Statistik I für Studierende der Soziologie

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1 Name: Matrikelummer: Formelsammlug zur Vorlesug Statistik I für Studierede der Soziologie Dr. Caroli Strobl & Gero Walter WS 2008/09 1 Eiführug 1.1 Orgaisatorisches 1.2 Grudbegriffe Statistische Eiheite ud Gesamtheite Statistische Eiheite: Objekte a dee iteressierede Größe erhobe werde. Grudgesamtheit: Die Mege aller für eie bestimmte Fragestellug relevate statistische Eiheite heißt Grudgesamtheit (Uiversum, Populatio) Merkmale ud Merkmalsauspräguge Merkmale: Eigeschafte der Eiheite heiße Merkmale (Variable). Ausprägug eies Merkmals für eie kokret vorliegede sta- Merkmalsauspräguge: tistische Eiheit. Wertebereich: Alle prizipiell mögliche Auspräguge eies Merkmals. 1

2 1. Eiführug 2 Notatio: Merkmale werde typischerweise mit Großbuchstabe bezeichet (X, Y, Z, etc.), Auspräguge mit dem zugehörige Kleibuchstabe (x, y, z). Der Wertebereich wird mit W bezeichet. Formal ist jedes Merkmal eie Fuktio X : Ω W ω X(ω) Merkmalstype Stetige, quasi-stetige ud diskrete Merkmale Skaleiveaus Nomialskala, Oridalskala, Itervallskala, Ratioskala / Verhältisskala. Zulässige Traformatioe: Trasformatio Nomialskala eieideutige Ordialskala streg mootoe Itervallskala lieare (a + bx; b > 0) Verhältisskala liear affie (bx; b > 0) Qualitative ud quatitative Merkmale Erhebugsforme Experimet vs. Beobachtugsdate Vollerhebug vs. Stichprobe Auswahltechike: Eifache Zufallsstichprobe, Klumpestichprobe, Geschichtete Stichprobe.

3 2. Häufigkeitsverteiluge 3 Studietype: Querschittsstudie, Zeitreihe Logitudial- / Paeldate. Aalysearte: Primärerhebug / -aalyse, Sekudäraalyse, Tertiäraalyse, Metaaalyse. 2 Häufigkeitsverteiluge Ausgagssituatio: A Eiheite ω 1,..., ω sei das Merkmal X beobachtet worde. Die verschiedee Merkmalsauspräguge werde mit a 1,..., a k bezeichet. 2.1 Häufigkeite Absolute Häufigkeite der Merkmalsauspräguge: Für jedes a j, j = 1,..., k, bezeiche h j ud h(a j ) die absolute Häufigkeit der Ausprägug a j, d.h. die Azahl der x i aus x 1,..., x mit x i = a j. Formal: h j := h(a j ) := {ω Ω X(ω) = a j }. h 1, h 2,..., h k (als Gazes) et ma die absolute Häufigkeitsverteilug. Es gilt h j =. Relative Häufigkeite der Merkmalsauspräguge: Für jedes a j, j = 1,..., k, bezeiche f j ud f(a j ) die relative Häufigkeit der Ausprägug a j, also f j := f(a j ) := h j. f 1, f 2,..., f k et ma die relative Häufigkeitsverteilug.

4 2. Häufigkeitsverteiluge 4 Es gilt f j = 1. Häufigkeitstabelle: j a j h j f j 1 a 1 h 1 f 1 2 a 2 h 2 f 2 3 a 3 h 3 f 3.. k a k h k f k Grafische Darstellug Stabdiagramm Säulediagramm Balkediagramm Kreisdiagramm: Der Kreis wird i Segmete uterteilt, dee jeweils eie Ausprägug (oder Klasse) zugeordet wird. Der jeweilige Wikel ist proportioal zur Häufigkeit. Berechug: Wikel des Kreissektors j = relative Häufigkeit 360 Stamm-Blatt-Diagramm 2.3 Histogramm Gegebe: Urliste x 1,..., x eies (midestes) itervallskalierte Merkmals. Wähle c 0 mi,..., (x i ) ud c k max,..., (x i ) Bilde Klasseeiteilug [c 0, c 1 ), [c 1, c 2 ),..., [c k 1, c k ]. Für jede Klasse [c j 1, c j ), j = 1,..., k sei d j = c j c j 1 die Breite des j-te Itervalls ud h j bzw. f j die absolute bzw. relative Häufigkeit i der j-te Klasse.

