BRÜCKENKURS MATHEMATIK
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- Florian Acker
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1 BRÜCKENKURS MATHEMATIK ELEMENTE DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG Schwerpute: Begri der Aleitug Aleitugsregel Uestimmtes Itegrl Bestimmtes Itegrl Itegrtiosregel Aweduge Pro. Dr. hil. M. Ludwig TU Dresde Istitut ür Wisseschtliches Reche Septemer 9
2 Brüceurs: Elemete der Dieretil- ud Itegrlrechug - Pro. Dr. M. Ludwig Elemete der Dieretil- ud Itegrlrechug. Elemete der Dieretilrechug.. Begri des Dieretilquotiete :, wird i Umgeug vo D zgl. ihrer "Veräderug" utersucht. D D Beispiele:. Eie gerdliige Bewegug eies Msseputes sei durch eie Futio s= s( t ud seie Geschwidigeit durch s( t v ( t = t eschriee. Bei Äderug der Futio Msseput de Weg s= s t + t s t ( s t i eiem Zeititervll t t + t legt der zurüc. Durch Quotieteildug erhält m log zu oe s s( t + t s = ( t t t eie Ausdruc ür die mittlere Geschwidigeit der Bewegug im etrchtete Zeititervll. v im Zeitput t zu erhlte, ist es he lieged Um die momete Geschwidigeit de Grezwert s s lim = v ( t : = lim t t t zu ilde. t ( t + t s( t t. Astieg eier Kurve C ( im Put, Astieg der Sete durch zwei Kurvepute, ud P + h, + h : P( ( ( ( + h ( ( P : tα s = h etspricht dem mittlere Astieg vo C im Itervll... + h. De Astieg vo C im Put erhält m durch de Grezwert P (( + h tα = lim tα s = lim h h h, lls dieser eistiert. Die Gerde durch mit diesem Astieg heißt Tgete die Kurve C P im Put. P
3 Brüceurs: Elemete der Dieretil- ud Itegrlrechug - Pro. Dr. M. Ludwig De.. Dieretilquotiet Die i eier Umgeug vo deiierte Futio heißt der Stelle dierezierr (di 'r, we der Grezwert ( + h y ( = lim = lim h h eistiert. Dieser Grezwert heißt Dieretilquotiet oder. Aleitug vo der Stelle. dy d Adere Bezeichuge: y =,, = = d d Höhere Aleituge etstehe durch mehrmlige Dieretitio ( d (,,, zw. d Folgeruge I D. D heißt u I di 'r, we di 'r ür jede iere Put vo I ist. dy Schreiweise:,, d, woei I d d. heißt (urz di 'r, we u di 'r ist.. sei u I deiiert ( D =. Dieretitio elemetrer Futioe (Dieretitiosregel Die Grudutioe sid i ihre Deiitiosgeiete di 'r. µ = µ µ, µ,,. isesodere : =, (, \ = = = + {} [ = = = =,,. = > speziell: ( e = e, l,, ; si = cos, ; cos = si, ;.. Dieretitiosregel ür rithmetisch verüpte Grudutioe,g seie u eiem Itervll I di 'r, d ± g, r ( r, g ud g mit g sid u I di 'r. Dei gilt:
4 Brüceurs: Elemete der Dieretil- ud Itegrlrechug - Pro. Dr. M. Ludwig ± g = ± g r = r, r g = g+ g Produtregel g g =, g Quotieteregel g g Beispiel + ( c + d + ( + c d c =, = = c + d c + d c + d.4. Ketteregel sei u eiem Itervll I ud g sei u eiem Itervll J di 'r, d ist = g( h( u I di 'r, lls ( I J. Dei gilt = g ( h h ( (Ketteregel. d d dz =, = h = g( h : = d dz d Beispiele: cos z =, z = cos ; z = Bemerug: g ( z z. d dz z cos = = l ( si = l si dz d z = l, u = ; z u = lu. dz du z = = = du d u Stz Die elemetre Futioe sid (i ihre Deiitiosgeiete is u eizele Pute di 'r. Ihre Aleituge sid wieder elemetre Futioe..5 Aweduge der Dieretilrechug.5. Vollstädige Kurvedisussio, Etremwertuge Gegee: : D Gesucht: Loles ud gloles Verhlte der Futio [vgl. Vorlesug ud Semir zu reelle Futioe]. Dzu sid zu estimme:. Deiitiosereich, Werteereich [vgl. reelle Futioe]. Nullstelle [vgl. reelle Futioe]. Pole [vgl. reelle Futioe] 4. Lüce [vgl. reelle Futioe] 4
