Kapitel 1: Grundlagen

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1 Alysis für Dummies vo Adm Sosowsi ud Mrus Mühlig Nch der Vorlesug Alysis I & II im WS 00/0 ud SS 0 gehlte vo Prof. Dr. Th. Buer Kpitel : Grudlge. Mege ud Ailduge. Ailduge Seie M ud N Mege. Eie Aildug f: M N ist eie Zuordug, die jedem Elemet x M ei Elemet f(x) N zuordet. f(x) heißt ds Bild vo x uter f.. Hitereiderusführug vo Ailduge Seie f: M M ud g: M M Ailduge. D heißt die Aildug g o f : M M mit x g(f(x)) die Kompositio vo f ud g.. Vollstädige Idutio. Beweisprizip der vollstädige Idutio Für jede türliche Zhl sei die Aussge A() gegee. D gilt: Alle Aussge A() sid whr, flls m folgedes zeige : (i) A() ist whr (Idutiosfg) (ii) Für jedes N gilt: Flls A() whr ist, d uch A(+) (Idutiosschluß). Summe ud Produtzeiche (Summeformel für die geometrische Reihe) + x x = für x R, x ud N 0 x = 0 Idutio ch.3 Fultät Die Azhl der Aorduge eier Mege {,...,} ist gleich!. Struturelle Idutio IS: Zerlegug i + disjute Type ( erster Stelle, erster Stelle,...).4 Biomiloeffiziete

2 Eigeschfte der Biomiloeffiziete: () () = = + ist die Azhl der -elemetige Teilmege eier -elemetige Mege. (, N, ) Struturelle Idutio IS: Zerlegug i Teilmege, die + ethlte ud die es icht tu.5 Der iomische Stz x,y R ud N gilt ( x y) x y 3. Die reelle Zhle 3. Die Körperxiome = 0 + = Komitorisch. Es tritt x y - geu so oft uf, wie es Möglicheite git, us de Ftore (x+y) viele Ftore uszuwähle. (K) Kommuttivität: + = +, R =, R (K) Assozitivität: ( + ) + c = + ( + c) ( ) c = ( c),,c R (K3) Neutrles Elemet: Es git eie Zhl 0 R mit + 0 = R Es git eie Zhl R mit = R (K4) Iverses Elemet: R - R: + (-) = 0 R\{0} - R: - = (K5) Distriutivität: (+c) = + c,,c R Folgeruge: () Die eutrle Elemete 0 ud sid eideutig estimmt. () Iverse Elemete - zu R ud - zu R\{0} sid eideutig estimmt. (3) -0 = 0 (4) Für lle R gilt -(-) = ud für lle R\{0} gilt ( - ) - = (5) -(+) = (-) + (-) ud ( ) - = - -, R (6) (i) 0 = 0 R (ii) (-) = -( ), R (iii) (-) (-) =, R (7) = 0 = 0 = 0, R 3. Die Aordugsxiome (A) Für jede reelle Zhl R gilt geu eie der drei Reltioe: >0 oder =0 oder ->0 (A) Aus >0 ud >0 folgt + > 0 ud > 0 (A3) Archimedisches Axiom: R N: >

3 Folgeruge: () ² > 0 R\{0} () < <c <c (Trsitivität),,c R (3) (i) < + c < +c,,c R (ii) < < + < +,,, R (4) (i) < c < c, R, c R + (ii) 0<< 0< < <,,, R 3.3 Die Betrgsfutio Eigeschfte der Betrgsfutio: Für, R gilt: (i) (ii) (iii) 3.4 Supremum ud Ifimum = Defiitio:Beschrätheit Sei M R, M. M heißt ch oe eschrät, flls R x M: x. Die Zhl heißt d oere Schre vo M. (log: utere Schre) Defiitio: Supremum (leiste oere Schre) Sei M ch oe eschrät. Eie Zhl s R heißt Supremum vo M, flls gilt: (i) s ist oere Schre vo M (ii) s s für jede oere Schre s vo M (log: Ifimum) Wichtiges Beispiel: M:={x Q x>0 ud x² }, M R, M d M. Flls s:= supm existiert, d gilt s² = ud s Q 3.5 Ds Vollstädigeitsxiom (V) Jede ichtleere, ch oe eschräte Teilmege vo R ht ei Supremum i R. (Supremumsprizip) R ist (is uf Isomorphie) der eizige vollstädige rchimedisch geordete Körper. 3.6 Qudrtwurzel Defiitio: Qudrtwurzel Die reelle Zhl s 0 mit s² = heißt die Qudtrtwurzel vo R. 3.7 Ds Itervllschchtelugsprizip (Itervllschchtelugsprizip) Sei [, ] R für N gegee. Flls [ +, + ] [, ] für lle N, so existiert ei c R mit c [, ] für lle N. Beweis mit (V). M zeige, dß umgeehrt ds Supremumsprizip (V) us dem Itervllschchtelugsprizip folgt. 3.8 Azählreit Defiitio: Azählreit 3

