Model CreditRisk + : The Economic Perspective of Portfolio Credit Risk Part I

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1 Model CreditRisk + : The Ecoomic Perspective of Portfolio Credit Risk Part I Semiar: Portfolio Credit Risk Istructor: Rafael Weißbach Speaker: Pablo Kimmig

2 Ageda 1. Asatz ud Ziele Was ist CreditRisk + Kozept Modellierug 2. Verteilug der Ausfälle 3. Verlustverteilug 4. Modellerweiteruge 5. Awedug 6. Zusammefassug

3 Asatz ud Ziele Was ist CreditRisk +? Etwickelt vo Credit Suisse Fiacial Products im Jahre 1997 Aktuarisches Modell Itesity Based Model (vs. Strukturelle Modelle) Aalytisches Modell

4 Asatz ud Ziele Kozept Ermittlug der Wahrscheilichkeitsverteilug potetiellerer Verlustausfälle Bildug vo Rückstelluge (Ecoomic Capital) Steuerugsiformatioe für Portfoliomaagemet Quelle: CreditRisk + ; Credit Suisse

5 Asatz ud Ziele Data Iput 1. Credit Exposures Severity: Schade im Fall vo Ausfälle Determiistisch Problem der Scheigeauigketi 2. Default Rates Kalibrierug durch die beobachtete Kreditspae der gehadelte Kreditderivate oder mittels Ratigs Starke ährliche Schwakuge 3. Default Rate Volatilities Stadartabweichug

6 Asatz ud Ziele Warum aalytisches Modell? Beispiel Exposure vo Schulder A: L A 1000 Ausfallwahrscheilichkeit: p A 5% Kreditausfall als diskretes Ereigis ( Ausfall, kei Ausfall ) Kredit 1 95% 5% Kredit 2 Kredit 2 95% 5% 95% 5% λ0 (90,25%) λ1000 (4,75%) λ1000 (4,75%) λ2000 (0,25%) Mit eier Wahrscheilichkeit vo 90,25% wird ei Verlust vo 0 icht überschritte 2 Möglichkeite ( ) Vereifachte Berechug durch Verteilugsfuktioe ( closed form )

7 Asatz ud Ziele Modellierug Portfolio mit N Kreditehmer Zuvallsvariable ( Ausfall ): Vektor (L 1,...,L N ) L ~ B(1,p A ) Aahme: L A uabhägig

8 Asatz ud Ziele Das Beroulli-Modell B p, N ( ) N p (1 p) N Bediguge Idetische Ausfallwahrscheilichkeite Relevaz Retail Portfolios Utypisch Problem: Biomialverteilug ist icht reproduktiv

9 Ageda 1. Asatz ud Ziele 2. Verteilug der Ausfälle Exkurs: WEF Herleitug der Verteilug 3. Verlustverteilug 4. Modellerweiteruge 5. Aweduge 6. Zusammefassug

10 Zetrales Mittel zur Aalyse der Ausfallverteilug Die WEF G eier Zufallsvariable X ist defiiert durch Wahrscheilichkeitserzeugede Fuktio (WEF) Exkurs 0 ) ( ) ( x x p z z E z G o IN X P p ), ( : Besodere Eigeschafte: Bei Ketis der WEF ka ma also die Eizelwahrscheilichkeite ud die Verteilugsfuktio herleite x0 + Y X z G z G z G Y X Y X, ; ) ( ) ( ) ( 0 ) (! 1 ) ( z z z G X P p

11 Verteilug der Ausfälle Poissoapproximatio (1/2) WEF: F(z) 0 p( defaults)z Für A gilt: F A ( z) 1+ p ( z 1) A Für das Portfolio: F A( z) (1 + pa( z F ( z) 1)) A A Durch Logarithmiere log F ( z) log(1 + p A ( z 1)) A ud die Aahme log( 1 + p ( z 1)) p ( z A A 1)

12 Verteilug der Ausfälle Poissoapproximatio (2/2) erhält ma Für e gilt: l F( z) F( z) e e x A µ ( z 1) p A ( z 1) x x² x ! 2!! x 0! Durch die Taylorreiheapproximatio erhält ma µ(z 1 ) F(z) e 0 e µ! µ p z 1! G( z) z Pr ( defaults) z 0 µ e µ!

