Aufgabe 1 (Punkt- und Intervallschätzung für ein metrisches Merkmal)

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1 tatistik für Kouikatioswisseschaftler Witerseester 010/011 Vorlesug Prof. Dr. Nicole Kräer Übug Nicole Kräer, Corelia Oberhauser, Moia Mahlig Lösug Thea Hoepage zur Verastaltug: Aufgabe 1 (Pukt- ud Itervallschätzug für ei etrisches Merkal) ie iteressiere sich für die durchschittliche Größe aller tudieafäger eies Jahrgags. ie habe i eier 10 Jahre alte tudie gelese, dass die durchschittliche Größe vo tudieafäger daals 16 c betrug. ie verute, dass sich das izwische geädert hat. U Ihre Verutug zu überprüfe, befrage ie 0 tudieafäger zu ihrer Größe. Dabei ergibt sich ei arithetisches Mittel vo 10 c ud eie tadardabweichug vo c. a) Wie lautet die chätzug für de Erwartugswert des Merkals Größe? X 10 b) Gebe ie die chätzug für die Variaz des Merkals Größe a. X 1 1 i1 (X i X) X 49 c) Gebe ie die chätzug für die Variaz des arithetische Mittels des Merkals Größe a. X X 49 0, 45 d) Gebe ie das 95%-Kofidezitervall für de Erwartugswert des Merkals Größe a. Dabei köe ie aehe, dass das Merkal oralverteilt ist. Gegebe: Merkal ist oralverteilt Hier: < 30 Kofidezitervall für µ bei oralverteilte X X t ( 1; ) ; X + t( 1; ) t ( 1; ) ist das -Quatil der t-verteilug it 1 Freiheitsgrade. t ( 1; ) t (0 1; 1+0,95 ) t (19;0,95), 0930 X t ( 1; ) 10, , ; 13, 8 ; X + t( 1; ) 0 ; 10 +, 0930 e) Hat sich die Körpergröße sigifikat verädert? Begrüde ie. 0 Die Körpergröße hat sich zu Kofideziveau vo 95% icht sigifikat verädert, da der Wert 16 c i Kofidezitervall ethalte ist. 1

2 Die Befragug wurde aschließed ausgeweitet, so dass isgesat 500 tudieafäger zu ihrer Größe befragt wurde. Es ergab sich ei arithetisches Mittel vo 169 c ud eie tadardabweichug vo c. f) Gebe ie u für die isgesat 500 befragte Persoe das 95%-Kofidezitervall für de Erwartugswert des Merkals Größe a. Hier: 30 Approxiatives Kofidezitervall für µ X ; X + -Quatil der tadardoralverteilug. z 1+0,95 z 0,95 1, 96 X 169 1, , 38 ; 169, 6 ; X ; , g) Köe ie ahad der größere tichprobe etscheide, ob sich die Körpergröße sigifikat verädert hat? Begrüde ie. Die durchschittliche Körpergröße vo tudieafäger hat sich i Vergleich zu vor 10 Jahre sigifikat verädert, da der Wert 16 c icht i 95%-Kofidezitervall ethalte ist. tudieafäger heute sid größer als vor 10 Jahre. Aufgabe (Itervallschätzug für Mittelwerte ud Mittelwertsdifferez) Übergewicht bei Kider ud Jugedliche ist ier wieder ei Thea i de Medie. U Übergewicht zu esse, wird häufig der sogeate Body-Mass-Idex (BMI) verwedet. Dieser ist eie Maßzahl für die Bewertug des Gewichts eies Mesche. Er bezieht das Körpergewicht auf die Körperoberfläche, die äherugsweise aus de Quadrat der Körpergröße berechet wird. Der Body-Mass-Idex wird berechet, ide das Körpergewicht (i Kilogra) durch das Quadrat der Körpergröße (i Meter) geteilt wird. Ab eie BMI vo 5 gilt a als übergewichtig, ab eie BMI vo 30 als adipös (stark übergewichtig). ie verute, dass äliche ud weibliche tudieafäger i uterschiedliche Ausaß vo Übergewicht betroffe sid. U diese Hypothese zu überprüfe, erhebe sie das Gewicht vo 50 weibliche ud 50 äliche tudieafäger. Bei de Fraue erhalte ie eie durchschittliche BMI vo 3,3 (it eier tadardabweichug vo 4,), bei de Mäer vo 4, (it eier tadardabweichug vo 3,9).

