Erfolg im Mathe-Abi 2014

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1 Gruber I Neuma Erfolg im Mathe-Abi 2014 Übugsbuch für de Pflichtteil Bade-Württemberg mit Tipps ud Lösuge

2 Ihaltsverzeichis Ihaltsverzeichis Aalysis 1 Ableite 1.1 Potezfuktioe mit atürliche Expoete Potezfuktioe mit egative Expoete Potezfuktioe mit gebrochee Expoete Expoetialfuktioe Logarithmusfuktioe Trigoometrische Fuktioe Vermischte Aufgabe... 2 Stammfuktioe ud Itegrale 2.1 Stammfuktioe Itegrale Flächeihalt zwische zwei Kurve Rotatioskörper Gleichuge 3.1 Quadratische, biquadratische ud ichtlieare Gleichuge Expoetialgleichuge Bruchgleichuge Trigoometrische Gleichuge Fuktioe ud Schaubilder 4.1 Vo der Gleichug zur Kurve Aufstelle vo Fuktioe mit Radbediguge Vo der Kurve zur Gleichug Eigeschafte vo Kurve 5.1 Schaubilder vo f, f ud F Kurvediskussio... 31

3 Ihaltsverzeichis Geometrie 6 Pukte, Gerade ud Ebee 6.1 Reche mit Vektore Gerade Ebee Gegeseitige Lage vo Gerade ud Ebee Gegeseitige Lage vo Ebee Abstäde, Wikel ud Spiegeluge 7.1 Abstadsberechuge Wikelberechuge Spiegeluge Stochastik Wahrscheilichkeitsrechug.1 Baumdiagramme ud Pfadregel Biomialverteilug Erwartugswert Allgemeies Verstädis vo Zusammehäge Tipps Lösuge Abituraufgabe Stichwortverzeichis

4 Vorwort Vorwort Erfolg vo Afag a...ist das Geheimis eies gute Abiturs. Das vorliegede Übugsbuch ist speziell auf die grudlegede Aforderuge des Pflichtteils des Mathematik-Abiturs i Bade-Württemberg abgestimmt. Es umfasst die drei große Themebereiche Aalysis, Geometrie ud Stochastik sowie agepasste ud erweiterte Abituraufgabe seit 200 i eiem Buch. Seit 2013 sid eiige frühere Theme icht mehr relevat, z.b. Polyomdivisio, Wurzelgleichuge, Newto-Verfahre, Quotieteregel, schiefe Asymptote, Näherugskurve, Keplersche Fassregel, Zahlefolge, Vollstädige Iduktio, formale lieare Abhägigkeit/ Uabhägigkeit dreier Vektore ud Vektorbeweise. Daher habe wir Origial- Prüfugsaufgabe dieser Art durch gleichwertige Aufgabe ersetzt, erweitert ud gekezeichet. Somit erhalte Sie die bestmögliche Vorbereitug auf die Abiturprüfug. Auf userem Portal fide Sie weitere Abituraufgabe. Dort fide Sie auch viele Lervideos, i dee die die grudlegede Theme a eifache Beispiele erklärt werde. Die etsprechede Stelle sid im Buch mit eiem Kamerasymbol gekezeichet. Der Pflichtteil besteht aus mehrere kleie Aufgabe, die ohe Tascherecher ud ohe Formelsammlug gelöst werde müsse. Geau hierfür wurde das vorliegede Buch kozipiert: Es fördert das Grudwisse ud die Grudkompeteze i Mathematik, vom eifache Reche ud Formelawede bis hi zum Verstehe vo gedakliche Zusammehäge. Das Übugsbuch ist eie Hilfe zum Selbstlere (learig by doig) ud bietet die Möglichkeit, sich itesiv auf die Prüfug vorzubereite ud gezielt Theme zu vertiefe. Hat ma Erfolg bei de grudlegede Aufgabe, mache Mathematik ud das Lere mehr Spaß. Der blaue Tippteil Hat ma keie Idee, wie ma eie Aufgabe agehe soll, hilft der blaue Tippteil zwische Aufgabe ud Lösuge weiter: Zu jeder Aufgabe gibt es dort Tipps, die helfe, eie Asatz zu fide, ohe die Lösug vorwegzuehme. Wie arbeite Sie mit diesem Buch? Am Afag jedes Kapitels fide Sie eie kurze Übersicht über die jeweilige Theme. Die eizele Kapitel baue zwar aufeiader auf, doch ist es icht zwiged otwedig, das Buch der Reihe ach durchzuarbeite. Die Aufgabe sid i der Regel i ihrer Schwierigkeit gestaffelt. Vo fast jeder Aufgabe gibt es mehrere Variatioe zum Vertiefe. Die Reihefolge der eizele Kapitel wurde im Wesetliche der Reihefolge der zuküftige Abituraufgabe agegliche, z.b. «Kapitel 1: Ableituge» etspricht «Aufgabe 1: Ableituge». 5

