Mathematische Vorgehensweise

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1 Kapitel 2 Mathematische Vorgehesweise Um eue Ergebisse zu erziele, ist es häufig otwedig, Aussage präzise zu formuliere ud zu beweise. Daher werde i diesem Kapitel die mathematische Begriffsbilduge ud Vorgehesweise zusammegestellt, die beötigt werde, um mathematische Texte zu verstehe oder selber zu schreibe. 2.1 Mathematische Logik Um Aussage mathematisch präzise zu formuliere, ist dieser Abschitt über mathematische Logik agefügt. Defiitio 2.1. Eie (mathematische) Aussage P ist ei Satz, der etweder wahr oder falsch ist. Die Negatio P eier Aussage P ist geau da wahr, we P falsch ist ud geau da falsch, we P wahr ist. Bezoge auf die Vierecke i Abb. 2.1 soll etschiede werde, welche der Sätze mathematische Aussage sid ud ob die Aussage wahr oder falsch sid. Das Viereck aus Abb. 2.1 hat gleiche Seiteläge. Das ist keie mathematische Aussage (welches Viereck?). Die Vierecke A ud D habe je gleiche Seiteläge. Das ist eie mathematische Aussage, die wahr ist. Alle Vierecke aus Abb. 2.1 habe je gleiche Seiteläge. Das ist eie mathematische Aussage, die falsch ist. Midestes ei Viereck aus Abb. 2.1 hat gleiche Seiteläge. Das ist eie mathematische Aussage, die wahr ist (A oder D). Wie viele Vierecke aus Abb. 2.1 sid Rechtecke? Das ist keie mathematische Aussage (soder eie Frage). T. Pampel, Mathematik für Wirtschaftswisseschaftler, Spriger-Lehrbuch, 35 DOI / _2, c Spriger-Verlag Berli Heidelberg 2010

2 36 2 Mathematische Vorgehesweise A B C D Abb. 2.1 Verschiedee Vierecke Amerkug 2.1. Etscheided dafür, ob ei Satz eie mathematische Aussage ist, ist auch, dass die auftretede Begriffe bekat sid. Beispielsweise ist keier der obige Sätze eie mathematische Aussage, we Ihe icht bekat ist, was ei Viereck ist. Nu werde die Negatioe zu eiige Aussage agegebe: Jedes Auto auf dem Parkplatz ist rot. Die Negatio lautet: Auf dem Parkplatz steht midestes ei Auto, das icht rot ist. Auf dem Parkplatz steht (midestes) ei rotes Auto. Die Negatio lautet: Auf dem Parkplatz steht kei rotes Auto. Auf dem Parkplatz steht geau ei rotes Auto. Die Negatio lautet: Auf dem Parkplatz steht etweder kei rotes Auto oder es stehe midestes zwei rote Autos auf dem Parkplatz. I viele Fälle sid mathematische Aussage vo der Form We... gilt, da gilt auch.... Solche Aussage werde als Implikatio bezeichet. Defiitio 2.2. Eie Implikatio ist eie Aussage der Form We P gilt, da gilt auch Q, wobei P ud Q zwei Aussage sid. Die mathematische Beschreibug hierfür ist P = Q. Wichtig ist es, textliche Umschreibuge vo P = Q zu erkee. Textliche Beschreibuge eier Implikatio: We P gilt, da gilt auch Q. Aus P folgt Q. P ist eie hireichede Bedigug für Q. Q ist eie otwedige Bedigug für P.

3 2.2 Defiitio, Satz, Lemma, Korollar 37 Als Beispiel wird eie Implikatio u auf verschiedee Weise beschriebe: We ei Viereck A ei Quadrat ist, da hat A gleiche Seiteläge. Daraus, dass ei Viereck A ei Quadrat ist, folgt, dass A gleiche Seiteläge besitzt. Eie otwedige Bedigug dafür, dass ei Viereck A ei Quadrat ist, ist, dass A gleiche Seiteläge besitzt. Eie hireichede Bedigug dafür, dass ei Viereck A gleiche Seiteläge besitzt, ist, dass es ei Quadrat ist. I viele Fälle soll eie Aussage durch eie adere äquivalete Aussage ersetzt werde; isbesodere we bei der adere Aussage bekat ist, dass sie wahr ist. Defiitio 2.3. Zwei Aussage P ud Q heiße äquivalet, we sowohl P = Q als auch Q = P gilt. Die mathematische Beschreibug hierfür ist P Q. Auch für P Q gibt es verschiedee textliche Umschreibuge. Textliche Beschreibuge vo Äquivalez: P gilt geau da, we Q gilt, P gilt da ud ur da, we Q gilt, P ist otwedig ud hireiched für Q. Beispiel 2.1. Ei Viereck ist geau da ei Quadrat, we es ei Rechteck ist ud gleiche Seiteläge hat. Ei Viereck ist da ud ur da ei Quadrat, we es ei Rechteck ist ud gleiche Seiteläge hat. Notwedig ud hireiched dafür, dass ei Viereck ei Quadrat ist, ist, dass es ei Rechteck mit gleiche Seiteläge ist. 2.2 Defiitio, Satz, Lemma, Korollar Eie ausführliche Zusammestellug ud Erläuterug mathematischer Begriffe ud viele weitere Hiweise zum Umgag mit de typische Bezeichuge der Mathematik fide sich i Beutelspacher (1992). I diesem kurze Abschitt werde weige typische Begriffe erklärt, die bei mathematische Argumetatioe auch i diesem Buch häufig auftrete.