4 Eie Mege M heißt zählr, flls es eie ijetive Aildug f: M N git. Q ist zählr Durchumerierug der (geürzte) Brüche liefert ijetive Aildug. R ist üerzählr (d.h. icht zählr er uedlich) Kostrutio eier Itervllschchtelug I I I 3... mit x I N. Widerspruchseweis mit Idutio ud Itervllschchtelugsprizip. Kpitel : Folge ud Reihe 4. Grezwerte ud Folge 4. Folge reeller Zhle Defiitio: Folge Eie Folge ( ) N reeller Zhle ist eie Aildug f: N R mit Defiitio:Teilfolge Sid < < 3... türliche Zhle, so heißt ( ) N = (,, 3,...) Teilfolge vo ( ) N. Defiitio:() ( ) N heißt ch oe eschrät, flls c R N: c () ( ) N heißt mooto steiged, flls N: + (log: ch ute eschrät ud mooto flled) 4. Grezwerte vo Folge Defiitio: Kovergez, Grezwert ( ) overgiert gege R, flls es zu jedem ε>0 eie Idex N N git mit - < ε N,d.h. ε>0 N N N: - < ε Für jedes ε>0 liege fst lle Folgeglieder i der ε-umgeug vo (ε-umgeug vo = U ε () := ]-ε, +ε[ ) ( ) heißt overget, flls R mit, sost diverget. := lim ist d der Grezwert der Folge. Defiitio: Nullfolge ( ) heißt Nullfolge, flls 0 gilt. (d.h. ε>0 N N N: < ε) Es gilt: ( - ) N ist Nullfolge Lemm: (Beroulli-Ugleichug) Für x - ud N gilt ( + x) + x 4

5 Idutio ch. Beispiel: Für q R gilt: () q < lim q = 0 () q > (q ) ist diverget (). x R + : = + x. Beroulli q () (q ) ist ueschrät d N ueschrät (mit Beroulli) 4.3 Reche mit overgete Folge Flls ( ) ud ( ) overget sid, d sid uch ( + ) ud ( ) overgete Folge ud es gilt: lim( + ) = lim + lim lim( ) = lim lim Wähle ε ud etrchte N = mx{n,n } Ist ( ) overget ud lim 0, so existiert ei N N mit 0 N. Die Folge ist d overget ud lim =. lim Seie ( ) ud ( ) overgete Folge mit N. D gilt: lim lim (Nicht lim < lim!) 4.4 Ifimum ud Supremum vo Folge Sei ( ) eie mooto steigede ud ch oe eschräte Folge. D ist ( ) overget ud lim = sup{ N} (log: ( ) mooto flled ud ch ute eschrät lim = if{ N}) 4.5 Häufugswerte vo Folge Defiitio:Häufugswert h R heißt Häufugswert vo ( ), flls i jeder ε-umgeug U ε (h) -viele Folgeglieder liege. h Häufugswert vo ( ) ( ) N esitzt eie Teilfolge ( ) N, die gege h overgiert. 4.6 Der Stz vo Bolzo-Weierstrß (Bolzo-Weierstrß) Jede ch oe ud ute eschräte Folge ht eie Häufugswert i R.. Supremum s := sup{ i i } existiert ch (V) ud s R: -s s. s if{s m m N}=:, d s ch ute eschrät ud flled 3. Sei ε > 0, N N gegee. m N: - s m < ε, d = lim s 5

6 4. Wähle m N. m: s m < ε, d sm = sup{ i i } 5. Gezeigt: N N N: U ε (), lso ist HW vo ( ) Defiitio: Für eie eschräte Folge ( ) heißt limsup := Limes Superior vo ( ). Er ist der größte HW vo ( ). 4.7 Berechug vo Qudrtwurzel Für jede Strtwert 0 R + overgiert die Folge lim sup { i i } der (log: Limes Iferior) = + + gege.. Es gilt > 0 N (Idutio), ud +. ( ) ist overget, d mooto flled ud ch ute eschrät 3. lim = zeige mit Tric 4.8 Cuchy-Folge Defiitio:Cuchy Folge ( ) heißt Cuchy-Folge, we ε>0 N N:,m N: m < ε. ( Hireiched späte Folgeglieder he elieig leie Astd ) Lemm: () ( ) overget ( ) Cuchy-Folge () ( ) Cuchy-Folge ( ) eschrät 4.9 Ds Cuchy-Kriterium Jede Cuchy-Folge ist overget.. Mit Lemm () ud Bolzo-Weierstrß ht ( ) HW h ε ε. h, d - m < ud m - h < Bemerug: Es gilt lso: Supremumsprizip (V) Kovergez vo mootoe ud eschräte Folge Bolzo-Weierstrß Cuchy-Kriterium. Es gilt er uch: Cuchy-Kriterium Supremumsprizip Itervllschchtelugsprizip 4.0 Bestimmte Divergez Defiitio:Bestimmte Divergez Eie Folge ( ) heißt estimmt diverget gege (lso: jedem G R ei N N existiert mit G N. ), flls zu Sei ( ) eie Folge mit. D gilt 0 für fst lle ud 0. Sei ( ) Folge mit > 0 ud 0. D gilt. 6

7 5. Uedliche Reihe 5. Der Begriff Reihe Sei ( ) eie Folge. s := i heißt -te Prtilsumme vo ( ). Die Folge := (s ) dieser i= 0 =0 Prtilsumme heißt (uedliche) Reihe. Eie Reihe heißt overget, flls die Folge der Prtilsumme overget ist. Ihr Grezwert ist d =0 5. Die geometrische Reihe Sei q R. Es gilt: s := + q q =. q = 0 Also: (i) q < =0 q overgiert mit =0. q = q (ii) q q ist diverget. (Beweis: Nullfolgeriterium) =0 5.3 Beochtuge zu Reihe () Cuchy-Kriterium: =0 overget ε>0 N N,m N: s m s < ε ε>0 N N m N: m = < ε () Nullfolgeriterium: overget 0 =0 (3) Beschrätheitsriterium: Es sei 0 N. D gilt: =0 5.4 Die hrmoische Reihe overget Die hrmoische Reihe = Teilfolge i= i 5.5 Ds Leiiz-Kriterium ist diverget. (s ) eschrät ueschrät, d + i Sei ( ) eie mooto fllede Nullfolge. D ist die lterierede Reihe =0 (-) overget. m i= i= ( ) i < ε, d stets mehr sutrhiert ls ddiert wird ud ( ) NF i 7

