Mathe II 7. Übung mit Lösungshinweisen

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1 Facbereic Matemati Prof. Dr. Fels Marti Fucssteier TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT ASS Jui 007 Mate II 7. Übug mit Lösugsiweise Gruppeübuge (G ) Offee/Abgesclossee ud ompate Mege Etsceide Sie, welce der folgede Teilmege vo R jeweils offe, abgesclosse oder ompat sid. (a) N (b) [0, ) (c) = (, ) (d) M = {( ) N} {0} (a) Die Mege der atürlice Zale ist abgesclosse i R, da das Komplemet R \ N offe ist. Die durc a = gegebe Folge at eie overgete Teilfolge, somit ist N ict ompat. (b) Dieses Itervall ist weder offe (da 0 ei ierer Put ist) oc abgesclosse (da ei Häufugsput ist, der ict zur Mege geört). Damit ist die Mege auc ict ompat. (c) Diese Mege ist, da sie Vereiigug vo offee Mege ist auc wieder offe. Da sie de Häufugsput (ud auc de Häufugsput 0) ict etält, ist sie ict abgesclosse ud damit auc ict ompat. (d) M ist abgesclosse. Der eizige Häufugsput ist 0 ud ist etalte i M. Wir zeige, daß es eie adere Häufugsput als 0 gibt. Ist x R mit x 0, da gilt x für ei N. Da etält (x (), x + () ) M öcstes ei Elemet vo M. Somit ist x ei Häufugsput vo M. Da die Mege M bescrät ud abgesclosse ist, ist sie ompat. Da M viele isolierte Pute etält, ist diese Mege ict offe, da diese Pute eie iere Pute sid. (G ) Ei uedlicdimesioaler Baacraum Zeige Sie, dass die abgesclossee Eieitsugel auf dem uedlicdimesioalem Baacraum (C([a, b]), ) ict ompat ist.

2 Wir suce us eie Folge (i der Eieitsugel), die eie overgete Teilfolge besitzt. Sei o.b.d.a. [a, b] = [0, ]. Wir setze f : [0, ] R { x für x < x 0 sost Die eizele Futioe f sid alle stetig ud es gilt f =, also f B (0). Aber: Die Folge (f ) N overgigert ict gleicmäßig. Zwar overgiert f putweise, jedoc gege die ustetige Futio f : [0, ] R { für x = x 0 sost Damit a (f ) eie overgete Teilfolge abe. (G 3) Potezreie Berece Sie die Kovergezradie der folgede Potezreie: (a) = (x), x R (b) (x ) =, x R. (c) (+i) = z, x C. Für welce Werte sid die Reie overget, auf welce Teilmege vo R bzw. C sid sie gleicmäßig overget? Mace Sie sic jeweils lar, um welce Futioefolge es sic dabei adelt. (a) Zuäcst beobacte wir, dass gilt = (x) = = x. Wir öe u de Kovergezradius ρ mit dem Quotieteriterium für Reie bestimme. a + + x + = = a ( + ) x + x. Damit die Reie für ei x overgiert, muss gelte ifty x = x < + (siee Quotieteriterium). Da für x < also die Reie overgiert, vermute wir u ρ =. Da die Reie für x > offesictlic divergiert (warum?), folgt, daß ρ = tatsäclic der Kovergezradius ist. Nu betracte wir oc die Fälle x =. x = : Da die Reie für x = x = : Da die Reie für x = overgiert sie. die armoisce Reie ist, divergiert die Reie. die alterierede armoisce Reie ist, Isbesodere folgt daraus, daß die Futioefolge g := = (x) für alle x < absolut ud gleicmäßig overgiert. (b) Wir gee vor wie bei a): a + a ( + ) x. a Gesuct sid also alle x mit + a = x <, ud damit overgiert die Reie für alle x ], 3[. Sie divergiert für alle x > 3 ud alle x <. Für x {, 3} see wir, daß beide zugeörige Reie overget sid, die Reie overiert also für alle x [, 3], ud overiert auf diesem Bereic auc gleicmäßig ac Weierstraß, da = (x ) [,3] = = <.

3 (c) Es gilt a + a ( + i) + ( + ) z = z, ( + i) ( + ) a we also gelte muß + a z <. Wege = (+i) z z Futioefolge g := für alle z C mit z =. (G 4) Kovergez vo Futioefolge z < für Kovergez, da ergibt sic = < overgiert die Reie, also die (+i) z sogar absolut ud gleicmäßig ac Weierstraß Für alle N seie die Futioe f : R R mit D := D(f ) = [0, ] durc die Zuordugsvorscrift { x, falls 0 x f (x) := 0, falls < x defiiert. Sizziere Sie f ud f sowie qualitativ f ud utersuce Sie die Futioefolge (f ) N isictlic putweiser ud gleicmäßiger Kovergez auf D. Sizze: Vermutug: Aufgrud obiger Sizze liegt die Aame ae, daß die Futioefolge (f ) N auf dem Itervall D putweise (aber ict gleicmäßig) gege die Grezfutio f : R R mit D(f) = [0, ] ud {, falls x = 0 f(x) = 0, falls x (0, ] overgiert. Putweise Kovergez: Zum Nacweis der putweise Kovergez der Futioefolge (f ) N gege die (vermutete) Grezfutio f solle u zwei Fälle utersciede werde: x = 0: I diesem Fall gilt ud wir eralte f (0) = für alle N f (0) = = f(0). x (0, ]: Wir müsse zeige, daß für jedes x (0, ] ud für jedes ε > 0 ei N = N(ε, x) N existiert, so daß für alle N die Bezieug f (x) f(x) < ε erfüllt ist. Sei u ε > 0 beliebig gewält. Für ei vorgegebees x (0, ] existiert wege = 0 ei N N mit N < x,

