Deskriptive Statistik (Skript) J. Thomsen

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1 Deskriptive Statistik (Skript) J. Thomse 3. Mai 2008

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3 Kapitel Deskriptive Statistik. Begriffsdefiitioe.. Utersuchugsobjekte Statistische Eiheite sid die Objekte, a dee die zu utersuchede Date erfasst werde. Beispiel: Bäume, Uterehme, Studete, Wohuge etc. Populatio (Grudgesamtheit) ist die Mege der statistische Eiheite, über die eie Aussage getroffe werde soll (z.b. alle DAX-Uterehme, alle Absolvete eies Jahres etc.), also Teilmege der Grudgesamtheit. Die Populatio ka edlich (z.b. Eiwoher eier Stadt), uedlich (z.b. Mege der mögliche Wartezeite) sei oder hypothetisch (z.b. Mege aller potetielle Kude) sei. Teilpopulatio (Teilgesamtheit) ist eie Auswahl aus der Populatio (Grudgesamtheit) ud wird oft stellvertreted für diese utersucht we eie vollstädige Utersuchug icht möglich oder zu aufwädig ist (z.b. Grudgesamtheit: Korruptiosfälle, Teilgesamtheit: bekate Korruptiosfälle. Populatio: Wahletscheiduge, Teilpopulatio: Umfrageteilehmer)...2 Merkmale ud Auspräguge Merkmale werde die Date geat, die a eier statistische Eiheit beobachtet werde, z.b. Alter, Größe, Farbe etc. Auspräguge (Merkmalsauspräguge) sid die Werte, die ei Merkmal aehme ka, z.b. Merkmal: Alter, Ausprägug: 0, 20, 30,... oder Merkmal: Geschlecht, Ausprägug: mälich, weiblich. Deskriptive Statistik (Skript), Stad 3. Mai 2008, J.Thomse Seite

4 KAPITEL. DESKRIPTIVE STATISTIK..3 Merkmalstype Diskretes Merkmal hat edlich viele Auspräguge (z.b. Azahl Urlaubstage, Azahl der Kider im Haushalt) oder abzählbar uedlich viele Auspräguge (z.b. Azahl der Würfe mit eiem Würfel, bis die 6 erscheit). Stetiges Merkmal: die Auspräguge köe alle Werte ierhalb eies Itervalls aehme (z.b. Temperatur, Größe). Quasistetiges Merkmal: die Auspräguge sid diskret aber lasse sich so fei eiteile, dass sie äherugsweise als stetig behadelt werde köe (z.b. Geld). Gruppiertes Merkmal: die Auspräguge sid stetig aber werde i Klasse gruppiert bzw. kathegorisiert (z.b. Altersgruppe: Kider, Teeager, Erwachsee, Seiore). Hierbei heiße die ugruppierte Merkmale Rohdate...4 Skaleiveaus Nomialskaliert: die Auspräguge sid Name ud köe icht i eie Reihefolge gebracht werde (z.b. Religio, Automarke). Ordialskaliert: die Auspräguge lasse sich i eie Reihefolge brige, aber ihre Abstäde sid icht iterpretierbar (z.b. Schulote: ist Note vo Note 2 soweit etfert wie Note 3 vo Note 4?) Itervallskaliert: die Auspräguge lasse sich i eie Reihefolge brige ud die Abstäde sivoll iterpretiere, aber es ka kei sivoller Nullpukt festgelegt werde. Beispiele sid die Temperatur i Celsius ud Jahreszahle. Die Nullpukte sid hier willkürlich festgelegt, ud so köe keie Verhältis-Aussage gemacht werde: So ist z.b. 50 C icht doppelt so warm wie 25 C! Verhältisskaliert: wie itervallskaliert ur mit atürlichem Nullpukt ud der Möglichkeit Verhältisvergleiche azustelle. Beispiele sid z.b. Kredite, Körpergröße, die Temperatur i Kelvi (0 K ist der atürliche Temperaturullpukt ud 323 K ist vergliche mit 298 K etwa, 08 mal wärmer, bzw. 00 Euro auf dem Koto sid füfmal mehr als 20 Euro). Diese Skalierig wird auch kardialskaliert oder metrisch geat. Kardialskaliert, Metrisch sid adere Bezeichuge für verhältisskaliert. Skalehierarchie ist die Ordug der geate Skale bezüglich ihrer Mächtigkeit (siehe Tabelle.). Iformatioe aus eiem feie Skalierugsiveau köe (uter Verlust vo Iformatioe) i eiem grobe Skalierugsiveau verwedet werde, umgekehrt gilt dies jedoch icht. Seite 2 Deskriptive Statistik (Skript), Stad 3. Mai 2008, J.Thomse

