Statistische Kennwerte

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1 5 Kapitel Statistische Kewerte ÜBERSICHT Arithmetisches Mittel Modalwert Mediawert Variaz Stadardabweichug Iterquartilbereich Perzetil z-wert Die Awedug statistischer Verfahre setzt voraus, dass quatitative Iformatioe über de jeweilige Utersuchugsgegestad bekat sid. Die Aussage: Herr X ist eurotisch mag zwar als qualitative Beschreibug der geate Perso iformativ sei; präziser wäre diese Iformatio jedoch, we sich die Ausprägug des Neurotizismus durch eie bestimmte Zahl kezeiche ließe, die beispielsweise Vergleiche hisichtlich der Ausprägugsgrade des Neurotizismus bei verschiedee Persoe ermöglicht. Liege quatitative Iformatioe über mehrere Persoe bzw. eie Stichprobe vor, erleichter summarische Darstelluge der Date die Iterpretatio der i der Stichprobe agetroffee Merkmalsverteilug. Die Altersagabe der Kliete eier therapeutische Ambulaz beispielsweise köte folgedermaße statistisch verdichtet werde: Maße der zetrale Tedez gebe a, welches Alter alle Kliete am beste charakterisiert. Maße der Variabilität kezeiche die Uterschiedlichkeit der behadelte Kliete i Bezug auf das Alter. Kewerte, die etweder die zetrale Tedez oder die Variabilität eies Merkmals charakterisiere, solle u dargestellt werde..1 Maße der zetrale Tedez Eie Stichprobe vo Utersuchugseiheite soll hisichtlich eies Merkmals beschriebe werde. Beispielsweise soll die Fähigkeit, aus eizel- Tabelle.1. Bearbeitugszeite eies Puzzles i Sekude 131,8 6,7 116,4 84,3 118,5 93,4 65,3 113,8 140,3 119, 19,9 75,7 5,4 13,4 64,9 80,7 14, 1,9 86,7 11,7 96,7 1, 135, 134,7 146,5 144,8 113,4 18,6 14,0 6,0 98,0 148, 6, 1,7 70,0 73,9 78,8 3,4 11,9 16,6 119,9 6,6 116,6 84,6 1,0 68,1 95,9 119,7 1,0 17,3 9,3 95,1 3,1 9,4 3,0 90, 136,1 9,6 99, 76,1 93,9 81,5 0,4 114,3 15,5 11,0 137,0 7,7 69,0 79,0 111,7 98,8 14,3 84,9 8,1 18,5 87,9,4 3,7 131,7 139,4 8,0 9,4 97,8 11, 75,6 143,1 7,4,6 95, e Teilstücke eie vorgegebee Figur zusammezusetze (Puzzle), utersucht werde. A der Utersuchug ehme 90 Patiete mit hirorgaische Schäde teil. Das us iteressierede Merkmal ist die Bearbeitugszeit, die die Versuchspersoe zum Zusammelege der Figur beötige. Tabelle.1 ethält die Bearbeitugszeite der Patiete. Nu überlege wir, durch welche Wert alle Bearbeitugszeite am beste beschriebe werde köe. I der Tat gibt es zu diesem Zweck mehrere Kewerte. Die gebräuchlichste Maße sid der Mittelwert, der Media ud der Modalwert (s. Exkurs. für weitere Maße)..1.1 Mittelwert Der Mittelwert ist das gebräuchlichste Maß zur Kezeichug der zetrale Tedez der Verteilug eies metrische Merkmals. Er wird berechet, idem die Summe aller Werte durch die Azahl der Werte dividiert wird. Die Formel für de Mittelwert lautet x = x i. (.1) Der Mittelwert wird häufig auch arithmetisches Mittel geat. (Exkurs.1 ethält Hiweise für das Reche mit dem Summezeiche Σ.)

2 6 Kapitel Statistische Kewerte Zuächst illustriere wir die Berechug des Mittelwerts mit Hilfe eies Beispiels. BEISPIEL.1 Füf Schüler schreibe ei Diktat im Fach Eglisch. Die Azahl der Orthographiefehler laute: 3, 5, 6, 8, ud 14. Bereche wir u de Mittelwert der Fehler, so ergibt sich x =( )/5 = 36/5 = 7,. Im Durchschitt machte ei Schüler etwa siebe Fehler. Das arithmetische Mittel ist hisichtlich jedes eizele Wertes, welcher i seie Berechug eigeht, sesitiv. Wird ei eizeler Wert der vorliegede Stichprobe verädert, so ädert sich ebefalls der Mittelwert. Diese Eigeschaft ist der Grud, wieso der Mittelwert ei sehr guter Schätzer des Zetrums eier Verteilug ist. Auf der adere Seite birgt diese Sesitivität des Mittels hisichtlich jeder eizele Beobachtug auch die Gefahr, dass das Mittel durch ugewöhliche Beobachtuge stark beeiflusst wird. Solche ugewöhliche Beobachtuge, die oft als Ausreißer oder Extremwerte bezeichet werde, köe aus viele verschiedee Grüde i de Date ethalte sei. Eie mögliche Ursache sid Fehler, die sich i die Berechug eischleiche. So köte es im Beispiel.1 bei der Berechug der durchschittliche Fehlerazahl mit Hilfe eies Tascherechers bei der Eigabe zu eiem Tippfehler komme. Wir ehme folgedes Szeario a: Astatt der Zahl 14 wird versehetlich die Zahl 4 eigegebe. Aufgrud dieses Fehlers lautet die durchschittliche Fehlerzahl u 9,. Dieser Wert ist kei guter Repräsetat der beobachtete Fehler i Beispiel.1 mehr. Eie weitere Eigeschaft des Mittels ist, dass die Summe der Abweichuge vom arithmetische Mittel immer ull ergebe muss, d. h. es gilt für beliebige Werte (x i x)=0. Um diese Aussage herzuleite, wird die Summe der Abweichuge vom Mittel folgedermaße umgeformt: (x i x)= x i x = = x i x i x i x i = 0. Um diese Eigeschaft zu illustriere, bereche wir die Summe der Abweichuge für die Werte des Beispiels.1. Ma erhält (3 7,)+(5 7,)+ +(14 7,) =0. Eie weitere iteressate Eigeschaft des Mittels ist, dass die Summe der quadrierte Abweichuge aller Werte vom Mittel ei Miimum ergibt. Mit adere Worte, sucht ma eie Wert, de wir mit x bezeiche wolle, für de die Summe (x i x) so klei wie möglich wird, so ist icht offesichtlich, wie x gewählt werde muss, um diese Summe zu miimiere. Es lässt sich zeige, dass der Mittelwert diese Bedigug erfüllt. Zum Beweis siehe de Abschitt zur Methode der kleiste Quadrate auf S. 90. BEISPIEL. Auch diese Miimums -Eigeschaft des Mittels soll mit de Werte des Beispiels.1 illustriert werde. Wir bereche dazu die Quadratsumme (x i x).maerhält (3 7,) +(5 7,) + +(14 7,) = 70,8. Ersetzt ma 7, durch eie beliebige adere Wert, so wird die resultierede Quadratsumme auf keie Fall kleier als 70,8(s.Aufgabe.9). BEISPIEL.3 Als zweites umerisches Beispiel für die Berechug des Mittelwertes bestimme wir das Mittel für die Bearbeitugszeite der Tab..1. Die Berechug vo Had ist zwar icht weiter schwierig, aber aufgrud der große Azahl vo Beobachtuge aufwädig. Ma erhält x =(131, ,)/90 = 9619,9/90 = 6,89. Damit beträgt die durchschittliche Bearbeitugszeit des Puzzles etwa 7 Sekude..1. Media Der Media eier Stichprobe vo Werte ist defiiert als der Wert, der größer als 50% der Werte der Stichprobe ist. Der Media kezeichet auf eifache Weise die Mitte der Stichprobewerte, da die Hälfte der Werte kleier ud die adere Hälfte der Werte größer ist als der Media.