3 a) Gebe ie ei 95%-Kofidezitervall für de durchschittliche BMI der Fraue a. X: BMI bei Fraue, tichprobeufag bei de Fraue X X ; X + X 3, 3 1, 96 4, ; 3, 3 + 1, 96 4, 50 50, 13 ; 4, 4 b) Gebe ie ei 95%-Kofidezitervall für de durchschittliche BMI der Mäer a. Y : BMI bei Mäer, tichprobeufag bei de Mäer Ȳ Y ; Ȳ + z Y 4, 1, 96 3, 9 ; 4, + 1, 96 3, , 11 ; 5, 9 c) Gebe ie ei 95%-Kofidezitervall für die Differez des durchschittliche BMI vo Fraue ud Mäer a. Gesucht: Kofidezitervall für die Differez vo Mittelwerte Hier: tichprobeufäge 50 ud 50 beide 30, uabhägige tichprobe Approxiatives Kofidezitervall für die Erwartugswertdifferez µ X µ Y ( X Ȳ ) d ; ( X Ȳ ) + d it d X + Y -Quatil der tadardoralverteilug. z 1+0,95 z 0,95 1, 96 X d + Y 4, ,9 50 0, 81 ( X Ȳ ) d ; ( X Ȳ ) + d (3, 3 4, ) 1, 96 0, 81 ; (3, 3 4, ) + 1, 96 0, 81, 49 ; 0, 69 d) Wie beurteile ie ahad der Date Ihre Verutug, dass sich der BMI vo Fraue ud Mäer uterscheidet? Begrüde ie. Der durchschittliche BMI vo Fraue ud Mäer uterscheidet sich zu Kofideziveau vo 95% icht sigifikat voeiader, da der Wert 0 i Kofidezitervall ethalte ist. 3

4 Aufgabe 3 (Itervallschätzug für Mittelwertsdifferez) Eie Diät verspricht, dass a dait 10 Kilogra i 10 Woche abehe ka. Forscher bezweifel dies ud ache eie tudie dazu. 40 Persoe halte über 10 Woche diese Diät. Die Forscher esse das Körpergewicht zu Begi ud a Ede der tudie. Das Gewicht der Probade reduziert sich i Durchschitt u kg, die tadardabweichug der Gewichtsdifferez beträgt 1,5 kg. a) Gebe ie ei 95%-Kofidezitervall für die durchschittliche Gewichtsreduktio a. Gesucht: Kofidezitervall für eie Mittelwertsdifferez Hier: 40 30, verbudee tichprobe Approxiatives Kofidezitervall der Erwartugswertdifferez µ w µ X µ Y bei verbudee tichprobe W w ; W + W i X i Y i ud w 1 1 -Quatil der tadardoralverteilug. w (W i W ) i1 z 1+0,95 z 0,95 1, 96 W w ; W + w 1, 96 1, 5 ; + 1, 96 1, , 53 ;, 4 b) Hält die Diät, was sie verspricht? Begrüde ie. Die Diät hält icht, was sie verspricht. Der durchschittliche Gewichtsverlust uterscheidet sich zu Kofideziveau 95% sigifikat vo 10 kg. Die Teileher ehe sigifikat weiger ab. 4