5 .. BEGRIFFSDEFINITIONEN Skaleart auszähle orde Differeze bilde Quotiete bilde omial ja ei ei ei ordial ja ja ei ei itervall ja ja ja ei verhältis ja ja ja ja Tab..: Skalehierarchie..5 Qualität Qualitativ: Größe mit edlich viele Auspräguge die höchstes ordialskaliert sid (z.b. Farbe, Studiefach). Quatitativ: die Auspräguge stelle Itesität bzw. Ausmaß dar (z.b. Alter, Größe, Geschwidigkeit, Studiedauer). Kardialskalierte Merkmale sid stets quatitativ...6 Studietype Querschittsstudie: Utersuchug eies oder mehrerer Merkmale zu eiem Zeitpukt (z.b. aktuelle Mietpreise). Zeitreihe: Utersuchug eies Merkmals zu verschiedee Zeitpukte (z.b. Aktiekurs eier Firma). Lägsschittstudie (auch Pael geat) etspricht mehrere parallele Zeitreihe (z.b. durchschittliche Eikommesetwickluge pro Budeslad oder Aktierkurse aller DAX-Firme)...7 Auswahlverfahre Stichprobe: die tatsächlich utersuchte Teilpopulatio. Stichprobe sid meist eher klei im Vergleich zur Populatiosgröße. Zufallsstichprobe: um zu erreiche, dass die Stichprobe die Eigeschafte der Grudgesamtheit möglichst geau abbildet, werde die statistische Eiheite meist zufällig (icht willkürlich!) ausgewählt, d.h. jede Eiheit der Populatio hat die gleiche Chace i die Teilpopulatio aufgeomme zu werde. Beispiele für Stichprobe: Zoll-Kotrolle, Umfrage. Systematische Ziehug: Auswahl der Statistische Eiheite ach eiem System, z.b. jede Telefoummer, die mit 555 begit, für Umfrage arufe. Deskriptive Statistik (Skript), Stad 3. Mai 2008, J.Thomse Seite 3

6 KAPITEL. DESKRIPTIVE STATISTIK Problematisch, we bei de zu erhebede Date ei ähliches System vorliegt (z.b. we diese Nummer alle a Film-Fas vergebe sid, die sicherlich icht repräsetativ für typische deutsche Bevölkerug sid). Schichtug: die Grudgesamtheit i icht überlappede Schichte aufteile, i jeder eie Zufallsstichprobe durchführe. Ergebisse ach größe der Schichte gewichte. Die Schichtug sollte eg mit dem zu utersuchede Merkmal zusammehäge (hochkorreliert sei), die Schichte sollte utereiader möglichst verschiede sei (heteroge) ud die Eiheite i jeder Schicht möglichst ählich (homoge). Beispiel: Umfrage ach politischer Eistellug (koservativ bis liberal) mit Schichtug ach Größe des Wohorts (Dorf, Kleistadt, Stadt). Klumpestichprobe: Astelle eie Schichtug durchzuführe wird eie bereits vorhadee verwedet. Voraussetzug ist hier, dass die Utersuchugseiheite i jedem Klumpe möglichst uterschiedlich (heteroge) sid, im Gegesatz zur geschichtete Zufallsstichprobe! Beispiel: für Umfrage icht jede zehtausedste Bürger arufe, soder i eiige zufällig ausgewählte Gemeide alle Eiwoher befrage. Quote sid eie Form der Schichtug, wobei die Größe der Teilpopulatioe i jeder Schicht so festgelegt wird, dass das Verhältis (Quote) mit dem der Grudpopulatio übereistimmt. Beispiel: gibt es 5% Fraue im Maschiebau-Studium, so sollte ma sicherstelle, dass geau 5% weibliche Studete i der Stichprobe sid...8 Dategewiug Experimet: Versuch durchführe, um Date zu erhalte. Erhebug: Bereits vorhadee Date utze. Primärerhebug: z.b. Umfrage. Sekudärerhebug: Date, die i adere Studie erhobe wurde utze. Terziärerhebug: Auf Ergebisse, aus Date aus adere Studie stamme, aufbaue. Seite 4 Deskriptive Statistik (Skript), Stad 3. Mai 2008, J.Thomse

7 .2. HÄUFIGKEITEN UND VERTEILUNG.2 Häufigkeite ud Verteilug Im Folgede gehe wir davo aus, dass wir über eie Liste vo Rohdate x, x 2,..., x verfüge, die im Zuge eies Experimets oder eier Erhebug beobachtet oder erhobe wurde. Nehme wir zum Beispiel a, wir werfe zwei Würfel ud otiere die Augesumme. Nach 36 würfe erhalte wir (im Idealfall) folgede Rohdate: Häufigkeite Ei erster Schritt um die Date zusammezufasse besteht dari, die Date zu sortiere. I userem Beispiel: Absolute Häufigkeite Nu köe wir zähle, wie oft jede Augesumme vorkommt. Diese Zähluge ee wir absolute Häufigkeite. Im Würfel-Beispiel erhalte wir: Augesumme: absolute Häufigkeit: Modus Der am häufigste vorkommede Wert (hier: 7 mit Häufigkeit 6) wird Modus geat. Relative Häufigkeite Die absolute Häufigkeite habe de Nachteil, dass sie vo der Azahl der erhobee Date abhägig sid. Um dieses Problem zu löse dividiere wir jede der absolute Häufigkeite durch die Azahl der Werte. I userem Beispiel: Deskriptive Statistik (Skript), Stad 3. Mai 2008, J.Thomse Seite 5