5 Brüceurs: Elemete der Dieretil- ud Itegrlrechug - Pro. Dr. M. Ludwig 5. symptotisches Verhlte ±, vgl. reelle Futioe, ±, Pol ( [ ] ( 6. reltive Etrem 7. Wedepute 8. Mootoieeigeschte 9. Krümmugseigeschte (ove, ov zu 6. Bestimmug reltiver Etrem Es sei : D ud zudem so ot dierezierr, wie eötigt. Die Aleituge seie stetig. Notwedige Bedigug ür reltive Etremwert ( ist der Stelle dierezierr ud ( = Hireichede Bedigug ür reltive Etremwert ( ( = = = = ud, d ht ei eie reltive Etremwert ud zwr ei reltives ( Mimum ( <, lls. ( =,, Miimum ( > Spezilll = ud (, d ht ei eie reltive Etremwert ud zwr ei reltives Mimum ( <, lls Miimum ( > zu 7. Bestimmug vo Wedepute Notwedige Bedigug ür Wedeput ( ist der Stelle zweiml dierezierr ud ( = Hireichede Bedigug ür Wedeput ( ( + = = = = ud, d ht ei eie Wedeput ( =,,. Spezilll = ud (, d ht ei eie Wedeput zu 8. Mootoieeigeschte ( ist streg mooto wchsed > im etreede Itervll. lled < ( ist s mooto wchsed im etreede Itervll. lled Eie Äderug der Mootoie erolgt i Etrem ud Pole gerder Ordug. 5
6 Brüceurs: Elemete der Dieretil- ud Itegrlrechug - Pro. Dr. M. Ludwig zu 9. Krümmugseigeschte ( ist streg (vo ute ove > im etreedem Itervll. ov < ( ist (vo ute ove im etreedem Itervll. ov Eie Äderug der Krümmug erolgt i Wedepute ud Pole ugerder Ordug. P Beispiel: = = Q. Deiitiosereich: D = { } \,!. Nullstelle: (-ch, weil! ; Werteereich: W = = =. Pole: ud, weil 4. Lüce: eie; Q = = = P,P Bemerug: Flls Erstzutio. 5. Asymptotisches Verhlte: Asymptote: ya = ei = eie Lüce esitzt, d weiterreche mit = + ; [vgl. Polyomdivisio] y y lim = lim =, lim = lim = A Asymptotisches Verhlte de Pole: = : lim =, lim = + =+ : lim =, lim = + Bemerug: Berechug wie olgt durchgeührt werde: z.b. ( ε ε ε ε ε = : lim = lim = lim = + ε ε ε ε 6. Reltive Etrem: 4! = = ; = ( = = zweich ud =, 6 = 4 5 ( + ( = = ; A 6
7 Brüceurs: Elemete der Dieretil- ud Itegrlrechug - Pro. Dr. M. Ludwig ( = zweich : = Wedeput? 4 4 ( 5 5 ( ( = : ( = > Miimum mit = 6 = : ( = < Mimum mit ( = 7. Wedepute: 4 6( = = ; 4 ( 4 = = (zweich ist Wedeput mit = Mootoie < < streg mooto steiged < < < < streg mooto lled < < < < mooto lled * * Flls Itervll ei geteilt wird, ist Futio streg mooto lled. 9. Krümmugseigeschte (ove, ov < < streg ov, d < < < streg ove, d > < < streg ov, d < < < streg ove, d > Speziell: Die Bestimmug der reltive Etremwerte eötigt m zur Lösug vo Etremwertuge 7
