Wissenschaftliches Arbeiten Studiengang Energiewirtschaft

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1 Wisseschaftliches Arbeite Studiegag Eergiewirtschaft - Auswerte vo Date - Prof. Dr. Ulrich Hah WS 01/013

2 icht umerische Date Tet-Date: Datebak: Name, Eigeschafte, Matri-Tabelleform Spalte: übliche Aordug: Feld: gemeisame Merkmale der Date Zeile: Datesatz: Gesamtheit der Merkmale eies Objektes/Subjektes Filter Datesätze mit bestimmte Feldihalte auswähle Sortiere Datesätze i eier bestimmte Reihefolge aorde Sortierkriterie i de eizele Felder Zähle Wie oft komme bestimmte Werte vo Felder vor? Ecel: Pivottabelle Modus/Modalwert: häufigster Wert Auswertug vo Date

3 umerische Date mehrere Date (Zahlewerte) eier (physikalische) Größe, z. B. das aktuelle Alter der Deutsche Werte Mit welche Kegröße köe die Date charakterisiert werde? Lagemaße ohe die wesetliche Eigeschafte der Gesamtheit zu verfälsche: welche Wert müsste ma ehme, we alle Date gleich sid? Streumaße wie stark uterscheide sich die idividuelle Date vo dem Lagemaß? Verteilug wie oft komme welche Werte vor? Werte der Größe ach orde Werte der Häufigkeit ach orde Auswertug vo Date 3

4 Lagemaße arithmetischer Mittelwert : 1 a i i1 Summe aus gleiche Summade harmoischer Mittelwert 1 : 1 h i1 Summe aus gleiche Summade 1/ 1 i geometrischer Mittelwert g : Produkt aus gleiche Faktore Ausreißer : weige etreme Werte Abhilfe: gestutzte Mittel : 5% der große/kleie Werte weglasse Auswertug vo Date 4

5 Lagemaße Modus/Modalwert am häufigste vorkommeder Wert der Date auch icht umerische Werte oft weig repräsetativ Mediawert teilt die Date i Gruppe mit gleicher Azahl vo Werte: * kleier gleich Mediawert * größer gleich Mediawert uempfidlich gegeüber Ausreißer auch bei geordete icht umerische Werte Auswertug vo Date 5

6 Streumaße Spaweite Differez größter_wert kleister_wert Ausreißer 1 mittlere Abweichug vom Lagemaß m. A. ( i ) i1 we das arithmetische Mittel ist m. A. 1 i1 Stadardabweichug i s : 1 1 uempfidlich gegeüber Ausreißer 1: Freiheitsgrade, Zahl der uabhägige ( i )² i1 ( i ) Quatil teilt die ach Größe geordete Gesamtheit i Gruppe: p% aller Werte sid kleier als das p%quatil, 100% - p% sid größer. Media: 50% Quatil Auswertug vo Date 6

7 Verteilug der Werte geauere Beschreibug der Gesamtheit aller Werte: welche Werte trete wie häufig auf? Azahl Häufigkeit h( i ) := Azahl eies bestimmte Wertes i Gesamtzahl der Werte i1 h( ) 1 umerische Werte vorher der Größe ach orde i Summekurve, Summehäufigkeit (kumulierte Häufigkeit): Summe der Azahle/Häufigkeite bis zu eiem bestimmte Wert j N( ) : ( ) ur umerische Werte! j i i1 j Auswertug vo Date 7

8 Auflauf Chili cc Dorsch Eitopf Fisch Hasekeule Jägerschit Kuche Ladjäger Mohkuche Orage Pfirsich Sahetorte Ukraut Ziegekäse Azahl Verteilug der Werte Verteilug der Azahle icht umerischer Werte Auswertug vo Date 8

9 Azahl Verteilug der Werte Verteilug umerischer Werte Azahl Kumulierte Häufigkeit 100% 80% 60% % 0% cm 10 Größe 0% Auswertug vo Date 9

10 Azahl kumulierte Häufigkeit Azahl Problem: icht äquidistate Werte, gerige Häufigkeite pro Wert Abhilfe: Histogramm Klasse defiiere: gleich große Werteitervalle Azahle/Häufigkeit i de Itervalle bestimme Verteilug der Werte kwh 7000 Eergieverbrauch ud Auswertug vo Date größer 10 1, 1 0,8 0,6 0,4 0, Azahl kumulierte Häufigkeit Privathaushalte Eergieverbrauch i kwh 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 0% 10% 0%

11 Kegröße vo Verteiluge Häufigkeite h( i ) sid (z. B. aus der Theorie) bekat: Erwartugswert welche Wert erwarte ich bei eier eue Beobachtug oder Messug? gewichteter Mittelwert aller Werte : E( ) i1 h( i ) i Variaz welche Streuug erwarte ich bei Messuge vo? aalog zur Stadardabweichug: V ( ) E( E( )) V ( ) E( ²) ( E( )) Häufigkeite vo i bei reale Beobachtuge Wahrscheilichkeite, mit dee i auftrete köe Auswertug vo Date 11