3 7 EXKURS.1 Das Reche mit dem Summezeiche Ei i der Statistik häufig beötigtes Operatioszeiche ist das Summezeiche, das durch gekezeichet wird. Uter Verwedug des Summezeiches schreibe wir z. B.: 5 x i = x 1 + x + x 3 + x 4 + x 5. Dabei bedeutet die like Seite der Gleichug: Summe aller x i -Werte für i = 1 bis 5. Der Laufidex i ka durch beliebige adere Buchstabe ersetzt werde. Uterhalb des Summezeiches wird die utere Greze des Laufidex agegebe, oberhalb des Summezeiches steht die obere Greze. Die folgede Beispiele verdeutliche eiige Operatioe mit dem Summezeiche: 4 i= 6 i=3 x i = x 3 + x 4 + x 5 + x 6, x i y i = x y + x 3 y 3 + x 4 y 4, x i = x 1 + x + +x, (x i + a) =(x 1 + a)+ +(x + a) = x i + a, c x i = c x 1 + +c x = c x i, We aus dem Kotext die Greze der zu summierede Werte klar hervorgehe, ka die ausführliche Schreibweise für eie Summatio durch folgede eifachere Schreibweise ersetzt werde: x i = x i. i Häufig sid Date icht ur ach eiem, soder ach mehrere Kriterie gruppiert, sodass eie eideutige Kezeichug ur über mehrere Idizes möglich ist. We beispielsweise p Variable bei Persoe gemesse werde, kezeiche wir die 3. Messug der. Persoe durch x 3 oder allgemei die i-te Messug der m-te Perso durch x mi. Will ma die Summe aller Messwerte der. Perso bestimme, verwede wir folgede Rechevorschrift: p x i = x 1 + x + x 3 + +x p. Die Summe aller Messwerte für die Variable 5 higege lautet: m=1 x m5 = x 15 + x 5 + x x 5. Die Summe der Werte der m-te Perso ermittel wir ach der Beziehug: p x mi = x m1 + x m + +x mp bzw. die Summe aller Werte auf der i-te Variable: m=1 x mi = x 1i + x i + +x i. Solle die Messwerte über alle Persoe ud alle Variable summiert werde, kezeiche wir dies durch ei doppeltes Summezeiche: p x mi. m=1 Etsprechedes gilt für Messwerte, die mehr als zweifach idiziert sid. Die Berechug des Medias wird folgedermaße bewerkstelligt: Zuächst werde die Rohwerte ach ihrer Größe sortiert. Die sortierte Rohwerte bezeichet ma auch als Ordugsstatistik ud schreibt sie als x (1), x (),...,x (). Mit x (1) ist also der kleiste Wert eier Stichprobe gemeit. Gaz aalog bezeichet x () de größte beobachtete Wert. Dagege bezeichet x 1 bzw. x die erste ud die letzte Beobachtug, die i der Stichprobe gemacht wurde. Mit Hilfe der Schreibweise für die sortierte Rohdate ka ma de Media, de wir mit Md abkürze, folgedermaße ausdrücke; dabei muss zwische geradem ud ugeradem Stichprobeumfag uterschiede werde. Es gilt: x Md = ( +1 ) falls ugerade, (x ( ) + x ( +1) ) / falls gerade. BEISPIEL.4 Habe füf Versuchspersoe die Messwerte 5,, 3, 7, ud 8 erhalte, so müsse die Date zuächst sortiert werde. Ma erhält somit, 3, 5, 7, 8. Ma erket, dass die dritte Beobachtug die Rohwerte i zwei gleich große Hälfte teilt. Damit lautet der Media Md = 5. Natürlich ka auch die obige Formel agewedet werde, um de Media zu bestimme. Da die Azahl der Beobachtuge ugerade ist, bestimmt ma zuächst ( + 1)/ = 3.

4 8 Kapitel Statistische Kewerte Somit ergibt sich Md = x (3). Der Media ist also die drittgrößte Beobachtug, die de Wert 5 besitzt. Ist der Stichprobeumfag geradzahlig, so liege zwei Werte i der Mitte der sortierte Messwerte. Wir gehe diesmal vo de sechs Messwerte, 8, 6, 4, 1 ud aus. Wiederum werde diese Werte zuächst ach ihrer Größe sortiert. Ma erhält, 4, 6, 8,, 1. Die beide mittlere Beobachtuge sid 6 ud 8. Der Media wird u als arithmetisches Mittel dieser beide Beobachtuge bestimmt. Also Md =(6 + 8)/ = 7. Wiederum überzeuge wir us, dass die Verwedug der Fomel für de Media zum gleiche Ergebis führt. Da = 6, erhält ma Md =(x (6/) + x (6/+1) )/ =(x (3) + x (4) )/ = 7. Zuächst zwei Bemerkuge zur Defiitio des Medias für eie Stichprobe. Erstes macht das Beispiel deutlich, dass die Defiitio des Medias als der Wert, uter dem die Hälfte der Beobachtuge liegt, ur für gerades sivoll ist. Trotzdem liegt es ahe, de Media für ugerades so festzulege, wie wir dies geta habe, da x ((+1)/) die mittlere Beobachtug ist, welche die Messwerte i zwei gleich große Hälfte teilt. Zweites zeigt das Beispiel, dass der Media icht otwedigerweise eideutig festgelegt ist, de für das Beispiel mit geradem Stichprobeumfag erfüllt jede Zahl zwische 6 ud 8, also zwische x (3) ud x (4), die Bedigug, dass die Hälfte aller Beobachtuge kleier ist. Isofer wäre beispielsweise auch die Werte 6,1, 6,5, 7,3 usw. legitime Stichprobemediae. Trotzdem ist es eie weit verbreitete Kovetio, für gerade de Media als Mittel der beide mittlere Beobachtuge festzulege. Der Media wird im Gegesatz zum Mittelwert icht oder zumidest ur weig vo Ausreißer beeiflusst. Ma ka sich dies klar mache, we ma im Beispiel.4 de größte Wert och weiter erhöht (oder auch de kleiste Wert och weiter verrigert). Weder für eie gerade och für eie ugerade Stichprobeumfag wird dadurch der Media verädert. Der Betrag der Erhöhug (Vermiderug) spielt dabei keie Rolle. Die Robustheit des Medias gegeüber Ausreißer bzw. Extremwerte ist ei icht zu uterschätzeder Vorteil des Medias gegeüber dem Mittelwert. Vermutet ma utypische Beobachtuge i de Date, sollte der Media als Kewert der zetrale Tedez verwedet werde. Eie weitere Eigeschaft des Medias ist, dass die Summe der Abweichugsbeträge vom Media Tabelle.. Sortierte Bearbeitugszeite i Sekude 6,6 64,9 65,3 68,1 69,0 70,0 7,4 73,9 75,6 75,7 76,1 78,8 79,0 80,7 81,5 84,3 84,6 84,9 86,7 87,9 90, 9,4 93,4 93,9 95,1 95, 95,9 96,7 97,8 98,0 98,8 99, 0,4 1,0,4 3,0 3,1 3,4 3,7 5,4 6,0 6, 6,7 7,7 8,0 8,1 9,3 9,4 9,6 1, 1,9 111,7 11, 11,8 11,9 113,4 113,8 114,3 116,4 116,6 118,5 119, 119,7 119,9,6 11,0 1,0 1,7 13,4 14, 14,3 15,5 16,6 17,3 18,5 18,6 19,9 131,7 131,8 134,7 135, 136,1 137,0 139,4 140,3 14,0 143,1 144,8 146,5 148, ei Miimum ergibt. Mit adere Worte, gesucht ist ei Wert x, für