8 KAPITEL. DESKRIPTIVE STATISTIK Augesumme ,028 0,056 0,083 0, 0,39 0,67 0,39 0, 0,083 0,056 0,028 relative Häufigkeit.2.2 Darstellugsforme Die folgede Visualisierugsforme lasse sich auf Merkmale jeder Skala (omial bis verhältisskaliert) awede. Stabdiagramm Eie Möglichkeit Häufigkeite grafisch darzustelle ist das Stabdiagramm. Hierbei wird für jede Wert eie (vertikale) Liie gezoge, dere Höhe proportioal zu der Häufigkeite dieses Wertes ist. Säulediagramm, Balkediagramm Nach ählichem Prizip fuktioiere auch das Säulediagramm bzw. das Stabdiagramm, ur dass die Liie hier durch Rechtecke ersetzt werde, die vertikal (Säule) oder horizotal (Balke) orietiert sid. Kreisdiagramm, Tortediagramm Das Kreisdiagramm bzw. das Tortediagramm stellt die Häufigkeite als Kreissegmete dar. Ei Kreissegmet, welches die absolute Häufigkeit h darstellt, wird durch de Wikel ϕ = 2π h (Bogemaß) beschriebe. Für relative Häufigkeite f ist der Wikel ϕ = 2πf. Seite 6 Deskriptive Statistik (Skript), Stad 3. Mai 2008, J.Thomse

9 .2. HÄUFIGKEITEN UND VERTEILUNG Stabdiagramm der absolute Häufigkeite der Würfelsumme zweier Würfel..2.3 Histogramm Ei Histogramm lässt sich ur für verhältisskalierte Merkmale erstelle. Vorgehesweise: Die Werte werde i Itervalle eier defiierte Klassebreite eigeteilt, die sich berühre aber icht überscheide. Über jedes Itervall wird ei Rechteck gezeichet, desse Fläche proportioal zu der Summe der Häufigkeite der Werte ierhalb des Itervalls ist. 0,028 0,056 0,083 0, 0,39 0,67 0,39 0, 0,083 0,056 0, Histogramm der relative Häufigkeite der Würfelsumme zweier Würfel. Deskriptive Statistik (Skript), Stad 3. Mai 2008, J.Thomse Seite 7

10 KAPITEL. DESKRIPTIVE STATISTIK Eigeschafte des Histogramms Die Fläche uter dem Histogramm ist (Azahl der Messuge) bei absolute Häufigkeite bzw. bei relative Häufigkeite. Die Fläche F jedes Rechtecks gibt die Häufigkeit der Ereigisse a, die ierhalb des Itervalls liege. Allgemei ist die Höhe des Rechtecks über dem Itervall [x a, x b ] Rechtechshoehe = x a x<x b h(x) x b x a (.) Z.B. i userem Fall, mit Klassebreite 3: Im mittlere Itervall [5.5, 8.5] liege die Augezahle 6, 7, 8 mit de absolute Häufigkeite h(6) = 5, h(7) = 6, h(8) = 5. Die Höhe des zugehörige Rechtechs ist somit h(6) + h(7) + h(8) = 6 ud seie Fläche h(6)+h(7)+h(8) = Histogramme mit Klassebreite 4, 3, 2 ud..2.4 Empirische Verteilug Die Häufigkeit gibt a, wie oft der Wert x i auftrat. Wolle wir wisse, wie oft die Werte x i kleier als x ware, so müsse wir die kumulierte Häufigkeit der Werte x i bilde. Ist z.b. gefragt Wie oft trate Augesumme kleier oder gleich 5 auf so bilde wir F (5) = h(2) + h(3) + h(4) + h(5) (hier: F (5) = = 0). Im Würfel-Beispiel erhalte wir: Seite 8 Deskriptive Statistik (Skript), Stad 3. Mai 2008, J.Thomse

11 .2. HÄUFIGKEITEN UND VERTEILUNG Augesumme kumulierte absolute Häufigkeit Die absolute kumulierte Häufigkeite habe wieder de Nachteil, dass sie vo der Azahl der erhobee Date abhägig sid. Um dieses Problem zu löse dividiere wir durch die Azahl der Werte. I userem Beispiel: Augesumme ,028 0,084 0,67 0,278 0,47 0,584 0,722 0,833 0,96 0,982,000 kumulierte relative Häufigkeit bzw. empirische Verteilug F (x) = H(x) Ateil der Werte x i mit x i x (.2) bzw. F (x) = h(x i ) (.3) x i x 0,584 0,722 0,39 0,833 0, 0,96 0,982,000 0,056 0,028 0,083 0,028 0,084 0,67 0,028 0,056 0,083 0,278 0, 0,47 0,39 0, Empirische Verteilug der Augesumme zweier Würfel. Eigeschafte der Verteilug: Wertebereich [0, ] (relative Verteilug) bzw. [0, ] (absolute Verteilug). Deskriptive Statistik (Skript), Stad 3. Mai 2008, J.Thomse Seite 9

