Die Eulersche Reihe (Eine spezielle Fourierreihe)

Transkript

1 Die Eulersche Reihe (Eie spezielle Fourierreihe) Luis Felipe Müller Ausarbeitug zum Vortrag im Prosemiar Aalysis (Sommersemester 009, Leitug Prof. Dr. Eberhard Freitag)

2 Ihaltsverzeichis Abbildugsverzeichis Tabelleverzeichis

3 Eileitug Bevor ich mich dem eigetliche Thema der Arbeit widme, werde ich eie urze Biographie zu Leohard Euler, der Mathematier, der das Fudamet für die Aalysis, wie wir sie heute ee, legte, gebe. Leohard Euler, gebore als ältester Soh des Pfarrers Paul Euler ud Margarethe Brucer am 5. April 707 i Basel, studierte ab seiem dreizehte Lebesjahr Mathemati a der Uiversität Basel ud lerte dort Johaes Beroulli ee. Drei Jahre später, im Jahre 73, erlagte er schließlich die Magisterwürde. Ab 733 überahm er die durch de Tod vo Daiel Beroulli freigewordee Stelle als Professor a der Uiversität Sat Petersburg. Hier lerte er Christia Goldbach ee, mit dem er jahrzehtelag über Briefwechsel seie Ergebisse verglich. Die Eulersche Reihe, so wie sie uter (.) aufgeführt ist, teilte Euler Christia Goldbach i seiem Brief vom 4. Juli 744 mit, allerdigs ohe Beweis. Über 0 Jahre später, im Jahre 755 veröffetlichter Euler i seiem Wer Istitutioes calculi differetialis eie Beweis. 744 wurde Euler vo Friedrch dem Große a die Aademie der Wisseschaft ach Berli berufe, wo er 5 Jahre lag lebte ud da ach Sat Petersburg zurücehrte. Am 8. September 783 starb Leohard Euler im Alter vo 76 Jahre a eier Hirblutug. Das hier behadelte Thema schließt a die Fourier-Reihe a. Dabei ist die Eulersche Reihe eie sehr eifache, i eie Fourier-Reihe etwicelbare Futio. Die Beroulli-Polyome ud die Summeformel vo Poisso lasse sich auf diese für die Aalysis fudametale Reihe zurücführe. 3

4 Die Eulersche Reihe Leoard Euler teilte im Jahre 744 folgede Idetität Chritia Goldbach i eiem Brief mit: si(πx) x, 0 < x < (.) π Wir ee die Reihe die Eulersche Reihe. Bemerug. Die Eulersche Reihe a ma allgemeier formuliere als folgede trigoometrische Futioereihe:. Die Vorbereitug e πix Die Futio e(x) : e πix hat offesichtlich die Periode :, x R, x Z (.) e πi(x+) cos [π(x + )] + i si [π(x + )] cos(πx + π) + i si(πx + π) mithilfe der Additiostheoreme ergibt sich da: e πi(x+) cos(πx) cos(π) si(πx) si(π) +i [si(πx) cos(π) + cos(πx) si(π) ] } {{ }} {{ }} {{ }} {{ } 0 0 cos(πx) + i si(πx) e πix Für die gaze Zahle Z overgiert die Reihe (.) icht: Aufgrud der Periodizität der Reihe betrachte ma o.b.d.a de Fall x 0 ud erhält die harmoische Reihe, die icht overgiert. Daher geügt es also die Reihe auf dem offee Itervall I (0, ) zu utersuche. Die Futioereihe ist eie Abbildug des Itervalls I R des Körpers der reelle Zahle i de Körper der omplexe Zahle C. Eie Futio u mit dieser Eigeschft ist eideutig i eie Realteil u : I R ud eie Imagiärteil u : I R zerlegbar ud es gilt u(x) u (x) + iu (x), x R u(x) ist geau da differezierbar, we u ud u differezierbar sid ud es folgt: u (x) u (x) + iu (x) Für die Expoetialfutio gilt die Ableitugsgleichug: d dx eix ie ix Später werde wir sehe, dass die Eulersche Reihe de Imagiärteil der Futioereihe (.) bildet. Desweiter sollte die Eulersche Formel aus der Aalysis I beat sei: cos(x) ( e ix + e ix) si(x) i ( e ix e ix) 4

