Einige Beispiele für Mengen im R n.

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1 Eiige Beispiele für Mege im R. Itervalle i R. Seie a, b R mit a < b. [a, b] : {x a x b} abgeschlossees Itervall (a, b : {x a < x < b} offees Itervall [a, b : {x a x < b} halboffees Itervall (a, b] : {x a < x b} halboffees Itervall Querschitt eies T Trägers. M : M 1 M 2 M 1 : [ α 2, α ] [ γ, 0] 2 M 2 : [ ( α ( α ] 2 + β, 2 + β [0, δ] Jes Strucmeier (Mathemati, UiHH Aalysis I für Igeieure 23 / 62 Kapitel 1. Aussage, Mege ud Futioe 1.3. Futioe Defiitio: Seie M ud N Mege. Uter eier Futio (oder eier Abbildug vo M ach N verstehe wir eie Vorschrift, die jedem Elemet x M geau ei Elemet y N zuordet. Die Zuordug x y ist also eideutig. Notatioe ud Bezeichuge. f : M N, y f (x bzw. x f (x für alle x M. Somit gilt: f : M N x M : 1 y N : y f (x M et ma Defiitiosbereich (oder Urbildbereich vo f. N et ma Zielmege (oder Bildbereich vo f. Die Mege heißt Graph der Futio f. graph(f {(x, f(x x M} M N Jes Strucmeier (Mathemati, UiHH Aalysis I für Igeieure 24 / 62

2 1.3. Futioe Sei f : M N eie Futio. 1 Zu A M heißt die Mege f (A {f (a N a M} N das Bild vo A uter der Futio f. 2 Zu B N heißt die Mege f 1 (B {a M f (a B} M das Urbild vo B uter der Futio f. Für vorgegebee Mege M ud N ud eie Futio f : M N defiiere wir u die Begriffe surjetive, ijetive ud bijetive Futioe. Jes Strucmeier (Mathemati, UiHH Aalysis I für Igeieure 25 / 62 Surjetive, ijetive ud bijetive Futioe. Defiitio: Sei f : M N eie Futio vo M ach N. Die Futio f heißt surjetiv, falls die Gleichug y f (x für alle y N midestes eie Lösug x M besitzt, d.h. y N : x M : y f (x Weiterhi heißt f ijetiv, falls die Gleichug y f (x für y N höchstes eie Lösug x M besitzt, d.h. x 1, x 2 M : (f (x 1 f (x 2 x 1 x 2 Schließlich heißt die Futio f bijetiv, falls f surjetiv ud ijetiv ist. Ei paar Beispiele auf der Folie... Jes Strucmeier (Mathemati, UiHH Aalysis I für Igeieure 26 / 62

3 Surjetive, ijetive ud bijetive Futioe. Bemeruge. 1 Eie ijetive Futio f : M N lässt sich ivertiere, de zu jedem y f (M existiert geau ei x M mit y f (x. 2 Für eie ijetive Futio f : M N wird dere Umehrfutio f 1 : f (M M defiiert durch f 1 (y x für y f (M, wobei f (x y. 3 Falls f : M N bijetiv ist, so gilt f (M N ud f 1 (N M 4 Die Umehrfutio eier reellwertige ijetive Futio eier reelle Variable erhält ma durch Spiegelug a der Diagoale. Ei paar Beispiele auf der Folie... Jes Strucmeier (Mathemati, UiHH Aalysis I für Igeieure 27 / 62 Kompositio vo Futioe. Defiitio: Seie f : M N ud g : N P Futioe. Da ist die Kompositio g f vo f ud g eie Futio defiiert g f : M P, (g f (x g(f (x für x M Wir erhalte also die Hitereiaderschaltug M f N g P bzw. M g f P Eigeschafte vo Kompositioe. 1 Assoziativität. Es gilt h (g f (h g f 2 Kompositioe sid i der Regel icht ommutativ, d.h. g f f g Jes Strucmeier (Mathemati, UiHH Aalysis I für Igeieure 28 / 62