12 KAPITEL. DESKRIPTIVE STATISTIK Mooto steiged. Stetig. Im Fall der empirische Verteilug liegt außerdem eie Treppefuktio vor..3 Quatile Quatile stelle i gewisse Sie die Umkehrfuktio der Verteilug dar. Astelle zu frage Wie häufig ware die Werte kleier als x iteressiert us u Die p vorkommede (kleiste) Werte ware alle kleier als welcher x Wert. Wir ee diese Wert das p-quatil. Beispiele: Das 25%-Quatil z 0,25 Für welche Augesumme z 0,25 gilt, dass die 25% der kleiste Augesumme daruter liege. Hier: F (5) = 0, 278 liegt grade über 25%, d.h. (etwas mehr als) 25% der auftretede Augesumme sid kleier oder gleich 5. Das 50%-Quatil wird auch als Media bezeichet. Die 25%, 50%ud75%-Quatile heiße auch. Quartil, 2.Quartil ud 3.Quartil. Selteer werde Dezetile verwedet (Quatile i 0%-Schritte) oder auch Perzetile (Quatile i %- Schritte). Für de Fall Die p vorkommede (kleiste) Werte ware alle größer als welcher x Wert verwede wir eifach - p-quatil, also z p. Als Iterquartilsabstad bezeiche wir die Differez x 0,75 x 0,25. 00% 75% 50% 25% 0% z 0,25 z 0,5 z 0, Quatile für 25% (. Quartil), 50% (Media, 2. Quartil) ud 75% (3. Quartil). Seite 0 Deskriptive Statistik (Skript), Stad 3. Mai 2008, J.Thomse

13 .4. KENNGRÖSSEN.4 Kegröße.4. Lagewert Arithmetisches Mittel Der Mittelwert x ist der Wert, um de die Werte x i schwake (siehe A..). x = x k (.4) I userem Beispiel ergibt sich für das arithmetische Mittel geau 7. Gewichtetes arithmetisches Mittel x = k x k (.5) k Da der Mittelwert empfidlich gege Ausreißer i de Date ist, verwedet ma machmal auch das getrimmte Mittel welches dari besteht, extreme Werte (z.b. kleier als 5%-Quatil oder größer als 95%-Quatil) bei der Mittelwertbildug icht zu berücksichtige. Werde die x i Werte liear trasformiert, d.h. mit eier Kostate a multipliziert ud eie Kostate b aufsummiert, also y i = ax i + b, so gilt für de Mittelwert ȳ = a x + b (siehe A..). Geometrisches Mittel x geom = x k (.6) Das geometrische Mittel fidet bei expoetielle Wachstumsprozesse Awedug. Beispiel: ageomme wir beobachte, dass eie Bakteriekultur sich i eier gewisse Zeitspae verdoppelt, ach ocheimal dieser Zeitspae vervierfacht ud schließlich kostat bleibt. Wie ist das durchschittliche Wachstum? Nach.6 erhalte wir x geom = = 3 8 = 2 (.7) Die Bakteriekultur verdoppelt sich also im Durchschitt. Das arithmetische Mittel wäre hier mit 7 icht korrekt. 3 Deskriptive Statistik (Skript), Stad 3. Mai 2008, J.Thomse Seite

14 KAPITEL. DESKRIPTIVE STATISTIK Harmoisches Mittel x har = (.8) x i Beispiel: Wir fahre eie gewisse Strecke (z.b. 00km) mit 00 km h mit 50 km. Da ist die Durchschittsgeschwidigkeit h ud ebesoweit x har = ( 2 00 km h + 50 km h ) = 200 km 3 h 67km h Bemerkug: ist statt eier feste Fahrstrecke eie feste Fahrzeit agegebe, so müsse wir wie gewoht das arithmetische Mittel awede (dies wäre i diesem Fall 75 km h ). Media Der Wert m für de gilt, dass geausoviele Rohdate kleier sid als m (also x i < m) ud ebesoviele Rohdate größer sid als m (also x i > m) wird Media geat (siehe auch A..2). Wir ermittel de Media z.b. idem wir die Rohdate sortiere ud de mittlere Wert dieser Liste auswähle. Damit ist der Media idetisch mit dem 50% Quatilz 0.5. Beispiel: Sortiert Rohdate (usortiert) Rohdate (sortiert) Media Der Media (hier 6) ist stabiler gege Ausreißer i de Date als der Mittelwert (hier 0, 647). Modus Der häufigste Wert wird Modus geat. Z.B : Modus 4 Seite 2 Deskriptive Statistik (Skript), Stad 3. Mai 2008, J.Thomse

15 .4. KENNGRÖSSEN Empirische Streuug Die (empirische) Stadardabweichug beschreibt, wieviel die Werte um der Mittelwert schwake (siehe auch A.2). s = (x k x) 2 (.9) Das Quadrat der (empirische) Stadardabweichug wird (empirische) Variaz geat: v = s 2 = (x k x) 2 (.0) Machmal ist es eifacher, eie alterative Methode zur Berechug der Variaz zu verwede (siehe auch A.2.): s 2 = V ar(x) = ( x 2 k ) x 2 (.) Werde die x i Werte liear trasformiert, d.h. mit eier Kostate a multipliziert ud eie Kostate b aufsummiert, also y i = ax i + b, so gilt für die Variaz V ar(y) = a 2 V ar(x) (siehe A.2.2). Miimum, Maximum, Spaweite Das Miimum ist der kleiste Wert der Urliste, das Maximum der Größte. Der Abstad zwische Miimum ud Maximum max mi wird Spaweite geat. Schiefe m 3 = (x k x) 3 (.2) Schiefe = m 3 s 3 (.3) Deskriptive Statistik (Skript), Stad 3. Mai 2008, J.Thomse Seite 3