8 Brüceurs: Elemete der Dieretil- ud Itegrlrechug - Pro. Dr. M. Ludwig.5. Geometrische Aweduge Gleichug der Tgete y( de Grphe der Futio (, ( : y ( ( ( ( ( ( oder = + = + y = m + mit Astieg m= (, der der. Aleitug der Futio ud Asolutglied. Beispiel: Tgete die Futio = si im Put = cos = m= Tgete: y= durch de Put der Stelle etspricht,, d.h. = ud =. Itegrtio. Ds uestimmte Itegrl Iterprettio: Umehr der Aleitug der Dieretilrechug.. Deiitio des uestimmte Itegrls Es sei : D, D ud I D ei oees Itervll. d F heißt Stmmutio vo u I, we F = ür I. d Bemerug: We F irged eie Stmmutio vo ist, d erhält m durch Additio eier elieige Kostte c zu F lle Stmmutioe vo. De.. Uestimmtes Itegrl Ist F irgedeie Stmmutio vo Itegrl vo ( u I ud wird mit d ezeichet, d.h. F c eie elieige (Itegrtios-Kostte ist. Nch De.. gilt lso: d d d = d d F + c = u I, so heißt die Summe ds uestimmte ud Die Umehr ist is u c eideutig. d = + c, woei d d = d F = F + c. d 8
9 Brüceurs: Elemete der Dieretil- ud Itegrlrechug - Pro. Dr. M. Ludwig.. Techi des Itegrieres Uterschied zwische Dieretitio ud Itegrtio: Jede elemetre Futio ist di'r [Stz s.o.], er icht jede elemetre Futio ist itegrierr (z.b. si ist icht itegrierr Gruditegrle s. Telwere Itegrtiosregel olge us Di'regel ; z.b. ± g d= d± g d Beispiel: ( r d = r d, r ( + d = d d+ d = + + C Itegrtiostechie Prtielle Itegrtio Beispiel: = g d g g d = + si d cos cos d cos d = si si d = si + cos = si d cos si cos C = g = si = g = cos = g = cos = g = si Sustitutio Es sei ( mit = g ( t gegee. Aus d g d = g( t g t dt ( = t dt olgt!! Uedigt u Eieideutigeit vo g chte; sost, lls otwedig, Gesmtitegrl i Teilitegrle zerlege. 9
10 Brüceurs: Elemete der Dieretil- ud Itegrlrechug - Pro. Dr. M. Ludwig Beispiel: dt d = = 4 4t dt = t = + + C + t dt Sustitutio: + = t, 4d = dt d = 4 Wichtige Soderälle: d = l ( + c d= + c ; Sustitutio: R( gze rtiole Futio R = ( d = c + = t d = dt. Ds estimmte Itegrl Gesucht sei der Flächeihlt A, de eie Futio ( im Itervll [, ] eischließt. Zerlegug z vo [, ] durch edlich viele Pute = < < < < = Mß ür Feiheit der Zerlegug: δ ( z = ( i i mit i= Zwischesumme: S = ( ξ (,, ξ [ ] = i= i i i i i i S A m i i i=,, Es gilt: Folge vo Teilsumme ür z δ. mit der -Achse Bestimmug vo A mit Hile der Oer- ud Utersumme: Beispiel: = ( =, elieig Oersumme: O ( + ( + i i i= i= 6 = = = = + + i Utersumme: U = = i = = i= i= 6 lim O = = limu
11 Brüceurs: Elemete der Dieretil- ud Itegrlrechug - Pro. Dr. M. Ludwig De.. Bestimmtes Itegrl heißt üer [ ], itegrierr (eigetlich Riem-itegrierr, we ür jede Zerlegug z vo [, ] mit limδ ( z = ud ür jede Whl der etsprechede Zwischepute die Folge der Zwischesumme stets gege de gleiche Wert overgiert. Dieser Wert S [ ] heißt d estimmtes (eigetliches Riem- Itegrl vo üer Bezeichug: d = d Also: d: = lim ( ξ Festleguge: d= ; i i = i i d = d ür <,. Geometrische Deutug: d vorzeicheehteter Flächeihlt vo Itervll [, ] mit der -Achse. im Huptstz der Dieretil- ud Itegrlrechug, Berechug estimmter Itegrle stetig u [ ], F sei eie Stmmutio vo u, [ ] d = ( ( F F.,, d gilt Beispiel: diret: I = d = = dt = t = t = dt = d d = ;Greze: t =+ t = Sustitutio: t =+ dt t = lsch, d t = i icht eieideutig t=+ t I = d t = i eieideutig dt = t = er: dt = d d = ; Greze: t = t = t= t= t= dt t = t dt = t = t t= t= t=
