Mathematische Formelsammlung

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1 Alysis 1. Folge ud Grezwerte 1.1. Defiitio: Mthemtische Formelsmmlug Eie Fuktio mit N * ={1; 2;3 ;...} ls Defiitiosereich heißt Folge Defiitio: Eie Folge heißt mooto steiged, we für lle Folgeglieder gilt: 1, eie Folge heißt mooto flled, we für lle Folgeglieder gilt: Defiitio: Eie Folge heißt ch oe eschräkt, we es eie Zhl S git, sodss für lle N * : S, ch ute eschräkt, we es eie Zhl s git, sodss für lle N * : s Stz: Sid die Folge ud koverget ud he sie die Grezwerte ud, d gilt: (1) lim ± =± (2) lim = (3) lim = für 0, 0 2. Fuktioe 2.1. Defiitio: Eie Fuktio f ist eie Zuordug, die jedem Elemet us eier Defiitiosmege ID f geu ei Elemet us eier Wertemege \W f zuordet Defiitio: Eie Fuktio der Form f x = x 1 x x 0, N, heißt gzrtiole Fuktio. Ist 0, so ht f de Grd Stz (Symmetrie): Gilt f x = f x für lle x ID, so ist der Grph vo f chsesymmetrisch zur y- Achse. Gilt f x = f x für lle x ID, so ist der Grph vo f puktsymmetrisch zum Ursprug (0 0) Defiitio: Eie Zhl x 1 ID, für die f x 1 =0 ist, heißt Nullstelle der Fuktio f Stz: Ist x 1 eie Nullstelle eier gzrtiole Fuktio f vom Grd, d lässt sich f x i der Form f x = x x 1 g x schreie. Dei ist g x ei Polyom vom Grd Stz: Eie gzrtiole Fuktio vom Grd ht höchstes Nullstelle. 1

2 3. Gerochertiole Fuktioe 3.1. Defiitio: Eie Fuktio f mit f x = x 1 x x 0 m x m m 1 x m x 0, i R, i R, 0, m 0, heißt gerochertiol, we diese Drstellug ur mit eiem Neerpolyom möglich ist, desse Grd midestes 1 ist Defiitio: Gegee ist die Fuktio f mit dem vollstädig gekürzte Fuktiosterm f x = p x. Ist i dieser q x Drstellug q x 0 =0 ud p x 0 0, so et m x 0 eie Polstelle vo f Stz: Ist x 0 Polstelle eier gerochertiole Fuktio f, so gilt: f x für x x 0. Die Gerde mit der Gleichug x= x 0 heißt sekrechte Asymptote des Grphe vo f Stz: Der Grph eier gerochertiole Fuktio f mit f x = x 1 x x 0 m x m m 1 x m x 0, 0, m 0 ht für x im Flle m die x- Achse ls wgrechte Asymptote, =m die Gerde mit der Gleichug y= m ls wgrechte Asymptote, =m 1 eie schiefe Asymptote, dere Gleichug m mithilfe der Polyomdivisio erhält, m 1 eie Näherugskurve, dere Gleichug m mithilfe der Polyomdivisio erhält. 4. Differezilrechug 4.1. Defiitio: Die Fuktio f sei uf eiem Itervll I defiiert ud x 0 I. f x f x 0 We der Differezequotiet für x x x x 0 eie Grezwert esitzt, so heißt f der Stelle 0 x 0 differezierr (oder leitr). M et de Grezwert die Aleitug vo f der Stelle x 0 ud schreit dfür f ' x Stz (Potezregel): Für f x =x mit Z ist f ' x = x Stz (Summe- ud Fktorregel): Die Fuktioe g ud h seie uf eiem Itervll I defiiert ud der Stelle x I differezierr, so gilt: f =g h ist i x differezierr ud es ist f ' x = g ' x h' x f =c g mit c R ist i x differezierr ud es ist f ' x =c g ' x Stz (Ketteregel): Ist f =u v eie Verkettug zweier Fuktioe, so gilt f ' x =u' v x v ' x. 2