4 Beispiel: Kompositioe sid i der Regel icht ommutativ. Wir betrachte die beide reellwertige Futioe f, g : R R, f (x x 2 + 2x g(x x + 1 die auf gaz R defiiert sid. Da folgt (g f (x g(x 2 + 2x x 2 + 2x + 1 (x (f g(x f (x + 1 (x (x + 1 x 2 + 4x + 3 ud somit gilt g f f g. Jes Strucmeier (Mathemati, UiHH Aalysis I für Igeieure 29 / 62 Die symmetrische Gruppe S(M. Defiitio: Sei M eie ichtleere Mege. Da heißt die Mege S(M {f : M M f bijetiv} die symmetrische Gruppe der Mege M. Isbesodere ist die Idetität id M : M M, defiiert durch id M (x x für alle x M, ei Elemet vo S(M. Die symmetrische Gruppe S(M erfüllt die Gruppeaxiome. G1 h (g f (h g f (Assoziativgesetz G2 f id M id M f f (eutrales Elemet G3 f f 1 f 1 f id M (iverses Elemet Dabei bezeichet f 1 die Umehrfutio vo f. Jes Strucmeier (Mathemati, UiHH Aalysis I für Igeieure 30 / 62

5 Elemetare reelle Futioe I. Affi lieare Futioe. f (x a 1 x + a 0, a 0, a 1 R Polyome. f (x a x + a 1 x a 1 x + a 0 mit a 0, a 1,..., a R, a 0. Die Expoetialfutio f (x a x zur Basis a R, a > 0. Spezialfall: Basis e, wobei die Eulersche Zahl e defiiert ist durch e 0 1! Es gilt die Futioalgleichug a x+y a x a y für alle x, y R Jes Strucmeier (Mathemati, UiHH Aalysis I für Igeieure 31 / 62 Elemetare reelle Futioe II. Der Logarithmus: Umehrfutio der Expoetialfutio f (x log a x : (0, R, a > 0, a 1 Spezialfall: Basis e ergibt de atürliche Logarithmus. Trigoometrische Futioe. Darstellug am Eiheitsreis l(x log(x log e (x y ϕ P 1 si ϕ ta ϕ si ϕ cos ϕ x cos ϕ Jes Strucmeier (Mathemati, UiHH Aalysis I für Igeieure 32 / 62

6 Eigeschafte trigoometrischer Futioe I. Wir defiiere die trigoometrische Futioe über das Bogemaß. Für alle ϕ [0, 2π gilt Periodizität: Für alle ϕ R gilt si, cos : [0, 2π [ 1, 1] si 2 ϕ + cos 2 ϕ 1 si(ϕ si(ϕ + 2π cos(ϕ cos(ϕ + 2π somit sid Sius ud Cosius auf gaz R defiiert. si, cos : R [ 1, 1] Jes Strucmeier (Mathemati, UiHH Aalysis I für Igeieure 33 / 62 Eigeschafte trigoometrischer Futioe II. Symmetrie: Für alle ϕ [0, 2π gilt Wertetafel. si( ϕ si(ϕ, cos( ϕ cos(ϕ ϕ 0 π/6 π/4 π/3 π/2 si ϕ 0 1/2 2/2 3/2 1 cos ϕ 1 3/2 2/2 1/2 0 Additiostheoreme. Für alle α, β R gilt: cos(α + β cos α cos β si α si β si(α + β si α cos β + cos α si β Jes Strucmeier (Mathemati, UiHH Aalysis I für Igeieure 34 / 62

