Lesen einer Häufigkeitstabelle:

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1 Lese eier Häufigkeitstabelle: A93 Schulabschluss Gültig Pflichts. ohe Lehre Pflichts. mit Lehre 3 BMS AHS BHS Hochschule Gesamt Gültige Kumulierte Häufigkeit Prozet Prozete Prozete 3, 3, 3, 3, 3, 3, 39,, 78,9 7 8,8 8,8 87,7 8 7, 7, 9,,,,,, Gültige Fälle: g Fehlede Fälle: f Gesamt: g + f Häufigkeit: Prozet: Gültige Prozete: Kumulierte Prozete: Häufigkeit des Auftretes eizeler Variablewerte: (Pflichtschule) ; (Lehre) Fälle usw. Prozetverteilug der Variablewerte über alle Fälle: Ateil der Persoe mit Pflichtschule als höchstem Schulabschluss: p 3,% Prozetverteilug der Variablewerte über alle Fälle mit gültige Werte: Ateil der Persoe mit Pflichtschule als höchstem Schulabschluss a alle Fälle mit gültige Agabe zur Schulbildug v 3,% g Kumulierte Prozetverteilug der Variablewerte über alle Fälle mit gültige Werte: Ateil der Persoe mit Pflichtschule: k 3,% g Ateil der Persoe mit Pflicht- oder Lehrausbildug: ( + ) ( + ) k 3,% g Ateil der Persoe mit Ausbildug bis Fachschule bzw. uter Maturaiveau: ( + + 3) ( ) k 3 78,9% g VO 3 Statistik für Pflegewisseschaft (Hager WS) Deskriptio

2 Aselm Eder (3): Statistik für Sozialwisseschaftler, Skriptum für Soziologie-Statistik, facultas, S. / ud 7 Deskriptio Wir köte us dafür etscheide, eie Jouraliste über das Alter der HörerIe iformiere zu wolle. Eie graphische Darstellug der Verteilug der awesede HörerIe ach ihrem Alter köte folgedermaße aussehe: Histogramm: Abb..: Graphische Darstellug der Verteilug absoluter Häufigkeite des Alters vo HörerIe eier Vorlesug. Azahl der HörerIe Alter Das Histogramm (oder Balkediagramm) ist eie Darstellugsweise, i der ma auf eier Achse die vorkommede Werte (auch Auspräguge geat) eier iteressierede Variable (hier: Das Alter) aufträgt. Auf der adere Achse wird die Azahl vo Persoe (Utersuchugseiheite), die das jeweilige Alter habe, eigetrage. I adere Worte: Die vertikale Achse repräsetiert die Häufigkeite, mit der die Auspräguge der Variable auftrete: (i userem Beispiel: 8 Jahre, 9 Jahre,... Jahre) Was ist user erstes Problem bei der Betrachtug dieser Graphik? Wir sehe zwar alle, dass gege rechts hi die Azahl der Persoe abimmt, aber wie lässt sich dieser Umstad eakter formuliere? Dazu och mehr weiter ute. Die obige Graphik wird Histogramm geat, oder allgemeier: Verteilug. Sie gibt Auskuft darüber, wie sich die eizele HörerIe auf die eizele Altersjahrgäge verteile. Dabei habe wir alle Persoe, dere Geburtstag im Itervall eies Jahres liegt, eiem Altersjahrgag zugeordet: wir habe klar uterschiedee Klasse vo Altersjahrgäge küstlich geschaffe. Nach dem lateiische Wort für uterscheide: discerere et ma eie solche Verteilug eie diskrete Verteilug. Würde wir das Alter gaz geau messe i Tage, Stude, Sekude, Sekudeteile da würde die Itervalle der Verteilug keie klare Greze mehr habe. Wir würde auf der -Achse eie fortlaufede, kotiuierliche variable Größe eitrage müsse. Etspreched würde die dazugehörige Verteilugskurve keie Ecke mehr habe. Eie solche Verteilug et ma eie stetige Verteilug. I Kapitel 3 werde wir mehrere Beispiele für solche stetige Verteiluge kee lere. VO 3 Statistik für Pflegewisseschaft (Hager WS) Deskriptio