5 2. Häufigkeitsverteiluge 5 Zeiche über jedem Itervall ei Rechteck der Breite d j so, dass die Fläche proportioal zu f j ud h j ist. Das Histogramm ist flächetreu. Type vo Häufigkeitsverteiluge Uimodale ud multimodale Verteiluge. Symmetrie ud Schiefe. 2.4 Kumulierte Häufigkeite ud empirische Verteilugsfuktio Gegebe sei die Urliste x 1,..., x eies (midestes) ordialskalierte Merkmals mit der Häufigkeitsverteilug h 1,..., h k bzw. f 1,..., f k. Da heißt H(x) := Azahl der Werte x i mit x i x = h(a j ) = j:a j x absolute kumulierte Häufigkeitsverteilug ud j:a j x F (x) := Ateil der Werte x i mit x i x = H(x)/ = f(a j ) = 1 j:a j x h j j:a j x h(a j ) relative kumulierte Häufigkeitsverteilug bzw. empirische Verteilugsfuktio. Gruppierte Date: k Klasse [c 0, c 1 ),..., [c j 1, c j ),..., [c k 1, c k ], h j Häufigkeit i j-ter Klasse. Verwede bei eiem x aus der Klasse [c j 1, c j ) als Approximatio für H(x) folgede, aus der lieare Iterpolatio gewoee Pukt: H(x) H(c j 1 ) + h j (c j c j 1 ) (x c j 1)

6 3. Lage- ud Streuugsmaße 6 3 Lage- ud Streuugsmaße 3.1 Lagemaße Arithmetisches Mittel Defiitio: Sei x 1,..., x die Urliste eies (midestes) itervallskalierte Merkmals X. Da heißt x := 1 x i das arithmetische Mittel der Beobachtuge x 1,..., x. Alterative Berechug basiered auf Häufigkeite: Hat das Merkmal X die Auspräguge a 1,..., a k ud die (relative) Häufigkeitsverteilug h 1,..., h k bzw. f 1,..., f k, so gilt x = 1 a j h j = a j f j. Satz: Arithmetisches Mittel ud lieare Trasformatioe. Gegebe sei die Urliste x 1,..., x eies itervallskalierte Merkmals X. Betrachtet wird das (liear trasformierte) Merkmal Y = a X + b ud die zugehörige Auspräguge y 1,..., y. Da gilt: ȳ = a x + b. Arithmetisches Mittel bei gruppierte Date: Sei X ei itervallskaliertes Merkmal, das i gruppierter Form mit k Klasse [c 0, c 1 ), [c 1, c 2 ),..., [c k 1, c k ] erhobe wurde. Mit h l, l = 1,... k, als absoluter Häufigkeit der l te Klasse, f l als zugehöriger relativer Häufigkeit ud m l := c l+c l 1 als der jeweilige Klassemitte defiiert ma als arithmetisches Mittel für gruppierte 2 Date x grupp := 1 h l m l = f l m l. Arithmetisches Mittel bei geschichtete Date: Zerfällt die Grudgesamtheit i z Schichte, so ka x aus de Schichtmittel x l, l = 1,..., z berechet werde: x = 1 z l x l Dabei bezeichet l die Azahl der Elemete i der l-te Schicht.

7 3. Lage- ud Streuugsmaße Media & Quatile Media: Gegebe sei die Urliste x 1,..., x eies (midestes) ordialskalierte Merkmals X. Jede Zahl x med mit heißt Media. {i x i x med } 0.5 ud {i x i x med } 0.5 Alterative Defiitio des Medias über die geordete Urliste x (1) x (2)... x () : ( ) 1 x 2 x med := ( 2 ) + x ( +1) für gerade 2 x ( +1 für ugerade 2 ) Quatile Gegebe sei die Urliste x 1,..., x eies (midestes) ordialskalierte Merkmals X ud eie Zahl 0 < α < 1. Jede Zahl x α mit heißt α 100%-Quatil. {i x i x α } α ud {i x i x α } 1 α Spezielle Quatile: Media: x 0.5 = x med. Quartile: x 0.25, x Dezile: x 0.1, x 0.2,..., x 0.8, x 0.9. Satz: Sei x 1, x 2,..., x die Urliste eies (midestes) ordialskalierte Merkmals X, g eie streg mooto steigede Fuktio ud y 1 = g(x 1 ),..., y = g(x ) die Urliste des Merkmals Y = g(x). Da gilt: y med = g(x med ) Modus Defiitio: Sei x 1,..., x die Urliste eies omialskalierte Merkmals mit de Auspräguge a 1,..., a k ud der Häufigkeitsverteilug h 1,..., h k. a j heißt Modus x mod geau da, we h j h j, für alle j = 1,..., k.