5 Vorwort I der Mitte des Buches fide Sie de blaue Tippteil mit Dek- ud Lösugshilfe. Die Lösuge mit ausführliche verstädliche Lösugswege bilde de dritte Teil des Übugsbuchs. Hier fide Sie die otwedige Formel, Recheverfahre ud Dekschritte sowie machmal alterative Lösugswege. Aspruchsvolle Aufgabe sid mit eier Raute gekezeichet. Im Ahag ab Seite 193 befide sich die agepasste ud erweiterte Abituraufgabe mit Tipps ud ausführliche Lösuge. Der Aufbau des Mathematik-Abiturs Die gesamte Prüfugszeit beträgt 240 Miute (4 Zeitstude). Die Schüler erhalte am Begi der Prüfug alle Aufgabe (de Pflichtteil ud de vom Lehrer ausgesuchte Wahlteil Aalysis ud Geometrie mit Stochastik). Sie erhalte zu diesem Zeitpukt och keie Hilfsmittel. Die Schüler bearbeite zuerst de Pflichtteil (Richtzeit: 100 Mi.). Nach desse Abgabe erhalte sie die Hilfsmittel (Tascherecher, Formelsammlug) für de Wahlteil. Isgesamt köe maximal 60 Verrechugspukte i der Prüfug erzielt werde, davo 30 im Pflichtteil ud 30 im Wahlteil. Aus de Verrechugspukte ergebe sich folgede Notepukte Alle Schüler, die sich auf das Abitur vorbereite, wüsche wir viel Erfolg. Helmut Gruber, Robert Neuma 6

6 . Wahrscheilichkeitsrechug Stochastik Wahrscheilichkeitsrechug.1 Baumdiagramme ud Pfadregel Tipps ab Seite, Lösuge ab Seite 171 I diesem Kapitel geht es darum, mithilfe bereits bekater Wahrscheilichkeite vo eizele Ergebisse die Wahrscheilichkeite weiterer, oft «komplizierterer» Ereigisse zu bestimme. Ei wichtiges Hilfsmittel zur Veraschaulichug hierfür sid Baumdiagramme. Sie sid isbesodere bei mehrstufige Zufallsexperimete hilfreich. Eie Verzweigug etspricht dabei de mögliche Versuchausgäge der jeweilige Stufe; lägs der «Äste» werde die zugehörige Wahrscheilichkeite otiert. Bei mehrstufige Zufallsexperimete uterscheidet ma geordete Stichprobe (d.h. Beachtug der Reihefolge) vo ugeordete Stichprobe; beide Stichprobearte köe mit oder ohe Zurücklege durchgeführt werde. Bei der Erstellug des Baumdiagrammes muss ma darauf achte, dass sich bei Stichprobe ohe Zurücklege die Wahrscheilichkeite bei jeder Stufe äder. Machmal ist es auch geschickt oder hilfreich die Wahrscheilichkeit eies Ereigisses A mit des Gegeereigisses Ā zu bereche; dies ist vor allem (aber icht immer) bei de Sigalwörter «midestes» oder «höchstes» der Fall. Es gilt da für die etsprechede Wahrscheilichkeite: P(A) = 1 P(Ā) 1. Beispiel: Ziehe mit Zurücklege Ei Gefäß ethält 4 blaue ud 6 rote Kugel. Es werde 2 Kugel mit Zurücklege gezoge. Da 4 blaue ud 6 rote, also isgesamt 10 Kugel i der Ure sid, beträgt die Wahrscheilichkeit bei jedem Ziehe für die Ergebisse blau (b): 4 10 ud für rot (r): Damit erhält ma folgedes Baumdiagramm: Wichtige Recheregel für Baumdiagramme sid die 1. Pfadregel ud die 2. Pfadregel: Die 1. Pfadregel (Produktregel) besagt, dass ma die Wahrscheilichkeit lägs eies Pfades berechet, idem ma die Wahrscheilichkeite der zugehörige Äste miteiader multipliziert. Mit der 2. Pfadregel (Summeregel) ka ma die Wahrscheilichkeit eies Ereigisses bereche, idem ma die Wahrscheilichkeite aller zugehörige Pfade addiert. 53

