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1 Mathemati für die Physi I, WS 2018/2019 Freitag 9.11 $Id: reell.te,v /11/09 11:16:39 h Ep $ 1 Die reelle Zahle 1.5 Poteze mit ratioale Epoete Wir sid gerade mit de Vorbereituge zur allgemeie biomische Formel beschäftigt ud hatte isbesodere die sogeate Biomialoeffiziete eigeführt. Ma a die Biomialoeffiziete beuem über das sogeate Pascalsche Dreiec bereche. Dee wir us die Biomialoeffiziete ) zu feste zeileweise ageordet ) 0 0 ) 1 ) ) 2 ) 2 ) ) 3 ) 3 ) 3 ) so ergibt sich der -te Biomialoeffiziet i Zeile als die Summe des 1)-te ud des -te Biomialoeffiziete i Zeile 1, d.h. als die Summe der lis ud rechts über ihm stehede Eiträge. Beispielsweise erhalte wir für 1, 2, 3, 4, 5, 6 die Werte Als Formel geschriebe bedeutet das Pascalsche Dreiec das für alle, N mit 1 stets ) ) )

2 Mathemati für die Physi I, WS 2018/2019 Freitag 9.11 gilt. Dies läßt sich leicht achreche + 1! 1)! + 1 )! +!! )! + 1 )! + 1! )!! + 1)! + 1 )! + 1)!! + 1 )! Damit habe wir alle otwedige Hilfsmittel bereitgestellt um u die allgemeie biomische Formel zu behadel. Lemma 1.7 Allgemeie biomische Formel) Für alle, y R, N gilt + y) 0 y. ). Beweis: Seie, y R gegebe. Wir beweise die biomische Formel durch Idutio ach. Wege ) 0 + y) y 0 0 gilt die biomische Formel für 0 ud der Idutiosafag ist achgewiese. Nu sei ei N mit + y) y gegebe. Multipliziere wir diese Gleichug mit + y, so folgt weiter 0 + y) +1 + y) y +1 y + y y + +1 y [ ) )] y + y y + y y, 1 ud wir habe de Idutiosschritt durchgeführt. Per vollstädiger Idutio ist das Lemma damit bewiese

3 Mathemati für die Physi I, WS 2018/2019 Freitag 9.11 Beispielsweise sid damit 1 + 1) 2 ud 0 1) 1 1) 0, letzteres für 1. Koret habe wir für eiige leie Werte des Epoete die Gleichuge + y) y + y 2, 0 + y) y + 3y 2 + y 3, + y) y y 2 + 4y 3 + y 4, + y) y y y 3 + 5y 4 + y 5, + y) y y y y 4 + 6y 5 + y 6. Wir wolle och eie erste Awedug der biomische Formel vorführe ud de Beweis der Beroullische Ugleichug im Hauptfall 0 vereifache. Sid N ud R mit 0, so ist auch 0 für jedes N ud damit folgt sofort 1 + ) 0 ) ) 1 +. Adere Abschätzuge für Poteze vo 1 + a ma jetzt gaz aalog durch weitere Aweduge der biomische Formel erhalte. Sid beispielsweise N ud 1 gegebe, so folgt für jedes R mit 0 auch 1 + ) l0 l ) l 1 + ). Hier habe wir eifach alle Terme bis auf zwei i der biomische Formel weggelasse, was de Ausdruc wege 0 leier macht. Damit habe wir die Poteze mit atürlichzahlige Epoete behadelt, ud als ächste Schritt defiiere wir die Poteze mit egative, gazzahlige Epoete. Diese a ma aber ur och für eie vo Null verschiedee Basis eiführe. Bereits im Aiom M4) habe wir für 0 R die Schreibweise 1 eigeführt, ud ach userer Bruchdefiitio ist Für N mit 1 ud 0 R setze wir allgemei : 1 1 ), für 1 ist dies wege 1 weiterhi das multipliative Iverse vo. Auch für diese allgemeiere Potezbegriff gelte da die Potezrecheregel y) y, y y, m +m ud ) m m 6-3

