Kennwerte Univariater Verteilungen

Transkript

1 Kewerte Uivariater Verteiluge Kewerte Beschreibug vo Verteiluge durch eie (oder weige) Werte Werde auch als Parameter oder Maße vo Verteiluge bezeichet Ma uterscheidet: Lagemaße oder auch Maße der zetrale Tedez, welche für die Verteilug typisch sei solle Streuugsmaße, welche die Uterschiedlichkeit der Realisatioe eier Verteilug erfasse (Weiterhi köe auch Schiefe ud Steilheit eier Verteilug bestimmt werde )

2 Typische Werte oder Lagemaße Modus Die am häufigste auftretede Ausprägug eier Verteilug Media Die Ausprägug, welche die Verteilug i zwei gleich große Hälfte teilt arithmetisches Mittel Der Wert, der als Durchschittswert de Scherpukt eier Verteilug darstellt 3 Modus Bei gruppierte Date ist der Modus gleich dem Wert der Klassemitte (Berechug ur sivoll, we Klassebreite theoretisch fudiert) 4

3 Media Kezeichet die exakte Mitte eier empirische Verteilug: der (Meß-) Wert, der die Verteilug i zwei gleich große Hälfte teilt 5 Berechugsformel des Medias Für eie Verteilug mit ugerader Fallzahl berechet sich der Media wie folgt: Ud so für eie Verteilug mit gerader Fallzahl: 6 3

4 Berechugsformel des Medias II Berechug des Medias bei gruppierte Date (Iterpolatiosformel): 7 Arithmetisches Mittel Auch Mittelwert oder Durchschitt geat Setzt midestes Itervalliveau voraus Wird Berechet als Summe aller Realisatioe eier Verteilug geteilt durch dere Azahl (Fallzahl): 8 4

5 Arithmetisches Mittel bei ugruppierte Date Astatt alle Werte der Tabelle zu summiere, werde hier zuächst Produkte gebildet, die die Summe aller Werte mit gleicher Ausprägug beschreibe. Diese Produkte werde da aufsummiert: x = x = x = p x K K K k k k k k k k= k= k= 9 Arithmetisches Mittel bei gruppierte Date Die Berechug des Arithmetische Mittels wird hier wie bei ugruppierte Date durchgeführt, ur daß hier astatt der eizele Werte die Werte der Klassemitte verrechet werde. x = m = m = p m K K K k k k k k k k= k= k= 0 5

6 Getrimmtes arithmetische Mittel Ei vom Forscher festgelegter Ateil der erhobee Werte wird ausgelasse (z.b. oberere ud utere 5%) Beispiel: x = = 44..%getr 7 Geometrisches Mittel Geeiget für die Mittelug vo Veräderuge die ateilsmäßig dargestellt werde (z.b. Bierpreis * Iflatiosrate) wobei x idiziert de eizele Veräderugsrate etspricht 6

7 Streuugsmaße Iformiere über die Heterogeität der Date, bzw. das Ausmaß ihrer Uterschiedlichkeit 3 Verschiedee Streuugsmaße Spaweite Abstad zwische Niedrigste ud höchste Wert Quartilsabstad Abstad zwische 5% - ud 75% - Quatil Variaz Durchschittliche Quadrierte Abweichug vom Mittelwert Stadardabweichug Durchschittliche Abweichug vom Mittelwert 4 7

8 Quartilsabstad ud Mittlerer Quartilsabstad IQR=Q Q 3 wobei IQR = Quartilabstad Q,Q 3 =Quartilwerte des. ud 3. Quartils eier Verteilug Mittlerer Quartilsabstad: Q3 Q miqr = 5 Variatio Summe der quadrierte Abweichuge vom Mittelwert Quadriere verhidert, daß egative ud positive Abweichuge eiader Aufhebe Auch Quadratsumme bzw. Sum of Squares geat ( ) ( ) ( ) ( ) SS = x x + x x x x = x x X i i= 6 8

9 Variaz Mittlere Quadrierte Abweichug vom Mittelwert Abweichugsmaß uabhägig vo der Fallzahl Mittlere Quadratsumme SS s x x x x X X = = ( i ) = i i= i= 7 Stadardabweichug Wurzel der Variaz Quadrierug wird aufgehobe Abweichug ka wieder i Skaleeiheite dargestellt werde s X ( x x) i i= = = s X 8 9

10 Variatioskoeffiziet Variable it große Mittelwerte weise oft auch große Stadardabweichuge auf Divisio durch der Stabdardabweichug durch de Mittelwert berücksichtigt dies V X = s X x 9 0