3 Ei weiteres wichtiges Uterscheidugsmerkmal vo Verteiluge ist die Frage, was die y-achse darstellt. Im obige Beispiel ist dies die Azahl der HörerIe je Altersjahrgag. Diese Azahle et ma auch absolute Häufigkeite. Würde wir diese absolute Häufigkeite durch die Gesamtzahl der HörerIe dividiere, da würde die y-achse icht mehr die Azahl der HörerIe je Altersgruppe, soder de Ateil je Altersgruppe repräsetiere. Natürlich würde sich dadurch die Form der Verteilugskurve icht veräder, soder lediglich die Beschriftug der y-achse. Diese durch Divisio veräderte Häufigkeite et ma auch relative Häufigkeite. Weiter ute werde wir sehe, dass solche relative Häufigkeite aber icht ur durch empirische Erhebug vo Date ud Divisio durch die Gesamtzahl der utersuchte Persoe gewoe werde köe, soder auch durch theoretische Überleguge. We wir us etwa die Frage stelle, wie oft beim Wurf mit eiem Würfel der Eiser, der Zweier, der Dreier usw. bis zum Sechser auftrete wird, da köe wir us leicht ausreche, dass jede dieser Zahle zumidest so ugefähr i eiem Sechstel der Fälle geworfe werde wird. Wir köe so eie Verteilug theoretischer Häufigkeite der Ergebisse eies Würfelwurfes agebe, ohe die empirische Häufigkeite überhaupt zu ermittel. Solche theoretisch ermittelte relative Häufigkeite werde zumeist Wahrscheilichkeite geat. Dazu äheres weiter ute. Es ist offesichtlich, dass eie Verteilug theoretischer Häufigkeite immer auch eie Verteilug relativer Häufigkeite sei muss, da es im theoretische Fall ja gar keie absolute Azahle vo Würfelwürfe (i userem Beispiel) gibt. ( ) Es gibt zwei uterschiedliche Betrachtugsweise vo Zahle i der Statistik: Die deskriptive ud die iduktive: Die Struktur des statistische Argumetatio ka darauf ausgerichtet sei, über zahlemäßig erfassbare Fakte zu iformiere, oder darauf, aus solche Fakte verallgemeierde Schlüsse zu ziehe. Es ist sehr wichtig, sich immer darüber klar zu sei, i welchem Bereich wir us gerade befide. I eifache Fälle ist dies meist leicht zu uterscheide. Deskriptiv ( beschreibed) vorzugehe, heißt meistes, auf Frage des Typs: Wie ist/sid...? Atworte zu suche. (Etwa: Wie sid die Studierede? Wie ist die Vorlesug?). Die Schwierigkeit liegt dabei dari, Kriterie zu fide, ach dee ma beschreibt. Die Fremdeverkehrswerbug geht z. B. is Auslad ud beschreibt wie Österreich ist. Hiter all diese Beschreibuge stehe i Wirklichkeit immer Vorstelluge darüber, was wichtig ud was uwichtig ist. Diese Vorstelluge werde oft icht eplizit ausgesproche. Aber jede Beschreibug/Deskriptio braucht eie theoretische Vorstellug darüber, was wichtig ist. - Wir alle habe de Jouraliste useres Ausgagsszearios gedaklich auf eie bestimmte Zeitug eigeegt ud seie allgemeie Frage aufgrud vo mehr oder weiger bewusste, mehr oder weiger reflektierte theoretische Voraahme eigegrezt. Alter ud Geschlecht der Studierede dürfte bei fast alle Eigrezuge als immer och wichtig empfude worde sei. Es gibt offebar so etwas wie eie ituitive Koses darüber, was wichtig ist. Das sollte us icht darüber hiwegtäusche, dass jede Beschreibug immer uter theoretische Gesichtspukte abläuft. Dieser theoretische Hitergrud sollte so eplizit wie möglich formuliert werde. VO 3 Statistik für Pflegewisseschaft (Hager WS) Deskriptio 3

4 Aselm Eder (3): Statistik für Sozialwisseschaftler, Skriptum für Soziologie-Statistik, facultas, S ud / Statistische Kezahle Ei wesetliches Aliege statistischer Auswertuge ist es, möglichst viel Iformatio i möglichst kapper Form darzustelle. Sehr oft ist es icht zielführed, Verteiluge graphisch darzustelle. Ugeübte sehe oft icht rasch geug solche Verteiluge das a, was sie sehe wolle. Meist habe wir zur graphische Darstelluge vo Verteiluge auch icht geug Platz. Sehr oft ist es deshalb vorteilhaft, Verteiluge durch Kezahle zu charakterisiere. Eie besoders wichtige Kezahl eier Verteilug ist der Mittelwert. Der Mittelwert We wir, wie i userem Beispiel aus Kap., das Alter aller HörerIe der Vorlesug (siehe obe Abb...) kee, da ist eie der Möglichkeite, ihre Verteilug zu beschreibe, der Mittelwert (oder arithmetisches Mittel), defiiert als die Summe aller Werte gebroche durch ihre Azahl. Beispiel: Das Alter der erste Perso wäre ; das der zweite Perso y ud eie dritte hätte das Alter z, so wäre das arithmetische Mittel, symbolisiert durch, i diesem Fall: + y + z ( Azahl der Persoe; hier: 3) Das Alphabet reicht i der Statistik i der Regel icht aus, um alle Persoe eie Buchstabe zuzuorde. Daher gibt ma de Messwerte eie Buchstabe (etwa: ) ud ummeriert sie durch: wäre da das Alter der erste Perso, wäre das Alter der zweite Perso ud 3 das der Dritte Da es auch mühsam ist, die Messwerte aller utersuchte Persoe eizel aufzuschreibe, verwedet ma i der Statistik ei Summezeiche, das griechische Sigma: i i wobei i Idebuchstabe; i uterhalb des Summezeiches, oberhalb des Summezeiches heißt, zusamme mit dem Summezeiche: für i, das vo bis geht (gazzahlige Werte gemeit) VO 3 Statistik für Pflegewisseschaft (Hager WS) Deskriptio

