Erfolg im Mathe-Abi 2017

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1 Gruber I Neuma Erfolg im Mathe-Abi 2017 Übugsaufgabe für de Wahlteil Bade-Württemberg mit Tipps ud Lösuge

2 Ihaltsverzeichis Ihaltsverzeichis Aalysis 1 Tuel Widkraftalage Testzug Abkühlug Malaria Soeblume Kaal Fische Fuktioeschare Geometrie 10 Turm Solarzelle Ebeeschar Pyramide Witergarte Haus am Hag Stochastik 1 Baumdiagramme ud Pfadregel Biomialverteilug Erwartugswert Hypothesetests Tipps Lösuge Origial Abituraufgabe Origial Abituraufgabe Origial Abituraufgabe Origial Abituraufgabe Stichwortverzeichis

3 Vorwort Vorwort Erfolg vo Afag a... ist das Geheimis eies gute Abiturs. Das vorliegede Übugsbuch ist speziell auf die Aforderuge des Wahlteils des Mathematik-Abiturs i Bade-Württemberg ab 2017 abgestimmt. Es umfasst die drei große Themebereiche Aalysis, Aalytische Geometrie ud Stochastik sowie Abituraufgabe seit 2013 i eiem Buch. Ab 2017 ädert sich die Struktur des Wahlteils grudleged: Isgesamt gibt es 40 Verrechugspukte (VP). I Aalysis gibt es eie sehr umfagreiche Aufgabe mit 20 VP, i der Aalytische Geometrie ud i Stochastik gibt es jeweils eie Aufgabe mit 10 VP. Daher habe wir die Origial-Prüfugsaufgabe teilweise gekürzt oder erweitert ud durch gleichwertige Aufgabe ersetzt (Ergäzuge sid mit gekezeichet). Auch die Beeug der Aufgabe wurde agepasst: Pro Jahrgag gibt es jetzt zwei Aufgabe aus der Aalysis (A ud B), zwei Aufgabe aus der Aalytische Geometrie (A ud B) sowie zwei Aufgabe aus der Stochastik (A ud B). Alle Aufgabe sid gleichermaße für GTR ud CAS geeiget. Durch diese Apassug erhalte Sie die bestmögliche Vorbereitug auf die Abiturprüfug! Der Wahlteil besteht aus komplexere Aufgabe, die mithilfe eies grafikfähige Tascherechers (GTR/ CAS) ud eier Merkhilfe gelöst werde solle. Der Schwerpukt liegt auf der Aalysis. Thematisch geht es meist um awedugsbezogee Trasferaufgabe, um das Modelliere realitätsaher Aufgabestelluge, um das Herstelle vo Zusammehäge ud um das Etwickel vo Lösugsstrategie. Der blaue Tippteil Hat ma eimal keie Idee, wie ma eie Aufgabe agehe soll bzw. fehlt der Lösugsasatz, hilft der blaue Tippteil i der Mitte des Buches weiter: Zu jeder Aufgabe gibt es dort Tipps, die helfe, eie Asatz zu fide, ohe die Lösug vorwegzuehme. Die Kotrollkästche Damit Sie immer de Überblick behalte köe, welche Aufgabe Sie scho bearbeitet habe, befidet sich ebe jedem Aufgabetitel ei Kotrollkästche zum Abhake. MeiMatheAbi.de Im Iteret fide Sie uter weitere Abituraufgabe. 5

