Kaiser Prüfungsordner Analysis Theoriefragen

Transkript

1 Mtemti ür Iormtier Kiser Prüugsorder Alysis Teorierge tulisierte Ausreitug vo Micel Jros mici24, Std :37 revisio # 89 Alle Atworte wurde vo mir muell eu eigetippt. Sie stmme teilweise us dem Kiser-Sriptum, teilweise us dem www ud teilweise vo Kollege oder us dem Forum. Ic i ür Felermelduge ud dere ereits vorgeommee Frge ser dr, diese itte mit [M] im Betre e225848@studet.tuwie.c.t. Alle Age sid oe Gewär ud ür ict estdee Prüuge te ic ict. Legede Seitezle sid us dem Kiser M-Sriptum 3/4: Seite Diese Atwort ist us dem Kiser-Sriptum oder str älic. Ds edeutet llerdigs eie %ige Felerreieit. www Diese Atwort ist us dem www. Ds sollte m esser oc eiml cece. Hier elt oc etws oder ist etws gz sicer lsc. Ws verstet m uter eier overgete uedlice Reie? Gegee eie Folge, der wir die Folge der Prtilsumme s zuorde: s, s 2 2,..., s 2... s eißt -te Prtilsumme der Folge. M et s uedlice Reie mit de Summde. Diese uedlice Reie overgiert ud t die Summe s, we die Folge s overget mit dem Grezwert s ist. Die Summe eier overgete uedlice Reie ist der Grezwert der Folge irer Prtilsumme s lim s. 2

2 Wie m ds Kovergezverlte vo Reie teste? M verwedet ds CAUCHYsce Kovergezriterium ür Reie: Die Reie ist geu d overget, we es zu jedem ε > ei Nε git, sodss ür lle Nε ud lle türlice Zle p gilt: p < ε 22 Welce Receregel ür overgete Reie ee Sie? Sid uc die Reie ud overgete Reie mit de Summe s zw. t, so sid ud overget, ud es gilt: s t ud s t ud c cs c Ds Kovergezverlte der Reie ädert sic ict, we m die erste r Glieder der Reie weglässt. I eier overgete Reie dr m elieig Klmmer setze, oe die Kovergez zu störe. Ist eie Reie overget, so gilt lim. 22 Formuliere Sie de Stz vo Leiitz üer lterierede Reie. Eie lterierede Reie ist overget, we lim ud ür lle ist. 28 Formuliere Sie de Stz vo Weierstrß. Ist u dem gesclossee Itervll [, ] stetig, so git es c, d [, ] mit c d ür lle [, ]. c eißt Miimum vo i [, ], d eißt Mimum vo i [, ]. D..: Jede u eiem gesclossee Itervll stetige Futio immt eedort ir Mimum ud ir Miimum. 49

3 Formuliere Sie de Zwiscewertstz. Ist u dem gesclossee Itervll [, ] stetig ud c eie elieige Zl zwisce ud, so git es ei ξ [, ] mit ξ c. 5 Formuliere Sie de Stz vo der Nullstelle. Eie u eiem gesclossee Itervll [, ] stetige Futio, die i de Rdpute ud Futioswerte mit versciedee Vorzeice immt d.. <, immt i [, ] midestes eiml de Wert. 5 Formuliere Sie de Stz vo Rolle. Sei u dem gesclossee Itervll [, ] stetig, im oee Itervll, dierezierr ud. D git es ei c, mit c. 9 Formuliere Sie de Mittelwertstz der Dieretilrecug. Sei u [, ] stetig ud i, dierezierr. D git es ei c, mit ' c. 9 Formuliere Sie de Huptstz der Dieretil- ud Itegrlrecug. Ist im gesclossee Itervll [, ] stetig, so ist die Futio F: [, ], deiiert durc F t t ür lle [, ], u dem Itervll [, ] dierezierr, ud es gilt: F ür lle [, ], d..: t t 2 Ws ist ei Dieretilquotiet? Sei eie reelle Futio, die u eiem Itervll I deiiert ist, ud sei I. Eistiert der Grezwert lim, so ezeicet m i mit oder ud et i Aleitug oder Dieretilquotiet vo i. 75

4 Formuliere Sie die Leiitzsce Produtregel. Sid ud g eide im Itervll I -c dierezierr, so ist uc g i I -c dierezierr, ud es gilt: g g 88 Ws verstet m uter eier Potezreie? Uter eier reelle Potezreie verstet m eie Ausdruc der Form eißt Ascluss- oder Etwiclugsstelle der Potezreie. 58. Wie ist der Kovergezrdius eier Potezreie deiiert? r : sup { - ist i overget} M et r de Kovergezrdius der Potezreie r ir Kovergezitervll. 59 ud ds Itervll - r, Formuliere Sie de Idetitätsstz vo Potezreie. Sid die Potezreie ud i eiem gemeisme Itervll um overget ud dort gleic, so gilt ür lle. 6 Wie ist die Stetigeit eier Futio deiiert? Sei : D R R eie reelle Futio. eißt der Stelle D stetig, we lim Limes muss eistiere. Ist stetig ür jedes D, so eißt stetig u D. 54 Ws verstet m uter eier ere Ustetigeitsstelle? Eie Stelle D, i der eie Futio ict stetig ist, eißt Ustetigeitsstelle. Eistiert lim A mit A R, ist er A, so eißt ere Ustetigeitsstelle. Durc deiiere vo : A erält m eie i stetige Futio Verre der stetige Ergäzug vo. 46