8 5.6 Asolute Kovergez Defiitio:Asolute Kovergez heißt solut overget, flls overget ist. Folgerug: solut overget overget (Beweis mit Cuchy-Kriterium) 5.7 Ds Mjorte-Kriterium Sei solut overget ud N M et d eie overgete Mjorte vo. solut overget Folgerug: = overgiert solut für. (Beweis mit Mjorte 5.8 Ds Quotiete-Kriterium ( = + ) + Flls ei q R mit 0 q < existiert ud q N, d ist uch solut overget. (Beweis mit Mjorte q o ) 5.9 Ds Wurzel-Kriterium Flls ei q R mit 0 q < existiert ud q N, d ist uch solut overget. (Beweis mit Mjorte q ) ) 5.0 Hiweis zur Awedug der Kriterie Es gilt offer für jedes 0 N: =0 Bediguge overget = 0, + q ud q für 0 zu zeige. 5. Reche mit overgete Reihe () overget ud ud ( + ) = () overget. Es geügt dher die overget ( + ) overget + overget c overget c R ud c = c Wede Recheregel für Folge uf Prtilsumme 5. Der Umordugsstz Defiitio: Umordug 8

9 Sei eie Reihe ud τ: N 0 N 0 eie Bijetio. M et die Reihe =0 = eie Umordug der gegeee Reihe. 0 τ( π) s. ov. Jede Umordug vo ist s. ov. ud = τ( π) = 0 =0 5.3 Der Reihe-Produtstz Defiitio: Produtreihe Seie m ud Reihe ud τ: N N N mit (m,) τ (m,) eie Bijetio. Die Reihe c mit c τ(m,) := m ist d die Produtreihe zu ud. Sid ud solut overget, so uch jede Produtreihe c zu ud. Es gilt d: c =. 5.4 Cuchy-Produt Sid ud solut overget = 0 = 0 = Bilde die Produtreihe zu ud ch Cuchysche Digolverfhre ud fsse die Glieder eier Schrägliie zusmme. 6. Folge ud Reihe omplexer Zhle 6. Die omplexe Kojugtio Defiitio:Komplexe Kojugtio Ist z = x + iy C mit x,y R, so heißt z := x iy die zu z ojugiert omplexe Zhl. Es gilt: z + z z z Re z = ud Im z = Eigeschfte der omplexe Kojugtio: () z = z (Kojugtio ist eie Ivolutio) () z + z = z + z (3) z z = z z 6. Betrg eier omplexe Zhl Defiitio:Betrg eier omplexe Zhl Für z = x + iy C heißt z + = x y der Betrg vo z ud es gilt z z = z. Eigeschfte der Betrgsfutio: Für z,z,z C gilt () z 0, z = 0 z = Kovergez vo Folge i C () z + z z + z (3) z z = z z 9

10 Defiitio:(c ) overgiert gege c C, flls ε>0 N N N: c -c < ε. Sei (c ) eie Folge i C, c = + i mit ( ),( ) Folge i R. Sei c = + i, d gilt: c c ud mit Re(z) z Korollr: c c c c (c ) Cuchy-Folge i C (Re c ) ud (Im c ) sid Cuchy-Folge i R. Korollr: Jede Cuchy-Folge i C ist overget. Seie (c ) ud (d ) Folge i C mit c c ud d d. D gilt: () c + d c + d () c d c d (3) c c Flls d 0: d d 6.4 Reihe i C Alog zu R defiiert m Reihe c omplexer Zhle, Kovergez ud solute Kovergez eier omplexe Reihe. Wie i R eweist m Mjorte-, Wurzel- ud Quotieteriterium. (er icht Leiiz-Kriterium!) 7. Expoetilfutio, Sius ud Cosius 7. Die omplexe Expoetilfutio Für z C ist die Expoetilreihe =0 Defiitio:Expoetilfutio z! solut overget. (Quotieteriterium) Die Futio exp: C C, exp(z) := z heißt (omplexe) Expoetilfutio. =0! e:= exp()= heißt Eulersche Zhl.!! 3! 7. Die Futiolgleichug der Expoetilfutio Für z,w C gilt: exp(z + w) = exp(z) exp(w) Awedug des Reiheprodutstzes (Cuchy-Produt + Biomischer Stz) Folgeruge us der Futiolgleichug: Sei z C () Es gilt exp(z) exp(-z) = exp(z-z) = exp(0) =, lso exp(z) 0 ud exp(-z) = z C exp( z) () Für x R ist exp(x) > 0, für x>0 ist exp(x) > 0