12 kotiuierliche Verteiluge Die Größe ka alle Werte i eiem bestimmte Itervall aehme Darstellug der Häufigkeit h(), mit der Werte auftrete köe durch eie Dichtefuktio f() h([, d]) f ( ) d ma mi f ( ) d 1 kumulierte Häufigkeit (Summekurve): H ( ) ma mi f ( ) d Erwartugswert: E( ) ma mi f ( ) d ma Variaz: V ( ) ( E( )) f ( ) d mi ma f ( ) d ( E( )) Auswertug vo Date 1 mi

13 Biomialverteilug spezielle Verteiluge Ereigisse, die sich gegeseitig ausschließe, trete mit eier bekate, kostate Wahrscheilichkeit p bzw. 1 p auf. Müzwurf: Kopf oder Zahl Umfrage: gut oder schlecht radioaktive Atomkere: zerfalle oder icht zerfalle m Beobachtuge/Messuge: Die Häufigkeit, dass das Ereigis (Wahrscheilichkeit p) -mal eitritt ( m), beträgt h( ) m m p (1 p) h() : Parameter, p, m Auswertug vo Date 13

14 Biomialverteilug Erwartugswert: E( ) m p Variaz: V ( ) m p (1 p) p aus h() bestimme statistische Verfahre Auswertug vo Date 14

15 spezielle Verteiluge Poissoverteilug Ereigisse, die sich gegeseitig ausschließe: Die Zahl der Beobachtuge ist groß: m Die Wahrscheilichkeit für eis der Ereigisse ist klei: p 0 Der Erwartugswert E() := µ = m. p ist bekat Grezfall der Biomialverteilug Die Häufigkeit, dass das Ereigis -mal eitritt ( ), beträgt h( ) µ! e µ h(): 1 Parameter µ Erwartugswert: Variaz: E( ) V ( ) µ µ Auswertug vo Date 15

16 h() h() h() Poisso-Verteilug m = 100, p = 0,75 µ = 75, V() = 18,75 0,1 0,08 0,06 0,04 0,0 Biomial Poisso 0,1 0,08 Biomial Poisso ,06 0,04 0,0 m = 1000, p = 0,075 µ = 75, V() = 69, ,1 0,08 0,06 Biomial Poisso m = , p = 0,0075 µ = 75, V() = 74,44 Auswertug vo Date ,04 0,0 0

17 spezielle Verteiluge Gaußverteilug h() Ereigisse, die sich gegeseitig ausschließe: Die Zahl der Beobachtuge ist groß: m Der Erwartugswert E() = µ ist groß gege die Schrittweite D Dichte der Häufigkeite: h( ) f ( )D ( µ )² Poisso, µ D µ 1 e D 0,05 0,04 0,03 Biomial Poisso Gauß 0,0 0, Auswertug vo Date 17

18 f () Gaußverteilug (Normalverteilug) : icht ur zählbare Ereigisse, soder auch adere, kotiuierliche Größe Abweichuge vom Erwartugswert E() = µ werde durch zufällige Effekte bewirkt Die Variaz V() := s² wird durch die zufällige Effekte bestimmt (uabhägig vo µ) f 1 µ 1 ( )² s ( ) e s h(): Parameter 0,4 0,3 0, 0,1 g(s_1) g(s_) g(s_3) g(s_4) Auswertug vo Date 18

19 Eigeschafte der Gaußverteilug f () 0,1 0,08 0,06 0,04 0, Defiitiosbereich: - < < jeder Wert ka auftrete Maimum bei = µ, Wedepukte bei W,1 = µ - s, W, = µ + s 68,3% der Werte liege im Itervall [µ - s, µ + s] 95,4% der Werte liege im Itervall [µ - s, µ + s] 99,7% der Werte liege im Itervall [µ - 3s, µ + 3s] Auswertug vo Date 19

20 Messfehler & Gaußverteilug Messtechik: Bestimme des Zahlewertes eier Größe Es gibt eie wahre Wert dieser Größe ukotrollierbare Eiflüsse: agezeigter Wert wahrer Wert zufällige Fehler viele Messuge: gemessee Werte streue gemäß eier Gaußverteilug um de wahre Wert µ mit eier Variaz s Variaz s wird bestimmt durch das Messverfahre! edlich viele Messuge: µ ud s schätze schätze µ 1 ~ schätze 1 1 i s s ( ) s s i i1 i1 Prüfug, ob i ormalverteilt sid: c² - Test Auswertug vo Date 0

21 Vertrauesbereiche Stichprobe mit Werte i aus eier ormalverteilte Grudgesamtheit: Mittelwerte j streue ormalverteilt um de Erwartugswert µ viele Stichprobe: Variaz der Mittelwerte j : s s edlich viele Stichprobe: Variaz der Mittelwerte j : auch bei ur eier Stichprobe! s s die Wahrscheilichkeit P, dass um σ, σ oder 3σ vo µ abweicht, beträgt 68,3%, 95,4% oder 99,7% Auswertug vo Date