4 Mathemati für die Physi I, WS 2018/2019 Freitag 9.11 für alle, y R\{0},, m Z. All diese Formel a ma auf die etsprechede Aussage für Poteze mit atürliche Epoete zurücführe. I der Vorlesug hatte wir darauf verzichtet dies vorzuführe, hier wolle wir es aber ruhig eimal tu. Seie also, y R\{0} gegebe. Wir begie mit y) y ud für N wisse wir dies bereits. Für jedes N mit 1 ist weiter y) 1 y) 1 y 1 1 y y, wobei wir hier ud im folgede die i Aufgabe 3) achgewiesee Bruchrecheregel verwede. Die Formel für Poteze vo Brüche habe wir im Fall atürlicher Epoete bereits eigesehe ud für egative Epoete, ist für jedes N mit 1 zuächst 1 y 1 ) y 1 ) 1) y y ) 1) 1 y ) 1 y 1 ud somit auch y ) y 1 ) y 1 ) y ) 1 y. Nu wolle wir die Formel ) m m für alle, m Z eisehe, welche wir im Fall, m N bereits ee. Die Formel gilt auch stets we 0 oder m 0 ist, de für jedes N mit 1 ist 0 ) ) ud ) 0 1 ) 0. Bei de verbleibede drei Fälle habe wir für alle, m N mit, m 1 auch ) ) m m m 1 1 m ) m, ) m 1 ) 1 m m m m), ) ) m ) m m ) 1) m m ) m), ud damit ist ) m m für überhaupt alle, m Z gezeigt. Damit omme wir zur letzte der vier Formel, also m +m, die wir für, m N bereits ee. Für, m N mit, m 1 habe wir auch ) m +m m +m) )+ m). Für die beide gemischte Fälle reicht es m m für alle, m N mit m 1 zu zeige. Im Fall m sid m N ud m m m 1 ) m m 1 ) m m 1 m m 6-4

5 Mathemati für die Physi I, WS 2018/2019 Freitag 9.11 währed wir im Fall m > stets m N ud m 1 ) m 1 ) 1 ) m 1 ) m ) 1 m m habe. Damit habe wir die Potezrecheregel auch im Fall gazzahliger Epoete achgewiese. Eie verüftige Formel für Poteze vo Summe bei egative Epoete gibt es leider icht. Ordugsbeziehuge drehe sich bei egative Epoete um, für, y R mit, y > 0 habe wir zuächst ud für jedes N mit 1 folgt weiter < y 1 y < 1 also habe wir isgesamt 1 y < 1 1 y ) < 1,, y R,, y > 0) Z, < 0) : < y y <. Die Aordugseigeschafte bezüglich des Epoete gelte dagege auch für gazzahlige Epoete uverädert weiter, d.h. wir habe R, > 1), m Z) : < m < m ud R, 0 < < 1), m Z) : < m > m. Um dies zu zeige seie, m Z gegebe. Weiter sei > 1 eie reelle Zahl. Im Fall, m N wisse wir bereits das < m gleichwertig zu < m ist ud im Fall, m < 0 habe wir 0 < 1 < 1 ud damit ebefalls < m 1 ) < 1 ) m > m < m. I de beide gemischte Fälle gilt usere Behauptug ebefalls, für < 0 m habe wir 1 ) < 1 m währed für m < 0 ebeso 1 > 1 ) m m gilt. Ist schließlich eie reelle Zahl mit 0 < < 1 so habe wir 1 > 1 ud somit < m 1 ) < 1 ) m < m > m. Die ächste Ausdehug des Potezbegriffs erfolgt auf ratioale Epoete, d.h. wir wolle Poteze a für reelles R mit > 0 ud ratioales a Q defiiere. Dies erfolgt durch Rücgriff auf reelle Wurzel, aber leider sage usere Aiome für die reelle Zahle icht diret das es solche Wurzel überhaupt gibt. Wie scho bemert lege die agegebee Aiome die reelle Zahle vollstädig fest, wir sollte die Eistez vo Wurzel also beweise öe. Um de Beweis übersichtlich zu halte, wolle wir zuächst eiige leie Vorüberleguge astelle. Sid, y R mit < y, so folgt + 2 < + y < y + y 2 y,