de die Summe x i x so klei wie möglich wird. Es lässt sich zeige, dass das Ersetze vo x durch de Media diese Summe miimiert. BEISPIEL.5 Für die 90 Bearbeitugszeite der Tab..1 soll ebefalls der Media berechet werde. Die Berechug vo Had wäre allerdigs aufwädig, da zuächst die Ordugsstatistik also die ach ihrer Größe sortierte Bearbeitugszeite bestimmt werde müsste. Um die Berechug des Medias zu erleichter, sid die sortierte Bearbeitugszeite i Tab.. ethalte. Da der Stichprobeumfag = 90 gerade ist, müsse die beide mittlere Bearbeitugszeite ermittelt werde. Dies sid die 45. ud 46. Beobachtug. Der Media ist also Md = x (45) + x (46) 8,0 + 8,1 = = 8,05. Der Mittelwert für diese Date betrug 6,89. Wie ma erket, ergibt sich für de Media der Bearbeitugszeite ei sehr ählicher Wert. Für dieses Beispiel beträgt der Uterschied zwische de beide Kewerte ur etwas mehr als eie Sekude..1.3 Modalwert Der Modalwert eier Verteilug ist derjeige Messwert, der am häufigste vorkommt. De Modalwert zu bestimme ist also sehr eifach ud bedarf keier Formel. Es muss ur für jede beobachtete Rohwert ausgezählt werde, wie oft er i der Stichprobe vertrete ist. Der Wert mit der größte Häufigkeit ist der Modalwert. Der Modalwert wird i de Sozialwisseschafte kaum verwedet, da sich schell Probleme bei seier Berechug ergebe köe. Beispielsweise sid die Bearbeitugszeite i Tab..1 so geau gemesse worde, dass jeder Wert ur eimal be-

5 9 EXKURS. Weitere Maße der zetrale Tedez Geometrisches Mittel. Werde subjektive Empfidugsstärke gemittelt, ka ma aufgrud psychophysischer Gesetzmäßigkeite zeige, dass die durchschittliche Empfidugsstärke verschiedeer Reize icht durch das arithmetische Mittel, soder besser durch das geometrische Mittel (GM) abgebildet wird. Soll beispielsweise i eiem psychophysische Experimet eie Versuchsperso die durchschittliche Helligkeit vo drei verschiedee Lampe mit de Helligkeite 0 Lux, 400 Lux ud 00 Lux eistelle, erwarte wir, dass die eigestellte durchschittliche Helligkeit icht dem arithmetische Mittel (= 500 Lux), soder dem geometrische Mittel etspricht. Das geometrische Mittel setzt voraus, dass alle Werte positiv sid. Es wird ach folgeder Beziehug berechet: GM = x 1 x x 3 x. Das geometrische Mittel i userem Zahlebeispiel lautet: GM = = 34. Ei wichtiges Awedugsfeld für das geometrische Mittel sid durchschittliche Wachstumsrate wie beispielsweise durchschittliche Umsatzsteigeruge pro Jahr, durchschittliche Veräderuge der Bevölkerugszahle pro Jahr oder durchschittliche Preissteigeruge pro Jahr, wobei die Wachstumsrate als prozetuale Veräderug gegeüber dem Vorjahr defiiert ist (ausführlicher hierzu vgl. z. B. Sixtl, 1993, S. 61 ff.). Harmoisches Mittel. Ei Autofahrer fährt staubedigt 50 km mit eier Geschwidigkeit vo 0 km/h ud daach 50 km mit 15 km/h. Wie lautet die Durchschittsgeschwidigkeit für die Gesamtstrecke vo 0 km? Die vielleicht spota eifallede Atwort (0 km/h + 15 km/h)/ = 7,5km/h ist falsch, de die Durchschittsgeschwidigkeit ergibt sich als Gesamtstrecke/Gesamtzeit. Für die 0 km beötigt der Fahrer 50/0 + 50/15 =,5 + 0,4 =,9 Stude, sodass sich eie Durchschittsgeschwidigkeit vo 0 km/,9 h = 34,48 km/h ergibt. Dieser Wert etspricht dem harmoische Mittel der beide Geschwidigkeite. Die allgemeie Berechugsvorschrift für das harmoische Mittel lautet: HM =. 1 x i Bereche wir das harmoische Mittel für das Beispiel, resultiert 1 0 km/h km/h = 34,48 km/h. Das harmoische Mittel kommt zur Awedug, we Idexzahle (Kilometer pro Stude, Preis pro Liter, Eiwoher pro Quadratkilometer etc.) zu mittel sid ud die Zählervariable (Kilometer, Preis, Eiwoherzahl) kostat ist. Ist die Neervariable (Fahrzeit, Litermege, Flächegröße) kostat, ergibt sich der durchschittliche Idex über das arithmetische Mittel. obachtet worde ist. I eiem solche Fall ist der Modalwert icht defiiert. Des Weitere ist icht ausgeschlosse, dass i eiem Datesatz zwei verschiedee Werte die gleiche maximale Häufigkeit besitze. Sid diese beide Werte icht umittelbar ebeeiader, so liegt eie sog. bimodale Verteilug vor. Auch i diesem Fall ist uklar, wie der Modalwert bestimmt werde sollte. Darüber hiaus hat der Modalwert de Nachteil, dass er über vergleichbare Stichprobe hiweg sehr variabel ist, d. h. sehr uterschiedliche Werte aehme ka. Trotzdem ka es gelegetlich vo Iteresse sei, de häufigste Rohwert eier Stichprobe zu berichte. I diesem Fall ka dies eifach über die Verwedug des Begriffs Modalwert kommuiziert werde. Wir werde de Modalwert mit Mo abkürze.. Maße der Variabilität Ähel sich die Werte zweier Stichprobe hisichtlich ihrer zetrale Tedez, köe sie deoch hisichtlich der Variabilität ihrer Werte stark voeiader abweiche. Währed Maße der zetrale Tedez agebe, welcher Wert die Mitte bzw. das Zetrum aller Werte am beste repräsetiert, iformiere Maße der Variabilität über die Uterschiedlichkeit der Werte. Für die empirische Forschug sid Maße der Variabilität dee der zetrale Tedez ebebürtig. Ei wichtiges allgemeies Forschugsaliege ist die Beatwortug der Frage, wie die bezüglich eies Merkmals agetroffee Uterschiedlichkeit vo Persoe oder adere Utersuchugseiheite erklärt werde ka. Wir stelle z. B. fest, dass Schüler uterschiedlich leistugsfähig sid, dass Patiete auf eie bestimmte Behadlug uterschiedlich gut aspreche, dass Wähler uterschiedliche Parteie präferiere etc. ud suche ach Grüde, die für die Verschiedeartigkeitveratwortlichsei köte. Viele statistische Verfahre zur Überprüfug vo Hypothese trage dazu bei, auf diese Frage eie Atwort zu fide. Das Bemühe, Uterschiedlichkeit erkläre zu wolle, setzt jedoch zuächst voraus, dass sich die i eier Utersuchug festgestellte Uterschiede agemesse beschreibe oder quatifiziere lasse. Hierfür wurde verschiedee Variabilitätsmaße etwickelt.