5 Im obige Beispiel (Abb..) wäre der Zahlewert des arithmetische Mittels, (gerudet). Was tu wir damit? Wozu köe wir eie Mittelwert brauche? - We das Eikomme etwas mit dem Alter zu tu hat, ud we wir das durchschittliche Eikomme i jeder Altersgruppe der Bevölkerug wisse, da köte wir us daraus eie Schätzug des Eikommes userer HörerIe erreche. - Wir köte us auch mit Hilfe des Mittelwerts die vo alle HörerIe isgesamt gelebte Lebesjahre ausreche. Wir müsste dazu ur de Altersmittelwert mit der Azahl aller HörerIe multipliziere. We wir für die HörerIe altersgemäße Literatur produziere wollte ud davo ausgehe, dass die jährige adere Literatur lese wolle als die jährige, ud diese wieder adere als die 3jährige, würde der Mittelwert allerdigs als Iformatio scho icht mehr geüge. Ei solche Awedug ist icht so selte. Hätte wir statt des Alters zum Beispiel die Körpergröße gewählt, köte ei Awedugsbeispiel sei: We ei Scheider ei Eiheitsgewad herstellte ( abhägig vo der Körpergröße eies Mesche), wie viele Persoe würde es passe, we wir dere mittlere Körpergröße wüsste? Es würde sehr viele Persoe passe, we ihre Körpergröße im Durchschitt i der Nähe des Mittelwertes liegt; es würde sehr weige Persoe passe, we sie alle vom Mittelwert etfert sid. De die die empirische Wirklichkeit abbildede Verteilug hätte auch so aussehe köe: Abbildug We wir für Persoe mit eier solche Verteilug der Körpergröße eie Durchschittsgröße afertigte, da würde sie Niemadem passe. Keier hat de Mittelwert, trotzdem eistiert er. Je achdem, wie die Verteilug aussieht, ist also der Mittelwert für uterschiedliche Fragestelluge äußerst uterschiedlich brauchbar. We wir eie Stichprobe oder eie Populatio (Grudgesamtheit) mit Hilfe eies Mittelwertes beschreibe wolle, steckt dahiter immer eie Art Progose des Typs: We wir für eie zufällig aus der Grudgesamtheit herausgegriffee Perso aehme, dass sie de Mittelwert i dem us iteressierede Merkmal hat, da ist der durchschittliche Fehler, de wir dabei mache, immer och am kleiste. Ziehe wir statt der Ketis eizeler Messwerte de VO 3 Statistik für Pflegewisseschaft (Hager WS) Deskriptio

6 Mittelwert hera, um eie Aussage zu treffe, ergibt sich die Frage, wie viele Fehler wir dabei mache. Wir köe etweder viele oder weige Fehler mache. Ud um diese Fehlerazahl eizugreze, d. h. um zu wisse, wie groß diese Fehlerazahl ist, wäre es sivoll, ei etsprechedes Maß dafür zu habe. Streuugsmaße Dazu gehöre Maße, die darüber Auskuft gebe, wie weit die Verteilug auseiadergeht, wieweit die eizele Messwerte streue. Sie charakterisiere die Breite eier Verteilug. Ei solches Maß ist die sogeate Spaweite (Defiitio: ma mi ). Sie gibt us die Iformatio darüber, wie alt z. B. die älteste ud wie jug die jügste der HörerIe sid. Aufgrud ihrer eigeschräkte Aussagefähigkeit wird sie allerdigs icht allzu häufig verwedet. Wäre i userer Altersverteilug z. B. auch ei siebzigjähriger Hörer vertrete wäre, da ergäbe sich daraus eie hohe Spaweite, die jedoch ur auf die besoders hohe Ausprägug dieser eie Perso zurückgige. Sie würde also die globale Beschreibug userer Verteilug verzerre. Zur Veraschaulichug: Abbildug Wir müsse also och eie Möglichkeit fide, die Spaweite mit der Azahl der utersuchte Persoe zu gewichte, um sie brauchbarer zu mache. Ei Maß, welches us bei Beatwortug der Frage Wie gut beschreibt der Mittelwert die Verteilug? hilft, muss verschiedee Aufgabe erfülle:. Wir müsse mit seier Hilfe das obe geschilderte Problem der Spaweite i de Griff bekomme.. Es muss us sage, wie viele Persoe sich um de Mittelwert gruppiere. Aber mit welcher Begrüdug lege wir ei bestimmtes Itervall um de Mittelwert herum fest? Wir köte die durchschittliche Abweichug aller Messwerte vom Mittelwert bereche. Bei der schlichte Berechug der Summe aller Abweichuge vom Mittelwert, dividiert durch, hebe sich die egative ud positive Abweichuge gegeseitig auf. 8 7 ( ) i i i i i i i i VO 3 Statistik für Pflegewisseschaft (Hager WS) Deskriptio