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4.2 Das bestimmte Integral
4.. DAS BESTIMMTE INTEGRAL 63 4. Ds bestimmte Itegrl Die geometrische Iterprettio eies bestimmte Itegrls ist die Fläche uter eiem Fuktiosgrphe ft. M zerlege ei Itervl [, b] uf der t-achse äquidistt i Teilitervlle
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8 Uedliche Reihe, Potezreihe, Tylor-Reihe, Fourier-Reihe 8. Uedliche Reihe 8.. Grudlegede Deiitioe ud Eigeschte Im Kp..4. wurde Zhleolge ud ihre Kovergez behdelt. Hier betrchte wir olgede uedliche geometrische
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3 Folge, Reihe, Grezwerte 3.1 Zahlefolge Beispiele: 1, 2, 3, 4, 5,. 1, 3, 5, 7, 9, 3, 6, 9, 12, 15, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 10, 100, 1.000, 10.000, 1 3 Folge, Reihe, Grezwerte 3.1 Zahlefolge Defiitio: Eie
Perkolation (WS 2014) Übungsblatt 2
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Das Wurzelziehen (Radizieren) ist die Umkehrung des Potenzierens. Durch Berechnung der entsprechenden Wurzel entsteht wieder der Wert der Basis.
. Wurzel Ds Wurzelziehe (Rdiziere) ist die Umkehrug des Potezieres. Durch Berechug der etsprechede Wurzel etsteht wieder der Wert der Bsis. poteziere Wurzel ziehe. Die Qudrtwurzel Ds Ziehe der Qudrtwurzel
Stetigkeit und Differenzierbarkeit. Vorlesung zur Didaktik der Analysis
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Folge, Reihe ud Grezwert Vorlesug zur Didktik der Alysis Ihlt Motivtio Folge Spezielle Folge Grezwertdefiitio Wichtige Zusmmehäge ud Strtegie der Kovergezutersuchug Fuktioegrezwert Reihe Prdoxie ud Zusmmefssug
Jetzt ändert sich die dritte Stelle nach dem Komma nicht mehr, man hat also vier zählende Stellen
9. M setze = ud bereche mit Hilfe der Folge (9.5) die dritte Wurzel us uf vier zählede Stelle geu. = + + =,, =,, =.75, 4 =,48889, =,449, =,4478 Jetzt ädert sich die dritte Stelle ch dem Komm icht mehr,
VI. Integralrechnung. VI.1. Treppenfunktionen. 124 VI. Integralrechnung 5. Oktober 2006
24 VI. Itegrlrechug 5. Oktoer 26 VI. Itegrlrechug Nchdem wir im letzte Kpitel die Differetilrechug keegelert he, mit dere Hilfe es möglich ist, die Äderugsrte eier Fuktio durch dere Aleitug zu eschreie,
Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Sebastia Schwarz SS 5 7.9.5 Höhere Mathematik I für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zur Bachelor-Modulprüfug
Klasse 10 Graphen von ganzrationalen Funktionen skizzieren
Klsse 0 Grphe vo grtiole Fuktioe skiiere Nr.3-4.4.06 Ausggslge Vorwisse Die SuS kee Grudfuktioe ud ihre Grphe: f() = ²; ³; ⁴ f() = ; f() = Die SuS kee bei Grudfuktioe folgede Veräderuge: g() = f() Der
n gerade 0 n ungerade (c) x n = a 1 n, a R + (d) x 1 := 2, x n+1 = 2 + x n (e) x n = (f) x n = exp(exp(n)) (g) x n = sin(n)