5 Nee Sie ei Beispiel ür eie uedlic ot dierezierre Futio. e Welce Eigescte e dierezierre Futioe? Sei : I i I dierezierr, d ist i stetig. Siee uc Receregel. Welce Receregel ür dierezierre Futioe ee Sie? Sid : I ud g: I i I dierezierr, so sid uc g, g, g i dierezierr, ud es gilt: g g Summeregel gliedweise 2 - g - g 3 g g g Produtregel 4 ' g ' g 2 g g' Quotieteregel Seie i ud g i y : dierezierr, ud sei g i eiem Itervll I mit I deiiert. D ist g i dierezierr ud es gilt: 5 g g Ketteregel Ist c, so ist uc c dierezierr i I, ud es gilt: 6 c c ostte Ftore erusee Eistiert - u I, ud ist i dierezierr ud, so ist - i dierezierr, ud es gilt: ' Umerutioe

6 Formuliere Sie die Regel vo l Hospitl. Fll : Seie, g u [, ] stetig, i, dierezierr. Weiters sei g ud es gelte g ür lle, wege Neer. ' Eistiert der Grezwert lim, so eistiert uc der Grezwert g ' ' lim lim. g g' lim g ud es gilt: Fll : Seie ud g i, dierezierr. Es gelte g ür lle, wege Neer. Ist lim g oder lim g ud ' eistiert der Grezwert lim, so eistiert uc der Grezwert g ' ' lim lim. 44 etws ompliziert g g' lim g ud es gilt: Wie ist ds Riem-Itegrl deiiert? Eie Futio eißt Riem-itegrierr u I, we supu Z i O Z. Dieser gemeisme Wert eißt we er eistiert estimmtes Itegrl oder Riem-Itegrl vo üer ds Itervll I [, ], urz Itegrl vo is üer. M screit, ud eiße utere zw. oere Itegrlgreze. 2 Z Z Nee Sie eie ireicede Bedigug ür die Itegrierreit eier Futio u [, ]. z. B.: Jede u eiem gesclossee Itervll [, ] stetige Futio ist dort itegrierr. Besitzt i [, ] ur edlic viele Ustetigeitsstelle stücweise stetig, ist dort eells itegrierr.

7 Nee Sie 4 Eigescte des Riem-Itegrls. Amerug: Hier geürt sid ur die 4 trivilste vo isgesmt 9 Eigescte. Ist üer [, ] itegrierr ud [, ] ei gesclossees Teilitervll vo [, ], so ist uc üer [, ] itegrierr. 2 Ist üer [, ] ud üer [, c] itegrierr, so ist uc üer [, c] itegrierr, ud es gilt: c c 3 Üer dem Itervll [, ] itegrierre Futioe ilde eie Vetorrum, d. : 3 Sid ud 2 üer [, ] itegrierr, so ist uc 2 üer [, ] itegrierr, ud es gilt: Ist üer [, ] itegrierr ud c, so ist uc c itegrierr, ud es gilt: c c 6 Ist i [, ] itegrierr, so ist uc u [, ] itegrierr, ud es gilt: 5-9 Formuliere Sie de Stz vo Tylor Restglied i eier Form. Sei eie Futio, ür die im gesclossee Itervll [, ] die -te Aleitug eistiert ud stetig ist, ud ür die i, eistiert. D gilt: R! 2! ''! ' 2 K ud es ist ds Restglied c Lgrge:! R Θ ür ei < Θ <. 94

8 Erläre Sie die Prtielle Itegrtio. Sid ud g u dem Itervll I dierezierr, ud ist F eie Stmmutio vo g i I, so ist g F eie Stmmutio vo g. 2, 23 Erläre Sie die Sustitutiosregel. Sei F eie Stmmutio vo u I ud ϕ eie dierezierre Futio, deiiert u eiem Itervll J mit Werte i I lso eistiert ϕ. D ist F ϕ eie Stmmutio u J vo ϕ ϕ, d..: ϕ ϕ' F ϕ C, C R. 2, 23 Erläre Sie: Biomilreie? Ist R, so ist u -, die Futio i eie Tylorreie etwicelr, d.. es gilt: Diese Reie eißt Biomilreie. 98, 99 Leite Sie eie ireicede Bedigug ür lole Etrem us dem Stz vo Tylor. W eißt eie Folge vo u D erlärte Futioe overget? Welce Auswirug t die gleicmäßige Kovergez eier Folge stetiger Futioe u dere Grezutio?