7 Um diese gegeseitige Aufhebug der positive ud egative Abweichuge aller Messwerte vom Mittelwert zu kompesiere, köte wir. die Absolutzahle ehme MA (Mittlere Abweichug) i i diese mittlere Abweichug wird allerdigs aus rechetechische Grüde selte verwedet: sie hat uageehme Kosequeze beim Itegriere, Differeziere, Programmiere u. a. Verarbeitugstechike.. Quadriere s i ( i ) bzw. s i ( i ) diese Größe s heißt Variaz. Sie ist als die Summe der quadrierte Abweichuge aller Eizelwerte vo ihrem Mittelwert, dividiert durch dere Azahl, defiiert. s heißt Stadardabweichug, die als die Wurzel aus der Variaz defiiert ist. Die Variaz ist also die quadrierte Stadardabweichug. Mache Rechevorgäge sid eifacher mit Hilfe der Stadardabweichug, adere eifacher mit Hilfe der Variaz durchzuführe. Als Faustregel ka gelte: Der Zahlewert der mittlere Abweichug etspricht bei viele Verteilugsforme ugefähr dem der Stadardabweichug. Eie zwar ugeaue, dafür aber eifache Iterpretatio der Stadardabweichug ist es deshalb, sie als jee Wert zu betrachte, um de die Eizelwerte ugefähr im Durchschitt vom Mittelwert abweiche. Schiefe (Steilheit) ud Ezess Um eiigermaße brauchbare Aussage über ei zahlemäßig messbares Merkmal bei eier Gruppe vo Persoe aus eier Grudgesamtheit mache zu köe, müsse wir. die Variaz,. de Mittelwert ud 3. die Form der Verteilug der Messwerte kee. Eies dieser Formcharakteristika liegt i de Symmetrieeigeschafte: Verteiluge köe symmetrisch, likssteil oder rechtssteil sei. Wir köe eie Verteilug durch ihr eifaches Aufzeiche beschreibe dies ist aus verschiedee Grüde upraktisch (siehe obe) oder idem wir die Charakteristika dieser Verteilug agebe. VO 3 Statistik für Pflegewisseschaft (Hager WS) Deskriptio 7

8 Zur Schiefe eier Verteilug: Zwei Verteilugsforme, die uterschiede werde müsse, sid:. likssteile (rechtsschiefe) Verteilug: Abbildug liks vom Mittelwert liegt der häufigste Wert, rechts vom Mittelwert liegt ei großer Wertebereich; die Kurve flacht ach rechts hi ab.. rechtssteile (liksschiefe) Verteilug Abbildug rechts vom Mittelwert liegt der häufigste Wert, liks vom Mittelwert liegt ei großer Wertebereich; die Kurve steigt vo liks lagsam a (flacht ach liks hi ab). Die Schiefe (die dritte Wurzel aus der dritte Potez der Abweichuge aller Messwerte vom Mittelwert) ud der Ezess (die vierte Wurzel aus der vierte Potez dieser Abweichuge), sid weitere deskriptive Maße eier Verteilug. Sie gehöre zu de sogeate zetrale Momete ( Abweichuge vom Mittelwert ud dere Poteze) Schiefe: Ezess: (Maß für die Steilheit eier Verteilug) 3 i ( i ) 3 i ( ) i VO 3 Statistik für Pflegewisseschaft (Hager WS) Deskriptio 8

9 Beim Messe ud Darstelle bestimmter Verteiluge i eiem Histogramm macht ma eie zuächst mystisch amutede Feststellug, ämlich: Sehr viele aber icht alle (!) Verteiluge, die wir i der Wirklichkeit vorfide, ud die zum Beispiel dem utestehede Balkediagramm (Abb. 3.) etspreche köte, habe eie Form, die eiigermaße durch die durchgezogee Liie der utestehede Abbildug ageähert werde ka: Abbildug Frequecy Warum dies so ist, wird us weiter ute och beschäftige. Im Augeblick soll es geüge, festzuhalte, welche Vorteile es hat zu wisse, dass bestimmte Verteiluge immer wieder die gleiche Form habe: We wir ämlich vo vorherei wisse oder begrüdet vermute köe, dass gemessee Werte ugefähr die obe dargestellte Verteilug habe ud wir außerdem die Variaz ud de Mittelwert dieser Messwerte kee, da köe wir mit diese drei Iformatioe die Verteilug der Messwerte sehr gut beschreibe, ohe die tatsächliche empirische Verteilug zu kee. Wie wisse ugefähr, wie viele gemessee Werte i eiem agebbare Itervall liks ud rechts vo Mittelwert liege. Awedugsbereiche vo Variaz ud Stadardabweichug Die Variaz gibt a, wie gut der Mittelwert eie Grudgesamtheit/Stichprobe beschreibt. Er beschreibt sie gut, we die Variaz klei ist ( die Messwerte streue ahe um de Mittelwert). We die Variaz Null ist, heißt dies, dass alle Summade Null sid: Die gesamte Iformatio, die i der Verteilug ethalte ist, wird i diesem Fall durch de Mittelwert ausgedrückt. Sie sieht folgedermaße aus: VO 3 Statistik für Pflegewisseschaft (Hager WS) Deskriptio 9