7 .1 Baumdiagramme ud Pfadregel Will ma beispielsweise die Wahrscheilichkeit bereche, dass beide Kugel rot sid, so ergibt sich mit Hilfe der 1. Pfadregel: P(«beide Kugel rot») = P(rr) = = = 0,36 Will ma die Wahrscheilichkeit bereche, dass beide Kugel gleichfarbig sid, so ergibt sich mit Hilfe der 1. ud 2. Pfadregel: P(«beide Kugel gleichfarbig») = P(rr) + P(bb) = = = = 0,52 2. Beispiel: Ziehe ohe Zurücklege Eie Ure ethält 2 rote ud 9 schwarze Kugel. Es werde 2 Kugel gleichzeitig gezoge. Das gleichzeitige Ziehe etspricht dem Ziehe ohe Zurücklege. Ma erhält folgedes Baumdiagramm: Da 2 rote ud 9 schwarze, also isgesamt 11 Kugel i der Ure sid, beträgt die Wahrscheilichkeit beim 1. Ziehe für rot (r): 2 11 ud für schwarz (s): Beim 2. Ziehe sid ur och 10 Kugel vorhade ud die Wahrscheilichkeite häge davo ab, welche Farbe scho gezoge wurde. Will ma beispielsweise die Wahrscheilichkeit bereche, dass geau eie Kugel schwarz ist, ergibt sich mit Hilfe der 1. ud 2. Pfadregel (Produkt- ud Summeregel): P(«geau eie schwarze Kugel») = P(rs) + P(sr) = = = 1 55 Will ma die Wahrscheilichkeit bereche, dass midestes eie der beide Kugel schwarz ist, erhält ma mit Hilfe des Gegeereigisses: P(«midestes eie schwarze Kugel») = 1 P(«keie schwarze Kugel») = 1 P(rr) = = =

