Der Modus. Lageparameter. Beispiel (Einrichtungen) Beispiel (Lieblingsfarben) Modus. Untersuchungseinheiten U 1,...,U n. Merkmal X

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1 Lageparameter Der Modus Utersuchugseiheite U,...,U Modus mod Mermal X Urliste,..., geordete Urliste (),..., () Es gilt i.allg.: ( ), i, K i i, Mermalsauspräguge a,..., a wird auch Modalwert oder häufigster Wert geat die Ausprägug des Mermals X mit der größte absolute (ud somit auch relative) Häufigeit. Bimodalität Trimodalität bei stetige Variable spricht ma vo der modale Klasse Beispiel (Liebligsfarbe) Beispiel (Eirichtuge) a H(a ) h(a ) blau 3 3 / 0 gelb / violett 4 4 / schwarz / rot 6 6 / Modus pi / grü / Summe 0 0 /0.00 Azahl der Mitarbeiter(ie) [0, 0] (0, 30] (30, 50] (50, 00] (00, 00] Summe Träger A Träger B

2 Der Media Der Media ~ Media 0. 5 wird auch Zetralwert geat midestes 50% aller Beobachtuge sid größer oder gleich dem Media ud ugerade ~ + midestes 50% aller Beobachtuge sid leier oder gleich dem Media bei stetige Variable spricht ma vo der Klasse, die de Media beihaltet 5 gerade ~ Beispiel (Supervisio) Hugo Hascherl besucht im Rahme eier Supervisio-Ausbildug edes Wocheede (WE) ei aderes Semiar. I de letzte drei Moate (Mai-Juli) ahm er a isgesamt 4 Wocheedsemiare teil. Nach edem Wocheede bewertet er auf eier -stufige Sala, dere Edpute war ugeheuer gut ud wichtig für mich ud hat mir ichts gebracht sid, die eizele Wocheedsemiare. Bewertuge Mai Jui Juli.WE 4.WE WE WE 5 0 Beispiel (Supervisio) Zur Berechug des Medias seier Bewertuge i de Moate Mai ud Jui ( 9) ergibt sich die folgede geordete Urliste: () () (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) Der Media ist damit die füftgrößte Beobachtug 9+ ( 5) 4. 5.WE ~ Bewertuge Mai Jui Juli.WE 4.WE WE WE WE 5 0.5

3 Beispiel (Supervisio) Berechet ma de Media aus alle Bewertuge der Moate Mai Juli, so ergibt sich als geordete Reihe vo Beobachtuge: () () (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (0) () () (3) (4) ~ Es liegt eie gerade Azahl vo Beobachtuge vor ( 4). Der Media berechet sich damit als Bewertuge Mai Jui Juli.WE 4.WE WE WE WE ( 4 ) + ( 4 ) ( ( 7) + ( 8) ) Feibestimmug: Gruppierte Date. Bestimmug der Klasse, die de Media ethält. Dies ist die Klasse, bei der die empirische Verteilugsfutio erstmals größer gleich dem Wert ist. ~ 0. 5 Der Media F( a + F( b) F( ( b 0 0 0% Azahl der Mitarbeiter(i e) Beispiel (Eirichtuge) Träger A relative Häufigeit Verteilugsfutio [0, 0] (0, 30] Media (30, 50] (50, 00] (00, 00] Summe % 4 0% 8 30% % 6 50% 30 60% Azahl der Mitarbeiter(i e) Beispiel (Eirichtuge) ~ 0. 5 Träger A relative Häufige it Verteilugsfutio [0, 0] (0, 30] Media (30, 50] (50, 00] (00, 00] Summe (30 0)

4 Quatile midestes 00α% der beobachtete Werte sid leier oder gleich dem α-quatil ud midestes 00( α )% der beobachtete Werte sid größer oder gleich dem α-quatil ud ( l) ~ α : ( l) + ( l+ ) falls α eie gaze Zahl ist. (l ist da die auf falls α eie gaze Zahl ist. (Es ist da l α. ) α folgede gaze Zahl. Spezielle Quatile ~ 0. uteres Dezil ~ uteres Quartil ~ Media ~ oberes Quartil 0.75 ~ oberes Dezil Beispiel (Hospiz) Quatile α 0. α , 0, 5, 39, 48, 5, 5, 78, 44, , 44, 78, 5, 348, 5, 0, 0, 48, 5. α 0 0. l ( ) + ( ) ~ 0. α l 8 ~ ( 8) Feibestimmug: Gruppierte Date. Bestimmug der Klasse, die das gewüschte Quatil ethält. Dies ist die Klasse, bei der die empirische Verteilugsfutio erstmals größer gleich dem Wert α ist. ~ α F( α a + F( b) F( ( b 6

5 Beispiel (Afahrtszeite) Klasse H(K ) h(k ) F(K ) K [0,4] K (4,8] K 3 (8,] K 4 (,6] K 5 (6,0] K 6 (0,4] K 7 (4,8] Summe ~ ( 8 4) ~ ( 0 6) arithmetisches Mittel der übliche Mittelwert Das arithmetische Mittel : i i i ( i) der Mittelwert reagiert leicht auf Ausreißer (etreme Werte); er ist icht robust 8 Beispiel (Hospiz) Beispiel (robust) 39, 44, 78, 5, 348, 5, 0, 0, 48, 5. ( ) ( ) ( 3) ( 4) ( 5) ( ) ( ) ~ 0. 5 ( ) ( ) ( 3) ( 4) ( 5) ~ ud

6 Gruppierte Date. das arithmetische Mittel ierhalb der eizele Klasse ist beat oder. das arithmetische Mittel ierhalb der eizele Klasse ist ubeat. Klassemittel: Klassemitte: H ( K H ( K ) K ) m h h ( K ) ( K ) K m Beispiel (Eirichtuge) Klasse K [0,0], K (0,30], K 3 (30,50], K 4 (50,00] ud K 5 (00,00] Klassemitte m 5, m 0, m 3, m 4 75 ud m ( ) ( ) ~ Für eie sivolle Berechug des arithmetische Mittels ist es sehr wichtig, daß die Häufigeitsverteilug uimodal ist. Darauf weise auch Gabler & Borg (996) hi: Die Aussageraft des arithmetische Mittels sit allerdigs graviered, we die Verteilug etwa U-förmig oder mehrgipflig ist. Beispiel (Drogeberatugsstelle) Azahl der Besuche Azahl der Persoe Das getrimmte ud wisorisierte Mittel robustifiziertes arithmetisches Mittel weiger afällig für etreme (abweichede) Beobachtuge a : [ α] a getrimmtes Mittel α t : ( i). a i a+ Gebräuchliche Werte für de Ateil getrimmter Werte sid α 0.05, 0.0, 4

7 Das getrimmte ud wisorisierte Mittel a : [ α ] größte gaze Zahl leier oder gleich α Beispiel (Hospiz) 0, 0, 5, 39, 48, 5, 5, 78, 44, 348 wisorisiertes Mittel: 79.6 α w a : α a ( a+ ) + ( i) + a (. i a ( i) t i 0.w 9 ( ) ( ) ( ) 0 + i + 9 i Zusammefassug Saleiveau des Mermals Lageparameter omial ordial metrisch Modus Media / Quatile -- Mittelwerte (arithm./getrimmt/wisorisiert)