10 Abbildug 3. Ei Scheider, der für eie Grudgesamtheit mit eiem Mittelwert vo,7 cm ud eier Variaz vo Null Kleider i der Größe des Mittelwerts fertigt, wird für keie eizige Perso ei zu großes oder zu kleies Gewad auf Lager habe. Derselbe Scheider wird bei eier Grudgesamtheit mit demselbe Mittelwert, aber eier sehr große Variaz, für fast alle Persoe etweder zu große oder zu kleie Kleider auf Lager habe. Die Variaz hat keie umerische Obergreze. Eie große Variaz charakterisiert eie Verteilug mit dieser Form: Abbildug 3.7 Im utestehede Etremfall habe wir es mit der größtmögliche Variaz zu tu: alle Werte liege weit liks oder weit rechts vom Mittelwert Abbildug 3.8 We die Azahl der utersuchte Persoe beträgt, ka die Variaz ur de Wert s aehme. I der empirische Wirklichkeit werde wir eie solche Variaz außer im Fall kaum atreffe. Ist es doch der Fall, habe wir vermutlich eie logische Fehler oder eie Rechefehler gemacht. Dasselbe gilt für eie Variaz oder eie Stadardabweichug mit egativem Vorzeiche. I Soderfälle köe Teile vo Variaze egative Vorzeiche habe (Iteraktio bei der mehrfache Variazaalyse). Für Gesamtvariaze oder Stadardabweichuge deutet ei egatives Vorzeiche aber immer auf eie Rechefehler hi. Für iduktive Fragestelluge wird die Variaz sehr wichtig werde. We wir z.b. die Mittelwerte zweier Verteiluge vergleiche, etwa zwische dem Alter der HörerIe i dieser Vorlesug (. Verteilug) ud demjeige der HörerIe i der Vorlesug im Saal ebea (. Verteilug), da köte diese Altersverteiluge bei gleichem Uterschied zwische de Mittelwerte ugefähr so wie i Abb. 3.9 oder wie i Abb. 3. aussehe. Abbildug 3.9 VO 3 Statistik für Pflegewisseschaft (Hager WS) Deskriptio

11 Abbildug 3. Im Fall (Abb. 3.) mit große Variaze gibt es viele Persoe, die sowohl zur erste als auch zur zweite Verteilug gehöre köte: die Verteiluge überscheide sich, im Fall (Abb. 3.9) mit kleie Variaze gibt es weige solche Fälle. I viele Fälle ist es wichtig, etscheide zu köe, ob ei Uterschied zwische zwei Mittelwerte darauf hideutet, dass die beide Mittelwerte aus uterschiedliche Grudgesamtheite stamme, bzw. ob er auf eie Gesetzmäßigkeit hideutet, die diese Uterschied hervorgebracht hat, oder icht. Dazu brauche wir die zu diese Mittelwerte gehörede Variaze. Sie sage us, ob wir eie Uterschied zwische zwei Mittelwerte erst zu ehme habe. Zu dieser vorläufige Formulierug des Erst Nehmes gehört auch die weiter ute och zu behadelde Frage, ob ei Mittelwertsuterschied als zufällig betrachtet werde ka. Der Begriff des Zufalls wird och geauer utersucht werde. I eier Verteilug erkee wir die Variaz a der Breite ud Flachheit der Verteilug; je breiter ud je flacher die Kurve, desto größer ist die Variaz; graphisch ist sie i eier Verteilug aber icht eakt darstellbar. Ei Rechebeispiel zur Variaz: Das Alter vo füf HörerIe sei:,,,, 7 Jahre s ( i ) ( i 8) i i ( 8) + ( 8) + ( 8) + ( 8) + ( 7 8) VO 3 Statistik für Pflegewisseschaft (Hager WS) Deskriptio