11 x x Für x>0 ist exp(x) = >!! Für x<0: exp(x) exp(-x) = exp(x) > 0 (3) Für N ist exp() = exp(++...+) = exp()... exp() = e... e = e ud exp(-) = e e Zusmmefssed gilt lso: Defiitio:Restglieder der Expoetilreihe Expoetilreihe. Lemm: =. Ferer gilt: exp( ) = e, d ( exp( ) ) = e. Für z C ud N sei R (z):= exp(z)- Für z gilt R (z) <. ( + )! Betrchte + = m m exp( ) = e = z + = 0 z! = e m = + z! z z +, Dreiecsugleichug,! ( + )! e Q, d.h. e ist irrtiol m Betrchte R ()=, drus folgt R (), = 0!! Widerspruch zur Restgliedschätzug 7.3 Sius- ud Cosiusfutio ds -te Restglied der uslmmer Defiitio:Sius ud Cosius cos x := Re(exp(ix)) = x ( ) ud si x := Im(exp(ix)) = = 0 ()! = heiße Cosius ud Sius vo x R. 0 ( ) + x ( + )! Eigeschfte vo Sius ud Cosius: () cos(-x) = cos x x R ( gerde Ft. ) si(-x) = -si x x R ( ugerde Ft. ) () - si x - cos x (3) (si x)² + (cos x)² = (Beweis mit exp(ix) ²) Additiostheoreme: cos(x + y) = cos x cos y si x si y x,y R si(x + y) = si x cos y + cos x si y x,y R Betrchte exp(i (x+y)) Kpitel 3: Stetige Futioe 8. Grezwerte ud Stetigeit

12 8. Berührpute eier Mege Defiitio: Berührput, Aschluß Ei Put R heißt Berührput vo D R, flls i jeder ε-umgeug vo ei Put us D liegt, d.h. Berührput vo D ( ) i D mit D ist der Aschluß vo D (d.h. Mege der Berührpute vo D). D heißt geschlosse, flls D = D ist. Beispiel: D = Q ud D = R 8. Grezwerte vo Futioe Defiitio: Grezwerte vo Futioe f overgiert für x gege R (d.h. f (x) x ), heißt: Für jede Folge ( ) i D R mit gilt f ( ) Der Grezwert ist eideutig estimmt ud wird mit limf (x) ezeichet. x. Der Grezwertegriff ist lol, d.h. m ds Kovergezverhlte uch uf eiem leie Bereich um (d.h. D U ε ()) utersuche. Defiitio:Eiseitige Grezwerte Es sei ei Berührput vo D ]-,]. D gilt: f (x) : Für jede Folge ( x ) i D ]-,] mit gilt f ( ) (log: f (x) ) x Bezeichug: limf (x) zw. limf (x) x x Defiitio: f (x) : Für jede Folge ( x ) i D mit gilt f ( ) (log: f (x) ) x Bezeichug: lim f (x) zw. lim f (x) x x m x Wichtiges Beispiel: lim = 0 m N x exp(x) (d.h. exp wächst scheller ls lle Poteze) Betrchte exp(x) = =0 8.3 Die Grezwertsätze z x m +! (m + )! für x>0 ud setze ei Seie f,g: D R, D. Flls limf (x) x gilt: () lim(f (x) + g(x)) x = limf (x) x ud lim g(x) existiere, d x + lim g(x) x () lim(c f (x)) = c limf (x) c R x x (3) lim(f (x) g(x)) = limf (x) (4) x f (x) lim = x g(x) x limf (x) x lim g(x) x lim g(x) x, flls lim g(x) 0 x

13 Recheregel für overgete Folge 8.4 Die εδ-formulierug des Grezwertegriffs Sei f: D R, D. D gilt: f (x) ε>0 δ>0 x D: x- < δ f(x)- < ε x ( f(x) liegt elieig he, flls x hireiched he liegt ) 8.5 Der Stetigeitsegriff Defiitio:Stetigeit Sei f: D R mit D R () f heißt stetig i D flls gilt: f (x) f () x () f heißt stetig, flls f i jedem Put vo D stetig ist Flls f,g: D R i D stetig sid, d sid uch f + g, f g ud c f für c R stetig i. Flls zusätzlich f() 0 ist, ist uch f : D\{x D f(x) = 0} R stetig i. Grezwertsätze Korollr: Die Mege C(D,R):={f: D R f stetig} ist ei Utervetorrum des Vetorrums ller Ailduge vo D ch R. 8.6 Die εδ-formulierug der Stetigeit Sei f: D R, D. D gilt. f ist stetig i ε>0 δ>0 x D: x- < δ f(x)-f() < ε ( f(x) liegt elieig he f(), flls x hireiched he liegt ) Seie f: D R mit D R, g: E R mit E R mit f(d) E. D gilt: f stetig i D ud g stetig i f() g o f stetig i (Beweis mit Folge oder εδ-formulierug) 9. Stetige Futioe uf ompte Itervlle 9. Der Zwischewertstz Eie stetige Futio f: [,] R immt jede Wert zwische f() ud f(), d.h.: Ist f() y f() oder f() y f(), so ex. ei x [,] mit f(x) = y. O.B.d.A f()<y<f(), etrchte M:= {t [,] f(t) y}, mit (V) x:= supm,. x x, f(x ) y f(x) y, is. x<. t ]x,] ist f(t) > y f(x) y 9. Mxim ud Miim Eie stetige Futio f: [,] R ht ei Mximum ud ei Miimum, d.h. Es ex. p,q [,] mit f(p) f(x) f(q) x [,] 3