Übugsaufgabe Aalysis I Aufgabe. Beweise oder widerlege Sie: a Jede i R kovergete Folge ist beschräkt. b Es gibt Cauchy-Folge im R, die icht kovergiere. c Beschräkte Folge sid koverget. d Folge mit eiem
Vektorrechnung. Ronny Harbich, 2003
Vektorrechug Ro Hrich, 2003 Eiführug Ihlt Defiitio Betrg Sklrmultipliktio Nullvektor Gegevektor Eiheitsvektor Additio Sutrktio Gesetze Defiitio Ei Vektor ist eie Mege vo Pfeile, die gleichlg (kogruet),
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Cisti Ros & Timm Kuse: Ugleihuge II (Posemi Mthemtishes Polemlöse SS 006: Dozet - tli Gieg) Posemi Mthemtishes Polemlöse Uivesität Klsuhe SS 006 UGLEICHUGE II Youg-Ugleihug... Hölde-Ugleihug...6 Miowsi-Ugleihug...0
Formelsammlung Mathematik
Prof. Dr. Johes Grützm Fchereich Grudlgewisseschfte Formelsmmlug Mthemtik für Igeieure Diese Formelsmmlug ist vo mir i de Jhre 99 is 99 ls studieegleitedes Mteril für de husitere Geruch etwickelt ud dmls
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Höhere Mathematik für techische Studiegäge Vorereitugsaufgae für die Üuge Reihe reeller Zahle. Utersuche Sie die folgede Reihe mit Hilfe geeigeter Kovergezkriterie otwediges Kovergezkriterium, Quotiete-,
Thema 8 Konvergenz von Funktionen-Folgen und - Reihen
Them 8 Kovergez vo Fuktioe-Folge ud - Reihe Defiitio Sei (f ) eie Folge vo Fuktioe vo D R i R. Wir sge, dß f puktweise gege eie Fuktio f kovergiert, flls gilt: f () f() für jedes D. Dies ist der türliche
Mathematische Formelsammlung
Alysis 1. Folge ud Grezwerte 1.1. Defiitio: Mthemtische Formelsmmlug Eie Fuktio mit N * ={1; 2;3 ;...} ls Defiitiosereich heißt Folge. 1.2. Defiitio: Eie Folge heißt mooto steiged, we für lle Folgeglieder
12. Integralrechnung. 12.A Das Riemann-Integral. 12. Integralrechnung 131
2. Itegrlrechug 3 2. Itegrlrechug Als Abschluss der Alysis i eier Veräderliche wolle wir ch der Differetitio u och die Itegrtio betrchte. D die Itegrlrechug über R sehr verschiede vo der über C ist, werde
Bsp.: Kostenfunktion: Gerade, nichtlineare Kurve Stichwort: Fixkosten, Variable Kosten, proportional/überproportional steigend
FerUNI Hage WS 00/0 Differetialrechug für Fkt. Eier Variable Ziel: Maß für lokale Äderuge eier Fuktio Bei Etscheiduge sid of icht die absolute Koste iteressat, soder vielmehr die Veräderug, die eie Produktio
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Prof. Dr. Wolfgg Koe Mthemtik, WS07 0.0.07. Zhlefolge.. Wozu IformtikerIe Folge bruche Kovergez vo Folge ist die Grudlge der Alysis (Differetil- ud Itegrlrechug) Trszedete Gleichuge wie x l x 50 k m äherugsweise
7 Ungleichungen und Intervalle
Mthemtik. Klsse 7 Ugleichuge ud Itervlle Aufgbe 0 Löse Sie folgede Ugleichuge > + 8 < 5 + + 7. Itervlle Um gze Bereiche vo reelle Zhle zugebe, wird die Schreibweise mit Itervlle verwedet. Beispiele [,
Carl Friedrich Gauß (Deutscher Mathematiker, 1777 bis 1855) formulierte die folgende Formel n