5 . Differetiatio ud Kovergez vo Reihe Zur geaue Utersuchug der Trigoometrische Futioereihe eπix spielt die Betrachtug der gliedweise Differetiatio vo Reihe eie wichtige Rolle. Hierfür beötigt ma folgede Satz. Sei die Futioereihe λ (x) (.3) 0 overget i eiem Put des offee Itervalls I ud sid alle λ : I R differezierbar, ud ist λ (x) (.4) 0 auf I gleichmäßig overget, da overgiert (.3) auf I gleichmäßig gege die Grezfutio λ(x) λ (x), x I ud λ : I R ist differezierbar mit λ (x) 0 λ (x), 0 x I Bemerug.3 Bei der Awedug des Satzes. muss also die zu betrachtede Futioereihe formal gliedweise abgeleitet werde, um da die so eu estadee Reihe auf gleichmäßige Kovergez zu prüfe, da ma auf die gleichmäßige Kovergez der formal abgeleitete Reihe icht verzichte darf. 5

6 3 Hauptsatz ud Beweis Satz 3. Sei das Itervall I : (0, ) gegebe. Seie des weitere a, b I, a < b zwei Pute aus I. Die Futioereihe (3.) overgiert gleichmäßig auf Ī : [a, b] ud es gilt: ( ) e πix log [ si(πx)] + iπ x, 0 < x < (3.) Beweis. Gleichmäßige Kovergez mithilfe des Cauchy-Kriteriums. Zu zeige bleibt: ε > 0 N N : q > p N sodass: a e πix ε, x Ī, a > 0 ostat p Setze a : max x I ( e πix ) q p e πix q e πix e πix e πix Auf Ī overgiert die Reihe gleichmäßig ud es gilt p p eπipx p eπipx p e πix e πix + e πix p+ p p e πix e πi(+)x e πix eπi(q+)x q p + ( q + a p f (x) : e πix p+ + p : ε e πix ( e πix ) f (x) e πix e πix eπi(q+)x q p+ ( e πix ) p+ e πix ( ) ) p (3.) (3.3) Nach Satz. differeziere ma also die Futioereihe eπix ( ) x. Daraus folgt für die Reihe: f (x) πi e πix ( ) πi e πix πi 6 e πi(+)x formal gliedweiße ach πie πix f (x)

7 f (x) ist auf Ī ebefalls gleichmäßig overget, ud daher greift Satz. ud es folgt: d [( ) e πix f (x) ] d e πix dx dx eπix ( ) Für die lie Seite der Gleichug ergibt sich: d [( ) e πix f (x) ] πie πix f (x) + ( e πix) f (x) dx ud für die rechte Seite: d e πix dx eπix ( ) πieπix πie πix f (x) πie πix f (x) + ( e πix) f (x) πie πix πie πix f (x) π cos(πx) si(πx) πi d dx πe πix f (x) πieπix e πe πix πix ( ) e πix i + e πix i (eπix e πix ) [ ] log [ si(πx)] + πix + c also folgt für f (x): f (x) log [ si(πx)] πix + c, x (0, ) π cos(πx) πi si(πx) si(πx) mit eier Kostate c. Setze ma x, so ergibt sich für f (x) die alterierede harmoische Reihe, die beatlich log() ergibt: ( f ) e πi ud folglich ergibt sich für c ( ) log() (Beat aus der Aalysis I) ud folglich für f (x): πi + c 0 c πi f (x) log [ si(πx)] πix + πi log [ si(πx)] + iπ ( x ) Bemerug 3. Die Gleichug (.5) a ma auch schreibe als e πi( )x ( ) eπix + i si(πx) f (x) 7