6 Mathemati für die Physi I, WS 2018/2019 Freitag 9.11 also ist z : + y)/2 eie reelle Zahl zwische ud y, d.h. < z < y. Weiter behaupte wir das es für je zwei reelle Zahle, y R mit 0 < y stets eie reelle Zahl z R mit z > 1 ud z < y gibt. Für 0 ist dies etwa mit z : 2 erfüllt ud für > 0 habe wir y/ > 1, also eistiert z R mit 1 < z < y/ ud durch Multipliatio mit > 0 folgt z < y. Nu seie N mit 1 ud, y R mit > 0 ud < y gegebe. Wir behaupte das es da auch ei z R mit z > ud z < y gibt. Zuächst gibt es ämlich eie reelle Zahl u > 1 mit u < y. Da ist u 1 > 0 also ist { } u 1 ɛ : mi 2 1, 1 eie reelle Zahl mit 0 < ɛ 1 ud )ɛ u. Wir erhalte die reelle Zahl z : 1 + ɛ) >. Wege ɛ 1 gilt ɛ ɛ für jedes N mit 1, also liefert die biomische Formel Lemma 7 ud somit ist auch 1 + ɛ) 0 ɛ z 1 + ɛ) u < y. ɛ )ɛ u Eie aaloge Aussage läßt sich auch i die adere Richtug beweise, sid N mit 1 ud, y R mit > 0 ud > y > 0, so eistiert eie weitere reelle Zahl z R mit 0 < z < ud z > y. I der Tat, betrachte wir die positive Zahle 1/, 1/y > 0 mit 1/) 1/ < 1/y, so gibt es ach der ebe bewiesee Aussage ei z R mit z > 1/ ud z < 1/y. Damit ist auch z : 1 z < mit z > 0 ud z 1 z > y. Nach diese Vorbereituge omme wir zum Beweis der Eistez vo Wurzel reeller Zahle. Lemma 1.8 Eistez vo Wurzel) Sei N mit 1. Da eistiert für jede reelle Zahl a R mit a 0 geau eie reelle Zahl s R mit s 0 ud s a. Beweis: Da für, y R mit 0 < y stets < y also isbesodere y gilt, ist die Eideutigeit der Wurzel s lar. Es ist also ur och die Eistez zu beweise. Wir betrachte zuächst de Fall a 1 ud setze M : { R > 0 ud a} R. Wege 1 M ist da M. Weiter ist a eie obere Schrae vo M, de ist M so gilt im Fall 1 sofort 1 a ud im Fall > 1 habe wir ebefalls a. 6-6

7 Mathemati für die Physi I, WS 2018/2019 Freitag 9.11 Damit ist die Mege M auch ach obe beschrät ud das Vollstädigeitsaiom V) liefert die Eistez vo s : sup M sup{ R > 0 a}. Wege 1 M ist s 1, also isbesodere s > 0. Wir behaupte das s a ist ud hierzu zeige wir das weder s < a och s > a gelte a. Ageomme es wäre s < a. Wie eigags gezeigt gibt es da ei t R mit t > s ud t < a, d.h. es ist t M ud somit t s, ei Widerspruch. Wäre s > a, so gibt es wieder ach userer Vorbemerug eie reelle Zahl t R mit 0 < t < s ud t > a. Nach Lemma 3.a) eistiert ei M mit > t ud damit ergibt sich der Widerspruch a < t < a. Damit muss s a gelte ud die Eistez eier -te Wurzel ist im Fall a 1 bewiese. Für a 0 ist die Eistez eier -te Wurzel lar, wir müsse also ur och de Fall 0 < a < 1 behadel. Da ist 1/a > 1 ud wie bereits gezeigt eistiert ei s R mit s 0 ud s 1/a. Wege 1/a 0 ist auch s 0 ud damit ist 1/s > 0 mit 1/s) a. Die Zahl s des Lemmas wird da atürlich als die -te Wurzel a : s vo a defiiert, d.h. a ist diejeige, icht egative, reelle Zahl dere -te Potez gleich a ist. Aus de Potezrecheregel folge sofort die Recheregel für Wurzel, d.h. sid, y R mit, y 0 ud, m N mit, m 1, so habe wir y y, m m ud im Fall y > 0 auch y. y Auch auf de Beweis dieser Regel habe wir i der Vorlesug verzichtet, ud er soll hier vorgeführt werde. Für die erste Regel beachte das y 0 mit y ) y y ist, also y y ach Defiitio der Wurzel. Für die zweite Regel gehe wir aalog vor, es ist m 0 mit m m m ) m m m, ud dies bedeutet m m. Für die dritte Eigeschaft ehme y > 0 a ud erhalte die reelle Zahl / y 0 mit ) y y y, also ist auch i diesem Fall /y / y. Weiter a ma u auch überlege wie sich die Kleier-Relatio mit der Wurzelbildug verträgt. Sid, y R mit, y 0 ud N mit 1, so habe wir < y ) < y) < y. 6-7