6 30 Kapitel Statistische Kewerte..1 Variaz Ei wichtiges Maß zur Kezeichug der Variabilität vo Messwerte ist die Variaz, dere Berechug ei metrisches Merkmal voraussetzt. Defiitio.1 Die Variaz eier Stichprobe des Umfags ist defiiert als die Summe der quadrierte Abweichuge aller Messwerte vom arithmetische Mittel, dividiert durch 1. Wir bezeiche die Stichprobevariaz mit s. De Ausdruck 1 werdewirspäter(exkurs8.1) als Freiheitsgrade der Variaz keelere. Wie ma durch de Vergleich mit der Formel (.) erket, ka die Variaz auch als s = QS/( 1) geschriebe werde. BEISPIEL.6 Zur Illustratio wolle wir die Variaz für zwölf Note x i, i = 1,...,1 ermittel. Wir fertige dazu folgedes Recheschema a, wobei die Spaltesumme i der letzte Zeile stehe. Die Berechugsformel der Variaz lautet s = (x i x). (.) 1 Folgede Überlegug führt zu dieser Defiitio der Variaz: Da die Uterschiedlichkeit der Messwerte zum Ausdruck gebracht werde soll, ist es ahe lieged, die Abweichuge der Beobachtuge vom Zetrum der Stichprobewerte zu betrachte. Verwedet ma de Mittelwert, um das Zetrum der Verteilug zu kezeiche, da sid also die Abweichuge (x i x) vo Iteresse. Um eie repräsetative Abweichug zu erhalte, mag ma auf die Idee komme, diese Abweichuge zu mittel. Allerdigs führt dies icht zu eiem geeigete Variabilitätsmaß, da die Abweichuge sowohl positiv als auch egativ sid ud sich somit wechselseitig elimiiere. Um die Abweichuge vo ihrem Vorzeiche zu befreie, ka ma sie quadriere oder eifach dere Betrag verwede. A dieser Stelle verfolge wir de erste Vorschlag ud betrachte die quadrierte Abweichuge. Da ei eizeler Kewert zur Kezeichug der Variabilität aus de Stichprobewerte errechet werde soll, werde die quadrierte Abweichuge summiert, d. h. wir bereche die Quadratsumme QS = (x i x). (.3) Die Quadratsumme ist immer positiv ud steigt mit zuehmede Abweichuge vom Mittel a. Dies sid Eigeschafte, die ei geeigetes Maß der Variabilität erfülle sollte. Die Quadratsumme hat aber de Nachteil, dass sie auch vom Stichprobeumfag abhägt, weswege sie am Stichprobeumfag relativiert werde sollte. Am aheliegedste ist es, die Quadratsumme durch de Stichprobeumfag zu dividiere. Aus Grüde, dere Erläuterug a dieser Stelle zu weit gehe würde, dividiert ma statt desse durch 1. x i x i x (x i x) 3,3 0,8 0,64 1,7 0,8 0,64,0 0,5 0,5 4,0 1,5,5 1,3 1, 1,44,0 0,5 0,5 3,0 0,5 0,5,7 0, 0,04 3,7 1, 1,44,3 0, 0,04 1,7 0,8 0,64,3 0, 0,04 30,0 7,9 Da die Summe der zwölf Note 30,0 beträgt, ergibt sich für de Mittelwert x =,5. Die erste Abweichug lautet somit 3,3,5 = 0,8. Quadriere wir diese Abweichug, resultiert der Wert 0,64. Wie ma der letzte Zeile des Recheschemas etimmt, beträgt die Summe aller quadrierte Abweichuge 7,9. Damit ergibt sich für die Variaz der Wert s = QS 1 = 7,9 11 = 0,7. Für die Berechug der Quadratsumme ist folgede Formel oft hilfreich, da sie icht die vorherige Berechug des Mittels voraussetzt: QS = x i ( x i ) /. (.4) Wie wird die Variaz iterpretiert? Die Iterpretatio wird dadurch erschwert, dass die Variaz durch das Quadriere icht mehr die Eiheite der Messwerte besitzt. Die Stichprobevariaz vo 0,7 aus Beispiel.6 lässt sich deshalb icht auf die Noteskala beziehe. Ei Maß der Variabilität, welches sich direkt aus der Variaz ableitet, das aber keie Schwierigkeite bei der Iterpretatio bereitet, ist die Stadardabweichug.