13 Verteilug der Ausfälle Ausfälle sid poissoverteilt Pr ( defaults) µ e µ! Spezialfall der Biomialverteilug > 50; p<0,1 Relevaz Verteilug ist ausschließlich vo der erwartete Verlustazahl µ abhägig Die Poisso Verteilug ist ei geeigetes Mittel zur Berechug selteer Ereigisse Keie empirische Evidez für die Stadardabweichug ( µ) Keie Aussage über die Höhe der Ausfälle

14 Ageda 1. Asatz ud Ziele 2. Verteilug der Ausfälle 3. Verlustverteilug Beutzug vo Exposure-Bäder Rekursiosformel zur Berechug der Verteilug Beispiel 4. Modellerweiteruge 5. Aweduge 6. Zusammefassug

15 Verlustverteilug Kozept Zweites Zufallselemet Nebe der Usicherheit aus dem Auftrete des Ausfalls u auch desse Höhe Lösug der Größerestriktio: 1. Zusammefasse vo Kredite mit ählicher Verlusterwartug (Exposure-Bäder) Dazu wird ei Verlustkoeffiziet L festgelegt, auf desse gazzahlige Vielfache die erwartete Verluste gerudet werde Trade-off zwische der Azahl der Exposure-Bäder (Recheaufwad) ud Geauigkeit 2. Rekursiosbeziehug

16 Verlustverteilug Vorgehe bei der Verwedug vo Exposure-Bäder 1. Wahl der Grudeiheit L 2. Normierug des Verlustes ud des erwartete Verlustes ν A L A /L, ε A λ A /L 3. Aufrude vo ν A auf ν ud Zusammefasse gleicher Bäder 4. Berechug des erwartete Verlustes ε für edes Bad 5. Berechug der erwartete Azahl der Ausfälle für edes Bad µ ε ν Problem: Geauigkeit?

17 WEF: Herleitug der Verlustverteilug Verlustverteilug 0 L)z p(aggregate losses G(z) + m v m z e z G ) ( µ µ Zwei Zufallselemete: F Ausfall P Variabilität des Exposurebetrages F(P(z)) e G(z) ) µ(p(z) 1 m v m m v z z z P ) ( ν ε ν ε µ µ e z G 1 1 ) (

18 Verlustverteilug Lösug der Größerestriktio Zwei Möglichkeite 1. Mauelle Faltug Aufgrud Reproduktivität der Poisso Verteilug: Die Faltug uabhägiger Poisso-Variable ist wieder poissoverteilt (Pµ 1 Pµ 2... Pµ )(k) P Problem: Rechezeit 2. Rekursiosformel i1 µ i (k)

19 Verlustverteilug Paer Rekursio Mittels der Leibitz-Formel lässt sich folgede Rekursiosbeziehug herleite: A : ν: ν ε A ν A :Wahrscheilichkeit vo L Afagswert: A 0 G(0) F( P(0)) e µ e m 1 ε ν Vorteile Geeiget für Tabellekalkulatio Keie Fakultät zu bereche

20 Verlustverteilug Beispiel (1/2) Verwedug vo Exposure-Bäder L Name L A Ratig p A λ ν A L A /L roud ν A : ν ε A λ/l ε ε A μ ε /ν 1 358,475 H 30.00% 107, ,089,819 H 30.00% 326, ,799,710 F 10.00% 179, ,933,116 G 15.00% 289, ,317,327 G 15.00% 347, ,410,929 G 15.00% 361, ,652,184 H 30.00% 795, ,957,685 G 15.00% 443, µ m 1 µ m 1 ε ν

21 Verlustverteilug Beispiel (2/2) Berechug der Verlustverteilug ahad der Rekursiosgleichug A ν 1 ν 2 ν 3 ν 4 ν 5 ν % EXP( ) % (0.21/1)*25.54 % % (0.65/3)*25.54% % (0.21/4)*5.56% (0.65/4)*5.49% (0.93/4)*25.54% % (0.21/5)*7.2% (0.93/5)*5.49% (1.41/5)*25.54% % (0.21/6)*8.59% (0.65/6)*5.56% (1.41/6)*5.49% (2.47/6)*25.54% A 0 e m µ ν 1 A e ε : ν ε A ν

