Zahlenlehre 1. Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften und die Zahlentheorie ist die Königin der Mathematik (Carl Friedrich Gauß)

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1 Die Mathematik ist die Köigi der Wisseschafte ud die Zahletheorie ist die Köigi der Mathematik (Carl Friedrich Gauß) Zahlelehre. Termi, Wie 04 Mag. a Dagmar Kerschbaumer

2 Letzter Termi Eiführug i die Zahletheorie Begriffsklärug (Axiom, Satz, Beweis ) Peao-Axiome (N)

3 Beweisarte Zahlelehre Direkte Beweise Propositio (Quadrate gerader Zahle): Das Quadrat eier gerade Zahl ist gerade. Vorgag: mit der Voraussetzug begie umforme daraus die Behauptug herleite

4 Zahlelehre Behauptug: A \ B B \ A A B

5 Übugsaufgabe Zahlelehre Übugsaufgabe : Megelehre, logisches Schließe: Megelehre (Symbole aus der Megelehre) Grudbegriffe des logische Schließes (Symbole aus der Logik) vorstelle (ikl. Kurzbeispiele) Übugsaufgabe (direkter BW): a) Beweise Sie, dass die Summe vo zwei gerade Zahle wieder gerade ist. b) Beweise Sie, dass das Quadrat eier ugerade Zahl wieder ugerade ist. (Amerkug: ka auch idirekt gezeigt werde)

6 Zahlelehre Idirekter Beweise Satz: Es gibt keie ratioale Zahl x mit x² =. Vorgag: das Gegeteil aehme logische Schlusskette aufbaue das führt i eie Widerspruch Daher ka die Aahme icht richtig gewese sei ud daher muss das Gegeteil (also die Behauptug des Satzes) wahr sei.

7 Übugsaufgabe Zahlelehre Übugsaufgabe 3 (idirekter BW): a, b a b Zeige Sie, dass für aus die Ugleichug a b a b folgt. Prüfe Sie, ob auch die Umkehrug gilt.

8 Zahlelehre Prizip der vollstädige Iduktio: Das 5. Peao-Axiome ist wesetlich für das Beweisverfahre der vollstädige Iduktio. D.h., we eie Aussage, falls sie auf ei allgemeies zutrifft, auch auf de Nachfolger vo zutrifft, ud we diese Aussage für gilt, da gilt sie für alle atürliche Zahle. (vgl.. Semiartermi: 5) Ist M eie Teilmege vo N mit a є M ud ethält M zu jedem Elemet auch desse Nachfolger, so gilt M = N.) () Behauptug () Iduktiosafag: Ma zeigt, die Behauptug ist richtig. Amerkug: Häufig begit ma bei der vollstädige Iduktio mit (ma köte auch mit 0 begie). (3) Iduktiosschritt: Ma immt u a, dass diese Behauptug auch für gilt ud folgert daraus, dass sie auch für + gilt.

9 Zahlelehre Gaußsche Summeformel arithmetische Reihe (Summe aufeiaderfolgeder atürlicher Zahle) Carl Friedrich Gauß ( , Göttige) erster Beweis für de Fudametalsatz der Algebra (i seier Dissertatio) Zahletheorie Theorie der Himmelsmechaik Buchtipp: Kehlma, Daiel: Die Vermessug der Welt (Rowohlt, Reibek 005). (auch verfilmt 0; fiktive Doppelbiographie, Carl Friedrich Gauß ud Alexader vo Humboldt, )

10 BW: () Behauptug: = () Iduktiosafag: (3) Iduktiosschritt: Wir ehme a, dass die Formel für gilt ud zeige, dass sie auch für + gilt = + + = qed Zahlelehre 3

11 Übugsaufgabe Zahlelehre Übugsaufgabe 5 (vollstädige Iduktio): Zeige Sie, dass für die Summe vo m atürliche Zahle gilt: m k k² m m m Übugsaufgabe 6 (vollstädige Iduktio): Zeige Sie, dass für alle atürliche Zahle gilt: Übugsaufgabe 7 (Fiboacci-Zahle): Stelle Sie die Fiboacci-Zahle vor (Kaiche Problem, Defiitio) ud zeige Sie, dass für die Fiboacci-Zahle die Beziehug 6 k k k i F i F F für alle atürliche Zahle gilt.

12 Arbeitsphase im Semiar Zahlelehre I) Zeige Sie durch Iduktio, dass für die Summe vo m atürliche Zahle gilt: m 3 m m k k

13 Verwedete Literatur Zahlelehre Fachliteratur: Kaiser, Has, Nöbauer, Wilfried: Geschichte der Mathematik (3. Auflage, Müche, Wie 00). Reiss, Kristia, Schmieder, Gerald: Basiswisse Zahletheorie. Eie Eiführug i Zahle ud Zahlebereiche (3. Auflage, Berli Heidelberg 04). Schichl, Herma, Steibauer Rolad: Eiführug i das mathematische Arbeite (., überarbeitete Auflage, Berli Heidelberg 0).