7 31.. Stadardabweichug Mit der Variaz habe wir ei Maß, dem durch die Quadrierug der idividuelle Abweichuge das Quadrat der ursprügliche Eiheit der Messwerte zugrude liegt. Da ei solches Maß ur schwer iterpretierbar ist, wird die Quadrierug wieder rückgägig gemacht, idem ma die Wurzel der Variaz berechet. Der so ermittelte Wert wird als Stadardabweichug s bezeichet. Die Stadardabweichug bereche wir also als s = s. (.5) Gelegetlich wird die Stadardabweichug auch als Streuug bezeichet. Allerdigs wird der Begriff Streuug auch syoym mit Variabilität verwedet, sodass seie Verwedug missverstädlichseiköte. BEISPIEL.7 Um auch die Berechug der Stadardabweichug umerisch zu zeige, greife wir das Beispiel.6 ereut auf. Dort hatte wir die Variaz vo zwölf Notewerte berechet. Wir erhielte s = 0,7. Die Stadardabweichug der Notewerte lautet somit s = 0,7 = 0,85. Die Stadardabweichug drückt die Variabilität der beobachtete Werte auf der Noteskala aus. Da die Stadardabweichug die gleiche Eiheit wie die Messwerte besitzt, ka ihre Größe direkt mit de Messwerte i Beziehug gesetzt werde. Dabei ka die Stadardabweichug wie der Name scho suggeriert als eie repräsetative Abweichug vom Zetrum der Verteilug iterpretiert werde. Für die Date des Beispiels.6 errechete wir x =,5 ud s = 0,85. Damit köe wir sage, dass die Abweichuge vom Notedurchschitt etwa 0,85 betrage. Dies darf atürlich icht so iterpretiert werde, dass alle Abweichuge diese Wert besitze. Die Beträge der Abweichuge werde sowohl über als auch uter dem Wert 0,85 liege. Isofer ist die Stadardabweichug ei Maß, mit dem die Größe der Abweichuge gut repräsetiert wird. Geauere Aussage sid allerdigs ohe zusätzliche Aahme icht möglich. Wir werde aber auf die Iterpretatio der Stadardabweichug später im Zusammehag mit ormalverteilte Merkmale zurückkomme. Die Stadardabweichug sowie die Variaz sid die mit Abstad populärste Maße der Variabilität. Obwohl die Variaz icht eifach i Bezug zu de Messwerte zu iterpretiere ist, ist sie doch für die Statistik vo großer Bedeutug, da sie im Rahme vieler Aalyseverfahre i Ateile zerlegt wird, aus dere relativer Größe wichtige Schlussfolgeruge gezoge werde köe. Trotz der große Popularität vo Variaz ud Stadardabweichug gibt es zahlreiche adere Maße der Variabilität, vo dee eiige kurz besproche werde solle...3 AD-Streuug Im Zusammehag mit der Variaz bzw. der Stadardabweichug hatte wir erläutert, dass Abweichuge vom Mittel zwar idikativ für die Variabilität der Date sid, aber dere Summierug icht zielführed ist, da die uterschiedliche Vorzeiche der Abweichuge dazu führe, dass sie sich gegeseitig ausgleiche. Wir hatte deshalb die Vorzeiche durch Quadriere der Abweichuge elimiiert. Das Vorzeiche lässt sich jedoch auch eifach dadurch elimiiere, dass ma die Beträge der Abweichuge betrachtet. Mittelt ma die Abweichugsbeträge, so erhält ma die sog. AD-Streuug ( average deviatio ). Sie brigt de Durchschitt der i Absolutbeträge gemessee Abweichuge aller Messwerte vom arithmetische Mittel zum Ausdruck. Als Formel geschriebe: AD = ( x i x ). (.6) BEISPIEL.8 Um die Berechug der AD-Streuug zu illustriere, greife wir auf die Date i Beispiel.6 zurück. Dort wurde die Examesote vo zölf Prüflige betrachtet ud dere Abweichuge vom Mittelwert bereits berechet. Wir gebe die Date hier och eimal wieder. x i x i x 3,3 0,8 1,7 0,8,0 0,5 4,0 1,5 1,3 1,,0 0,5 3,0 0,5,7 0, 3,7 1,,3 0, 1,7 0,8,3 0, 30,0 8,4

8 3 Kapitel Statistische Kewerte Die Summe der Abweichugsbeträge beträgt also 8,4. Damit ergibt sich AD = 8,4 1 = 0,70. Die durchschittliche Abweichug vom Mittel beträgt somit 0,70 Notepukte...4 Variatiosbreite Das eifachste Variabilitätsmaß ist die Variatiosbreite, der etomme werde ka, wie groß der Bereich ist, i dem sich die Messwerte befide. Die Variatiosbreite ermittelt ma, idem ma die Differez aus dem größte ud kleiste Wert bildet, d. h. x () x (1). Die Variatiosbreite wird häufig auch mit dem eglische Wort Rage bezeichet. Für die Beispieldate aus Tab..1 laute die kürzeste bzw. lägste Bearbeitugszeit 6,6 s ud 148, s. Somit ist die Variatiosbreite 148,s 6,6s= 85,6s. Die Variatiosbreite als Maß der Variabilität ist sehr sesitiv gegeüber Ausreißer, da scho ei eizeler extremer Wert die Variatiosbreite erheblich vergrößer ka...5 Iterquartilbereich Die Variatiosbreite ist kei sehr ützliches Maß zur Charakterisierug der Variabilität, da sie stark durch Ausreißer beeiflusst wird. Stabiler sid eigeschräkte Streubereiche, bei dee ei gewisser Prozetsatz der größte ud kleiste Beobachtuge icht berücksichtigt wird. Beispielsweise köte ma de Bereich kezeiche, i dem sich die mittlere 50% eier Verteilug befide. Dies lässt sich bewerkstellige, idem eie Messwertreihe mit Hilfe des Medias i zwei gleich große Hälfte geteilt wird, wobei i der eie Hälfte alle Werte kleier als der Media ethalte sid ud die adere Hälfte die Werte größer als der Media ethält. We wir u de Media der Werte bereche, welche uterhalb des Medias liege, so dürfe wir erwarte, dass wir eie Wert erhalte, uter dem etwa 5% der Beobachtuge liege. De so ermittelte Wert et ma utere Agelpukt Q 1. Gaz aalog kezeichet der Media aller Messwerte über dem Media de Wert, über dem etwa 5% der Beobachtuge liege. Diese ist der obere Agelpukt Q 3. Der Media etspricht Q. Gelegetlich werde die Agelpukte auch ach ihrem Erfider als Tukey-Agelpukte bezeichet (Tukey, 1977). Die eglische Bezeichug für Agelpukte ist Hige. Ei Variabilitätsmaß, welches sich robust gegeüber Ausreißer verhält, ist der Abstad der Agelpukte, welcher auch als Iterquartilbereich bezeichet wird. Der Iterquartilbereich ist also IQR = Q 3 Q 1. Der IQR drückt die Läge des Bereichs aus, über de die mittlere 50% eier Rohwerteverteilug streue. Das Akroym IQR steht für die eglische Bezeichug Iter-Quartile-Rage. Wie werde die Agelpuke u kokret berechet? Zuächst werde die Rohdate ach ihrer Größe sortiert ud der Media bestimmt. Um de utere Agelpukt zu bestimme, wird ei euer Datesatz gebildet, der die Hälfte der sortierte Date umfasst. Ud zwar sid dies die Werte: x (1), x (),...,x (m). Bei geradem Stichprobeumfag ist m = / ud bei ugeradem ist m =( + 1)/. Der utere Agelpukt Q 1 ist der Media dieses Datesatzes. Der obere Agelpukt wird gaz aalog berechet d. h., es wird der Datesatz x (m), x (m+1),...,x () gebildet. Der obere Agelpukt Q 3 ist der Media dieses Datesatzes. BEISPIEL.9 Für die Bearbeitugszeite, die i Tab.. bereits sortiert vorliege, lasse sich die Agelpukte direkt aus der Tabelle ablese. Da der Stichprobeumfag mit = 90 gerade ist, muss ma, um Q 1 zu erhalte, ur de Media der 45 kleiste Beobachtuge bestimme. Mit adere Worte Q 1 = x (3). Gaz aalog ergibt sich Q 3 = x (68). Liest ma die Werte aus Tab.. ab, so erhält ma Q 1 = 93,4sudQ 3 = 1,7s.Somit beträgt der Iterquartilbereich IQR = 1,7s 93,4s= 9,3s. Die mittlere 50% der Bearbeitugszeite streue also über eie Bereich vo fast 30 s. Eie weiterführede Diskussio der Agelpukte sowie verwadter Kewerte fidet ma bei Hoagli (1983).