14 Betrchte sup{f(x) x [,]}, (x ) i [,], Bolzo-Weierstrß Korollr: f: [,] R stetig f([,]) ist ei omptes Itervll Miumum f(p) ud Mximum f(q) ex., f([,]) = [f(p),f(q)] mit ZWS zeige 9.3 Stetigeit der Umehrfutio Defiitio:Streg mooto wchsed Eie Futio f: D R heißt streg mooto wchsed, flls x,y D gilt: x < y f(x) < f(y) (log: streg mooto flled) Sei f: [,] R stetig ud streg mooto wchsed, A:= f() ud B:= f(). D ist f: [,] [A,B] ijetiv ud f - : [A,B] [,] ist stetig. (log für streg mooto flled) Kpitel 4: Differezierre Futioe 0. Differezierreit Defiitio:Differezierreit, Aleitug Sei I R ei Itervll ud f: I R f (x) f () () f heißt differezierr i I, flls der Grezwert lim x x existiert. Flls er existiert ezeichet m ih mit f () ud et ih die Aleitug vo f i. () f heißt differezierr, flls f i jedem Put I differezierr ist. Die Futio f : I R, x f (x) heißt d die Aleitug vo f. f ( + h) f () Altertive Formulierug: f () := lim h 0 h Lemm: f diffr i f stetig i (Beweis mit GWS) Wichiges Beispiel: exp ist differezierr mit ex p = exp exp(h) - (+h) h² für h mit Restgliedschätzug h 0 0. Summe-, Produt- ud Quotieteregel x Seie f,g: I R i differezierr. D gilt: () ( f + g)'() = f '() + g'() () ( f g)'() = f '() g() + g'() f () (3) f f '() g() f () g'() () =, flls g() 0 g g()² 4

15 0. Die Ketteregel Ergäze Differezequotiete, Quotieteregel mit g'() () = g g()² Lemm: Für eie Futio f: I R sid äquivlet: (i) f ist i I diffr (ii) Es git eie i stetige Futio ϕ: I R mit f(x) - f() = (x-) ϕ(x) x I Es gilt d ϕ() = f () (ii) (i) Differezequotiet ilde ud Stetigeit usutze (i) (ii) Defiiere ϕ, us diffr i folgt stetig i Sei f: I R i diffr, sei J R ei Itervll mit f(i) J ud g: J R i := f() diffr. D ist g o f : I R diffr i mit ( g o f )'() = g'(f ()) f '() g(f (x)) g(f ()) (f (x) f ()) ψ(f (x)) Mit vorigem Lemm gilt: lim = lim x x x x (x ) ϕ(x) ψ(f (x)) = lim = ϕ() ψ(f ()) = f '() g'(f ()) x x 0.3 Differezierreit der Umehrfutio Sei f: [,] R diffr ud streg mooto mit f (x) 0 für x [,]. D ist uch f - i y = f(x) diffr ud ( f ) (y) =. f (f (y)). f - ist stetig. Betrchte Folge (y ) i f([,]) mit y y, y y 3. Also f (y ) f (y), weiter mit Differezequotiet ud x := f - (y ) Wichtiges Beispiel: exp ist diffr, streg mooto steiged ud es ist exp(r)= R + (ZWS). Mit Stz folgt dher l:= exp - : R + R ist diffr ud l (x) =. x Futiolgleichug: l(x y) = l(exp(l(x) + l(y))) = l(x) + l(y).. Der Mittelwertstz der Differetilrechug. Lole Extrem Defiitio:Loles Extremum Sei f: ],[ R ud c ],[. D gilt: f ht i c ei loles Mximum zw. Miimum, flls ei ε>0 existiert mit f(c) f(x) zw. f(c) f(x) x U ε (c) ],[ Sei f: ],[ R diffr. Flls f i c ],[ ei loles Extremum ht, d gilt f (c) = 0. f (x) f (c) O.B.d.A c loles Mximum. Für c<x<c+ε gilt 0, d.h. f (c) 0 x c 5

16 f (x) f (c) Für c-ε<x<c gilt 0, d.h. f (c) 0. D f diffr i f (c) = 0 x c. Stz vo Rolle Sei f: [,] R stetig ud i ],[ diffr. Flls f() = f() gilt, so existiert c ],[ mit f (c) = 0.. Stz üer Mxim ud Miim (Stetigeit). Stz üer lole Extrem..3 Der Mittelwertstz Sei f:[,] R stetig ud i ],[ diffr. D existiert ei Put c ],[ mit f () f () f '(c) =. (= Steigug der Sete durch (,f()) ud (,f()) ) f () f (). Betrchte Hilfsfutio h: [,] R mit h(x) : = f (x) (x ). Es ist h() = h() = f() Stz vo Rolle.4 Aweduge des Mittelwertstzes Sei f: [,] R stetig ud i ],[ diffr. Folgerug : f (x) = 0 x ],[ f ostt Betrchte x,y [,] el. mit x<y, d MWS uf f [x,y] wede Folgerug : () f (x) 0 x ],[ f mooto steiged () f (x) > 0 x ],[ f streg mooto steiged Folgerug 3: Sei f zweiml diffr ud c ],[. f (c) = 0 D gilt: f (c) > 0 f ht i c ei isoliertes loles Miimum.5 Der verllgermeierte Mittelwertstz Seie f,g: [,] R stetig ud i ],[ diffr. Ferer sei g (x) 0 x ],[. f '(c) f () f () D ist g() g() ud es existiert ei c ],[ mit =. g'(c) g() g() (Bem.: Der MWS ist der Spezilfll g(x) = x) f () f () Hilfsfutio h: [,] R mit h(x) : = f (x) (g(x) g()), g() g() Stz vo Rolle.6 Die Regel vo de l Hospitl Seie f,g: ],[ R diffr ud g (x) 0 x ],[. Ferer gelte () f(x) 0, g(x) 0 für x (oder x oder x ) 6