8 .1 Baumdiagramme ud Pfadregel.1.1 Ziehe mit Zurücklege a) Eie Ure ethält 4 rote, 3 weiße ud 2 gelbe Kugel. Es werde 2 Kugel mit Zurücklege gezoge. I) Mit welcher Wahrscheilichkeit erhält ma eie weiße ud eie gelbe Kugel? II) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass ma keie weiße Kugel erhält? b) Ei Gefäß ethält rote, 4 blaue ud 2 weiße Kugel. Es werde 2 Kugel mit Zurücklege gezoge. I) Mit welcher Wahrscheilichkeit erhält ma keie rote Kugel? II) Bereche Sie die Wahrscheilichkeit, dass ma höchstes eie rote Kugel erhält? c) I eiem Behälter befide sich 3 rote ud 5 gelbe Kugel. Es werde 2 Kugel mit Zurücklege gezoge. I) Bereche Sie die Wahrscheilichkeit, dass midestes eie der beide Kugel gelb ist. II) Wie viele gelbe Kugel hätte sich i dem Behälter befide müsse, damit die Wahrscheilichkeit, midestes eie gelbe Kugel zu ziehe, 0,91 betrage hätte? d) Eie Ure ethält 4 blaue ud 6 rote Kugel. Es werde 2 Kugel mit Zurücklege gezoge. I) Bereche Sie die Wahrscheilichkeit, dass höchstes eie Kugel blau ist. II) Wie viele blaue Kugel hätte sich i der Ure befide müsse, damit die Wahrscheilichkeit, höchstes eie blaue Kugel zu ziehe, 0,64 betrage hätte? e) I eiem Hut befide sich 4-mal der Buchstabe A ud -mal der Buchstabe B. Es werde 2 Buchstabe mit Zurücklege gezoge. I) Bereche Sie die Wahrscheilichkeit, dass midestes eimal der Buchstabe B gezoge wird. II) Wie viele Buchstabe A müsste sich i dem Hut befide, damit die Wahrscheilichkeit, höchstes eimal de Buchstabe B zu ziehe, 0,96 beträgt? f) I eier Ure befide sich rote ud schwarze Kugel. Es ergibt sich das ebestehede Baumdiagramm. I) Beschreibe Sie eie Situatio, die zu diesem Baumdiagramm passt. II) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass midestes eie Kugel rot ist? 55

9 . Wahrscheilichkeitsrechug Tipps Stochastik Wahrscheilichkeitsrechug.1 Baumdiagramme ud Pfadregel.1.1 Ziehe mit Zurücklege a) I) Zeiche Sie ei Baumdiagramm mit de Äste rot (r), weiß (w) ud gelb (g). Beachte Sie, dass die Wahrscheilichkeite bei jedem Ziehe gleich bleibe. Überlege Sie, welche Ergebisse zum gesuchte Ereigis gehöre ud verwede Sie die Pfadregel. II) Zeiche Sie ei Baumdiagramm mit de Äste weiß (w) ud icht weiß ( w). Beachte Sie, dass die Wahrscheilichkeite bei jedem Ziehe gleich bleibe. Überlege Sie, welches Ergebis zum gesuchte Ereigis gehört ud verwede Sie die 1. Pfadregel. b) I) Zeiche Sie ei Baumdiagramm mit de Äste rot (r) ud icht rot ( r). Beachte Sie, dass die Wahrscheilichkeite bei jedem Ziehe gleich bleibe. Überlege Sie, welches Ergebis zum gesuchte Ereigis gehört ud verwede Sie die 1. Pfadregel. II) Überlege Sie, welche Ergebisse zum gesuchte Ereigis gehöre ud verwede Sie die Pfadregel oder reche Sie alterativ mit dem Gegeereigis A ud verwede Sie P(A) = 1 P(Ā). c) I) Zeiche Sie ei Baumdiagramm mit de Äste rot (r) ud gelb (g). Beachte Sie, dass die Wahrscheilichkeite bei jedem Ziehe gleich bleibe. Überlege Sie, welche Ergebisse zum gesuchte Ereigis gehöre ud verwede Sie die Pfadregel oder reche Sie alterativ mit dem Gegeereigis A ud verwede Sie P(A) = 1 P(Ā). II) Wähle Sie als Azahl der gelbe Kugel ud zeiche Sie ei Baumdiagramm. Bestimme Sie die Wahrscheilichkeit für das gesuchte Ereigis mit Hilfe des Gegeereigisses i Abhägigkeit vo ; verwede Sie P(A) = 1 P(Ā). Stelle Sie eie quadratische Gleichug auf ud löse Sie diese durch Wurzelziehe ud Falluterscheidug. Beachte Sie, dass > 0 sei muss. d) I) Zeiche Sie ei Baumdiagramm mit de Äste rot (r) ud blau (b). Beachte Sie, dass die Wahrscheilichkeite bei jedem Ziehe gleich bleibe. Überlege Sie, welche Ergebisse zum gesuchte Ereigis gehöre ud verwede Sie die Pfadregel oder reche Sie alterativ mit dem Gegeereigis A ud verwede Sie P(A) = 1 P(Ā).

