vo der Wad ist eie Zufallsvariable, die ma mit der Wahrscheilichkeitsdichte über dem Itervall [ ] : [ ] R 5 ( ) x x bestimme ka. Zeie Sie, dass dies eie Wahrscheilichkeitsdichte über dem Itervall [ ] ist. Bereche Sie de rwartuswert ud die die Stadardabweichu der Abstadsvariable X. Wie roß ist die Wahrscheilichkeit, dass die Müze weier als,5 m vo der Wad etfert ist? Lösusvorschla 7: x ( ) Damit eie Wahrscheilichkeitsdichte über [ ] ist, müsse zwei Bediue erfüllt sei: ) x ( ) ud ) ( x) dx = Die erste Bediu ilt trivialerweise. Die zweite Bediu überprüfe wir eifach durch Nachreche ( x) dx = ( x ) dx = ( ) ( ) ( ) ( ) x = = = 5 Amerku: Selbstverstädlich köte wir das Iterral auch mit dem GTR bereche, aber das Iteral müsse wir auf alle Fälle hischreibe. 5 Der rwartuswert ist = x( x) dx = x ( x ) dx = laut GTR. Das Quadrat Stadardabweichu ist 5 5 = ( x ) ( x) dx = x ( x ) dx = =, Damit ist die Stadardabweichu = =,8 6 Die Wahrscheilichkeit, dass die Müze weier als,5 m vo der Wad etferst ist,5 5 5,5 beträt P( X,5) = ( x ) dx = ( x ) ( 7,6 ) 76,% = + = oder eifach das Iteral hischreibe ud mit dem GTR bereche.