16 KAPITEL. DESKRIPTIVE STATISTIK Lageregel Für symmetrische Verteilug (Schief e = 0) gilt: M ittelwert M edia Modus. Für likssteile Verteilug (Schiefe > 0) gilt: Mittelwert < Media < Modus. Für rechtssteile Verteilug (Schiefe < 0) gilt: Mittelwert > Media > Modus. Wölbug m 4 = (x k x) 4 (.4) Woelbug = m 4 s 4 3 (.5) Füf-Pukte-Zusammefassug Zusammefassug der füf wichtigste Werte eier Verteilug: x mi, x 0,25, x med, x 0,75, x max (.6) Box-Plot Graphische Darstellug der Füf-Pukte-Zusammefassug:. Afag der Box: 25%-Quatil x Ede der Box: 75%-Quatil x Media als Pukt i der Box markiere 4. Liie vo Afag der Box ach auße bis x mi ( Whisker ) 5. Liie vo Ede der Box ach auße bis x max ( Whisker ) Beispiel: Urliste Seite 4 Deskriptive Statistik (Skript), Stad 3. Mai 2008, J.Thomse

17 .4. KENNGRÖSSEN Boxplot Modifizierter Box-Plot Um potetielle Ausreißer i de Date zu erkee, bildet ma Zäue. Z.B. z u = 5%-Quatil z o = 95%-Quatil. Die ( Whisker ) werde u ur och bis zum jeweilige Zau gezeichet. Date außerhalb der Zäue werde als Ausreißer idividuell eigezeichet..4.2 Momete I der Statistik sid Momete Kegröße eier Verteilugsfuktio.. Momet: Mittel m = x k (.7) 2. Momet: Variaz m 2 = (x k x) 2 (.8) Deskriptive Statistik (Skript), Stad 3. Mai 2008, J.Thomse Seite 5

18 KAPITEL. DESKRIPTIVE STATISTIK 3. Momet: Schiefe m 3 = (x k x) 3 Schiefe = m 3 m (.9) 4. Momet: Wölbug m 4 = (x k x) 4 W oelbug = m 4 m 2 2 (.20).4.3 Bestimmug der Kozetratio Die Kozetratio ka für alle Type vo Merkmale (ab Nomialskala) bestimmt werde. Sie zeigt wie (u)gleichmäßig die Häufigkeite verteilt sid. Beispiel: I drei Städte sid füf Corflakes-Marke vertrete. Wie (u)gleichmäßig sie auf dem Markt verteilt? Lorezkurve Wir sortiere die Urliste, so dass x x. Nu bilde wir die Paare (u i, v i ) mit u i = i/ (.2) ud v i = i x k (.22) x k Die Puktefolge (0, 0), (u, v ),..., (u, v ) wird Lorezkurve geat. i u i Stadt A x i i x k v i Stadt B x i i x k v i Stadt C x i i x k v i x Seite 6 Deskriptive Statistik (Skript), Stad 3. Mai 2008, J.Thomse

19 .4. KENNGRÖSSEN Darstellug der Lorezkurve Kozetratiosmaß: Gii-Koeffiziet Eie Möglichkeit die Kozetratio auszudrücke besteht dari, de Ateil der Fläche zwische Lorezkurve ud Diagoale im Verhältis zu der Fläche zwische Diagoale ud u-achse zu messe (Herleitug siehe A.3). G = 2 ix i + x i (.23) G liegt im Itervall [0, ] d.h. G mi = 0 ud G max =. Normierter Gii-Koeffiziet Problematisch ist, dass der maximale Gii-Koeffiziet G max = Azahl der Werte abhägig ist. Um dies auszugleiche wird der Gii-Koeffiziet ormiert: G = G max G = 2 ix i + x i G liegt im Itervall [0, ] d.h. G mi = 0 ud G max =. Je größer wird, desto weiger macht sich dieser Fehler bemerkbar vo der (.24) Deskriptive Statistik (Skript), Stad 3. Mai 2008, J.Thomse Seite 7

20 KAPITEL. DESKRIPTIVE STATISTIK.5 Zweidimesioale Date Oft iteressiere wir us bei eier Utersuchugseiheit icht ur für ei Merkmal soder für mehrere ud isbesodere für dere Zusammehag. We wir z.b. die Merkmale Prüfugsote ud Aweseheit erhebe, wäre es iteressat zu wisse, ob häufigere Aweseheit mit eier bessere Note eihergeht..5. Darstellug der 2d-Date Streudiagramm Eie Möglichkeit zweidimesioale Date darzustelle ist das Streudiagramm. Hierbei wird jedes Datum als Pukt i eiem Koordiatesystem aufgefasst. Streudiagramm 2d-Histogramm Da bei großer Datemege ei Streudiagramm uübersichtlich werde ka, wird stattdesse oft ei 2d-Histogramm erstellt. Dieses fuktioiert ach deselbe Prizipie wie das d-histogramm, ur dass astelle vo Rechtecke Quader verwedet werde, dere Volume der Häufigkeit der vo ihe repräsetierte Werte etspricht. Das Gesamtvolume des 2d-Histogramms ist immer (bei relative Häufigkeite) bzw. (bei absolute Häufigkeite). Kotigeztabelle Die Häufigkeite lasse sich i eier Kotigeztabelle bzw. Kotigeztafel absoluter Häufigkeite darstelle. Seite 8 Deskriptive Statistik (Skript), Stad 3. Mai 2008, J.Thomse