8 Mathemati für die Physi I, WS 2018/2019 Freitag 9.11 Auch das Verhalte der Wurzel bezüglich läßt sich etspreched utersuche. Seie hierzu wieder, m N mit, m 1 ud R mit 0 gegebe. Beachte wir da ) m ) ) m m ud aalog m ) m so ergibt sich zuächst < m m < also ist im Fall > 1 geau da < m we > m ist währed im Fall 0 < < 1 geau da < m gilt we < m ist. Nachdem die Eistez vo Wurzel gesichert ist, öe u Poteze mit positiver Basis ud ratioale Epoete defiiert werde. Sid hierzu R mit > 0 ud a Q gegebe, so schreibe wir a p/ mit p, Z, 1 ud defiiere a p : ) p > 0. Diese Zahl hägt tatsächlich ur vo a ud icht vo de speziell gewählte p ud ab, de sid auch t, s Z mit s 1 ud a t s p, so ist auch t sp, also habe wir ) p ) s ) ps ) ) ps ps t s ) s) t s ) st s ) t ) s, ud somit ist auch ) p s ) t. Damit ist a tatsächlich sivoll defiiert. Im gazzahlige Fall a Z stimme die so defiierte Poteze mit de früher defiierte Poteze mit gazzahlige Epoete überei, wir öe ämlich a a/1 schreibe ud habe damit a/1 1 ) a a. Beispielsweise sid 2/3 3 ) 2 für jedes > 0, ud oret 16 3/2 16) oder 16 5/4 4 16) Weiter ist wieder für eie allgemeie ratioale Zahl a p/ wie obe stets 1 a 1) p 1 p 1, ud für jedes N mit 1 ist 1/ ) 1. Auch für diese allgemeiere Poteze ergebe sich jetzt wieder die Potezrecheregel y) a a y a, y ) a a y a, a ) b ab ud a b a+b für alle, y R, a, b Q mit, y > 0. Auf de Nachweis dieser Formel wurde i der Vorlesug wieder verzichtet, so dass wir dies hier achhole wolle. Zuächst beötige wir eie weitere Wurzelformel, wir behaupte das für alle R mit > 0 ud alle, m Z mit 1 stets m ) m gilt. Hierzu reche wir ) m) ) m ) ) m m ud dies bedeutet m ) m, wie behauptet. Damit omme wir zu de geate Potezregel. Seie also, y R mit, y > 0 gegebe. Weiter sei a Q ud schreibe a p/ mit p, Z, 1. Da ist y) a y) p y) p ) p y) p a y a 6-8

