Körpergröße x Häufigkeit in [m]

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1 8 Kofidezitervalle 1 Kapitel 8: Kofidezitervalle A: Beispiele Beispiel 1: Im WS 2000/01 wurde im Rahme der Statistik Vorlesug 124 Studete u.a. zu ihrer Körpergröße befragt. Ma erhielt folgedes Ergebis: Körpergröße x Häufigkeit i [m] a) Bereche Sie ei Kofidezitervall zum Kofideziveau vo 0.9 für die durchschittliche Körpergröße aller Göttiger Studete des WS 2000/01. b) Für de Ateil der Göttiger Studete des WS 2000/01, die größer als 1.70 m ware, wurde das Kofidezitervall [0.468; 0.644] kostruiert. Bestimme Sie die Kofideziveau dieses Itervalls. Lösug: a) 2 i Körpergröße Häufigkeit Itervallx i mitte xi M i xi M xi M

2 8 Kofidezitervalle 2 x = = S 2 = 1 S2 = S = S 2 = Kofidezitervall für µ: (1.814)2 = α/2 = 0.05 ; 1 = 123 = t 123;0.05 = S [x S ] t 1;α/2 ; x +t 1;α/2 = [ ; ] = [1.803 ; 1.825] b) Kofidezitervall für π (π = Ateil der Studete, die größer als 1.70 ware) [ ] π(1 π) π(1 π) π z α/2 ; π + z α/2 π = = π(1 π) = = π(1 π) π z α/2 = z α/ = z α/2 = 1.96 α/2 = Kofideziveau (1 α) = 0.95

3 8 Kofidezitervalle 3 B: Übugsaufgabe [ 1 ] Ei bayrischer Ladwirt (ohe Rudfuk ud Fersehe) sagt a 80 vo 100 zufällig über eie lägere Zeitraum verteilte Tage das Wetter für de folgede Tag richtig voraus. Gebe Sie die Greze des 95%-Kofidezitervalls für de Ateil richtiger Vorhersage a. Die Greze des Kofidezitervalls sid: [ ; ] [ 2 ] Ei Uterehmer will mit Hilfe eier Stichprobe vom Umfag de Marktateil seies Produktes ermittel. Wie groß muss midestes sei, we der Stichprobeateil vom tatsächliche Marktateil mit eier Wahrscheilichkeit vo midestes 95 % um höchstes 1% abweiche soll? [ 3 ] Aus eier Grudgesamtheit wird eie Zufallsstichprobe vom Umfag =144 gezoge ud für de ubekate Mittelwert µ ei Kofidezitervall [64.2; 66.6] zur Kofideziveau (1 α) = berechet. Wie groß ist die Stadardabweichug i der Stichprobe? S =

4 8 Kofidezitervalle 4 [ 4 ] Das Kofidezitervall für de ubekate Parameter µ eier ormalverteilte Zufallsvariable mit bekater Variaz sei [x z α/2 σ ; x + z α/2 σ ] Welche der folgede Aussage sid WAHR? Kreuze Sie sie a. a) Je größer die agestrebte Sicherheit (1 α), desto gröber (ugeauer) die Itervallschätzug für µ. b) Die Läge des Kofidezitervalls hägt vom Zufall ab. c) Die Lage des Kofidezitervalls hägt vom Zufall ab. d) Da z α/2 mit wachseder Kofidezzahl (1 α) abimmt, immt auch die Läge des Itervalls mit wachseder Kofidezzahl ab. e) Die Läge des Kofidezitervalls ist abhägig vo de beobachtete Werte vo x. [ 5 ] Eie Kaffeemaschie i der Mesa füllt laut Betriebsaleitug durchschittlich 100 ml je Tasse ab. Es ka ageommme werde, dass die Füllmege aäherd ormalverteilt ist. Zur Überprüfug der Geauigkeit der agegebee Abfüllmege wurde eie Stichprobe der Größe 9 gezoge. Dabei ergabe sich folgede Werte (i ml): Die Mesaverwaltug iteressiert, ob das 95% Kofidezitervall de vom Hersteller agegebee Wert überdeckt. Gebe Sie dazu die Greze des 95% Kofidezitervalls a: [ ; ] [ 6 ] Welche der folgede Aussage sid WAHR? Kreuze Sie diese a. a) Die Greze eies Kofidezitervalls sid Zufallsvariable. b) Ist X verteilt wie b(,π), so ist (bei π = X, > 30) ( ) π(1 π) π(1 π) P π z 0.05 π π + z c) Das Kofidezitervall mit Wahrscheilichkeit 0.90 ist immer kürzer als das etsprechede Kofidezitervall mit Wahrscheilichkeit d) Bei größere Stichprobe erwartet ma Kofidezitervalle größerer Läge. e) We bei de verschiedeste (uabhägige) Aweduge Kofidezitervalle mit Wahrscheilichkeit 0.90 berechet werde, ethalte im Durchschitt 90% dieser Itervalle de Wert des zu schätzede Parameters.