4 Vorwort Dort gibt es auch Lerkarte (auch als App), Tascherecheraleituge für verschiedee Tascherechertype, Videotutorials ud ei Forum, das die Vorbereitug auf die Prüfug erleichtert. Die grafikfähige Tascherecher köe icht ur Fuktiosgraphe zeiche ud besodere Pukte bestimme. Sie köe z.b. auch Gleichuge ud lieare Gleichugssysteme löse, Itegrale bereche, Biomialverteiluge agebe, etc. Ist es sivoll, eie bestimmte Tascherecherfuktio zu utze, befidet sich a der etsprechede Stelle ei QR-Code ud ei Direktlik auf das etsprechede Video, i dem diese Fuktio des Tacherechers kurz erklärt wird. Der QR-Code ka mit eier etsprechede App gescat werde. Alterativ lässt sich auch der Lik uter dem Code beutze. Der Code ebe diesem Text verweist beispielsweise auf ei Video zur Bestimmug der kumulierte Biomialverteilug. Der Aufbau der Mathematikprüfug Die gesamte Prüfugszeit beträgt 270 Miute (4,5 Zeitstude). Der Lehrer erhält vor der Prüfug de Pflichtteil (HMF) ud für de Wahlteil zwei Aufgabevorschläge aus Aalysis (A ud B), zwei aus Aalytischer Geometrie (A ud B) sowie zwei aus Stochastik (A ud B). Er wählt aus de Vorschläge für de Wahlteil je eie aus Aalysis, eie aus Aalytischer Geometrie ud eie aus Stochastik aus. Die Schüler erhalte zu Begi der Prüfug alle Aufgabe (de Pflichtteil (HMF) ud de vom Lehrer ausgesuchte Wahlteil, bestehed aus Aalysis, Geometrie ud Stochastik). Sie erhalte zu diesem Zeitpukt och keie Hilfsmittel. Die Schüler bearbeite zuächst de Pflichtteil (HMF). Nach desse Abgabe erhalte sie die Hilfsmittel (Tascherecher, Merkhilfe) für de Wahlteil. Isgesamt köe maximal 0 Verrechugspukte i der Prüfug erreicht werde, davo 20 im Pflichtteil (HMF) ud 40 im Wahlteil. Alle Schüler, die sich auf das Abitur vorbereite, wüsche wir viel Erfolg! Helmut Gruber, Robert Neuma

5 1. Baumdiagramme ud Pfadregel Stochastik 1 Baumdiagramme ud Pfadregel Tipps ab Seite 44, Lösuge ab Seite 92 a) Eie Ure ethält blaue ud rote Kugel. I) Es werde 2 Kugel mit Zurücklege gezoge. Wie viele blaue Kugel müsse sich i der Ure befide, damit die Wahrscheilichkeit, höchstes eie blaue Kugel zu ziehe, 0,4 beträgt? II) Es werde 3 Kugel mit Zurücklege gezoge. Bestimme Sie die Azahl der blaue Kugel, we die Wahrscheilichkeit, midestes eie blaue Kugel zu ziehe, betrage soll. b) Ei Glücksrad besteht aus vier Kreissektore, die mit de Zahle 1, 2, 3 ud 4 versehe sid. Die Mittelpuktswikel der verschiedee Sektore habe die Weite 30, 0, 90 ud 180 (siehe Abbildug). Nach jeder Drehug gilt diejeige Zahl als gezoge, auf dere Kreissektor der feststehede Pfeil zeigt. I) Wie oft müsste ma das Glücksrad drehe, damit mit eier Wahrscheilichkeit vo etwa 97% midestes eimal die Zahl 4 gezoge wird? II) Wie groß müsste der zur Zahl 1 gehörede Mittelpuktswikel sei, damit bei dreimaligem Drehe mit 99,9%-iger Wahrscheilichkeit höchstes zweimal die Zahl 1 gezoge wird? c) I eier Ure sid 4 weiße ud eie ubekate Azahl roter Kugel. I) Es werde 2 Kugel ohe Zurücklege gezoge. Wie viele rote Kugel ware vorhade, we die Wahrscheilichkeit, dass beide Kugel weiß sid, 1 beträgt? II) Es werde 3 Kugel ohe Zurücklege gezoge. Wie viele rote Kugel ware vorhade, we die Wahrscheilichkeit, dass midestes eie Kugel weiß ist, beträgt? 23