17 oder () f(x), g(x) für x (oder x oder x ) f '(x) f (x) Flls der Grezwert A:= lim existiert, d gilt lim = A. x g'(x) x g(x) Wichtige Beispiele: exp(x) exp(x) () Mit l Hospitl gilt für >0: lim = lim =. x x x exp(x) exp( x) Dmit gilt für N: lim = lim x x x x ( exp(x) wächst scheller ls jede Potez vo x ) exp( x) = lim x x = () l x x Mit l Hospitl gilt: lim = lim = lim x x x x x x = 0 ( l(x) wächst lgsmer ls jede Potez vo x ).7 Allgemeie Poteze Defiitio:Allgemeie Potez Für x R ist e x := exp(x) ud für R + ist x := e x l. Mit der Futiolgleichug folgt x+y = x y.. Futioefolge ud reihe, gleichmäßige Kovergez. Futioefolge ud -reihe Defiitio:Putweise Kovergez Sei D R, (f ) N eie Futioefolge mit f : D R N ud f: D R gegee. (i) Die Folge (f ) N overgiert putweise gege f, flls gilt: Für jedes x D overgiert (f (x)) N gege f(x). (d.h. lim f (x) = f (x) x D ε>0 N N N: f (x)-f(x) < ε) (ii) Die Reihe =0 f overgiert putweise gege f, flls die Folge der Prtilsumme s : = putweise gege f overgiert. f i i= 0 Wichtiges Beispiel: (f ) mit f : [0,] R, x x overgiert putweise gege die Futio 0,0 x f(x) = (Bechte: lle f sid stetig, er f icht), x = Defiitio:Gleichmäßige Kovergez Die Folge (f ) N overgiert gleichmäßig gege f, flls gilt: ε>0 N N N x D: f (x) - f(x) < ε ( I jedem ε-schluch um f liege fst lle f ) Klr: (f ) gleichmäßig overget (f ) putweise overget. Die Supremumsorm 7

18 Defiitio:Beschrätheit eier Folge f heißt eschrät, flls c R x D: -c f(x) c. B(D,R):= {f: D R f eschrät} ist ei R-Vetorrum ud für f B(D,R) existiert sup{ f(x) x D }. Defiitio:Supremumsorm Sei f B(D,R). f := sup{ f(x) x D } heißt die Supremumsorm vo f. Lemm: Für eie Folge vo Futioe f : D R gilt: glm (f ) f (Fst lle f - f liege i B(D,R) ud ) f - f 0 ε>0 N N N x D: f (x)-f(x) <ε ε>0 N N N: f -f <ε Eigeschfte der Supremumsorm: Für f,g B(D,R) ud c R gilt: () f 0, f = 0 f = 0 () c f = c f (3) f + g f + g.3 Cuchy-Kriterium für Futioefolge Für eie Folge vo Futioe f : D R gilt: (f ) gleichmäßig overget ε>0 N N m, N f - f m < ε (i) (ii) 0-Ergäzug, Dreiecsugleichug ptw (ii) (i) (f ) N Cuchy-Folge i R, lso f f, dmit ist für x D ud m N fest: f (x) f (x) = lim f (x) f (x) < ε m.4 Reche mit gleichmäßig overgete Folge glm glw Seie (f ), (g ) Futioefolge vo D R mit f f ud g g, d gilt: f glm glm + g f g ud c f c f +.5 Stetigeit der Grezfutio m für c R Seie f :D R stetig. Flls (f ) gleichmäßig overget ist, d ist uch die Grezfutio f:=lim(f ) stetig. εδ-defiitio, 3 ε wähle ud ml Dreiecsugleichug.6 Differezierreit der Grezfutio Seie f : [,] R diffre Futioe. Flls ( f ) gleichmäßig overget ist ud (f (x 0 )) N für ei x 0 [,] overget ist, d gilt: (i) (f ) ist gleichmäßig overget (ii) Die Grezfutio f:= limf ist diffr mit f = (limf ) = lim f. ( Limes ud Aleitug sid vertuschr ) 8

19 Korollr: () Seie f : D R stetig. Flls f glm. gt. ist, so stellt die Grezfutio eie stetige Futio dr. () Seie f : [,] R diffr. Flls f ' glm. gt. ist ud f (x ) für ei 0 x 0 [,] gt. ist, d gilt: f:= f ist glm. gt. ud es ist f = ( f ) = f ( Gliedweises Differeziere ).7 Ds Weierstrß-Kriterium Seie f : D R. D gilt: f overget f glm. gt. & f glm. gt. (Bemerug: Dmit sid lle dere Kriterie für Reihe wedr) s -s m = f f = f < ε,mit Cuchy für Zhlefolge.8 Potezreihe = m+ = m+ = m+ ud für Futioefolge ist (s )= f glm. gt Defiitio:Potezreihe Seie f : R R Futioe mit f (x) = x woei R. Die Reihe f heißt d Potezreihe..9 Der Kovergezrdius Sei R:= sup{x 0 x gt.} der Kovergezrdius der Potezreihe x, R R { }. D gilt: () x < R x solut overget x > R x diverget () x overgiert i jedem Itervll [-r,r], wo r<r ist gleichmäßig..0 Die Formel vo Hdmrd Sei x eie Potezreihe. Für de Kovergezrdius vo x gilt: 0, flls R = lim sup =, flls R = 0 R, sost Flls < limsup,d.h. < r r für -viele, lso r div. ch NF-Kriterium, somit r R. Flls > limsup, c R:0<c< s.d. c r > r f.f.., lso r gt. ch Mjorte-Kriterium, somit r R. 9