12 Wir habe also für jede Fall ( Eizelwert) die Quadratsumme der Abweichuge errechet ( 3) ud durch die Azahl aller Fälle () dividiert. Das Ergebis ist auch eie Art vo Mittelwert, ämlich die mittlere Quadratsumme der Abweichuge vom Mittelwert (,). Die Wurzel aus der Variaz ist da die Stadardabweichug s, die Wurzel aus,, also,8. Diese Stadardabweichug ist zuächst als grobe Abschätzug dafür brauchbar, wieweit die Eizelwerte vom Mittelwert im Durchschitt abweiche. Sie ist allerdigs mit der mittlere Abweichug, wie gesagt, icht idetisch. We wir eie() vo de füf befragte HörerIe zufällig treffe ud ihr/ihm aufgrud userer Berechuge auf de Kopf zusage: 'Du bist 8 Jahre alt', da köe wir erwarte, dass dieses Vorurteil zwar vo alle adere immer och dasjeige ist, mit dem wir im Durchschitt am weigste Fehler mache. Der Durchschitt des Fehlers, de wir aber mache, wird ugefähr 7 Jahre sei: Wir werde us im Durchschitt um ugefähr 7 Jahre verschätze. Habe wir zusätzlich Iformatioe über de Typus der Verteilug, köe wir aufgrud der Variaz oder Stadardabweichug eie Aussage darüber mache, i welchem Altersitervall wahrscheilich adere HörerIe, die wir gar icht befragt habe, liege werde. Uter bestimmte Zusatzaahme (Zufallsstichprobe, u.a.) köe wir ämlich vermute, dass i eiem bestimmte Itervall um de erhobee Mittelwert herum der wirkliche Mittelwert aller mich iteressierede Persoe (der Grudgesamtheit) liege wird. Die Variaz/Stadardabweichug ka atürlich für jede Art vo Verteilug berechet werde. Aber ihre Iterpretatio ist ur sivoll bei Ketis der Verteilug, aus der sie stammt. So ist z.b. eie Variaz gaz aders zu iterpretiere, we sie eier symmetrische, ud aders, we sie eier schiefe Verteilug etstammt. Auch köe eizele Etremwerte die Variaz (geauso wie de Mittelwert) verzerre. Aber grudsätzlich, als Faustregel, gilt: Eie große Variaz heißt: Achtug! Mittelwert icht allzu aussagekräftig. Sie ka i der Prais der empirische Sozialforschug oft auch bedeute, dass sich bei spätere Utersuchuge die Koste für die Ermittlug aller Eizelwerte wahrscheilich lohe werde. Eie kleie Variaz bedeutet, dass die meiste Eizelwerte eiader sehr ähel. Wir werde, we wir diese Werte i eier Grudgesamtheit schätze wolle, voraussichtlich mit eier kleiere Stichprobe auskomme als bei eier große Variaz. Weitere Parameter zur Beschreibug vo Verteiluge Modalwert Der Modalwert ist der häufigste Wert; die Verteilug ist hier am höchste. Wa ist es sivoll sei, de Modalwert zu verwede? Es gibt prototypische Fälle:. We der Modalwert vom Mittelwert stark verschiede ist: d. h. bei besoders schiefe Verteiluge ist es sivoll, de Modalwert ud de Mittelwert azugebe.. We der Mittelwert keie Si ergibt. Beispiel: Ei Histogramm, das die Verteilug der Haarfarbe wiedergibt. Es gibt etwa eie bestimmte Azahl brauhaariger, schwarzhaariger, bloder Persoe, ud es wäre silos, darüber eie Mittelwert zu bereche; aber es köte sivoll sei, zu sage, dass der häufigste Wert jeer mit z. B. braue Haare wäre. VO 3 Statistik für Pflegewisseschaft (Hager WS) Deskriptio

13 Perzetile Besoders wichtige deskriptive Maße sid die sogeate Perzetile. Sie sid jee Werte, bei dee ei bestimmter Prozetsatz vo Befragte erreicht ist. Dazu zähle u. a.: die soge. Quartile, Terzile ud der Media. Das Quartil ist jeer Wert, bei dem wir % der Fälle erreicht habe. Das utere Quartil gibt a, bei welchem Wert vo die erste % der Fälle erreicht sid (die kleiste, ärmste, etc. % eier Stichprobe) Etspreched würde das obere Quartil agebe, bei welchem Wert vo die größte, reichste, etc. % der Persoe eier Stichprobe begie. Quartile köe z. B. verwedet werde, um die Persoe mit de kleiste Eikomme (uteres Viertel) ud de größte Eikomme (oberes Viertel) miteiader zu vergleiche Läge z. B. i der erste Kategorie ( im erste Balke des Histogramms) bereits 7% aller Eizelwerte, köte wir mit Hilfe der Quartile über die Verteilug weig aussage. I so eiem Fall müsste wir durch geauere Messug die erste Kategorie i mehrere Kategorie uterteile, wodurch die Perzetile wieder a Aussagekraft gewie köte. Media Der Media oder mittlere Wert ist jeer Wert, bei dem i eier Verteilug die %-Greze ( % der Werte liege je rechts ud liks vom Media auf der -Achse (Abb.3.) erreicht wird. Abbildug 3.: Media 8 Cout, 3,, 7, 9,, 3,, 7, 9,,,, 8,,,,, 8,, X Mittelwert:,; Media:, (Die erste % der Werte liege i de Kategorie bis ; daher liegt der Media geau zwische ud ) Liege Media ud Mittelwert auseiader, hat z. B., wie i Abbildug 3., der Media de Wert. ud der Mittelwert de Wert,, da ist die Verteilug likssteil bzw. rechtsschief, d. h. wir köe a der Differez zwische Mittelwert ud Media erkee, dass es ach rechts hi viele Werte gebe muss. Die Uterscheidug zw. Media ud Mittelwert lässt also auf die Schiefe eier Verteilug schließe. Sid sie idetisch, so bedeutet dies, dass die Verteilug symmetrisch ist. VO 3 Statistik für Pflegewisseschaft (Hager WS) Deskriptio 3