10 Tipps.1 Baumdiagramme ud Pfadregel II) Wähle Sie als Azahl der blaue Kugel ud zeiche Sie ei Baumdiagramm. Bestimme Sie die Wahrscheilichkeit für das gesuchte Ereigis mit Hilfe des Gegeereigisses i Abhägigkeit vo ; verwede Sie P(A) = 1 P(Ā). Stelle Sie eie quadratische Gleichug auf ud löse Sie diese durch Wurzelziehe ud Falluterscheidug. Beachte Sie, dass > 0 sei muss. e) I) Zeiche Sie ei Baumdiagramm mit de Äste A ud B. Beachte Sie, dass die Wahrscheilichkeite bei jedem Ziehe gleich bleibe. Überlege Sie, welche Ergebisse zum gesuchte Ereigis gehöre ud verwede Sie die Pfadregel oder reche Sie alterativ mit dem Gegeereigis A ud verwede Sie P(A) = 1 P(Ā). II) Wähle Sie als Azahl der Buchstabe A ud zeiche Sie ei Baumdiagramm. Bestimme Sie die Wahrscheilichkeit für das gesuchte Ereigis mit Hilfe des Gegeereigisses i Abhägigkeit vo ; verwede Sie P(A) = 1 P(Ā). Stelle Sie eie quadratische Gleichug auf ud löse Sie diese durch Wurzelziehe ud Falluterscheidug. Beachte Sie, dass > 0 sei muss. f) I) Überlege Sie, wie viele Kugel isgesamt midestes vorhade sei müsse ud beachte Sie, ob sich die Wahrscheilichkeite für rot oder schwarz bei jedem Ziehe äder oder icht. II) Reche Sie mit dem Gegeereigis A ud verwede Sie P(A) = 1 P(Ā) sowie die 1. Pfadregel..1.2 Ziehe ohe Zurücklege a) I) Zeiche Sie ei Baumdiagramm mit de Äste rot (r), grü (g) ud blau (b). Beachte Sie, dass sich die Wahrscheilichkeite bei jedem Ziehe äder. Überlege Sie, welche Ergebisse zum gesuchte Ereigis gehöre ud verwede Sie die Pfadregel. II) Zeiche Sie ei Baumdiagramm mit de Äste blau (b) ud icht blau ( b). Beachte Sie, dass sich die Wahrscheilichkeite bei jedem Ziehe äder. Überlege Sie, welches Ergebis zum gesuchte Ereigis gehört ud verwede Sie die 1. Pfadregel. b) I) Überlege Sie, wie viele Kugel isgesamt midestes vorhade sei müsse ud beachte Sie, ob sich die Wahrscheilichkeite für rot oder schwarz bei jedem Ziehe äder oder icht. II) Überlege Sie, welche Ergebisse zum gesuchte Ereigis gehöre ud verwede Sie die Pfadregel. c) I) Beachte Sie, dass gleichzeitiges Ziehe eiem Ziehe ohe Zurücklege etspricht ud dass sich die Wahrscheilichkeite bei jedem Ziehe äder. Überlege Sie, welche Ergebisse zum gesuchte Ereigis gehöre ud verwede Sie die Pfadregel. 9