mthphys-ole Alyss. Klsse Techk Itegrlrechug Vertefug des Itegrlegrffs De Itegrlrechug ht ds Zel, de Flächehlt krummlg egrezter Flächestücke zu ereche. Be der äherugswese Berechug der Fläche uter Polyomfuktoe
Grenzwert. 1. Der Grenzwert von monotonen, beschränkten Folgen
. Der Grezwert vo mootoe, beschräkte Folge Der Grezwert vo mootoe, beschräkte Folge ist eifacher verstädlich als der allgemeie Fall. Deshalb utersuche wir zuerst diese Spezialfall ud verallgemeier aschliessed.
Repetitorium Analysis 1 für Physiker WS08/09 Montag - Folgen und Reihen Musterlösung
Repetitorium Aalysis für Physier WS08/09 Motag - Folge ud Reihe Musterlösug. Verstädisfrage Thomas Blasi a Sid folgede Aussage richtig oder falsch: Jede overgete Folge hat eie Grezwert. Richtig. i Der
Komplexe Zahlen Ac '16
Komplexe Zhle Ac '16 I der Mege der reelle Zhle ist die Gleichug x² = -1 icht lösr. Ahilfe schfft eie Zhlereichserweiterug vo der Mege uf die Mege der sogete komplexe Zhle. Die Mege der komplexe Zhle esteht
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War Benjamin Franklin Magier?
Wr Bejmi Frkli Mgier? Zusmmefssug Es wird eie Methode etwickelt, ei (fst) mgisches Qudrt der Ordug 8 k ( k ) mit fsziierede Eigeschfte herzustelle. Eileitug I seiem überus leseswerte ud bwechslugsreiche
Formel- und Tabellensammlung zum Aktuariellen Grundwissen
Formel- ud Tellesmmlug zum Aturielle Grudwisse Schdeversicherugsmthemti A. Zufllsvrile X, Y seie (disrete oder stetige Zufllsvrile. Verteilugsfutio: F( = P( X (Verteilugs-Dichte: f ( F ( = ei differezierrer
Angewandte Mathematik und Programmierung
Agewdte Mthemtik ud Progrmmierug Eiführug i ds Kozept der objektorietierte Aweduge zu mthemtische Reches WS 2012/13 Ihlt Wiederholug (Eigeschfte vo Folge zusmmegefsst) Zhlereihe Kovergez vo Reihe Beweis
Proseminar: Mathematisches Problemlösen. Ungleichungen 2. Pierre Schmidt. Vortragstermin: 19. Juni Fakultät für Mathematik
Prosemiar: Mathematisches Problemlöse Ugleichuge Pierre Schmidt Vortragstermi: 19. Jui 015 Übugsleiteri: Dr. Natalia Griberg Fakultät für Mathematik Karlsruher Istitut für Techologie Ihaltsverzeichis 1
2 Differentialrechnung und Anwendungen
Differetialrechug ud Aweduge Differetialrechug ud Aweduge Der Begriff des Differetialquotiete hat sich i zahlreiche Aweduge ierhalb ud außerhalb der Mathematik als äußerst fruchtbar erwiese. Bestimmug
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Mekhilfe Mthemtik fü Bildugsgäge die zu FHSR fühe Zhlemege ℕ = { ; ; ; ;...} Mege de tüliche Zhle ℕ = ℕ {} ℤ = {... ; ; ; ; ; ;...} Mege de gze Zhle ℤ = ℤ {} ℝ Mege de eelle Zhle ℝ = ℝ {} ℝ+ = { ℝ } Mege
Langrange-Multiplikators und Hinreichende Bedingungen
Albert Ludwigs Uiversität Freiburg Abteilug Empirische Forschug ud Ökoometrie Mathematik für Wirtschaftswisseschaftler Dr. Sevtap Kestel Witer 008 10. November 008 14.-4 Lagrage-Multiplikators ud Hireichede
Algebra/Arithmetik. Eine Variable ist ein Platzhalter oder ein Stellvertreter für eine Zahl.