5 8 Kofidezitervalle 5 [ 7 ] Ei Teetriker führt bei 16 zufällig ausgewählte 100 g-dose seier Liebligssorte Gewichtskotrolle des Ihaltes durch. Er immt a, dass das Abfüllgewicht X ormalverteilt ist. Als Gesamtgewicht aller Doseihalte ermittelt er 1552g ( x 2 i = g 2 ). a) Bestimme Sie das 95%-Kofidezitervall uter der Aahme, dass die Variaz der Grudgesamtheit bekat ist. (σ 2 = 36g 2 ) [ ; ] Ethält das Kofidezitervall um x de Sollwert vo 100g? b) Ermittel Sie u uter der Voraussetzug, dass σ 2 Ihe ubekat ist, das etsprechede 95%-Kofidezitervall. [ ; ] [ 8 ] Für de ubekate Ateilswert π der vo eier Maschie fehlerfrei produzierte Stücke sei das Kofidezitervall [0.734; 0.866] berechet worde. Die zugrudeliegede Stichprobe bestad aus 100 produzierte Stücke. Der Wert des geschätzte Ateilswertes π ist: Das zugrudeliegede Kofideziveau (1 α) ist: [ 9 ] Eie Molkereigeosseschaft beabsichtigt, Milchtüte doppelte Ihalts eizuführe, die auf der bisherige Maschie abgefüllt werde solle. Aus lagjähriger Erfahrug weiß ma, dass die derzeitige Füllmege aäherd ormalverteilt ist, bei eier Variaz vo σ 2 = 36. Um die eue tatsächliche mittlere Füllmege µ zu bestimme, soll eie Stichprobe gezoge werde. Wie groß muss der Stichprobeumfag midestes gewählt werde, we µ icht mehr als 1.5 vo x bei eier vorgegebee Kofideziveau vo midestes 95.4% abweiche soll? Stichprobeumfag

6 8 Kofidezitervalle 6 [ 10 ] Das Kofidezitervall ] [x t 1;α/2 S ; x +t 1;α/2 S sei für de ubekate Parameter µ eier Grudgesamtheit berechet worde. Welche der folgede Aussage sid WAHR? Kreuze Sie sie a. a) Das Kofidezitervall ist umso läger, je größer der Stichprobeumfag ist. b) Die Lage des Itervalls hägt vom Zufall ab. c) Die Läge des Itervalls hägt vom Zufall ab. d) Das agegebee Kofidezitervall überdeckt µ mit der Wahrscheilichkeit α. e) Das Kofidezitervall ist umso läger, je größer das gewählte Kofideziveau 1 α ist. [ 11 ] Eie Zufallsvariable sei ormalverteilt. Es wurde eie Stichprobe der Größe = 10 gezoge. Als Stichprobevariaz ergab sich S 2 = 5. Bereche Sie u ei 90%-Kofidezitervall für σ 2. HINWEISE: Es geügt, die Uter- ud Obergreze des Itervalls als ugekürzte Bruch azugebe! Für das 100(1 α)% Kofidezitervall für σ 2 gilt: [ ] S 2 S 2 ; χ 2 ( 1;α/2) Für das 90% Kofidezitervall für σ 2 gilt: χ 2 ( 1;1 α/2) [ ; ] Welche der folgede Aussage sid im Zusammehag mit obigem Kofidezitervall für σ 2 WAHR? Kreuze Sie sie a. a) Das Kofidezitervall ist symmetrisch um S 2. b) Die Läge des Itervalls hägt vom Zufall ab. c) Die Lage des Itervalls hägt vom Zufall ab. d) Je höher das Kofideziveau 100(1 α)% gewählt wird, desto breiter wird das Kofidezitervall. e) Das agegebee Kofidezitervall überdeckt σ 2 mit der Wahrscheilichkeit 1 α.