11 Lösuge. Wahrscheilichkeitsrechug Stochastik Wahrscheilichkeitsrechug.1 Baumdiagramme ud Pfadregel.1.1 Ziehe mit Zurücklege a) I) Da 4 rote, 3 weiße ud 2 gelbe, also isgesamt 9 Kugel i der Ure sid, betrage die Wahrscheilichkeite bei jedem Ziehe für rot (r), weiß (w) bzw. gelb (g): 9 4, 9 3 bzw Die Wahrscheilichkeit, eie weiße ud eie gelbe Kugel zu ziehe, erhält ma mit Hilfe der 1. ud 2. Pfadregel (Produkt- ud Summeregel): P(«eie weiße ud eie gelbe Kugel») = P(wg) + P(gw) = = 4 27 II) Da 3 weiße ud 6 icht weiße, also isgesamt 9 Kugel i der Ure sid, beträgt die Wahrscheilichkeit bei jedem Ziehe für weiß (w): 3 9 ud für icht weiß ( w): 6 9. Die Wahrscheilichkeit, keie weiße Kugel zu ziehe, erhält ma mit Hilfe der 1. Pfadregel (Produktregel): P(«keie weiße Kugel») = P( w w) = =

12 .1 Baumdiagramme ud Pfadregel Lösuge b) I) Da rote ud 6 icht rote, also isgesamt 14 Kugel i der Ure sid, beträgt die Wahrscheilichkeit bei jedem Ziehe für rot (r): 14 ud für icht rot ( r): Die Wahrscheilichkeit, keie rote Kugel zu ziehe, erhält ma mit Hilfe der 1. Pfadregel (Produktregel): P(«keie rote Kugel») = P( r r) = = = 9 49 II) Die Wahrscheilichkeit, höchstes eie rote Kugel zu ziehe, erhält ma mit Hilfe der 1. ud 2. Pfadregel (Produkt- ud Summeregel): P(«höchstes eie rote Kugel») = P( r r) + P( rr) + P(r r) = = = = Alterativ ka ma auch mit dem Gegeereigis reche: P(«höchstes eie rote Kugel») = 1 P(«zwei rote Kugel») = 1 P(rr) = = = = c) I) Da 5 gelbe ud 3 rote, also isgesamt Kugel im Behälter sid, beträgt die Wahrscheilichkeit bei jedem Ziehe für gelb (g): 5 ud für rot (r): 3. Die Wahrscheilichkeit, midestes eie gelbe Kugel zu ziehe, erhält ma mit Hilfe der 1. ud 2. Pfadregel (Produkt- ud Summeregel): 172

13 Lösuge.1 Baumdiagramme ud Pfadregel II) P(«midestes eie gelbe Kugel») = P(rg) + P(gr) + P(gg) = = = Alterativ ka ma auch mit dem Gegeereigis reche: P(«midestes eie gelbe Kugel») = 1 P(«keie gelbe Kugel») = 1 P(rr) = = = We im Behälter 3 rote ud gelbe Kugel sid, gibt es isgesamt + 3 Kugel. Damit beträgt die Wahrscheilichkeit bei jedem Ziehe für gelb (g): +3 ud für rot (r): Da die Wahrscheilichkeit, midestes eie gelbe Kugel zu ziehe, 0, 91 betrage soll, erhält ma (am geschickteste) mit Hilfe des Gegeereigisses folgede Gleichug: P(«midestes eie gelbe Kugel») = 1 P(«keie gelbe Kugel») ,91 = 1 P(rr) 0,91 = = 0,09 9 ( + 3) 2 = 0, = ( + 3)2 0,09 9 = ( + 3) = ( + 3) 2 ± ±10 = + 3 Durch Falluterscheidug ergibt sich: I) + 3 = 10 1 = 7 bzw. II) + 3 = 10 2 = 13 Wege > 0 kommt ur 1 = 7 als Lösug i Frage. Also hätte sich im Behälter 7 gelbe Kugel befide müsse. 173

