Vordiplomprüfung 2014 Mathematik Seite 1 von 3

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Ludo Straub
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Vordiplomprüfug 14 Mathematik Seite 1 vo 1. Aufgabe Has hat eie Uhr bekomme. Er beobachtet, dass der Miutezeiger vo Zeit zu Zeit de Studezeiger überholt.

1 Vordiplomprüfug 14 Mathematik Seite 1 vo 1. Aufgabe Has hat eie Uhr bekomme. Er beobachtet, dass der Miutezeiger vo Zeit zu Zeit de Studezeiger überholt. a) Um welche Zeit zwische 9 ud 1 Uhr stehe die beide Zeiger geau übereiader? Auf 1/1 Sekude geau agebe. b) Wie viel Zeit vergeht zwische zwei aufeiaderfolgede Begeguge der beide Zeiger? Auf 1/1 Sekude geau agebe. c) Die Uhr hat atürlich auch eie Sekudezeiger. Wie oft pro Tag kommt es vor, dass alle drei Zeiger übereiader stehe? Begrüdug!. Aufgabe Der dargestellte Rotatioskörper (mit vertikaler Rotatiosachse) besteht aus eiem zylidrische Uterteil mit aufgesetzem Rotatiosparaboloid (parabelförmige Kotur). Bereche a) das Volume ud b) die Gesamtoberfläche des Körpers. Die Masse sid i cm. Pukte Aufgabe Der Leistugsverlauf eies Motors sei im Bereich vo 1 - U/mi gegebe durch die Fuktio P() = ( ) PS, wo i U/mi eizusetze ist. (1 PS = 75.5 W, 1 W = 1 Nm/sec) Leistug P ud Drehmomet M sid verküpft durch P = M ω, wo ω die Wikelgeschwidigkeit i rad/sec bezeichet. a) Bei welcher Tourezahl gibt der Motor das maximale Drehmomet ab? Wie gross ist dieses i Nm? b) I welchem Tourezahlbereich stehe midestes 9% des maximale Drehmomets zur Verfügug?

2 Vordiplomprüfug 14 Mathematik Seite vo 4. Aufgabe I eier Schulklasse werde Gewicht ud Grösse der Studete gemesse: Pukte Studet Grösse/cm Gewicht/kg Es wird für beide Grösse Normalverteilug ageomme. a) Wie viele % Studete i der Gesamtbevölkerug liege voraussichtlich zwische 175 ud 185 cm, we die Stichprobe repräsetativ ist? b) Wie viele % Studete i der Gesamtbevölkerug liege voraussichtlich zwische 75 ud 85 kg, we die Stichprobe repräsetativ ist? c) Der Body-Mass-Idex (BMI) wird defiiert als Gewicht i kg, dividiert durch das Quadrat der Körpergrösse i m. Bereche Mittelwert ud Stadardabweichug des BMI aus der Stichprobe. d) Wie viele Studete i eier Klasse vo 18 habe voraussichtlich eie BMI vo mehr als 5, we diese Grösse ebefalls ormalverteilt ist?

3 Vordiplomprüfug 14 Mathematik Seite vo 5. Aufgabe Pukte 1 Has sitzt auf eier Alpweide über eiem Bergsee. Das Wetter ist schö. Vo seiem Stadort aus sieht er die Spitze des Piz Iova direkt uter dem Wikel α 1 = vo der Horizotale ud im See gespiegelt uter α = 4. Vo der Karte weiss Has, dass der Piz Iova eie Höhe vo h = 44 müm hat ud der Seespiegel auf h 1 = 11 müm liegt. Bereche die Höhe h des Stadortes (bzw. Sitzortes)! Beim Spiegel gilt: Eifallwikel = Ausfallwikel. (Die gestrichelte Liie soll dazu diee, der Ispiratio achzuhelfe.) Bewertug: Maximal sid Pukte möglich. Pukte Note = max 1 +, 1