4 wesalb für alle N da ud somit folgt. < x N f (x) f(x) = 0 0 = 0 < ε Damit abe wir bewiese, daß die Futioefolge (f ) N auf dem Itervall [0, ] putweise gege die Grezfutio f overgiert. Gleicmäßige Kovergez: Für jedes N ist die Futio f stetig. Wäre u die Futioefolge (f ) N auf D gleicmäßig overget, so müßte die Grezfutio f ebefalls stetig sei. Da aber die Futio f a der Stelle x 0 = 0 (ud damit auf D) ict stetig ist, folgt, daß die Futioefolge (f ) N auf D ict gleicmäßig gege f overgiert. (G 5) Tayloretwiclug Bestimme Sie die Tayloretwiclug der Futio f(x) = l x um de Put ud dere Kovergezradius. gegebe. Die Koeffiziete a der Tay- Die Ableituge sid durc f (x) = ( ) ( )! x lorreie berece sic somit zu a =! f () = ( ). Die Tayloretwiclug lautet demac ( ) = (x ). Hausübuge (A 0) Potezreie (0 Pute) (a) Wir defiiere ( ) λ := λ (λ ) (λ +) für beliebige λ R, N. Berece Sie de! Kovergezradius R der Reie ) =N z. Hägt R vo N ab? (b) Es sei ϕ(z) := =0 ( λ ) z. Beweise Sie ϕ(z) = ( + z) λ. ( λ Hiweis: Beutze Sie ( + z)ϕ (z) = λϕ(z) ud betracte Sie die Futio (+z)λ ϕ(z). (c) Berece Sie die Taylorreie vo f(z) := +z im Nullput. (d) Berece Sie die Potezreieetwiclug des Arcustages arcta um de Nullput. Hiweis: Bestimme Sie zuerst die Ableitug des Arcustages ud beutze Sie Teilaufgabe (c). ( (a) Es gilt R ) λ ( +) λ + =. Der Kovergezradius ägt somit λ ict vo N ab. Dies folgt u.a. auc daraus, daß die Afagsglieder eier Reie dere Kovergez ict beeiflusse.

5 (b) Aus dem Hiweis folgt ϕ (z) = λϕ(z)( + z). Es folgt d (+z) λ = 0. Der Quotiet dz ϕ(z) ist somit eie ostate Futio. Aus ( + 0) λ = = ϕ(0) ergibt sic damit die Gleiceit der Futioe im Zäler ud im Neer. (c) Auf der Eieitsugel gilt f(z) = =0 ( x ). Somit ergebe sic die Koeffiziete der Taylorreie zu a = { ( )! f () für Z (0) = 0 sost (d) Aus arcta (z) = f(z) ergibt sic arcta(z) = ( ) =0 + x+ auf der Eieitsugel. (A ) Potezreie (0 Pute) Bestimme Sie die Kovergezradie der folgede Reie: (a) =0 ( + si())(x ) (b) a (a) Es ist a + Da si() =0 (d) ( ) =0 + x+. +si() ++si(+) (!) ()! x + si() + + si(+) si(+), gilt. ud damit a a =. si() = 0, Also ist der Kovergezradius ac dem Quotieteriterium. (b) Es ist a a + (!) ()! ( + ) ( + ) ( + )! (( + )!) ( + )( + ) ( + ) = 4. Also ist der Kovergezradius ac dem Quotieteriterium 4. (c) Mit z = (x 5) 5 screibt sic die gegebee Reie als z. Wir bestimme zuäcst de Kovergezradius dieser Reie: Wege ( ) = = = (c) = (x ) 5 ist dieser ac dem Wurzelriterium. Also overgiert die ursprüglice Reie für alle x R mit x 5 = z <, d.. x < 5. Der Kovergezradius ist damit 5. (d) Es ist a a + ( ) + ( ) + + Der Kovergezradius ist also ac dem Quotieteriterium. =.

6 (A ) (0 Pute) Fertige Sie eie Sizze der Futio f : R R, f(x) = { e x fr x > 0 0 sost a. Beweise Sie, daß diese Futio beliebig oft differezierbar ist ud berece Sie die Taylorreie um de Put 0. Da die ostate 0-Futio ud die Expoetialfutio beliebig oft differezierbar sid, ist ur die Differezierbareit der Futio f im Put 0 zu beweise. Aad der Sizze vermute wir f (0) = 0. Da die Expoetialfutio sceller fällt als jedes Polyom, folgt e e 0 0 Somit ist die Futio f i 0 Differezierbar mit Ableitug f (0) = 0. Aalog beweise wir die Existez der öere Ableituge. Die Futio f ist auf dem Itervall [, 0) beliebig oft differezierbar mit Ableitug 0. Auf dem Itervall (0, ) ist sie auc beliebig oft differezierbar. Die. Ableitug berecet sic ier zu f (x) = e x. Weiteres Ableite x 3 ergibt immer eie summe des Typs f p i mit Polyome p i i. Auc ier gilt x 0 0 f () 0 0 i f() p i() 0 i = 0. 0 f() p i () 0 0. somit ist die Futio f im Put 0 beliebig oft Differezierbar ud die Ableituge verscwide i 0:f (0) = 0 für alle N. Die Taylorreie ist somit die Nullfutio.