14 Aus der Vorlesug: Statistische Kewerte: Lagemaße, Streuugsmaße Übersicht über Lage- ud Streuugsmaße Modus (mode) Häufigster Wert ab Nomial Lagemaße Streuugsmaße Formmaße Media(Zetralwert, media) % der Fälle weise Werte uter Media auf ab Ordial. Quartil % der Fälle weise eie Wert bi zum. Quartil auf. ab Ordial 3. Quartil 7% der Fälle weise eie Wert bi zum. Quartil auf. ab Ordial Perzetile (percetile) eie oder mehrere Marke, uterhalb dere ei bestimmter Ateil vo Fälle liegt ab Ordial Arithmetisches Mittel (mea) Mittelwert, Durchschitt ab Metrisch IQA (Iterquartilabstad) Itervall zwische. ud 3. Quartil ab Ordial Spaweite (rage) Differez zwische größtem ud kleistem Wert ab Metrisch Stadardabweichug (stadarddeviatio) Maß für die Stärke der Abweichug der Werte um de Mittelwert (Wurzel aus der Variaz) ab Metrisch Variaz (variace) Quadrat der Stadardabweichug ab Metrisch Stadardfehler (stadarderror) Schiefe (Skewess) Wölbug (Kurtosis) Maß für die Variabilität (Zuverlässigkeit) des Stichprobemittelwerts Symmetrie eier Verteilug: symmetrisch rechtsschiefe Verteilug positiver Wert liksschiefe Verteilug egativer Wert Steilheit der Verteilug: wie Normalverteilug Steiler als Normalverteilug positiver Wert Flacher als Normalverteilug egativer Wert ab Metrisch ab Metrisch ab Metrisch Hier eie Übersicht über die wichtigste Lage-, Streuugs- ud Formmaße ach Dateiveau: Zuordug omial ordial metrisch Alle Fälle sid eplizit EINER/M Kategorie/Wert zuzuorde Jede Kategorie ist bezeichet Kategorie sid gereiht ur Edpukte der Skala sid bezeichet Pukteskala oder Messeiheit Merkmal gleich ugleich gleich ugleich gleich ugleich mehr weiger Lagemaß Modus Modus Modus Streuugsmaß Formmaße Media, Perzetile IQA (Iterquartilabstad) Quartilabstäde mehr weiger gleiche Abstäde Media, Perzetile Mittelwert IQA (Iterquartilabstad) Quartilabstäde Stadardabweichug (Variaz) Schiefe (Skewess) ud Wölbug (Kurtosis) VO 3 Statistik für Pflegewisseschaft (Hager WS) Deskriptio

15 Der Modus oder Modalwert Hierbei hadelt es sich eifach um jee Ausprägug der Stichprobe, welche am häufigste vorkommt. Der Modalwert wird icht berechet soder eifach ur vo der Häufigkeitstabelle abgelese. Gibt es 'zwei häufigste Werte', da ist der Modalwert streg geomme icht defiiert. Ma et eie solche Verteilug bimodal. Das Statistikprogramm SPSS gibt i so eiem Fall de kleiere der beide Modalwerte a. Gibt es mehr als zwei 'häufigste Werte', da scheidet der Modus als Lagemaß aus. Der Rage Dieses im Grude geauso eifach darzustellede Maß gibt die Breite der Verteilug a. Der Rage ist die Differez des größte vorkommede Wertes zum kleister vorkommede Wert. rage ma - mi Das arithmetische Mittel Hierbei hadelt es sich um de wahrscheilich scho bekate Mittelwert oder Durchschitt. Die Berechug dieses Wertes ist icht sehr aufwedig: Ma bildet die Summe aller vorkommede Messwerte ud dividiert diese durch die Azahl der Beobachtuge (z.b. Persoe). Die Summe aller Messwerte wird durch Divisio durch zu gleiche Teile auf jede Perso aufgeteilt. Die Summe der Abweichuge vom Mittelwert ist immer! Die Variaz ud die Stadardabweichug Die Häufigkeite aller Messwerte eier Variable et ma Verteilug. Bei eiem Streuugsmaß geht es, wie bereits ageführt, prizipiell darum, ach erfolgter Festlegug der Auspräguge mittels Lagemaß die Aordug der Werte rud um dieses Lagemaß zu bestimme. Folgede Maßzahl soll u diese Eigeschaft eier Verteilug quatifiziere: Ma berechet die Differez jedes Messwertes zum Mittelwert. Da jedoch obe gezeigt wurde, dass die Summe über diese Differeze gleich '' ist, wird jede dieser Differeze quadriert. Dieser Schritt hat zweifache Wirkug: Erstes ist die Summe über diese Abweichugsquadrate" icht mehr '' ud zweites werde stärkere Abweichuge überproportioal stark gewichtet (Das Quadrat wächst scheller als die Abweichug). Nu wird die Summe über diese quadrierte Abweichuge gebildet. Als vorläufig letzter Schritt wird diese Abweichugsquadratsumme wieder zu gleiche Teile auf jede Beobachtug umgelegt, es wird also durch dividiert. Damit hat ma ei "durchschittliches Abweichugsquadrat", die Variaz. Zur bessere Iterpretierbarkeit wird u aus diesem Ausdruck die Wurzel gezoge - so erhält ma die Stadardabweichug. Die Stadardabweichug hat dieselbe Maßeiheit wie die Messwerte ud der Mittelwert. Mittelwert Streuug Summe aller Eizelwerte / durchschittliche Ausprägug, we alle gleich viel vo dem utersuchte Merkmal hätte Summe aller Eizelabstäde zum Mittelwert / durchschittliche Abweichug zum Mittelwert VO 3 Statistik für Pflegewisseschaft (Hager WS) Deskriptio