4 Lösug Vordiplomprüfug 14 Aufgabe 1 a) Geschwidigkeite: v Mi. deg. 1 hr. deg v St 1. hr Ort (Vorsprug) des Studezeigers um 9 Uhr: α 9hr. 7 deg also v St = deg hr t: Zeit ach 9 Uhr, wo der Miutezeiger de Studezeiger eiholt. v. Mi t α. 9hr v St t t v Mi α 9hr v St 9 t. 11 hr t = mi mod( t, mi) = sec Atwort: 9:49:5.5 b) Stude- ud Miutezeiger bewege sich mit kostater Geschwidigkeit. Daraus folgt, dass die Begeguge sich i gleichbleibede Zeitabstäde folge. Um 1:: sid beide Zeiger übereiader. Bis zum ächste 1:: gibt es 11 Begeguge, also 1. hr = sec 11 Ma ka es auch komplizierter löse... c) Nur um 1::, also zweimal täglich. Die Begegug vo Stude- ud Miutezeiger bestimmt auch die Sekude eideutig. Beweis, wird icht erwartet: Stude- ud Miutezeiger treffe sich bei /11, 1/11, /11, /11 etc. des Vollkreises, Miute- ud Sekudezeiger bei /59, 1/59, /59 etc. 11 ud 59 sid teilerfremd, sogar beide prim. Es gibt keie Zahle m<11 ud <59 mit m> ud > so, dass m/11=/59, also /m=59/11 - sost müsste ma 59/11 kürze köe! Aufgabe Die Pukte (- 4), ( ) ud ( 4) sid gegebe. Die Fuktio der Parabelkotur ist - x². V. π. x. x dx Volume (Guldi'sche Formel) V = (i cm³) A.. 1 π 1 (. x). x dx Oberfläche des parabolische Teils (Guldi'sche Formel) A.. 1 π 4 Matelfläche des zylidrische Teils A. π Grudfläche A = A = Summe (cm²) (Beide Itegrale köe auch aalytisch gelöst werde.)

5 Aufgabe P( ) i PS M( ) P( ) ω 1.. P( ) π i Nm, mit k π k = ist M( ) k. P( ) 5 M( ) P( ) a) Bestimmug des Maximums vo M: P M, Faktor k weggelasse (er hat keie Eifluss auf die Lage des Maximums) Startwert für Berechug max root , Nullstelle der Ableitug vo M max = Drehzahl bei M max M max M max M max =.559 maximales Drehmomet b) M % M max M 9 = % vo M max 1 root M( ) M 9, 1 = utere Greze für 9% Drehmomet (mit Startwert =) 5 Startwert für zweite Wert (Kriterium: eier vor ud eier ach dem Maximum) root M( ) M 9, = obere Greze für 9% Drehmomet

6 Aufgabe Gr 181. cm Gew 9. kg N last( Gr) N = 11 i 1.. N Gr m mea( Gr) Gew m mea( Gew) Gr i Gr m Gew i Gew m σ Gr i N 1 σ Gew i N 1 Gr m = cm Gew m = kg σ Gr =.91 cm σ Gew =.45 kg 175. cm Gr m a) r 1 σ Gr 185. cm Gr m r σ Gr r 1 =.4 r = corm r corm r 1 = % 75. kg Gew m b) r 1 r σ Gew. 85 kg Gew m σ Gew r 1 = r =.94 corm r corm r 1 = %

7 c) BMI i Gew i Gr i BMI = kg m Im TI-X ka der BMI durch eie Formel i der Datetabelle berechet werde: L1 Grösse, L Gewicht, L=1*L/L1² BMI m mea( BMI ) BMI m = kg BMI i BMI m i σ BMI σ BMI = kg N 1 m m d) r 1 5. kg m σ BMI BMI m r 1 =.494 corm r = > 1 Aufgabe 5 α 1. deg α. 4 deg h m h. 44 m Mit der Horizotaldistaz D als Hilfsgrösse ergebe sich Gleichuge i de Ubekate D ud h: ta α 1 h h D ta α h h 1 h h 1 D h h. ta α. h. h 1 ta α 1 h =.454 m ta α 1 ta α Alterativ: lieare Gleichuge i h ud D löse. h. ta α 1 D h h. ta α D h. h 1 A 1 1 ta α 1 ta α y h A 1. y = h. h m Auch diese Aufgabe ka ma komplizierter löse durch Berechug vo Seite ud Wikel der verschiedee Dreiecke.

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