9 33..6 MAD Da der Mittelwert icht robust gegeüber Ausreißer ist, liegt es ahe, Abweichuge vom Media zu betrachte. Wiederum elimiiere wir das Vorzeiche der Abweichuge, idem wir die Beträge betrachte, also x i Md, füri = 1,...,. Der Media dieser Abweichugsbeträge wird MAD geat. Das MAD-Maß ist also der Media der absolute Abweichuge vom Media, wobei MAD die Abkürzug für media absolut deviatio from the media ist. Als Formel wird es folgedermaße geschriebe: MAD = Md( x Md ). BEISPIEL. Auch die MAD-Streuug soll a eiem Beispiel verdeutlicht werde. Dazu greife wir ereut die Date auf, welche bereits i de Beispiele.6 ud.8 verwedet wurde. Die Notewerte sid i folgeder Übersicht ethalte. x i x i Md 3,3 1,0 1,7 0,6,0 0,3 4,0 1,7 1,3 1,0,0 0,3 3,0 0,7,7 0,4 3,7 1,4,3 0,0 1,7 0,6,3 0,0 Der Media der zwölf Notepukte beträgt,3. Für die absolute Abweichug vom Media ergibt sich beispielsweise für de erste Wert 3,3,3 = 1,0. Alle absolute Abweichuge sid ebefalls i der obe dargestellte Tabelle ethalte. Berechet ma de Media, idem ma die absolute Abweichuge zuerst sortiert ud da aufgrud des gerade Stichprobeumfags das Mittel der beide mittlere Abweichuge berechet, so erhält ma MAD = 0,6. Dieser Wert ist der AD- Streuug, für die wir 0,7 berechete, sehr ählich. Weitere Iformatioe zum MAD-Maß fidet ma bei Maroa et al. (006)..3 Stichprobeperzetile Perzetile sid Kewerte, die i viele Kotexte der Statistik eie Rolle spiele. Ei Perzetil brigt die relative Positio eies Messwertes ierhalb der Stichprobe zum Ausdruck. Wie die folgede Defiitio erläutert, bezieht sich ei Perzetil immer auf eie vorgegebee Prozetsatz. Defiitio. Stichprobeperzetil. Das Perzetil eier Stichprobe x p ist der Messwert, uter dem p-prozet der Werte i der Stichprobe liege. Beispielsweise bezeichet x 30% de Wert, uterhalb dem 30% der Stichprobe liege, ud x 50% bezeichet de Wert, uterhalb dem 50% der Stichprobe liege. Isofer etspricht x 50% dem Media. Perzetile köe verwedet werde, um Bereiche zu kezeiche, i dee ei bestimmter Prozetsatz der Stichprobe liegt. Oftmals wird dabei die Stichprobe i gleich große Ateile zerlegt. Beispielsweise sid die drei Perzetile x 5%, x 50% ud x 75% diejeige Werte, welche die Stichprobe i vier gleich große Ateile zerlege. Ma spricht deshalb auch vo Quartile bzw. dem erste, zweite ud dritte Quartil. (De obe besprochee utere bzw. obere Agelpukt bezeichet ma auch als erstes bzw. drittes Pseudo- Quartil.) Gaz aalog werde die eu Perzetile x %, x 0%,...,x 90% auch Dezile geat. Viele Autore verwede astelle des Begriffs Perzetil de Begriff Quatil. Die praktische Berechug vo Perzetile wird dadurch erschwert, dass es icht ur eie eizige Berechugsvorschrift gibt. Dies liegt dara, dass es eier Kovetio bedarf, um Perzetile für eie beliebige Prozetagabe bestimme zu köe, es aber keie allgemei aerkate beste Kovetio dafür gibt. Dass die Bestimmug vo Perzetile für Stichprobedate oft icht eideutig möglich ist, hatte wir scho im Zusammehag mit dem Media gesehe, der für eie gerade Azahl vo Beobachtuge als arithmetisches Mittel der beide Werte x (/) ud x (/+1) defiiert wurde. Natürlich liegt diese Defiitio ahe, trotzdem köte aber jeder Wert im Itervall zwische x (/) ud x (/+1) geauso gut als Media verwedet werde. Der Media ist also für gerades icht eideutig bestimmt ud wird erst durch die Festlegug eier Berechugsvorschrift eideutig bestimmbar. Als zweites Beispiel stelle ma sich eie Stichprobe vor, welche zeh Werte umfasst, wobei wir zur Vereifachug aehme, dass jeder Wert ur eimal aufgetrete ist. Frage wir beispielsweise ach x %, so köte ma eie beliebige Wert wähle, der zwische de beide kleiste be-

10 34 Kapitel Statistische Kewerte obachtete Werte liegt, also zwische x (1) ud x (). Dieser Wert hätte die Eigeschaft, dass geau % der Werte kleier ud 90% der Werte größer als dieser Wert wäre. Aber wie lasse sich x 11%, x 1%,... sivoll festlege? Hierzu bedarf es wiederum eier Kovetio. Eie ahe liegede Vorgehesweise, um Perzetile für beliebige Prozetateile bestimme zu köe, ist die lieare Iterpolatio. Wir illustriere de Grudgedake mit eiem Beispiel. BEISPIEL.11 Nehme wir a, es liegt eie Stichprobe vo eu Testwerte vor, die mit Hilfe eies Frageboges, der 0 Ja-Nei Frage ethält, ermittelt wurde. Jede Ja-Atwort wird dabei als ei Pukt gewertet. Die folgede eu Werte wurde beobachtet, wobei die Testwerte bereits ach ihrer Größe sortiert wurde:, 3, 5, 9,, 1, 14, 15, 19. Wir betrachte u die Abb..1, i der die ach Größe sortierte Messwerte gege die Stützstelle p k = k/( + 1) abgetrage sid. Da usere Stichprobe eu Werte umfasst, sid die eu Stützstelle die Werte 0,1, 0,,...0,9. Die so festgelegte Pukte der Abbildug werde u durch Geradesegmete (lieare Iterpolatio) miteiader verbude. Mit Hilfe dieser Abbildug ka ma für eie beliebige auf der Abszisse wählbare Ateil das etsprechede Perzetil ablese. Beispielsweise lasse sich die drei Quartile ahad der Abbildug bestimme. Ma erhält: x 5% = 4, x 50% = ud x 75% = 14,5. x 5% ud x 75% sid icht otwedigerweise mit de obe dargestellte Agelpukte Q 1 ud Q 3 idetisch. Trotzdem gilt gaz allgemei: x 5% Q 1 ud x 75% Q 3. Berechet ma die Agelpukte, so erhält ma Q 1 = 5udQ 3 = 14. Testpukte Ateil Abbildug.1. Lieare Iterpolatio zwische de sortierte Testpukte 1 Die uterschiedliche Kovetioe, Perzetile liear zu iterpoliere, uterscheide sich hauptsächlich i der Wahl der Stützstelle p k,diezur Iterpolatio beötigt