3 4.5. Stz (Produktregel): Ist f =u v ei Produkt zweier Fuktioe, so gilt f ' x =u' x v x u x v ' x Stz (Quotieteregel): Ist f = u v, v x 0 ei Quotiet zweier Fuktioe, so gilt u ' x v x u x v ' x f ' x = v 2. x 4.7. Stz (Aleitug der Umkehrfuktio): Ist die Fuktio f i eiem Itervll I umkehrr ud differezierr mit f ' x 0 für x I, d ist die Umkehrfuktio f eeflls differezierr, ud es gilt: f ' y = 1 mit y= f x zw. f ' x x= f y Stz: Für die Fuktio f mit f x =si x gilt f ' x =cos x. Für die Fuktio f mit f x =cos x gilt f ' x = si x. Für die Fuktio f mit f x =e x gilt f ' x =e x Für die Fuktio f mit f x =l x gilt f ' x = 1 x Für die Fuktio f mit f x = x 4.9. Defiitio: gilt x x l =e Eie Fuktio f mit der Defiitiosmege ID heißt der Stelle x 0 ID stetig, we gilt lim x x 0 f x = f x Stz: Ist eie Fuktio f eier Stelle x 0 differezierr, d ist sie i x 0 uch stetig Defiitio: Die Fuktio f sei uf dem Itervll I defiiert, we für lle x 1, x 2 I gilt: Aus x 1 x 2 folgt f x 1 f x 2, d heißt f streg mooto steiged i I. Aus x 1 x 2 folgt f x 1 f x 2, d heißt f streg mooto flled i I Stz (Mootoie): Die Fuktio sei uf dem Itervll I defiiert. Ist f ' x 0 für lle x I => f ist streg mooto steiged. Ist f ' x 0 für lle x I => f ist streg mooto flled Defiitio: Die Fuktio f sei uf ei Itervll I defiiert. Der Fuktioswert f x 0 heißt: lokles Mximum vo f, we es eie Umgeug U x 0 git, so dss für lle Werte us U x 0 I gilt: f x f x 0. lokles Miimum vo f, we es eie Umgeug U x 0 git, so dss für lle Werte us U x 0 I gilt: f x f x Stz (Notwedige Bedigug): Die Fuktio f sei uf dem Itervll I differezierr ud x 0 eie iere Stelle vo I. We f der Stelle x 0 eie Extremwert ht, d ist f ' x 0 =0. 3

4 4.15. Stz (Hireichede Bedigug): Die Fuktio f sei uf dem Itervll I zweiml differezierr ud x 0 eie iere Stelle vo I. Gilt f ' x 0 =0 ud f ' ' x 0 0 => f ht der Stelle x 0 ei Miimum (lokl). Gilt f ' x 0 =0 ud f ' ' x 0 0 => f ht der Stelle x 0 ei Mximum (lokl) Defiitio: Eie iere Stelle x 0 vo I heißt Wedestelle vo f, we im zugehörige Pukt W x 0 f x 0 der Grph vo eier Likskurve i eie Rechtskurve üergeht (oder umgekehrt). Ei Wedepukt mit wgerechter Tgete heißt Sttelpukt Stz: Sei f uf eiem Itervll I dreiml differezierr ud x 0 eie iere Stelle vo I. We x 0 eie Wedestelle vo f ist, d gilt f ' ' x 0 =0. We f ' ' x 0 =0 ud f ' ' ' x 0 0, d ist x 0 eie Wedestelle Stz (Regel vo de l'hospitl) Sei R oder =± ud gelte folgede Vorussetzuge: (i) (ii) (iii) lim u x = ud lim v x =± mit =0 oder =± x x v ' x 0 i eier Umgeug vo lim x So gilt: lim x u ' x v ' x 5. Itegrlrechug 5.1. Defiitio: existiert u x v x =lim u' x x v' x Die Fuktio f sei uf dem Itervll I stetig ud, I. Für jedes N * mit S =h f x 1 h f x 2... h f x ud h= D ist ds Itegrl der Fuktio f : lim 5.2. Defiitio:. S = f x dx sei S eie Zerlegugssumme Die Fuktio f : t f t sei i eiem Itervll I stetig ud I. D heißt die Fuktio J mit J x = 5.3. Defiitio: f x dt für x I Itegrlfuktio vo f zur utere Greze. Gegee sei eie uf eiem Itervll I defiierte Fuktio f. Eie Fuktio F heißt Stmmfuktio vo f im Itervll I, we für lle x I gilt: F x = f x Stz: 5.5. Ist F eie Stmmfuktio vo f i I, so gilt für lle weitere Stmmfuktioe G vo f i I: G x =F x c, x I mit eier Kostte c. 4