21 .5. ZWEIDIMENSIONALE DATEN b... b m a h... h m h a l h l... h lm h l h... h m Hier sid a i die Auspräguge des Merkmals a ud b j die Auspräguge des Merkmals b. Die Häufigkeite eier Utersuchugseiheit mit dem Merkmal (a i, b j ) ist mit h ij bezeichet. Die Spaltesumme h j = l h ij bzw. die Zeilesumme h i = m j= h ij werde auch als Radhäufigkeite bezeichet. Es gilt: Summe aller Spaltesumme = Summe aller Zeilesumme =. = 3, 0 Note < 2, 0 2, 0 Note < 4, 0 Zeilesumme häufig awesed 3 4 selte awesed 2 9 Spaltesumme Kotigeztabelle fiktiver Note-/Aweseheitsdate..5.2 Bedigte relative Häufigkeite Vorgehesweise: Häufigkeit des zu utersuchede Merkmals durch Radsumme der bedigede Merkmale dividiere. Im vorige Beispiel: f(gute Note haeufig awesed) = h(gute Note ud haeufig awesed) h(haeufig awesed) = 3/4 f(gute Note selte awesed) = h(gute Note ud selte awesed) h(selte awesed) = 2/.5.3 Empirische Uabhägigkeit Defiitio.. Bleibt die relative Häufigkeit f(a) uverädert uter der Bedigug b so ee wir die Variable a ud b empirisch uabhägig. b b 2 a 2 3 a Hier: f(a ) = +2 2 = 4 = f(a b ) d.h. a ud b sid empirisch uabhägig. Deskriptive Statistik (Skript), Stad 3. Mai 2008, J.Thomse Seite 9

22 KAPITEL. DESKRIPTIVE STATISTIK.5.4 Zusammehagsmaße Sehe wir us das vorige Beispiel ocheimal a, u als Kotigeztafel relativer Häufigkeite. Da a ud b empirisch uabhägig sid, lasse gilt f ij = f j f i bzw. h ij = h jh i. f b b 2 a a 2 = = = h b b 2 a = = a 2 3 = = χ 2 -Koeffiziet Um Ahad eier Häufigkeitstabelle zu ermittel, wieweit die Variable a ud b voeiader abhägig sid, bestimme wir für jede absolute Häufigkeit h ij, wieweit diese vo der für uabhägige Werte erwartete Häufigkeit h jh i abweicht, ud bilde die Summe der quadrierte Differeze (h ij h jh i )2. Defiitio.2. χ 2 -Koeffiziet: χ 2 = l m j= (h ij h i h j )2 h i h j (.25) Problem: der χ 2 -Koeffiziet ist abhägig vo der Azahl der Werte ud lässt sich damit icht direkt iterpretiere. Defiitio.3. Der Kotigezkoeffiziet löst dieses Problem idem er de χ 2 -Koeffiziete ormiert, so dass 0 K <. χ K = 2 (.26) χ Weitere Normierug: ormierter Kotigezkoeffiziet mit 0 K K = K mi(l, m) mit K max = K max mi(l, m) (.27) Die Werte liege zwische 0 (Uabhägigkeit der Variable), ud (Abhägigkeit der Variable). Seite 20 Deskriptive Statistik (Skript), Stad 3. Mai 2008, J.Thomse

23 .5. ZWEIDIMENSIONALE DATEN Empirischer Korrelatioskoeffiziet Bisher habe wir die (U-)Abhägigkeit ahad der Häufigkeite utersucht. Wir köe de Zusammehag allerdigs aucch direkt ahad der Rohdate utersuche. Zu diesem Zweck führe wir die Kovariaz ei. Defiitio.4. Die empirische Kovariaz ermittelt iwiefer die Date X ud Y i dieselbe Richtug streue. s XY = (x i x)(y i ȳ) (.28) Die empirische Kovariaz ist u och auf Werte i [0, ] zu ormiere. Defiitio.5. Der empirische Korrelatioskoeffiziet ist ei Maß für de lieare Zusammehag zweier Merkmale. r = r XY = s XY s X s Y = Alterative Form: r = r XY = s XY s X s Y = empirische Kovariaz {}}{ (x i x)(y i ȳ) (x i x) 2 (y i ȳ) 2 }{{} StadardabweichugvoY }{{} StadardabweichugvoX (.29) x i y i xȳ ( ) ( ) (.30) x 2 i x2 yi 2 ȳ2 Übug {(, ), (3, ), (, 3), (3, 3)} r = 0 {(, ), (2, 2), (3, 3)} r = {(, 3), (2, 2), (3, )} r = {( 2, ), (0, 0), (2, )} r = {(, ), (2, ), (, 3), (2, 3)} r = 0 {(, 2), (2, ), ( 2, ), (, 2)} r = 0, 8 Deskriptive Statistik (Skript), Stad 3. Mai 2008, J.Thomse Seite 2