7 8 Kofidezitervalle 7 [ 12 ] Welche Aussage im Zusammehag mit Kofidezitervalle sid WAHR? Kreuze Sie sie a. a) Der Stichprobeumfag hat wesetliche Eifluss auf die Breite eies Kofidezitervalls. b) Kofidezitervalle werde i Ergäzug zu de Puktschätzer eigesetzt, um Aussage über die Geauigkeit der Puktschätzer mache zu köe. c) Kofidezitervalle sid immer symmetrisch um de zu schätzede Parameter. d) Der zu schätzede Parameter wird ie vo dem berechete Kofidezitervall überdeckt. e) Zumidest die Lage vo Kofidezitervalle ist zufällig, da es möglich ist, je ach Stichprobe verschiedee Puktschätzer zu erhalte, ud diese die Grudlage für die Berechug der Itervalle darstelle.

8 8 Kofidezitervalle 8 C: Klausuraufgabe [ 13 ] II07S1 Eie Milchabfüllalage füllt laut Herstelleragabe durchschittlich 1 Liter Milch pro Packug ab. Eie Stichprobe der Größe = 10 ergab die folgede Werte (i ml), die i R uter dem Name milch gespeichert wurde. 994,998,1005,998,1002,991,1004,1001,996,1003 var(milch) [1] > sum(milch) [1] 9992 > sum(milch^2) [1] Bereche Sie ei Kofidezitervall für µ zum Niveau 0.90: Kofidezitervall: [ 14 ] IV07S Sie solle im Folgede eie Utersuchug zu de Erteerträge vo Gerste auf eiem bestimmte Feld i eiem bestimmte Zeitraum durchführe. Dazu steht Ihe eie Stichprobe der Größe =10 zur Verfügug: > gerste [1] > sum(gerste) [1] 1517 > sum(gerste^2) [1] > var(gerste) [1] Bereche Sie ei Kofidezitervall für µ zum Kofideziveau Kofidezitervall:

9 8 Kofidezitervalle 9 [ 15 ] II07S Bei der Produktio vo Streichhölzer solle diese auf Ihre Fuktiosfähigkeit überprüft werde. Dazu wurde 100 Streichhölzer der laufede Produktio etomme. 80 Streichhölzer ware brauchbar, die verbleibede 20 kote etweder icht etzüdet werde oder kickte ab. Kostruiere Sie ei Kofidezitervall zum Niveau 1 α = 0.95 für de wahre Ateilswert fuktioiereder Streichhölzer. Gebe Sie jeweils vier Stelle ach dem Dezimalpukt a. Als Alterative köe Sie auch de R-Befehl zur Berechug der obere Greze des Kofidezitervalls agebe. Kofidezitervall:

10 8 Kofidezitervalle 10 D: Lösuge 1) [0.722; 0.878] 2) ) 8 4) a, c 5) [ ; ] 6) a, b, c, e 7) [94.06;99.94] ; ei ; [93.15;100.85] 8) 0.8 ; ) ) b, c, e [ ] 50 11) ; 50 ; b, c, d, e ) a, b, e 13) [ ; ] 14) [ ; ] 15) [0.7216; ]