14 .1 Baumdiagramme ud Pfadregel Lösuge d) I) Da 4 blaue ud 6 rote, also isgesamt 10 Kugel i der Ure sid, beträgt die Wahrscheilichkeit bei jedem Ziehe für blau (b): 10 4 ud für rot (r): Die Wahrscheilichkeit, dass höchstes eie Kugel blau ist, erhält ma mit Hilfe der 1. ud 2. Pfadregel (Produkt- ud Summeregel): 174 II) P(«höchstes eie blaue Kugel») = P(rr) + P(br) + P(rb) = = = = 0,4 Alterativ ka ma auch mit dem Gegeereigis reche: P(«höchstes eie blaue Kugel») = 1 P(«zwei blaue Kugel») = 1 P(bb) = = = = 0,4 We im Behälter 6 rote ud blaue Kugel sid, gibt es isgesamt + 6 Kugel. Damit beträgt die Wahrscheilichkeit bei jedem Ziehe für blau (b): +6 ud für rot (r): Da die Wahrscheilichkeit, höchstes eie blaue Kugel zu ziehe, 0,64 betrage soll, erhält ma (am geschickteste) mit Hilfe des Gegeereigisses folgede Gleichug: P(«höchstes eie blaue Kugel») = 1 P(«zwei blaue Kugel») + 6 0,64 = 1 P(bb) 0,64 = = 0,36 2 = 0,36 ± ( + 6) = ±0,6 + 6

15 Lösuge.1 Baumdiagramme ud Pfadregel Durch Falluterscheidug erhält ma: +6 = 0, 6 +6 = 0, 6 = 0,6 + 3,6 = 0,6 3,6 0,4 = 3,6 1,6 = 3,6 1 = 9 2 = 4 9 Wege > 0 kommt ur 1 = 9 als Lösug i Frage. Also hätte sich im Behälter 9 blaue Kugel befide müsse. e) I) Da 4-mal der Buchstabe A ud -mal der Buchstabe B, also isgesamt 12 Buchstabe im Hut sid, beträgt die Wahrscheilichkeit 4 bei jedem Ziehe für A: 12 = 1 3 ud für B: 12 = 2 3. Die Wahrscheilichkeit, midestes eimal B zu ziehe, erhält ma mit Hilfe der 1. ud 2. Pfadregel (Produkt- ud Summeregel): P(«midestes eimal B») = P(AB) + P(BA) + P(BB) = = = 9 Alterativ ka ma auch mit dem Gegeereigis reche: P(«midestes eimal B») = 1 P(«kei B») = 1 P(AA) = = = 9 II) We im Hut -mal der Buchstabe A ud -mal der Buchstabe B sid, gibt es isgesamt + Buchstabe. Damit beträgt die Wahrscheilichkeit bei jedem Ziehe für A: + ud für B: +. Da die Wahrscheilichkeit, höchstes eimal de Buchstabe B zu ziehe, 0,96 betrage soll, erhält ma (am geschickteste) mit Hilfe des Gegeereigisses folgede Gleichug: 175

16 .1 Baumdiagramme ud Pfadregel Lösuge P(«höchstes eimal B») = 1 P(«zweimal B») + 0,96 = 1 P(BB) 0,96 = = 0,04 64 ( + ) 2 = 0,04 64 = ( + )2 0, = ( + ) = ( + ) 2 ± ±40 = + 1 = 32 bzw. 2 = 4 Wege > 0 kommt ur 1 = 32 als Lösug i Frage. Also hätte sich im Hut 32 Buchstabe A befide müsse. f) I) Zum Baumdiagramm passt z.b. folgede Situatio: I eier Ure befide sich 5 rote ud 3 schwarze Kugel. Es werde drei Kugel mit Zurücklege gezoge, da die Wahrscheilichkeite beim 2. ud beim 3. Zug gleich groß sid wie beim 1. Zug. II) Die Wahrscheilichkeit beträgt bei jedem Ziehe für rot (r): 5 ud für schwarz (s): 3. Die Wahrscheilichkeit, dass midestes eie Kugel rot ist, erhält ma am geschickteste mit Hilfe des Gegeereigisses: P(«midestes eie rote Kugel») = 1 P(«keie rote Kugel») = 1 P(sss) = = =