werde. Detaillierte Iformatio zur Wahl der Stützstelle p k fidet ma bei Hydma ud Fa (1996). SOFTWAREHINWEIS.1 Die Berechug der Perzetile mit Hilfe vo liearer Iterpolatio ist relativ mühsam, sodass ei Statistikprogramm dafür verwedet werde sollte. I diesem Zusammehag ist vo Iteresse, welche Wahl der Stützstelle p k durch das Programm getroffe wird bzw. welche Möglichkeite der Auswahl zur Verfügug stehe. Die im obige Beispiel gewählte Stützstelle p k = k/(+1) etspreche der Default-Eistellug (HAVERAGE) der SPSS- Prozedur EXAMINE. I der R-Fuktio quatile() ka die Wahl der Stützstelle über de type -Parameter beeiflusst werde. Ma erhält das obige Ergebis für type=6. BEISPIEL.1 Berechet ma mit SPSS für die Date aus Tab..1 die Perzetile x 5%, x %,...so erhält ma die folgede Ergebisse: Prozet Perzetil 5 68,595 75,6 5 93, , , , ,495 Wir wolle eies der Perzetile zur Illustratio mit Hilfe liearer Iterpolatio achreche. Wir greife willkürlich x 5% heraus. Für eie Stichprobeumfag vo = 90 gibt es keie Messwert, uter dem geau 5% der Beobachtuge liege. Wiederum gehe wir vo de Stützstelle p k = k/( + 1) aus, wobei k = 1,...,90, da die geate Werte mit Hilfe der Default-Eistellug vo SPSS produziert wurde. Berechet ma die Stützstelle für k = 1,, 3, 4, 5, so erket ma, dass 5% zwische p 4 = 4/91 = 0,044 ud p 5 = 5/91 = 0,055 liegt. Aus de sortierte Bearbeitugszeite ergibt sich, dass die viert- ud füftschellste Bearbeitugszeit 68,1 s ud 69,0 s betrage. Die Steigug der Gerade, ahad der liear iterpoliertwird,beträgtsomit b = x (5) x (4) 69,0 68,1 = p 5 p 4 (5/91) (4/91) = 81,9. Nu erhält ma das gesuchte 5%-Perzetil, idem ma folgede Ausdruck berechet: x 5% = b (0,05 p 4 )+x (4) = 81,9 (0,05 4/91)+68,1 = 68,595. Das Ergebis etspricht geau dem am Afag des Beispiels geate Wert.

11 35.4 Trasformierte Messwerte.4.1 Kewerte trasformierter Messwerte Häufig werde aus de beobachtete Messwerte eue Werte berechet. Wir frage deshalb, i welcher Beziehug die Kewerte der trasformierte Werte, welche wir mit y bezeiche, zu de Kewerte der ursprügliche x-werte stehe. Zu forder ist, dass sich die Kewerte der y-werte auf sivolle Weise aus de Kewerte der x-werte ergebe. Dies ist z. B. für de Mittelwert der Fall. We zu jedem x-rohwert die gleiche Kostate a addiert wird, so erwarte wir, dass sich auch der Mittelwert um diese Kostate ädert. Dies ist i der Tat der Fall. Mit adere Worte, das Mittel der Werte x 1 + a,...,x + a beträgt x+a. Des Weitere ist zu forder, dass sich durch die Multiplikatio der Messwerte mit eier Kostate b der Mittelwert der trasformierte Messwerte um de gleiche Faktor verädert. Mit adere Worte, das Mittel vo b x 1,...,b x beträgt b x. Beide Ergebisse ka ma i folgeder Formel zusammefasse: Trasformiert ma x-werte liear mit Hilfe der Gleichug y i = a+b x i, so lässt sich das Mittel der trasformierte Werte mit Hilfe der Beziehug ȳ = a + b x (.7) bestimme. Nu wolle wir frage, wie sich die Variaz durch eie additive Kostate verädert. Wird zu jedem x-wert eie Kostate a addiert, so erhöht dies die Variabilität der Messwerte icht. Mit adere Worte, die Variaz der trasformierte Werte ist idetisch mit der Variaz der x-werte. Werde die x-werte dagege alle mit der Kostate b multipliziert, so verädert dies die Variabilität der Date, sobald b 1. Udzwarbesitzt die Variaz der Werte b x 1,...,b x de Wert b s x. Wiederum ka ma beide Ergebisse i eier Formel zusammefasse: Trasformiert ma x-werte liear mit Hilfe der Gleichug y i = a+b x i, so lässt sich die Variaz der trasformierte Werte mit Hilfe der Beziehug s y = b s x (.8) bestimme. Für die Stadardabweichug der y- Werte ergibt sich die Beziehug s y = b s x. (.9).4. z-trasformatio Gelegetlich steht ma vor der Aufgabe, de Testwert eier Perso mit de Testwerte aderer Persoe i Beziehug zu setze, um zu beurteile, ob es sich bei diesem Wert um eie hohe bzw. iedrige Wert hadelt. Im Alltag verwede wir oft de Mittelwert als Referezpukt ud bezeiche eie Wert als über- oder uterdurchschittlich. Um zu geauere Aussage zu gelage, köte ma die Dezile bestimme ud da feststelle, zwische welche Dezile sich der Testwert der Perso befidet. Allerdigs wird häufig ei aderes Vorgehe gewählt, das de Mittelwert sowie die Stadardabweichug der Stichprobe verwedet, um de Testwert zu trasformiere. Es hadelt sich dabei um die z-trasformatio. Zuächst betrachte wir wieder die Abweichug vom Mittel, wobei diesmal das Vorzeiche der Abweichug vo Bedeutug ist, da es erkee lässt, ob der Wert über- bzw. uterdurchschittlich ist. Beispielsweise möge die Körpergröße eier mäliche Perso 190 cm betrage. We die durchschittliche Größe der mäliche Persoe i der Stichprobe 175 cm beträgt, so etspricht die Abweichug vom Mittel +15 cm. Da wir mit de Eiheite des Lägemaßes vertraut sid, ist diese Aussage bereits iformativ. Allerdigs dürfte es icht leicht falle, zu beurteile, ob diese Abweichug gewöhlich ist. Dies wäre da der Fall, we viele Persoe um 15 cm oder mehr vom Mittel abweiche würde. Es wäre auch möglich, dass eie Abweichug vo 15 cm im Vergleich zu de adere Stichprobewerte bereits so groß ist, dass wir sie als Ausreißer betrachte sollte. Da wir durch die Maße der Variabilität repräsetative Abweichuge leicht bestimme köe, liegt es ahe, die Abweichug vom Mittel a eiem Maß für die Variabilität der Werte zu relativiere. Die sog. z-werte erhält ma, idem ma die Abweichug vom Mittel a der Stadardabweichug relativiert. Ma berechet also z = x x. (.) s