8 3. Lage- ud Streuugsmaße Vergleich der Lagemaße Die relative Lage vo x, x med, x mod zueiader ka zur Charakterisierug vo Verteiluge heragezoge werde: symmetrisch: x x med x mod likssteil: x > x med > x mod rechtssteil: x < x med < x mod Geometrisches Mittel Sei Ω = {0,..., } eie Mege vo Zeitpukte ud B(i) =: b i ei zum Zeitpukt i erhobees Merkmal. Für i = 1,..., heißt der i-te Wachstumsfaktor ud x i = b i b i 1 r i = b i b i 1 b i 1 = x i 1 die i-te Wachstumsrate. Da bezeichet ma ( ) 1 x geom := x i = (x 1 x 2... x ) 1 als das geometrische Mittel der Wachstumsfaktore x 1,..., x. Es gilt b = b 0 ( x geom ) Harmoisches Mittel Sei x 1,..., x mit x i 0 für alle i die Urliste eies verhältisskalierte Merkmals X. Da heißt 1 x har := das harmoische Mittel der x 1,..., x. 1 1 x i 3.2 Streuugsmaße Variaz ud Stadardabweichug Variaz : Sei x 1,..., x die Urliste eies itervallskalierte Merkmals X. Da heiße s 2 X := 1 (x i x) 2

9 3. Lage- ud Streuugsmaße 9 die (empirische) Variaz oder Stichprobevariaz ud s X := s 2 X die empirische Streuug, Stichprobestreuug oder Stadardabweichug vo X. Sid die Auspräguge a 1,..., a k mit (relativer) Häufigkeitsverteilug h 1,..., h k bzw. f 1,..., f k gegebe, so gilt s 2 X = 1 = h j (a j x) 2 = f j (a j x) 2. Satz: Sei x 1,..., x die Urliste eies midestes itervallskalierte Merkmals X mit s X > 0 ud y 1,..., y die zugehörige Urliste des Merkmals Y = a X + b. Da gilt s 2 Y = a 2 s 2 X ud s Y = a s X. Verschiebugssatz: Es gilt s 2 X = 1 x 2 i ( 1 ) 2 x i = x 2 ( x) 2. Variazzerlegug / Streuugszerlegug: Variaz bei geschichtete Date mit Schicht 1,..., l,..., z z Besetzugszahle 1,..., l,..., z ; l = Mittelwerte Variaze Mit sowie gilt x 1,..., x l,..., x z s 2 1,..., s 2 l,..., s2 z s 2 ierhalb := 1 s 2 zwische := 1 z l s 2 l z l ( x l x) 2 s 2 = s 2 ierhalb + s 2 zwische.

10 3. Lage- ud Streuugsmaße 10 Sei x 1,..., x die Urliste eies itervallskalierte Merk- Korrigierte empirische Variaz: mals X. Da heißt s 2 X := 1 1 (x i x) 2 die korrigierte empirische Variaz oder korrigierte Stichprobevariaz vo X Weitere Streuugsmaße Variatioskoeffiziet: Ist x > 0, so heißt die Größe Variatioskoeffiziet des Merkmals X. v X := s X x Iter-Quartils-Abstad: Merkmals, so heißt der Iterquartilsabstad. Sid x 0.25 ud x 0.75 das obere ud das utere Quartil eies d QX := x 0.75 x 0.25 Media-Absolute-Deviatio: Der Media der Werte x i x med, i = 1,..., heißt Media-Absolute-Deviatio vo X (MAD X ). Spaweite: Die Größe heißt Spaweite vo X. R X := x () x (1) 3.3 Box-Plot Grafische Zusammefassug wichtiger Kezahle, die icht ausreißerafällig sid. x 0.25, x 0.50, x Iterquartilsabstad: d QX = x 0.75 x 0.25 Zäue : z u := x d QX z o := x d QX Ausserhalb der Zäue werde alle Pukte eigezeichet; sie sid ausreißerverdächtig.