22 Umkehrschluss: Vertrauesbereiche Der Erwartugswert µ befidet sich mit eier Wahrscheilichkeit P im Itervall um k P s µ k P s Vertrauesbereich k P = 1, oder 3 Variaz s ² geschätzt aus der Stadardabweichug s²: Vergrößerug der Vertrauesbereiche: k P t P t P s µ t P s Auswertug vo Date 3

23 Azahl der Werte Vertrauesbereiche P = 68,3% t 0,68 P = 95,4% Auswertug vo Date 4 t 0,95 P = 99,7% t 0,99 1,84 1,71 35,8 3 1,3 4,30 19,1 4 1,0 3,18 9, 5 1,14,78 6,6 6 1,11,57 5,51 7 1,09,45 4,90 8 1,08,36 4,53 9 1,07,31 4,8 10 1,06,6 4,09 0 1,03,3 3, ,0,05 3,8 50 1,01,01 3, ,01 1,98 3, ,00 1,97 3,04 > 00 1,00 1,97 3,00

24 Fehlerfortpflazug Berechug eier Größe E aus eier/mehrere eperimetell bestimmte Größe (y, z, ): E = f() {E = f(, y, z, )} Erwartugswert µ E : µ E E f () Stadardabweichug der berechete Größe E? lieare Näherug: f() i der Umgebug vo durch Gerade ersetze, Steigug f () f ( ) E E + de E de d f ( ) s E d s d + d Auswertug vo Date 5

25 Fehlerfortpflazug E = f(, y, ) : µ E E f (, y,...) partielle Stadardabweichuge für jede Dimesio : s E, f (, y,...), y,... s, y, sid icht voeiader abhägig: s E ( f (, y,...), y,... s ) ( f (, y,...) y, y,... s y )... Gaußsches Fehlerfortpflazugsgesetz Auswertug vo Date 6

26 Spaug U lieare Regressio zwische eperimetell bestimmte Größe, y besteht ei liearer Zusammehag y = m. + b 3,5 V 3,5 1,5 1 0,5 0 Steigug ud Ordiateabschitt aus de Messdate? ma 350 Strom I i, y i zufallsbeeiflusst Gerade soll Zufallseffekte ausgleiche Summe der Abstäde der Gerade zu de Datepukte i, y i miimal Ausgleichsgerade geht durch de Dateschwerpukt (, y) Ecel: RGP-Fuktio m, b, s m, s b, r² Auswertug vo Date 7

27 Korrelatio Besteht ei liearer Zusammehag y = m. + b zwische zwei eperimetell bestimmte Größe, y? Maß für de Zusammehag: Korrelatioskoeffiziet r : ( i1 i1 ( i ( i ) )( y )( i1 i y) ( y i y) ) -1 r 1 r²: Bestimmtheitsmaß r = 1: perfekter liearer Zusammehag, steigede Gerade r > 0,8: liearer Zusammehag, steigede Gerade r = 0: kei liearer Zusammehag r = -1: perfekter liearer Zusammehag, fallede Gerade Auswertug vo Date 8

28 y y y y y y Korrelatio r = 1 r = 0,93 r = 0,7 r = -0,93 r = 0 r = 0,5 Auswertug vo Date 9

29 spezielle Probleme Vergleich Messergebis Literaturwert Ka die Abweichug des Messergebisses vom Literaturwert durch zufallsbedigte Eiflüsse erklärt werde? Literaturwert = wahrer Wert Literaturwert im Vertrauesbereich des Messergebisses: wahrer Wert liegt mit Wahrscheilichkeit P im Vertrauesb. Abweichuge sid mit P durch de Zufall erklärbar Messug hat de Literaturwert reproduziert Literaturwert außerhalb des Vertrauesbereiches: Abweichuge sid ur mit 1- P durch de Zufall erklärbar oder mit P icht zufällig Auswertug vo Date 30

30 spezielle Probleme Ausreißer I eier Messreihe kommt ei Wert vor, der stark vo de adere abweicht. ist die Abweichug zufällig? Mittelwert ud Stadardabweichug mit Ausreißer bestimme Differez Ausreißer Mittelwert > 3 s? we ja, da Ausreißer verwerfe! Mittelwert ud Stadardabweichug ohe Ausreißer bestimme Auswertug vo Date 31

31 spezielle Probleme Vergleich der Mittelwerte zweier Messuge der gleiche physikalische Größe ist die Abweichug zufällig? Mittelwerte befide sich im jeweilige Vertrauesbereich der adere Messug Vertrauesbereiche überlappe sich, aber ei Mittelwert ist icht im Vertrauesbereich der adere Messug Vertrauesbereiche überlappe sich icht Mittelwerte mehrerer Messuge zusammefasse gewichteter Mittelwert Auswertug vo Date 3 i1 i1 v 1 v i i i

32 Date-Matri Auswertug vo Date 33