9 Mathemati für die Physi I, WS 2018/2019 Freitag 9.11 ud aalog ) a ) p ) p ) p y y y y) a p y. a Für die adere beide Formel sei auch b Q geschriebe als b t/s mit t, s Z, s 1. Da ist a ) b s ) a ) t s t ) t ) p s p s ) t p s ) p) t s ) pt pt s ab ud die dritte userer Formel ist bewiese. Für die verbleibede Formel beachte wir a + b ps + t)/s) mit ps + t Z, s N\{0} ud erhalte a+b s ) ps+t s ) ps s ) s ) p ) ) t ) t s s ) p s ) t a b. Auch die Regel für Ugleichuge gelte für die Poteze mit ratioale Epoete. Seie hierzu, y R mit, y 0 gegebe. Weiter sei a Q eie ratioale Zahl ud schreibe a p/ mit p, Z, 1. Ist da a > 0 so habe wir auch p 1 ud folglich < y < y ) p < y) p a < y a. Ist der Epoet a < 0 egativ, so ist dagege p < 0 ud wir habe < y < y ) p > y) p a > y a. Für die Aordug bezüglich des Epoete seie a, b Q gegebe ud schreibe diese mit gemeisame Neer als a p/r, b /r mit p,, r Z, r 1. Ist da > 1 so habe wir auch r > 1 ud somit wird a < b p < r ) p < r ) a < b, währed für 0 < < 1 auch 0 < r < 1 gilt, also wird i diesem Fall a < b a > b. Damit habe wir de Potezbegriff mit ratioale Epoete vollstädig etabliert, ud im letzte Abschitt dieses Kapitels omme wir zum allgemeie Potezbegriff bei dem auch reelle Epoete auftrete öe. 6-9

10 Mathemati für die Physi I, WS 2018/2019 Freitag Allgemeie reelle Poteze Die letzte Erweiterug des Potezbegriffs erfolgt jetzt auf Poteze a mit beliebige reelle Epoete a R ud positiver Basis > 0. Diese wolle wir auf die scho eigeführte Poteze mit ratioale Epoete zurücführe idem wir eie allgemeie reelle Koeffiziete durch ratioale Epoete aäher ud da die etstehede Poteze als Näheruge der zu defiierede Potez verwede. Wolle wir zum Beispiel die Potez 2 2 defiiere, so öe wir die Wurzel 2 1, durch die Afagsstüce ihrer Dezimaletwiclug approimiere ud habe 2 1 2, 2 1,4 2, , 2 1,41 2, , 2 1,414 2, , 2 1,4142 2, als immer bessere Näheruge vo 2 2, tatsächlich wird 2 2 2, gelte. Dieser Asatz ist allerdigs och etwas ugeschict, zum eie habe wir die Dezimaletwiclug bislag gar icht auf Basis userer Aiome eigeführt, ud wolle dies auch icht tu, ud zum adere ist sie auch ur recht schwerfällig hadhabbar. Viel eifacher ist es de reelle Epoete 2 durch die Mege überhaupt aller leiere ratioale Zahle azuäher, da aufgrud der bereits bewiesee Potezgesetze für alle p, Q mit p < 2 stets auch 2 p < 2 ist, sollte da 2 2 sup{2 Q, 2} sei. Will ma dies als Defiitio verwede ist allerdigs och ei leies Detail zu beachte, im Fall eier Basis 0 < a < 1 gilt für alle p, Q mit p < a stets a p > a, bei Base leier als Eis sollte also ei Ifimum astelle eies Supremums verwedet werde. Defiitio 1.9 Poteze mit reelle Epoete) Sei a R. Für jedes R mit 1 defiiere wir da ud für R mit 0 < < 1 sei a : sup{ Q, a} a : if{ Q, a}. Im Fall ratioaler Epoete stimme die so defiierte Poteze mit dem Potezbegriff des vorige Abschitts überei, de sid R ud a Q so folgt mit de Mootoieeigeschafte der Potez bezüglich des Epoete im Fall 1 ud im Fall 0 < < 1 ist ebeso a ma{ Q, a} sup{ Q, a} a mi{ Q, a} if{ Q, a}. 6-10

11 Mathemati für die Physi I, WS 2018/2019 Freitag 9.11 Der Nachweis der Potezrecheregel ist ahad der obige Defiitio allerdigs etwas mühsam, ud wurde i der Vorlesug auch icht vorgeführt. I 11.4 wird sich ei beuemer zu hadhabeder Zugag zu de Potezfutioe eröffe, ud wir verschiebe diese Überleguge daher auf