4 38 2 Mathematische Vorgehesweise Neue Begriffe werde durch Defiitioe eigeführt. Zusammehäge ud Folgeruge aus bisher Bekatem werde möglichst präzise i eiem Satz beschriebe. Zu eiem Satz gehört auch ei Beweis, i dem achgewiese wird, dass die Aussage des Satzes richtig ist. Syoym werde oft auch die Begriffe Propositio oder Theorem beutzt, wobei Theorem oft auch im Sie vo zetraler Satz gebraucht wird. Ei Lemma lässt sich meist als techischer Hilfssatz umschreibe. Es präzisiert Teilergebisse, die für de eigetliche Satz oder eie Beweis beötigt werde. Eie adere Bedeutug Hauptgedake, z. B. Lemma vo Zor tritt hauptsächlich i mathematische Texte auf ud selte i Aweduge. Ei Korollar ist eie direkte Folgerug aus eiem voragegage Ergebis ud bezieht sich oft auf eie Spezialfall, der vo dem allgemeiere Ergebis bereits abgedeckt ist. 2.3 Der mathematische Beweis Auch i viele ökoomische Arbeite werde Aussage mathematisch bewiese. Aus diesem Grud ist es otwedig, die wichtigste Beweistechike zu kee. Diese werde u kurz beschriebe. 1. Direkter Beweis Beutze mathematische Aussage, vo dee bekat ist, dass sie wahr sid ud folgere hieraus die behauptete Aussage. 2. Idirekter Beweis oder Beweis durch Widerspruch Nimm das Gegeteil der behauptete Aussage a, bzw. imm a, dass die behauptete Aussage falsch ist. Folgere, dass da ei Widerspruch auftritt, z. B. dass eie falsche mathematische Aussage gelte müsste. Damit ka die behauptete Aussage icht falsch sei, sie muss also wahr sei. 3. Iduktiosbeweis (ur für atürliche Zahle) Iduktiosafag: Zeige: Die Aussage gilt für eie atürliche Zahl 0. Iduktiosschritt: Zeige: We die Aussage für eie atürliche Zahl gilt, da ist die Aussage auch für + 1 wahr. Damit ist die Aussage für alle atürliche Zahle 0 gezeigt. Diese Beweistechike werde u ahad vo Beispiele erläutert. 1. Der Nachweis vo ( ) ( i + ) ( i+1 = +1 i+1), der Regel für Biomialkoeffiziete auf Seite 23, war ei Beispiel für eie direkte Beweis. Diese Gleichug wurde aus de Defiitioe der Fakultät ud des Biomialkoeffiziete sowie aus de Recheregel hergeleitet. Als weiteres Beispiel wird direkt beweise, dass qi = 1 q+1 1 q für N ud q 1 ist. Mit de bisherige Recheregel ud eiige (geschickte) Umformuge ergibt sich:

5 2.3 Der mathematische Beweis 39 (1 q) q i = (1 q)q i = (q i q i+1 ) =(q 0 q 1 )+(q 1 q 2 )+...+(q 1 q )+(q q +1 ) = q 0 q 1 + q 1 q 2 + q 2 q q 1 q + q q +1 }{{}}{{}}{{}}{{} =0 =0 =0 =0 = 1 q +1. Dividiere dieser Gleichug durch (1 q) ergibt die Behauptug. 2. Als Beispiel für eie Beweis durch Widerspruch wird gezeigt, dass x 2 = 2 keie ratioale Lösug besitzt. Ageomme es gibt eie ratioale Lösug vo x 2 = 2. Da gibt es atürliche Zahle p,q N, diekeie gemeisame Teiler besitze (soweit wie möglich gekürzt), so dass ( p q) 2 = 2 gilt. Da gilt auch p 2 = 2q 2 ud p 2 ist gerade. Somit ist auch p gerade (eigetlich wäre dies auch zu zeige) ud k := p 2 N. Daraus folgt (2k)2 = 2q 2 ud 2k 2 = q 2. Das impliziert, dass auch q gerade ist. Folglich besitze p ud q de gemeisame Teiler 2, was ei Widerspruch ist (Aahme: p ud q habe keie gemeisame Teiler, siehe obe). Damit ka die Aahme, es gebe eie ratioale Lösug vo x 2 = 2, icht wahr sei ud das Gegeteil muss gelte. 3. Ei Beispiel für eie Iduktiosbeweis (bzw. eie Beweisskizze) trat beim Beweis vo Satz 1.1 (Seite 24) auf. Nu beweise wir die Aussage qi = 1 q+1 1 q für N ud q 1 och eimal; diesmal mit vollstädiger Iduktio. Iduktiosafag: Für = 0 gilt offesichtlich 0 q i = q 0 = 1 = 1 q0+1 1 q. Iduktiosschritt: Ageomme qi = 1 q+1 1 q + 1: gilt für, da gilt für +1 q i = q +1 + q i = q q+1 1 q = q+1 q +2 1 q (aus der Iduktiosvoraussetzug folgt) + 1 q+1 1 q = 1 q+2 1 q. Also gilt die Formel für + 1, we sie für gilt. Nach dem Prizip der vollstädige Iduktio gilt sie somit für alle atürliche Zahle 0. Machmal ist es eifacher zu zeige, dass eie bestimmte Aussage icht gilt. I solche Fälle ist folgeder Zusammehag der Kotrapositio oder Umkehrschluss geat wird hilfreich:

6 40 2 Mathematische Vorgehesweise Satz 2.1. Seie P ud Q zwei Aussage, da gilt P = Q geau da, we Q = P, ud P Q geau da, we Q P. Dieser Zusammehag wurde beispielsweise i Defiitio 1.5 beutzt, als f (x 1 )= f (x 2 )= x 1 = x 2 ud x 1 x 2 = f (x 1 ) f (x 2 ) als äquivalet agegebe wurde. Aufgabe zu Kapitel 2 Aufgabe zu Abschitt Welche der folgede Sätze sid mathematische Aussage? Gebe Sie zu de Aussage a, ob sie wahr oder falsch sid. Gebe Sie die Negatio a. a) Jede Woche hat 7 Tage. c) Jedes Jahr hat 365 Tage. e) Hat der Jauar 31 Tage? 2.2. Betrachte ei Viereck A ud folgede Aussage: P = Das Viereck A ist ei Parallelogramm. Q = Das Viereck A ist ei Quadrat. R = Das Viereck A ist ei Rechteck. S = Das Viereck A hat gleiche Seiteläge. b) Der Moat hat 30 Tage. d) Jede Nacht hat 12 bis 13 Stude. f) Es gibt Moate mit weiger als 30 Tage. Welche der folgede Implikatioe oder Äquivaleze sid richtig? a) P = Q c) Q = P e) P Q Aufgabe zu Abschitt Zeige Sie durch vollstädige Iduktio ( + 1) a) i = b) 2 c) i=1 i=1 (2i 1)= 2 b) Q R ud S d) Q P ud S i=1 1 i (i + 1) = + 1

7 Teil II Folge ud Reihe

8 I diesem Teil werde Folge ud Reihe behadelt. Folge spiele eie wichtige Rolle, we zeitliche Etwickluge beschriebe werde. Typische Beispiele sid die Beschreibug vo Koteetwickluge oder die Aalyse vo Quartalszahle eier Volkswirtschaft. Desweitere lässt sich der Grezwertbegriff gut ahad vo Folge erkläre. Nebe de Folgeglieder iteressiert machmal auch ihre Summe. Solche aufsummierte Folgeglieder defiiere eie Reihe. Ei Beispiel hierfür ist der Gegewartswert eier Geldalage, die über mehrere Periode eie Ertrag liefert. Ei aderes Beispiel ist bei Wachstumsmodelle der diskotierte zuküftige Nutze, über de optimiert wird. Desweitere ka die i de Wirtschaftswisseschafte wichtige Expoetialfuktio über Reihe defiiert werde.

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