7 Kapitel 2. Zahlebereiche 2.1. Natürliche Zahle Die Mege N {1, 2, 3,... } der atürliche Zahle wird formal durch die Peao Axiome defiiert: (A1 1 N (A2 N ( + 1 N (A3 m ( + 1 (m + 1 (A4 N ( (A5 Für A N gilt das Vollstädigeitsaxiom gilt : 1 A ( : [ A ( + 1 A] A N Bemerug: Die Nachfolgeabbildug ( + 1 ist eie ijetiv. Jes Strucmeier (Mathemati, UiHH Aalysis I für Igeieure 35 / Natürliche Zahle Beweisprizip der vollstädige Idutio. Dabei ist die Gültigeit eier Aussage A( für alle N zu beweise, d.h. es ist zu zeige N : A( wobei A( eie Aussageform ist, die vo N abhägt. Beweisschritte der vollstädige Idutio. (I1 Idutiosafag: 1, d.h. zeige A(1. (I2 Idutiosaahme: Es gelte A(. (I3 Idutiosschluss: + 1 Zeige die Impliatio A( A( + 1. Sid (I1-(I3 durchführbar, so gilt die Aussage A( für alle N. Jes Strucmeier (Mathemati, UiHH Aalysis I für Igeieure 36 / 62

8 Beispiel 1 zur vollstädige Idutio I. Bestimme die Azahl t der Teilmege eier Mege mit Elemete, A {a 1, a 2,..., a } Vorgehe: Betrachte zuächst leie N, z.b. 1, 2, : Die Mege A 1 {a 1 } besitzt die Teilmege, {a 1 }, d.h. t : Die Mege A 2 {a 1, a 2 } besitzt die vier Teilmege ud somit gilt t 2 4., {a 1 }, {a 2 }, {a 1, a 2 } 3 3: Die Mege A 3 {a 1, a 2, a 3 } besitzt t 3 8 Teilmege. Vermutug: Es gilt t 2 für alle N. Jes Strucmeier (Mathemati, UiHH Aalysis I für Igeieure 37 / 62 Beispiel 1 zur vollstädige Idutio II. Satz: Eie elemetige Mege A {a 1,..., a } besitzt 2 Teilmege. Beweis: durch vollstädige Idutio über. Idutiosafag ( 1: Es gilt t Idutiosaahme: Es gelte t 2 für N. Idutiosschluss ( + 1: Zu zeige: A +1 {a 1,..., a, a +1 } hat 2 +1 Teilmege. Schreibe P(A +1 K 1 K 2 für die Potezmege vo A +1, wobei T K 1 a +1 / T T K 2 a +1 T Nach Idutiosaahme besitze K 1 ud K 2 geau t 2 Elemete. Weiterhi gilt ach Kostrutio K 1 K 2. Somit hat P(A +1 isgesamt t +1 t + t Elemete. Jes Strucmeier (Mathemati, UiHH Aalysis I für Igeieure 38 / 62

9 Beispiel 2 zur vollstädige Idutio I. Bestimme die Azahl p der verschiedee Aorduge (Permutatioe für die Elemete eier elemetige Mege A {1, 2,..., } Vorgehe: Betrachte zuächst leie N, z.b. 1, 2, : Das Elemet i A 1 {1} besitzt ur eie Aordug (1, d.h. p : Für die Elemete i A 2 {1, 2} gibt es zwei Aorduge Somit gilt p 2 2. (1, 2, (2, : Für die Elemete i A 3 {1, 2, 3} gibt es sechs Aorduge Somit gilt p 3 6. (1, 2, 3, (1, 3, 2, (2, 1, 3, (2, 3, 1, (3, 1, 2, (3, 2, 1. Vermutug: Es gilt p! für alle N. Jes Strucmeier (Mathemati, UiHH Aalysis I für Igeieure 39 / 62 Beispiel 2 zur vollstädige Idutio II. Satz: Es gibt p! Permutatioe für das Tupel (1, 2,...,. Beweis: durch vollstädige Idutio über. Idutiosafag ( 1: Es gilt p 1 1. Idutiosaahme: Es gelte p! für N. Idutiosschluss ( + 1: Es gibt ach Idutiosaahme je! Permutatioe für die ( + 1 Tupel (i 1, i 2,..., i 1, i, + 1, (i 1, i 2,..., i 1, + 1, i,. i 1,..., i {1,..., } }{{} (i 1, + 1, i 2,..., i 1, i, paarweise verschiede ( + 1, i 1, i 2,..., i 1, i ud somit gilt p +1! } +. {{.. +! } ( + 1! ( + 1!. (+1 fach Jes Strucmeier (Mathemati, UiHH Aalysis I für Igeieure 40 / 62