24 KAPITEL. DESKRIPTIVE STATISTIK Hiweise Der Korrelatioskoeffiziet erfasst ur lieare Zusammehäge, adere (z.b. Kurve, etwa U-förmige) werde icht erfasst. Es besteht die Gefahr vo Scheikorrelatioe. We etwa festgestellt wird, dass die Azahl der Störche mit der Azahl der Geburte korreliert ist, so bedeutet dies icht, das die Kider der Storch brigt! Stattdesse häge beide Variable mit der fortschreitede Idustrialisierug zusamme, die eierseits Familieplaug erleichtert ud aderseits durch Veräderug der Umwelt de Störche das Lebe schwer macht. Hohe Korrelatio beweist keie kausale Zusammehag, ka aber geutzt werde, um ei Model zu stütze oder zu wiederlege. Verdeckte Korrelatio z.b. tritt auf, we die Populatio aus zwei Teilpopulatioe besteht, ud i der eie eie positive, i der adere higege eie egative Korrelatio besteht, so dass diese sich i der Summe aufhebe ud für die Gesamtpopulatio keie Korrelatio sichtbar ist..5.5 Lieare Regressio Es seie Werte der Form (x i, y i ) gegebe (z.b. liege im Fall eier Zeitreihe Zeitpukte x i ud Werte y i vor). Durch diese Werte soll eie Ausgleichsgerade gelegt werde, die für jede Wert x i eie progostizierte Wert ŷ i liefert: ŷ i = α + βx i. Die Ausgleichsgerade verläuft so, dass die quadratische Abweichuge zwische Gerade ud Pukte miimiert werde (Herleitug siehe A.4). Wir ermittel β mit β = y i x i ȳ x = x 2 i x2 (x i x)(y i ȳ) = s XY (x i x) 2 s 2 X (.3) ud α mit α = ȳ β x (.32).5.6 Beispiel i x i y i Seite 22 Deskriptive Statistik (Skript), Stad 3. Mai 2008, J.Thomse

25 .5. ZWEIDIMENSIONALE DATEN Die Azahl der Werte ist = 4, wir ermittel die Mittelwerte als x = ( ) = 4 ud ȳ = ( ) =. 4 Damit ist β β = y i x i ȳ x = x 2 i x2 ud α ist ( ) + (2 2) + (2 4) + (3 5) = α = ȳ β x = = = Beispielwerte mit Ausgleichsgerade. Deskriptive Statistik (Skript), Stad 3. Mai 2008, J.Thomse Seite 23

26 ANHANG A.... ZUR DESKRIPTIVEN STATISTIK Ahag A... zur deskriptive Statistik A. Optimalität der Lageparameter A.. Arithmetisches Mittel Welcher Wert z hat de gerigste Abstad zu alle Auspräguge x k? D.h. welcher Wert beschreibt die Date isgesamt am beste? Es gilt die Summe der quadratische Abweichuge Q = (x k z) 2 (A.) zu miimiere: ( ) d (x k z) 2 = dz d ( (xk z) 2) = dz 2(x k z)( ) = 2 (x k z) Auflöse ach z: Seite 24 Deskriptive Statistik (Skript), Stad 3. Mai 2008, J.Thomse

27 A.. OPTIMALITÄT DER LAGEPARAMETER 2 (x k z) = 0 (x k z) = 0 ( ) x k z = 0 x k = z x k = z Die Summe der quadratische Abweichuge wird durch das arithmetische Mittel miimiert. x = x k (A.2) Liear trasformiertes Mittel Bei eier lieare Trasformatio der Date y k = ax k + b gilt: ȳ = ax k + b = ax k + b = a x k + b = a x + b (A.3) A..2 Media Was passiert, we wir astelle der Summe der quadratische Abweichuge (siehe A..) die Summe der Beträge miimiere? Q = x k z (A.4) zu miimiere: ( ) d x k z = dz d dz x k z = sg(x k z) = 0 Deskriptive Statistik (Skript), Stad 3. Mai 2008, J.Thomse Seite 25

28 ANHANG A.... ZUR DESKRIPTIVEN STATISTIK Diese Gleichug ist geau da erfüllt, we die Hälfte der Werte x k kleier ud die adere Hälfte größer sid als z, de da liefert sg(x k z) geauso oft für die kleiere wie + für die größere Werte, so dass sich i der Summe 0 ergibt. Die Zahl z, welche diese Bedigug erfüllt, wird Media geat. Ist gerade, so kommt jeder Wert zwische de beide der Mitte am ächste liegede Werte i Frage. A.2 Streuug, Stadardabweichug, Variaz Wieviel schwake die Date i.a. um de Mittelwert? Es gilt die Summe der quadratische Abweichuge der Abstäde der Werte zum Mittelwert zum gesuchte Wert Q = ((x k x) 2 s 2 ) 2 (A.5) zu miimiere: ( ) d ((x k x) 2 s 2 ) 2 = ds d ( ((xk x) 2 s 2 ) 2) = ds 2((x k x) 2 s 2 )( 2s) = 4s ((x k x) 2 s 2 ) = 4s 3 4s (x k x) 2 Auflöse ach s: Seite 26 Deskriptive Statistik (Skript), Stad 3. Mai 2008, J.Thomse

29 A.2. STREUUNG, STANDARDABWEICHUNG, VARIANZ 4s 3 4s 4s (x k x) 2 = 0 (x k x) 2 = 4s 3 (x k x) 2 = s 2 (x k x) 2 = s Die Stadardabweichug beschreibt, wieviel die Werte um de Mittelwert schwake. s = (x k x) 2 (A.6) A.2. Alterative Variaz-Berechug x 2 k = = = = (x k x + x) 2 [(x k x) 2 + 2(x k x) x + x 2 ] (x k x) x (x k x) 2 + x 2 2(x k x) + x 2 Deskriptive Statistik (Skript), Stad 3. Mai 2008, J.Thomse Seite 27