6 1. Baumdiagramme ud Pfadregel d) I eiem Gefäß sid rote ud blaue Kugel. Es werde 3 Kugel ohe Zurücklege gezoge. I) Wie viele blaue Kugel ware vorhade, we die Wahrscheilichkeit, dass midestes eie Kugel rot ist, beträgt? II) Für welche Werte vo beträgt die Wahrscheilichkeit, dass midestes zwei Kugel blau sid, weigstes 90%? e) Eie Ure ethält sechs rote ud eie blaue Kugel. Für ei Glücksspiel wird folgede Regel vereibart: Es wird geau eie Kugel gezoge. Ist die gezogee Kugel blau, so wird sie i die Ure zurückgelegt. Ist sie dagege rot, so wird sie beiseite gelegt ud i der Ure durch eie blaue ersetzt. I) Das Glücksspiel wird dreimal durchgeführt ud jeweils die Farbe der gezogee Kugel festgestellt. Bereche Sie die Wahrscheilichkeit, dass midestes eie der Kugel blau ist. II) Ei Glücksspieler behauptet, dass ma midestes zwei Ziehuge durchführe muss, um mit eier Wahrscheilichkeit vo 99% midestes eie rote Kugel zu ziehe. Hat er Recht? 24

7 1. Baumdiagramme ud Pfadregel Tipps Stochastik 1 Baumdiagramme ud Pfadregel a) I) Zeiche Sie ei Baumdiagramm mit de Äste blau (b) ud rot (r). Beachte Sie, dass die Wahrscheilichkeite bei jedem Ziehe gleich bleibe. Reche Sie mit dem Gegeereigis A, idem Sie P(A) = 1 P(Ā) verwede. Stelle Sie eie Gleichug auf ud löse Sie diese mithilfe des GTR/CAS. Beachte Sie, dass > 0 ist. II) Reche Sie mit dem Gegeereigis A, idem Sie P(A) = 1 P(Ā) verwede. Stelle Sie eie Gleichug auf ud löse Sie diese mithilfe des GTR/CAS. Beachte Sie, dass > 0 ist. b) I) Bestimme Sie die Wahrscheilichkeite für die eizele Zahle, idem Sie de zugehörige Mittelpuktswikel durch 30 teile. Verwede Sie für das gesuchte Ereigis bei Drehuge das Gegeereigis, stelle Sie eie Gleichug auf ud löse Sie diese mithilfe des GTR/CAS. II) Beachte Sie, dass für die Wahrscheilichkeit der Zahl 1 gilt: P(1) = 30 α. Verwede Sie für das gesuchte Ereigis bei 3 Drehuge das Gegeereigis, stelle Sie eie Gleichug auf ud löse Sie diese mithilfe des GTR/CAS. c) I) Zeiche Sie ei Baumdiagramm mit de Äste weiß (w) ud rot (r). Beachte Sie, dass sich die Wahrscheilichkeite bei jedem Ziehe äder. Verwede Sie die 1. Pfadregel, stelle Sie eie Gleichug auf ud löse Sie diese mithilfe des GTR/CAS. Beachte Sie, dass > 0 ist. II) Reche Sie mit dem Gegeereigis A, idem Sie P(A) = 1 P(Ā) verwede. Stelle Sie eie Gleichug auf ud löse Sie diese mithilfe des GTR/CAS. Beachte Sie, dass > 0 ist. d) I) Zeiche Sie ei Baumdiagramm mit de Äste blau (b) ud rot (r). Beachte Sie, dass sich die Wahrscheilichkeite bei jedem Ziehe äder. Reche Sie mit dem Gegeereigis A, idem Sie P(A) = 1 P(Ā) verwede. Stelle Sie eie Gleichug auf ud löse Sie diese mithilfe des GTR/CAS. Beachte Sie, dass > 0 ist. II) Überlege Sie, welche Ergebisse zum gesuchte Ereigis gehöre ud verwede Sie die Pfadregel. Stelle Sie eie Ugleichug auf ud löse Sie diese mithilfe des GTR/CAS. Beachte Sie, dass > 0 ist. e) I) Zeiche Sie ei Baumdiagramm mit blau (b) ud rot (r). Beachte Sie, dass sich ach Ziehug eier rote Kugel die Verhältisse i der Ure äder. Reche Sie mit dem Gegeereigis A, idem Sie P(A) = 1 P(Ā) verwede. 44