22 Ageda 1. Asatz ud Ziele 2. Verteilug der Ausfälle 3. Verlustverteilug 4. Modellerweiteruge Mehrperiodige Betrachtug Variable Ausfallrate (Part II) 5. Aweduge 6. Zusammefassug

23 Modellerweiteruge Mehrperiodige Betrachtug Die Rekursiosformel gilt auch bei mehrperiodiger Betrachtug: A : ν ( t) ε ( t) A ν ( t ) Exposures köe uterschiedliche Laufzeite habe Jedes Exposure ka maximal eimal ausfalle Kostater- vs. Hold-to-Maturity / Ru-off Zeithorizot: Kostater Zeithorizot Normalerweise ei Jahr Geeiget für traded bod portfolios Hold-to-Maturity Zeithorizot Vergleichbarkeit vo Exposures mit uterschiedliche Laufzeite / Qualität Geeiget für Portfoliomaagemet

24 Modellerweiteruge Variable Ausfallrate Auswirkug auf die Verlustverteilug Bis etzt wurde vo Uabhägigkeit zwische de Kreditehmer ausgegage, was icht der Realität etspricht Nu: Implizite Berücksichtigug der Korrelatio durch die Eibeziehug der Volatilität der Ausfallrate Quelle: CreditRisk + ; Credit Suisse EL uverädert Fat tail

25 Modellerweiteruge Mixture Model Approach Sektoraalyse Kreditehmer werde i uabhägige Sektore aufgeteilt Jeder Sektor wird vo eiem Hitergrudfaktor beeiflusst Aahme: durchschittliche Ausfallrate sid gammaverteilt Modellierug mit variable Ausfallrate Verteilug der Ausfälle Verlustverteilug Modell-Iput Exposures (Rückgewiugs rate) Ausfallrate Ausfallrate volatilität

26 Ageda 1. Asatz ud Ziele 2. Verteilug der Ausfälle 3. Verlustverteilug 4. Modellerweiteruge 5. Aweduge Szeario Aalyse Portfoliomaagemet 6. Zusammefassug

27 Aweduge Szeario Aalyse Zur Bestimmug vo Risike mit extreme Verluste Schwierig zu bestimme, da die Eitrittswahrscheilichkeite gege Null gehe Stress Test Extremer Astieg der PD Vergrößerug der Volatilität der PD [Verigerug der Azahl der Sektore] [Eiführug vo Kozetratioslimits]

28 Aweduge Portfoliomaagemet Maßgröße: Risikobeitrag ( Effekt des Exposures eies Kreditehmers auf das Risiko des uerwartete Verlustes eies Portfolios) Eiführug eies Limitierugssystems Begrezug der Exposures Laufzeitbegrezug der Exposures Ratig Limits Kozetratioslimits

29 Ageda 1. Asatz ud Ziele 2. Verteilug der Ausfälle 3. Verlustverteilug 4. Modellerweiteruge 5. Aweduge 6. Zusammefassug Was habe wir gemacht? Pro ud Cotra

30 Zusammefassug Vorgehe bei feste Ausfallrate Modellierug mit feste Ausfallrate Aahme Uabhägige Schulder Ausfallrate hireiche klei Ausfälle Poissoverteilt Verteilug der Ausfälle Verlustverteilug WEF Modell-Iput Exposures (Rückgewiugsrate) Ausfallrate Rekursiosgleichug

31 Zusammefassug Pro & Cotra Pro Gerige Dateaforderug Keie Ausfallkorrelatioe ötig Exposurebäder reduziere die Azahl der zu betrachtede Kredite (Arbeitsaufwad) Cotra Modell ist faktisch ur ei Kozept zu Geerierug eier Verlustverteilug: Problemstellug ist auf die Ebee der Eigagsparameter verlagert Mögliche Wertmideruge, resultiered aus Boitätsschwakuge, werde icht berücksichtigt [Sektorzuordug ohe Kozept ud Uabhägigkeit der Sektore]

32 Frage?

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