5 Aufgabe 4 (Pukt- ud Itervallschätzug für eie biäres Merkal) Ei Wirt überlegt, ob er aus seier Gaststätte ei Raucherlokal ache soll. Ei Gast verutet, dass 80% der Gäste dies befürworte würde, ud bietet de Wirt eie Wette a. Der Wirt glaubt icht, dass 80% seier Gäste dies befürworte würde, ud it die Wette a. U die Wette zu etscheide, uss u überprüft werde, ob 80% der Gäste eie Uwadlug i ei Raucherlokal befürworte würde. Dazu befragt der Wirt eie Woche lag alle seie Gäste it Hilfe eies Frageboges. Isgesat habe i der eie Woche 350 Gäste a der Befragug teilgeoe. Davo habe 65 die Uwadlug i ei Raucherlokal befürwortet, die restliche 85 Gäste habe sich gege eie Uwadlug i ei Raucherlokal ausgesproche. a) Gebe ie eie Puktschätzer für de Ateil der Gäste a, die die Uwadlug i ei Raucherlokal begrüße würde. R , 51 b) Gebe ie eie Puktschätzer für die Variaz des Merkals Befürwortug der Uwadlug i ei Raucherlokal a. X R (1 R) 0, 51 (1 0, 51) 0, 1839 c) Gebe ie eie Puktschätzer für die Variaz des Ateils a. R X 0, , d) Gebe ie das 95%-Kofidezitervall für diese Ateil a. Gesucht: Kofidezitervall für eie Ateil Hier: 30 Approxiatives Kofidezitervall für p R ; R + -Quatil der tadardoralverteilug. z 1+0,95 z 0,95 1, 96 R ; R + 0, 51 1, 96 0, ; 0, , 96 0, , 1 ; 0, 801 e) Wer gewit die Wette? Begrüde ie. Der wahre Ateil i der Grudgesatheit köte 80% sei, da das Kofidezitervall de Wert 80% beihaltet. oit verliert der Wirt die Wette. Aufgabe 5 (Itervallschätzug für Ateile ud Ateilsdifferez) Der Wirt aus Aufgabe 4 fragt sich, ob die Ateile a Gäste, die die Uwadlug seier Gaststätte i ei Raucherlokal befürworte, bei Mäer ud Fraue uterschiedlich sid. Deshalb schaut er sich die Atworte auf diese Frage ochal getret ach Geschlecht a. Isgesat habe 00 Fraue ud 150 Mäer de Frageboge ausgefüllt. Vo de 00 Fraue befürworte 160 die Uwadlug i ei Raucherlokal, vo de 150 Mäer befürworte es

6 a) Gebe ie ei 95%-Kofidezitervall für de Ateil a Fraue a, die die Uwadlug der Gaststätte i Raucherlokal befürworte. X: Befürwortug bei de Fraue, tichprobeufag bei de Fraue R X , 8 RX (1 R X ) R X 0, 8 1, 96 0, 445 ; 0, , 8 (1 0, 8) 00 ; R X + ; 0, 8 + 1, 96 RX (1 R X ) 0, 8 (1 0, 8) b) Gebe ie ei 95%-Kofidezitervall für de Ateil a Mäer a, die die Uwadlug der Gaststätte i Raucherlokal befürworte. Y : Befürwortug bei de Mäer, tichprobeufag bei de Mäer R Y , RY (1 R Y ) RY (1 R Y ) R Y ; R Y + 0, (1 0, ) 0, (1 0, ) 0, 1, 96 ; 0, + 1, , 666 ; 0, 34 c) Gebe ie ei 95%-Kofidezitervall für die Differez der Ateile vo Fraue ud Mäer a, die die Uwadlug der Gaststätte i Raucherlokal befürworte. Gesucht: Kofidezitervall für die Ateilswertdifferez Hier: tichprobeufäge 00 ud 150 beide 30, uabhägige tichprobe approxiatives Kofidezitervall der Ateilswertdifferez p X p Y für uabhägige tichprobe (R X R Y ) d ; (R X R Y ) + d 00 it d RX (1 R X ) -Quatil der tadardoralverteilug. + R Y (1 R Y ) z 1+0,95 z 0,95 1, 96 d R X(1 R X ) + R Y (1 R Y ) 0,8(1 0,8) ,(1 0,) 150 0, 0469 (R X R Y ) d ; (R X R Y ) + d (0, 8 0, ) 1, 96 0, 0469 ; (0, 8 0, ) + 1, 96 0, , 0080 ; 0, 190 d) Uterscheide sich die Ateile sigifikat zu Kofideziveau vo 95%? Begrüde ie. Da der Wert 0 i 95%-Kofidezitervall der Ateilswertdifferez icht ethalte ist, uterscheide sich die beide Ateile sigifikat. Fraue befürworte sigifikat häufiger die Uwadlug i ei Raucherlokal als Mäer. 6