8 1. Baumdiagramme ud Pfadregel Lösuge Stochastik 1 Baumdiagramme ud Pfadregel a) I) We im Behälter rote ud blaue Kugel sid, gibt es isgesamt + Kugel. Damit beträgt die Wahrscheilichkeit bei jedem Ziehe für blau (b): + ud für rot (r): +. Da die Wahrscheilichkeit, höchstes eie blaue Kugel zu ziehe, 0,4 betrage soll, erhält ma (am geschickteste) mithilfe des Gegeereigisses folgede Gleichug: P(«höchstes eie blaue Kugel») = 1 P(«zwei blaue Kugel») + 0,4 = 1 P(bb) 0,4 = = 0,3 Mithilfe des GTR/CAS erhält ma: 1 = 9 ud 2 = 9 4. Wege > 0 kommt ur 1 = 9 als Lösug i Frage. Also müsse sich im Behälter 9 blaue Kugel befide. + II) Da die Wahrscheilichkeit, midestes eie blaue Kugel zu ziehe, betrage soll, erhält ma (am geschickteste) mithilfe des Gegeereigisses folgede Gleichug: P(«midestes eie blaue Kugel») = 1 P(«keie blaue Kugel») = 1 P(rrr) = = 8 27 Ma erhält mithilfe des GTR/CAS: = 3. Also müsse sich im Behälter 3 blaue Kugel befide

9 Lösuge 1. Baumdiagramme ud Pfadregel b) I) Die Wahrscheilichkeite für die eizele Zahle erhält ma, idem ma de zugehörige Mittelpuktswikel durch 30 teilt: P(1) = = 1 12 P(2) = 0 30 = 1 P(3) = = 1 4 P(4) = = 1 2 Zur Bestimmug der Wahrscheilichkeit, dass bei Drehuge des Glücksrads midestes eimal die Zahl 4 erscheit, verwedet ma das Gegeereigis «keie 4 erscheit»: P(«midestes eimal 4») = 1 P(«keie 4») = 1 Damit diese Wahrscheilichkeit etwa 97% beträgt, muss gelte: ( ) 1 0,97 = 1 2 ( ) 1 = 0,03 2 ( ) 1 2 Mithilfe des GTR/CAS erhält ma: 5, 0. Also muss ma etwa füfmal drehe, damit mit etwa 97%-iger Wahrscheilichkeit midestes eimal die Zahl 4 erscheit. II) Allgemei gilt für die Zahl 1 die Wahrscheilichkeit P(1) = α 30. Das Gegeereigis vo höchstes zweimal die Zahl 1 ziehe ist geau dreimal die Zahl 1 ziehe; dieses hat die Wahrscheilichkeit P(111) = ( ) α Damit gilt für die Wahrscheilichkeit, höchstes zweimal die Zahl 1 ziehe: P(«höchstes zweimal 1») = 0,999 1 P(111) = 0,999 ( α ) 3 1 = 0, ( α ) 3 0,001 = 30 Mithilfe des GTR/CAS erhält ma: α = 3. Der Mittelpuktswikel für die Zahl 1 muss also 3 betrage. 93