12 36 Kapitel Statistische Kewerte Defiitio.3 z-trasformatio. Das Umreche des Rohwertes x i de z-wert mit Hilfe vo Gl. (.) wird auch z- Trasformatio geat. Somit gibt der z-wert a, um wie viele Stadardabweichuge ei Rohwert uter bzw. über dem Mittelwert liegt. Habe wir i der Stichprobe mälicher Persoe, dere Körpergröße ermittelt wurde, eie Stadardabweichug vo 15 errechet, so köe wir de z-wert eier Perso mit eier Größe vo 190 cm bereche. Wir erhalte 190 cm 175 cm z = = cm Der z-wert dieser Perso beträgt also 1,0. Dies bedeutet, dass ihr Rohwert de Mittelwert um die Läge eier Stadardabweichug übersteigt. Da es sich bei der Stadardabweichug wie der Name scho sagt um eie repräsetative Abweichug hadelt, ist eie Größe vo 190 cm sicherlich och kei extrem großer Wert im Vergleich zu de adere Körpergröße, die sich i der Stichprobe befide. Ei z-wert vo 0,0 etspricht eier durchschittliche Ausprägug des Rohwertes. Ei egativer z-wert zeigt eie uterdurchschittliche Rohwert a. Wie ma a dem Beispiel gut erkee ka, besitze z-werte icht mehr die Eiheite der Rohwerte. Sie sid also dimesioslose Zahle. I Aufgabe.7 überlege wir us, weshalb für z-werte folgede Aussage gilt: z-trasformierte Werte habe eie Mittelwert vo 0 ud eie Stadardabweichug vo 1. zu uterschiedliche Jahrgäge gehöre. Selbst we beide Persoe die gleiche Note erhielte, ist icht auszuschließe, dass die Examesbediguge beim ältere Jahrgag eifacher (oder schwerer) ware, sodass die beide Leistuge icht ohe Weiteres gleichgesetzt werde köe. Mit Hilfe der z-trasformatiolassesichdiewerteabervergleichbar mache.. Die Grade der relative Merkmalsausprägug zweier Merkmale eier Perso solle miteiader vergliche werde. So köte ma für jede Perso icht ur die Körpergröße, soder auch dere Gewicht i Kilogramm ermittel. Da beide Variable uterschiedliche Eiheite besitze, lasse sie sich icht direkt vergleiche. Durch die z-trasformatio wird die relative Positio eier Perso aber dimesioslos zum Ausdruck gebracht, sodass der Vergleich durch z-werte sivoll ist. Hätte eie Perso z. B. sowohl für das Merkmal Körpergröße als auch für das Merkmal Gewicht eie z-wert vo 1,0, so köte wir us zumidest ei ugefähres Bild vo der Perso mache, de sie wäre i vergleichbarem Ausmaß überdurchschittlich groß ud schwer. Es hadelte sich also um eie große Perso, bei der das Verhältis vo Größe zu Gewicht aber ormal sei dürfte.wiesäheeieperso aus, dere Körpergröße eiem z-wert vo 1,0 etspricht, aber dere Körpergewicht eiem z-wert vo 1,0 etspräche? Diese Perso wäre überdurschittlich groß, hätte aber ei uterdurchschittliches Gewicht. Es müsste sich also um eie große, schlake Perso hadel. ÜBUNGSAUFGABEN BEISPIEL.13 Im Beispiel.6 hatte wir zwölf Notewerte betrachtet, für die wir bereits Mittel ud Stadardabweichug bestimmt habe. Wir ermittelte x =,5 uds = 0,85. Mit Hilfe dieser Werte bestimme wir u de z-wert der erste Perso, für die eie Note vo 3,3 berichtet wurde. Wir erhalte 3,3,5 z = = 0,94. 0,85 Da der z-wert dieser Perso 0,94 beträgt, ist die Note um fast eie Stadardabweichug höher als der Durchschitt. Folgede Aweduge für z-werte sid weit verbreitet: 1. Es solle die Werte zweier Persoe vergliche werde, die zu uterschiedliche Stichprobe bzw. Gruppe gehöre. Beispielsweise möchte ma die Examesote zweier Persoe vergleiche, die Summezeiche Aufgabe.1 Gegebe sid die füf Werte x 1 = 1, x = 4, x 3 = 5, x 4 = 8, x 5 =. Bereche Sie folgede Summe: a) 5 x i,b) 5 x i,c)(5 x i),d) 5 i= x i,e) 5 x i +5, f) 5 (x i+5), g) 5 (x i), h) 4 i= (x i+i ) ud i) 5 (x 3+ i ). Aufgabe. Forme Sie folgede Ausdrücke um: a) (x i + a), b) bx i ud c) 1/ (a + bx i). Statistische Kewerte Aufgabe.3 Bei eier Erhebug der Itelligez vo 0 Studete falle folgede Werte a:

13 37 Bereche Sie: a) Mittelwert, Media ud Modalwert b) QS, Variaz ud Stadardabweichug c) AD-Streuug d) MAD-Streuug e) beide Tukey-Agelpukte sowie de IQR Trasformatioe Aufgabe.4 Füf Persoe bearbeite eie psychologische Test. Es trete folgede Messwerte auf: x 1 = 80, x = 70, x 3 = 60, x 4 = 50 ud x 5 = 40. a) Bereche Sie Mittelwert ud Stadardabweichug. b) Stadardisiere Sie die Testwerte mit Hilfe der z- Trasformatio. c) Bereche Sie Mittelwert ud Stadardabweichug der z-werte. Aufgabe.5 Eie Reihe vo Messwerte besitzt eie Mittelwert vo ud eie Stadardabweichug vo 3. Die Messwerte werde ahad der Gleichug y = 4 x+5 trasformiert. Bereche Sie a) ȳ, b)s y ud c) s y. Aufgabe.6 Zeige Sie, dass der Mittelwert eier Stichprobe vo x-werte mit dem Mittelwert der durch die Trasformatio y = b x+a gewoee y-werte i der Beziehug ȳ = b x + a steht. Aufgabe.7 Zeige Sie, dass für z-trasformierte Werte gilt: z = 0 ud s z = 1,0, wobeis z die Stadardabweichug der z-werte bezeichet. Verschiedees Aufgabe.8 Eie Möglichkeit die Quadratsumme vo Werte zu bereche, ist durch folgede Formel gegebe: QS = 1 i<j(x i x j ). Die Summatio erfolgt über alle mögliche Wertepaare, wobei jedes Paar ur eimal berücksichtigt wird. Bereche Sie zuächst die Quadratsumme der füf Werte 1,, 3, 4, 5 mit Hilfe der Formel (.3). Überprüfe Sie da das Ergebis mit der obe agegebee Formel. Aufgabe.9 Um die kleiste-quadrate Eigeschaft des Mittels zu illustriere, bereche ma für die i Beispiel.1 ethaltee Fehlerzahle (3, 5, 6, 8 ud 14) die Quadratsumme (x i x), i wobei für x die Werte a) 7,1, b)7,, c)7,3, d)7,4 ud e) 7,5 eizusetze sid.

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