Algebr/Arithmetik 1. Grudbegriffe Geometrie: Lehre vo de Rumgrösse Algebr: Lehre vo de Gleichuge Arithmetik: Lehre vo de Zhlegrösse (Zhle, Vrible) Defiitio: Eie Vrible ist ei Pltzhlter oder ei Stellvertreter
Lösungen der Aufgaben zur Vorbereitung auf die Klausur Mathematik für Informatiker I
Uiversität des Saarlades Fakultät für Mathematik ud Iformatik Witersemester 2003/04 Prof. Dr. Joachim Weickert Dr. Marti Welk Dr. Berhard Burgeth Lösuge der Aufgabe zur Vorbereitug auf die Klausur Mathematik
Numerisches Integrieren
Numerisches Itegriere Ac I der Prxis werde Itegrle i der Regel umerisch, lso pproximtiv, bestimmt. Dzu solle hier verschiedee Algorithme betrchtet werde ( Rechteck, Mitterechteck, Trpez, Simpso, Romberg
Ober- und Untersummen
Q Mthemtik GK Mrti-Niemöller-Schule Stef Krissel Oer- ud Utersumme Q Mthemtik GK Mrti-Niemöller-Schule Stef Krissel Oer- ud Utersumme mit ud uedlich viele Streife siehe uch S. 5 im Buch. Oer- ud Utersumme
4. Der Weierstraßsche Approximationssatz
H.J. Oberle Approximatio WS 213/14 4. Der Weierstraßsche Approximatiossatz Wir gebe i diesem Abschitt eie ostrutive Beweis des Weierstraßsche Approximatiossatzes, der mit de so geate Berstei-Polyome (Felix
Differenziation 5 Ableitung der elementaren Funktionen 6 Differenziationsregeln 6 Ableitung der Umkehrfunktion
Prof. Dr. Elmr Müller-Horsche FH Augsurg Formelsmmlug Igeieurmthemtik Ihlt (. Semester) Seite Grudegriffe 3 Trigoometrische Fuktioe 3 Additiostheoreme 3 Hl- Doppelwikelformel 3 Verschieuge ud Dehuge 4
4.1 Dezimalzahlen und Intervallschachtelungen. a) Reelle Zahlen werden meist als Dezimalzahlen dargestellt, etwa
20 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit 4 Kovergete Folge 4. Dezimalzahle ud Itervallschachteluge. a) Reelle Zahle werde meist als Dezimalzahle dargestellt, etwa 7,304 = 0+7 +3 0 +0 00 +4 000. Edliche Dezimalzahle
Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. WS 05/06 04..05 Höhere Mathematik für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zum 6. Übugsblatt Aufgabe
9. Jahrgangsstufe Mathematik Unterrichtsskript
. Jhrggsstufe Mthetik Uterrichtsskript. Die ioische Forel Beispiel: Auftrg: Bereche die Gestfläche der oe stehede Figur uf zwei verschiedee Arte!. Möglichkeit. Möglichkeit: Teilflächeerechug Mit Zhleeispiel
8.3. Komplexe Zahlen
8.. Komplee Zhle Wie bereits i 8.. drgestellt, wurde die fortlufede Erweiterug der Zhlbereiche durch die Eiführug immer kompleerer Recheopertioe otwedig:. Auf de türliche Zhle führte der Wusch ch iverse
14. EINFÜHRUNG IN DIE INTEGRALRECHNUNG