10 Beispiel 2 zur vollstädige Idutio III. Folgerug: Eie elemetige Mege {a 1,..., a } besitzt geau! m m! ( m!, für, m N 0 : 0 m m elemetige Teilmege. Dabei setzt ma 0! 1. Klassisches Beispiel: Zahlelotto. Es gibt 49 49! ! 43! Möglicheite, aus eier 49 elemetige Mege eie 6 elemetige Teilmege auszuwähle. Mit adere Worte: Die Wahrscheilicheit, beim (lassische Zahlelotto 6 aus 49 die 6 richtige Zahle zu tippe, beträgt 1 ( Jes Strucmeier (Mathemati, UiHH Aalysis I für Igeieure 41 / 62 Eischub: Summe, Produte ud Poteze I. Defiitio: Allgemeie Summe ud Produte. b : b m + b m b (falls m m b : 0 (falls m >, leere Summe m b : b m b m+1... b (falls m m b : 1 (falls m >, leeres Produt m Jes Strucmeier (Mathemati, UiHH Aalysis I für Igeieure 42 / 62

11 Eischub: Summe, Produte ud Poteze II. Defiitio: Poteze. a : 1 a : für 0 1/(a : für < 0 Potezgesetze. a a m a +m (a m a m Jes Strucmeier (Mathemati, UiHH Aalysis I für Igeieure 43 / 62 Biomialoeffiziete ud dere Eigeschafte I. Defiitio: Die (atürliche Zahle Satz: ( m et ma Biomialoeffiziete. a Für, m N, 0 < m, gilt die Reursiosformel m m m 1 wobei ( 0 ( 1 b Für N 0 ud a, b R gilt der Biomische Lehrsatz (a + b 0 ( a b Jes Strucmeier (Mathemati, UiHH Aalysis I für Igeieure 44 / 62

12 Biomialoeffiziete ud dere Eigeschafte II. Beweis zu Teil a: Es gilt (, m N, 0 < m ( m + ( m 1! m! ( m! +! (m 1! ( m + 1!! ( m + 1 +! m m! ( + 1 m!! ( + 1 m + m m! ( + 1 m! ( + 1! m! ( + 1 m! ( + 1 m Jes Strucmeier (Mathemati, UiHH Aalysis I für Igeieure 45 / 62 Beweis: Biomischer Lehrsatz I. Beweis zu Teil b: durch vollstädige Idutio über. Idutiosafag ( 0: Es gilt (a + b 0 0 a 0 b Idutiosaahme: Für 0 gelte ( (a + b Idutiosschluss ( + 1: 0 a b (a + b +1 (a + b(a + b (a + b 0 ( a b Jes Strucmeier (Mathemati, UiHH Aalysis I für Igeieure 46 / 62

13 Beweis: Biomischer Lehrsatz II. (a + b +1 (a + b(a + b (a + b 0 +1 j1 ( 0 a +1 b + 0 j 1 a j b +1 j + a 0 b a 0 b [( a b +1 0 a b a b +1 a b ] 1 a b a b +1 + a +1 b a +1 b 0 Jes Strucmeier (Mathemati, UiHH Aalysis I für Igeieure 47 / 62 Reursive Berechug der Biomialoeffiziete. Pascalsches Dreiec Beispiel: (a + b 5 1 a 0 b a 1 b a 2 b a 3 b a 4 b a 5 b 0 a 5 + 5a 4 b + 10a 2 b a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5 Jes Strucmeier (Mathemati, UiHH Aalysis I für Igeieure 48 / 62