20 . Differezierreit vo Potezreihe Sei =0 x () x eie Potezreihe mit Kovergezrdius R>0. D gilt: stellt i ]-R,R[ eie elieig oft diffre Futio f dr. () Für x ]-R,R[ gilt f '(x) = x ( Gliedweises Differeziere ) = Es geügt zu zeige, dß die Aleitug eeflls Kovergezrdius R ht.. Die trigoometrische Futioe die Zhl π Defiitio:Die Zhl π Aus cos( ) ud cos(0) = folgt mit dem ZWS, dß cos i [0,] eie positive 3 Nullstelle ht. Also ist M:={x R + cos(x) = 0} icht leer. π : = if M exp: C C ist periodisch mit der Periode πi, d.h. π i z+ πi z e = e z C π e i π π = cos + isi = z+ πi z πi z 4 z 4 z e = e e = e (e ) = e i = e, d i Folgerug: cos: R R ud si: R R sid periodisch mit der Periode π, d.h. cos(x + π) = cos x ud si(x + π) = si x x R () π cos ht uf R geu die Nullstelle + π mit Z () si ht uf R geu die Nullstelle π mit Z Folgerug:() π ist die leiste positive Periode vo cos ud si. () z Für die omplexe Expoetilfutio C C, z exp(z) = e gilt: e z = Z: z = πi.3 Umehrfutioe der trigoometrische Futioe π π () rcsi: [-,] [, ] ist differezierr i ]-,[ mit rcsi'(x) =. x² () rccos: [-,] [0,π] ist differezierr i ]-,[ mit rccos'(x) =. x² π π (3) rct: R ], [ ist differezierr mit rct'(x) =. + x² 3. Der Stz vo Tylor 3. Höhere Aleituge Defiitio:Höhere Aleituge Sei f: I R. f heißt zweiml diffr, flls f diffr ist ud f : I R diffr ist. Idutiv: f heißt -ml diffr ( ), flls f (-)-ml diffr ist ud die (-)-te Aleitug f (-) diffr ist. 0

21 Defiitio:() f heißt -ml stetig diffr, flls f -ml diffr ist ud f () stetig ist. () f heißt uedlich oft differezierr, flls >0 f () existiert. Bezeichuge: C ( I ):= { f: I R f -ml stetig diffr } C ( I ):= { f: I R f -oft diffr } 3. Tylorpolyome Lemm: Sei f: I R -ml diffr i I. D existiert geu eie Polyomfutio T = T,f, : I R vom Grd mit T() = f(), T () = f (),..., T () () = f () (), () f () ämlich: T, f, (x) = (x ) = 0! T,f, heißt ds -te Tylorpolyom vo f im Put. Etwiclug üer p(x) = c (x ) () ()... p () =!c = f () = 0 mit p() = c 0 = f() Defiitio:Restglieder R,f, := f - T,f, heißt ds -te Restglied vo f i. 3.3 Der Stz vo Tylor Sei f: I R (+)-ml diffr, I. D git es zu jedem x I eie Zhl c zwische (+ ) f (c) + x ud mit: R,f, (x) = (x ) ( Lgrge sches Restglied ) ( + )! R(x) Betrchte, (+)-ml Nullergäzug ud VMWS + (x ) 3.4 Awedug : Bestimmug loler Extrem Sei f: I R (+)-ml stetig diffr. Ageomme, es gilt für eie Put I f () = 0,..., f () () = 0, f (+) () 0. D gilt: () f (+) () > 0 ud ugerde f ht i ei streges loles Miimum () f (+) () < 0 ud ugerde f ht i ei streges loles Mximum (3) gerde f ht i ei Extremum Lgrge sches Restglied 3.5 Awedug : Qulittive Tylorformel Sei f: I R (+)-ml stetig diffr ud I. D existiert eie i stetige Futio r: I R mit f(x) = T,f, (x) + (x - ) r(x). R,f, (x) (Aders: lim = 0 wege Stetigeit) x (x ) 3.6 Tylor-Reihe

22 Defiitio:Tylorreihe Sei f: I R -oft diffr ud I. Die Reihe () f () Tf, (x) = (x ) = 0! heißt Tylorreihe vo f i. Bemeruge zu Tylorreihe: () Ist f durch ei Potezreihe gegee, d.h. f(x) = x, so gilt T f,0 (x) = x. =0 = 0 () Der Kovergezrdius vo T f, h gleich ull sei. Selst we T f, (x) overgiert, muß icht T f, (x) = f(x) gelte. (3) Es gilt: T f, (x) = f(x) lim R (x) = 0,f, Kpitel 5: Itegrierre Futioe 4. Ds Itegrl für Regelfutioe 4. Treppefutioe Defiitio:Treppefutio Eie Treppefutio uf I ist eie Futio ϕ: I R, zu der eie Uterteilug = x 0 < x < x <... < x = existiert, so dß ϕ uf jedem offee Teilitervll ]x i-, x i [, i ostt ist. Defiitio:Itegrl für Treppefutioe Sei ϕ: I R eie Treppefutio ud = x 0 < x < x <... < x = eie Uterteilug, so dß ϕ(x) = c i für x ]x i-, x i [. Ds Itegrl vo ϕ ist defiiert durch Bemerug: ϕ ϕ = ϕ(x)dx : = = c { i i Wert vo ϕ im i-te Teilitervll ( x x ) 443 i i des i- Teiliterv Läge lls te ist wohldefiiert, d.h. uhägig vo der gewählte Uterteilug 4. Eigeschfte des Itegrls für Treppefutioe Sei T(,):={ ϕ: I R ϕ Treppefutio }. Es gilt: () T(,) ist ei Utervetorrum vo B(,). () Die Itegrlildug T(,) R, ϕ ϕ ht folgede Eigeschfte: (i) Für ϕ,ψ T(,) gilt: ϕ + ψ = ϕ + ϕ = c ϕ (ii) ϕ ψ ϕ ψ ψ c c R ( Lierität ) ( Mootoie )