10 1. Baumdiagramme ud Pfadregel Lösuge c) I) We i der Ure 4 weiße ud rote Kugel sid, gibt es isgesamt + 4 Kugel. Damit beträgt die Wahrscheilichkeit beim 4 1. Ziehe für weiß (w): ud für rot (r): Beim 2. Ziehe sid ur och + 3 Kugel vorhade ud die Wahrscheilichkeite häge davo ab, welche Farbe scho gezoge wurde. Da die Wahrscheilichkeit, dass beide Kugel weiß sid, 1 betrage soll, erhält ma mithilfe der 1. Pfadregel folgede Gleichug: P(«beide Kugel weiß») = P(ww) ( + 4) ( + 3) = = 0 1 = Mithilfe des GTR/CAS erhält ma: 1 = 5 ud 2 = 12. Wege > 0 kommt ur 1 = 5 als Lösug i Frage. Also ware i der Ure 5 rote Kugel vorhade. II) Da die Wahrscheilichkeit, midestes eie weiße Kugel zu ziehe, betrage soll, erhält ma (am geschickteste) mithilfe des Gegeereigisses folgede Gleichug: P(«midestes eie weiße Kugel») = 1 P(«keie weiße Kugel») = 1 P(rrr) = = Wege > 0 erhält ma mithilfe des GTR/CAS: = 12. Also ware i der Ure 12 rote Kugel vorhade. 94

11 Lösuge 1. Baumdiagramme ud Pfadregel d) I) We im Gefäß rote ud blaue Kugel sid, gibt es isgesamt + Kugel. Damit beträgt die Wahrscheilichkeit beim 1. Zie- he Ziehe für blau (b): + ud für rot (r):. Beim jedem weitere Ziehe sid wei- + ger Kugel vorhade ud die Wahrscheilichkeite häge davo ab, welche Farbe scho gezoge wurde. Da die Wahrscheilichkeit, midestes eie rote Kugel zu ziehe, betrage soll, erhält ma (am geschickteste) mithilfe des Gegeereigisses folgede Gleichug: P(«midestes eie rote Kugel») = 1 P(«keie rote Kugel») = 1 P(bbb) = = Wege > 0 erhält ma mithilfe des GTR/CAS: = 10. Also ware im Gefäß 10 blaue Kugel vorhade. II) Die Wahrscheilichkeit, dass midestes zwei der Kugel blau sid, soll weigstes 90% = 0,9 betrage. Ma erhält daher mithilfe der 1. ud 2. Pfadregel folgede Ugleichug: 0,9 P(«midestes zwei blaue Kugel») 0,9 P(bbr) + P(brb) + P(rbb) + P(bbb) 0, (18 + ( 2)) ( 1) 0,9 ( + ) ( + 5) ( + 4) Wege > 0 erhält ma mithilfe des GTR/CAS: 22,98. Also müsse im Gefäß midestes 23 blaue Kugel vorhade sei

12 1. Baumdiagramme ud Pfadregel Lösuge e) I) Um eie Übersicht über alle mögliche Ausgäge des Spiels ud dere Wahrscheilichkeite zu erhalte, bietet es sich a, ei Baumdiagramm zu zeiche. Dabei ist darauf zu achte, dass sich ach Ziehug eier rote Kugel die Verhältisse i der Ure äder. Es ist b: blau ud r: rot. Die eizele Ziehuge sid icht uabhägig voeiader, da die Wahrscheilichkeitsverteilug eier Ziehug vom Ausgag der vorherige Ziehug abhägt. Die Wahrscheilichkeit, dass midestes eie Kugel blau ist, erhält ma mithilfe des Gegeereigisses: P(«midestes eie blaue Kugel») = 1 P(«alle Kugel rot») = 1 P(rrr) = = 343 0,50 = 5,0% II) Zuerst bestimmt ma die Wahrscheilichkeit für das Ereigis A: «Midestes eie Kugel ist rot bei Ziehuge». Hierzu verwedet ma das Gegeereigis A : «Alle Kugel sid blau.» Es gilt: P(A) = 1 P ( A ) =1 ( ) 1 7 Der Spieler behauptet, dass P(A) 0,99 für alle 2. Nu berechet ma, für welche die Wahrscheilichkeit P(A) 0,99 gilt: 1 ( ) 1 0,99 7 ( ) 1 0,01 7 Mithilfe des GTR/CAS erhält ma: 2,37. Die Behauptug des Spielers ist falsch, da P(A) 0,99 erst für 3 gilt. 9