Itegrlrechug. EINFÜHRUNG IN DIE INTEGRALRECHNUNG.. Prolemstellug () Stmmfuktioe Im Kpitel Differetilrechug wurde festgestellt, dß es eie Zusmmehg zwische zurückgelegtem Weg, Geschwidigkeit ud Beschleuigug
8. Die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen
8. Die Expoetialfuktio ud die trigoometrische Fuktioe 8.1 Defiitio der Expoetialfuktio Fudametallemma: Für jede Folge w mit dem Grezwert w gilt: lim 1 w k 0 k w. k! Defiitio der Expoetialfuktio : k 2 3
4.1 G sei Gruppe (mit multiplikativ geschriebener Verknüpfung) und a G. Dann heißt. falls a k 1 G k 1 ord(a) := k 1 a k = 1 G sonst
15 Wichtige Sätze ud Defiitioe zu 4: Ds qudrtische Rezirozitätsgesetz us der Vorlesug: LV-NR 150 39 Verstltug Diskrete Mthemtik II, 4.0 std Dozet Holtkm, R. 4.1 G sei Grue (mit multiliktiv geschriebeer
Mathematik. Basiswissen Ausbildung. Bildungsverlag EINS Troisdorf Dudenverlag Mannheim Leipzig Wien Zürich. Berlin Frankfurt a. M.
Bsiswisse Ausildug Mthemtik Bildugsverlg EINS Troisdorf Dudeverlg Mheim Leipzig Wie Zürich DUDEN PAETEC Schuluchverlg Berli Frkfurt. M. Herusgeer Dr. Huert Bossek Prof. Dr. hil. Krlheiz Weer Autore Armi
8. Die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen. 8.1 Definition der Exponentialfunktion
8. Die Expoetialfuktio ud die trigoometrische Fuktioe 8. Defiitio der Expoetialfuktio Fudametallemma: Für jede Folge w mit dem Grezwert w gilt: w lim + = k = 0 k w. k! Defiitio der Expoetialfuktio : k
24 Konvergente Teilfolgen und Cauchy-Kriterium
120 IV. Uedliche Reihe ud Taylor-Formel 24 Kovergete Teilfolge ud Cauchy-Kriterium Lerziele: Kozepte: Teilfolge, Häufugswerte, Limes superior ud iferior, Cauchy-Folge Resultate: Satz vo Bolzao-Weierstraß,
2.3. ZAHLENREIHEN 109. Eine Reihe ist also per Definitionem genau dann konvergent, wenn die Folge ihrer Partialsummen konvergiert.
2.3. ZAHLENREIHEN 109 2.3 Zhlereihe 2.3.1 Reihe Für IN, 0 sei IR. D ist die Reihe defiiert ls die = 0 m Folge (S m ) der Prtil- oder Teilsumme S m :=. = 0 Eie Reihe ist lso per Defiitioem geu d koverget,
Reelle Folgen. Definition. Eine reelle Folge ist eine Abbildung f : N R. liefert ( 7 9, 37
Reelle Folge Der Begriff der Folge ist ei grudlegeder Baustei der Aalysis, weil damit u.a. Grezprozesse defiiert werde köe. Er beschreibt de Sachverhalt eier Abfolge vo Elemete, wobei die Reihefolge bzw.
x mit Hilfe eines linearen, zeitinvarianten
Übug &Prktiku zu Digitle Sigle ud Systee The: Fltug Diskrete Fltug Wird ei zeitdiskretes Sigl ( T ) x it Hile eies liere, zeitivrite Siglverrbeitugssystes verrbeitet, so lässt sich ds Verhlte des verrbeitede