30 ANHANG A.... ZUR DESKRIPTIVEN STATISTIK Ud ach Umforme: x 2 k = (x k x) 2 + x 2 x 2 k = (x k x) 2 + x 2 ( ) (x k x) 2 = x 2 k x 2 ud damit: s 2 = V ar(x) = ( x 2 k ) x 2 (A.7) A.2.2 Variaz bei liearer Trasformatio Bei eier lieare Trasformatio der Date y k = ax k + b gilt: V ar(y) = = = = (y k ȳ) 2 mit A.. ((ax k + b) (a x + b)) 2 (ax k a x) 2 a 2 (x k x) 2 = a 2 (x k x) 2 = a 2 V ar(x) A.3 Herleitug des Gii-Koeffiziete Die Fläche zwische v-achse ud Lorezkurve ist ix i. Davo subtrahiere wir die Fläche zwische v-achse ud Diagoale 2 x i. Seite 28 Deskriptive Statistik (Skript), Stad 3. Mai 2008, J.Thomse

31 A.4. HERLEITUNG DER REGRESSIONSGERADEN 5 x 5 4 x 4 3 x 3 2 x 2 x ud erhalte die absolute Fläche zwische Lorezkurve ud Diagoale: F abs = ix i + 2 Um die relative Fläche zu erhalte (also de Ateil der Fläche zwische Lorezkurve ud Diagoale im Verhältis zur Gesamtfläche), dividiere wir durch die Summe der x i, durch ud multipliziere mit 2 ud erhalte G liegt im Itervall [0, ]. G = 2 2 ix i x i + x i x i (A.8) A.4 Herleitug der Regressiosgerade Es seie Werte der Form (x i, y i ) gegebe (z.b. liege im Fall eier Zeitreihe Zeitpukte x i ud Werte y i vor). Durch diese Werte soll eie Ausgleichsgerade gelegt werde, die für jede Wert x i eie progostizierte Wert ŷ i liefert: ŷ i = α + βx i. Die Ausgleichsgerade verläuft so, dass die quadratische Abweichuge zwische Gerade ud Pukte miimiert werde. Wir bestimme also α ud β so dass Q(α, β) = (y i ŷ i ) 2 = (y i (α + βx i )) 2 (A.9) Deskriptive Statistik (Skript), Stad 3. Mai 2008, J.Thomse Seite 29

32 ANHANG A.... ZUR DESKRIPTIVEN STATISTIK miimal wird. Um das Miimum zu bestimme, führe wir eie partielle Ableitug ach α ud β durch. Partielle Ableitug ach α: dq(α, β) dα = d (y i (α + βx i )) 2 dα = d dα (y i α βx i ) 2 = 2(y i α βx i )( ) Nullsetze der Gleichug: 2 (y i α βx i ) = 0 y i α β x i }{{}}{{} = 0 ȳ x also α = ȳ β x (A.0) Partielle Ableitug ach β: dq(α, β) dβ = d dβ = = (y i (α + βx i )) 2 d dβ (y i α βx i ) 2 2(y i α βx i )( x i ) Seite 30 Deskriptive Statistik (Skript), Stad 3. Mai 2008, J.Thomse

33 A.4. HERLEITUNG DER REGRESSIONSGERADEN Nullsetze der Gleichug: 2 (y i α βx i )( x i ) = 0 y i x i α x i β x 2 i }{{} = 0 x y i x i α x β x 2 i = 0 Eisetze vo Gleichug A.0 ergibt: y i x i (ȳ β x) x β y i x i ȳ x + β x 2 β x 2 i = 0 x 2 i = 0 Auflöse ach β: β x 2 β x 2 i = ȳ x ( ) β x 2 x 2 i = ȳ x y i x i y i x i β = β = ȳ x x 2 y i x i x 2 i y i x i ȳ x x 2 i x2 = s XY s 2 X (A.) Mit de Gleichuge A.0 ud A. köe wir die Ausgleichsgerade also wie folgt bestimme: ŷ i = α + βx i = (ȳ β x) + βx i = (ȳ x s XY s 2 X ) + s XY s 2 X x i (A.2) Deskriptive Statistik (Skript), Stad 3. Mai 2008, J.Thomse Seite 3

34 LITERATURVERZEICHNIS Literaturverzeichis [] Fahrmeir, Küstler, Pigeot, Tutz: Statistik, Spriger Verlag [2] A. Steger: Diskrete Strukture I, Spriger Verlag [3] Touteburg: Iduktive Statistik, Spriger Verlag [4] Touteburg: Deskriptive Statistik, Spriger Verlag [5] Fahrmeir, Küstler, Pigeot, Tutz, Caputo, Lag: Arbeitsbuch Statistik, Spriger Verlag [6] Eric Weisstei: Mathworld, [7] Brostei / Semedjajew: Taschebuch der Mathematik, Verlag Harri Deutsch [8] Wikipedia ( Statistik ), title=statistik&oldid= Seite 32 Deskriptive Statistik (Skript), Stad 3. Mai 2008, J.Thomse