8 Beweis. (.5): ( e πix ) f (x) e πix e πix e πix ( ) e πi( )x ( ) e πi( )x ( ) e πix ( ) e πix f (x) + e πix f (x) e πix f (x) + e πix f (x) e πix e πix f (x) + e πix f (x) e πix + ( e πix e πix) f (x) e πix + i si(πx) f (x) 8

9 4 Die Reihe P m (x) Betrachte ma u de Imagiärteil vo (3.), so erhält ma: π si(πx) x, 0 < x < (4.) Bemerug 4. Setzt ma i (4.) x, so erhält ma die Leibizreihe ud eie Beweis 4 für die Kovergez dieser gege π: 4 π si ( π) si ( π) 4 π 4 ud es ergibt sich für die Reihe: si ( π) ( ) + π 4 0 si ( { }} { ( )π) si ( + π) si ( π π) 0 { }} { si(π) cos ( { }} { π) + si ( ( ) π) { }} { cos(π) ( ) ( ) + (Leibiz-Reihe) A de Radstelle x 0 ud x vo (4.) ergibt sich für si(πx) der Wert 0. Defiiere ma jetzt mithilfe der Gauss-Klammer: { } x [x] für x R\Z P (x) (4.) 0 für x Z Da ergibt sich für (4.): P (x) si(πx), (4.3) π 9

10 Abbildug 4.: Der Graph vo P im Itervall [0, 3], die sog. Sägezahurve Defiiere ma jetzt P m (x), x R für m > durch die Reihe P : ( ) cos(πx), (π) P : ( ) si(πx) (π) +. Die Reihe P (x) sid absolut ud gleichmäßig overget, daher gilt ach Satz. Ma weiß für P (x): ud erhält für P (x): d dx P m+(x) P m (x), m >, x R d dx P (x) P (x), x R\Z P (x) x, 0 < x < P (x) x x + p, 0 < x < (4.4) ei Polyom vom Grad mit eier Kostate p. Per Idutio ach m zeigt ma da, dass jedes P m (x) im Itervall (0, ) ei Polyom vom Grad m ist. A diesem Put lasse sich die Beroulli-Polyome aschließe. Defiitio 4. Die Folge B (x) vo reele Polyome mit folgede Eigeschafte: a) B 0 (x) b) B (x) d B dx (x) B (x), c) B 0 (t) dt 0 heiße Beroulli-Polyome. 0

11 Setzt ma jetzt: B (x) :! P (x), B 0 (x) (4.5) ud utersucht die Futioefolge B (x) auf die i Defitio 4. agegebee Eigeschafte: a) B 0 (x) b) B (x) d [! P dx (x)] ( )! P (x) B (x), c) B 0 (x) dx 0 0 für de Fall, dass folgt für B : 0 ()! ( ) cos(πx) (π) dx ()! ( ) si(πx) (π) } {{ } für de Fall, dass folgt für B : ( + )! ( ) si(πx) ( + )! ( ) cos(πx) dx (π) + (π) (+) 0 (+) 0 } {{ } Es ergibt sich also, dass die Folge B (x) im Itervall 0 < x < die Beroulli-Polyome bilde. Defiiert ma die Nullstelle der Beroulli-Polyome als die Beroulli-Zahle B ud setzt ma als beat vorraus, dass alle Beroulli-Zahle ratioal sid, so erhält ma für B (0), > 0: B (0) ()! P (0) ()! cos(0) ()! (π) (π) π ()! B ζ() ()! ζ() (π) Damit hat ma gezeigt, dass ζ() : für gerades ei ratioales Vielfaches vo π ist.

12 Literatur [] Max Koecher: Klassische elemetare Aalysis Birhäuser Verlag, 987. []