23 (iii) ϕ ϕ ( ) ϕ 3 Läge des Itervlls { größter Wert der Ft. ( Beschrätheit ) ( Die Itegrlildug ist eie mootoe, eschräte Lierform uf T(,) ) Bilde jeweils die Vereiigug der Uterteiluge 4.3 Regelfutioe Defiitio:Regelfutioe Eie Futio f: I R heißt Regelfutio, flls zu jedem ε>0 eie Treppefutio ϕ T(,) existiert mit f - ϕ < ε. ( I jedem ε-schluch um f liegt eie Treppefutio ) Aders: f Regelfutio Folge (ϕ ) vo Treppefutioe, ϕ T(,), die gleichmäßig gege f overgiert Folge (ϕ ) mit ϕ T(,) ud ϕ f Chrterisierug der Regelfutioe Für eie Futio f: I R sid äquivlet: (i) f Regelfutio (ii) Für jedes c ],[ existiert limf (x) x c ud limf (x) x c. ud es existiere limf (x) ud limf (x) x x ( Alle eiseitige Grezwerte existiere ) Korollr: () Jede stetige Futio ist eie Regelfutio. () Jede mootoe Futio ist eie Regelfutio. 0, x Q Wichtiges Beispiel: Die Dirichlet-Futio mit f: [0,] R ud x ist eie, x Q Regelfutio, de die eiseitige Grezwerte existiere i eiem Put. 4.5 Ds Regelitegrl Sei f: [,] R eie Regelfutio. () Für jede Folge (ϕ ) i T(,), die glm. gege f overgiert, existiert lim ϕ. () Der Grezwert lim ϕ hägt icht vo der Whl der Folge (ϕ ). Defiitio:Regelitegrl f := lim heißt ds Itegrl vo f üer [,]. ϕ 4.6 Eigeschfte des Regelitegrls Sei R(,):={ f: [,] R f Regelfutio }. Es gilt T(,) R(,) B(,) ud () R(,) ist ei Vetorrum 3

24 () Die Itegrlildug R(,) R, f f ht folgede Eigeschfte: Für f,g R(,) gilt: () f + g = f + g c f = c f c R ( Lierität ) () f g f g (c) f f ( ) f Mit de Eigeschfte üer Treppefutioe 4.7 Vertuschug vo Itegrtio ud Limes ( Mootoie ) ( Beschrätheit ) Sei (f ) eie glm. gt. Folge vo Regelfutioe f : [,] R. D gilt: Die Grezfutio f : = lim f ist uch eie Regelfutio ud es gilt f = lim f = lim f. D.h. m de Rum R(,) icht durch die Grezfutioe erweiter. 4.8 Der Mittelwertstz der Itegrlrechug Sei f: [,] R stetig. D existiert ei c [,] mit = ( ) f (c) Es ex. Mx. t ud Mi. s, mit Beschrätheit s (-) f t (-), ZWS 4.9 Bereichsdditivität des Itegrls Lemm: Vereiruge: Sei f: [,] R ud c [,]. Es gilt: f R(,) f [,c] R(,c) & f [c,] R(c,) ud () f = f () Sttt Betrchte zugehörige Treppefutioe f schreit m uch 5. Itegrtio ud Differetitio f c f = f + f (x)dx ud et x die Itegrtiosvrile. c f 4

25 5. Der Huptstz der Differetil- ud Itegrlrechug Sei I R ei Itervll, I ud f: I R eie Regelfutio. x () Die Futio F: I R mit x f (t)dt ist stetig. () Flls f stetig ist, d ist F differezierr ud F = f. ( F ist eie Stmmfutio zu f ) () Betrchte c c, zeige F(c ) F(c) mit Bereichsdditivität () Betrchte c c, zeige dmit F (c)= f(c) mit Bereichsdditivität, MWS (mit ~ c zwische c ud c ), Stetigeit: f( ~ c ) f(c) 5. Awedug des HDI zur Berechug vo Itegrle Folgerug: [ G] f (t)dt = F() F() = G() G() = : woei G = F + cost 5.3 Sustitutiosregel Sei f: [,] R stetig ud g: [ α, β] [,] stetig diffr. D gilt: g( β) g( α) β f (x)dx = f (g(t)) g'(t) dt α Wähle G Stmmfutio zu f ud Ketteregel uf ( G o g) (t) + HDI 5.4 Prtielle Itegrtio Seie f,g: [,] R stetig diffr. D gilt: f g' = [ f g] f ' g Produtregel für Aleituge ud HDI Wichtiges Beispiel: l x dx = l x x dx = l x x x dx = x 5.5 Ueigetliche Itegrle Defiitio:Sei f: [, [ R mit f [,] R(,) >. [ ] [ l x x] [ ] [ ] x = x l x x Der Grezwert f : = lim f heißt ds ueigetliche Itegrl vo f, flls er existiert. Beispiel: dx = lim dx = lim[ ] = lim( + ) = x x x Defiitio:Sei f: (,] R mit f [c,] R(c,) c>. 5

26 Der Grezwert f : = lim f heißt ds ueigetliche Itegrl vo f, flls er existiert. c c Beispiel: l x dx = lim l x dx = lim[x l x x] = lim( c l c + c) = c 3 0 c 0 c c 0 c 0 0 6