16 Gleicher Mittelwert uterschiedliche Streuug: gerige Streuug mittelmäßige Streuug breite Streuug Beachte: Die Stadardabweichug ist ur bei eier aäherd Der Media Ei weiteres Lagemaß zur Stichprobebeschreibug ist der Media. Der Media ist der mittlere Wert eier Verteilug. Es ist, aders ausgedrückt, jeer Wert, der geau vo der Hälfte der Stichprobe erreicht wird. Zum Beispiel: Alle Persoe eier Stichprobe werde der Größe ach aufgestellt (Variable: 'Körpergröße'). Geau i der Mitte halbiert ma i die 'kleiere Hälfte' ud die 'größere Hälfte'. Dabei ist es uwesetlich, wie groß die Kleiere sid, wichtig ist ur die Azahl. Jee Perso, die i der Mitte steht ud (bei ugeradem Stichprobeumfag) quasi halbiert werde müsste etspricht dem Media. Bei geradem Stichprobeumfag liegt der Media zwische de zwei Persoe i der Mitte. Liks ud rechts vom Media liege gleich viele Messwerte. Vergleich vo Mittelwert, Media ud Modalwert Der Mittelwert ist ei eaktes Maß für symmetrische Verteiluge, reagiert jedoch sesibel auf Ausreißer. Der Media ist ei stabiles Maß für schiefe Verteiluge, liefert aber weiger Iformatio als der Mittelwert. Der Modalwert ist ur bei eigipfeliger Verteilug awedbar ud wird vo der Breite der Verteilug icht beeiflusst. Er hat de gerigste Iformatioswert. Aus dem Vergleich der drei Lagemaße ka die Form eier Verteilug geschätzt werde. VO 3 Statistik für Pflegewisseschaft (Hager WS) Deskriptio

17 Bei obige Verteiluge wird ersichtlich, dass der Mittelwert am stärkste auf Ausreißer reagiert. VO 3 Statistik für Pflegewisseschaft (Hager WS) Deskriptio 7

18 Der Quartilabstad Passed zum Media gibt es auch Streuugsmaße. Dafür beötige wir de Begriff Quartile. Die Herleitug der Quartile ist prizipiell gleich jeer des Medias. Der Media teilt die Verteilug i die Hälfte, die Quartile teile die Verteilug i Viertel. Es gibt somit drei Quartile: ei %- Quartil, ei %-Quartil (Media) ud ei 7%-Quartil. Die Bestimmug ka durch Ablese der kumulierte Prozet der Häufigkeitstabelle erfolge. Erstes ud drittes Quartil greze die mittlere % der Verteilug ab. Diese Distaz vom erste zum dritte Quartil wird Iterquartilabstad geat. Die Maßeiheit ist gleich jeer der Messwerte (hier: Prestige-Score-Pukte) er Perzetil 3 er Pertetil 7er Perzetil Iterquartilabstad: 8 Zusammefassug: Statistische Kezahle ermögliche die Beschreibug eier Stichprobe. Sie stelle eie Iformatiosreduktio dar, da icht alle Iformatioe (Messwerte) wiedergegebe werde. Stattdesse überimmt eie Zahl die Aufgabe der Charakterisierug der Verteilug eier Variable i eier Stichprobe. Ma uterscheidet grudsätzlich Lage- ud Streuugsmaße. Lagemaße fiiere die Verteilug der kokrete Messwerte der Stichprobe im Bereich aller mögliche Messwerte dieser Variable. Streuugsmaße beschreibe da die Verteilug rud um ei Lagemaß. Je größer der Wert eies Streuugsmaßes ist, desto breiter ist die Verteilug. Da bei eier Charakterisierug mittels Lage- ud Streuugsmaße die Messwerte ubekat bleibe, müsse bei der Beschreibug eier Variable i eier Stichprobe immer ei Lage- ud ei Streuugsmaß gemeisam agegebe werde. Dasselbe gilt auch für de Vergleich zweier Stichprobe ahad ihrer statistische Kezahle. Es müsse immer Lage- ud Streuugsmaß miteiader vergliche werde. Wir habe folgede statistische Kezahle kee gelert: De Modalwert, welcher die häufigste Ausprägug kezeichet ud de Rage, der de Abstad vom kleiste zum größte realisierte Messwert darstellt. Der Media (Md) halbiert die Stichprobe i die utere ud die obere %, die Quartile viertel die Verteilug. Zwische dem erste ud dem dritte Quartil liege die mittlere % der Stichprobe, ihre Differez heißt Iterquartilabstad. Das.Quartil ist idet mit dem Media. Das arithmetische Mittel legt die Summe der Messwerte aller beobachtete Persoe zu gleiche Teile auf jede Perso um. Die Variaz (s ) ist das durchschittliche Abweichugsquadrat der Messwerte vom Mittelwert, die Stadardabweichug (s) ist die positive Wurzel aus der Variaz ud hat die gleiche Maßeiheit wie die Messwerte. Literatur dazu: W. Krämer, Statistik verstehe, S.3ff Mittelwert, Media; S.3ff Streuug VO 3 Statistik für Pflegewisseschaft (Hager WS) Deskriptio 8