5 5.6. Stz (Huptstz der Differezil- ud Itegrlrechug): Die Fuktio f sei uf dem Itervll I stetig. Ist F eie elieige Stmmfuktio vo f i I, d gilt: f x dx=f F mit, I 5.7. Stz (Eigeschfte des Itegrls): Sid die Fuktioe f ud g uf dem Itervll I stetig ud sid,,c I ud r R, so gilt: f x dx c f x dx r f x dx=r g x dx= f x g x dx c f x dx= f x dx 5.8. Stz (Mootoie des Itegrls): f x dx (Summeregel) (Itervlldditivität) (Fktorregel) Sid die Fuktioe f ud g uf dem Itervll [;] stetig ud ist f x g x für lle x [ ;], so gilt: 5.9. Stz: f x dx g x dx Es sei f eie uf eiem Itervll [;] stetige Fuktio. Für de Ihlt A der Fläche zwische dem Grphe vo f ud der x-achse üer [;] gilt: A= f x dx, flls f x 0 für lle x [ ;] zw. A= Stz (Fläche zwische zwei Grphe): f x dx, flls f x 0 für lle x [ ;] Für de Flächeihlt A zwische zwei Fuktioe f ud g gilt, flls f x g x für lle x [ ;] : A= f x g x dx Defiitio: Ist die Fuktio f uf dem Itervll I =[ ; ) stetig ud existiert der Grezwert lim so heisst dieser Grezwert ds ueigetliche Itegrl vo f üer [ ; ) Stz (Volume Rottioskörper): f x dx, Ist die Fuktio f uf dem Itervll [ ;] itegrierr, so etsteht ei Rottio der Fläche zwische dem Grphe vo f ud der x-achse üer [ ;] ei Körper mit dem Volume: V = Stz (Produktitegrtio) f x 2 dx. Sid u ud v uf dem Itervll I =[ ;] differezierre Fuktioe mit stetige Aleitugsfuktioe u' ud v', so gilt: u x v ' x dx=[u x v x ] u' x v x dx. 5

6 5.14. Stz (Itegrtio durch Sustitutio): g f g x g ' x dx= g f z dz 6. Expoetil- ud Logrithmusfuktio 6.1. Defiitio: Fuktioe f mit f x = x oder uch g mit g x =c x, c R, 0, x R et m Expoetilfuktioe zur Bsis. Ei Vorgg, der durch eie Expoetilfuktio eschriee werde k, wird expoetielles Wchstum get. Expoetilfuktioe et m deshl ei Aweduge uch Wchstums- zw. Zerfllsfuktioe Defiitio: Der Grezwert lim 1 1 existiert ud ist eie irrtiole Zhl. Die Zhl heißt eulersche Zhl ud wird mit e ezeichet. Es ist e = 2, Stz: Die türliche Expoetilfuktio f mit f x =e x ht die Aleitugsfuktio f ' mit f ' x =e x. Eie Stmmfuktio ist F mit F x =e x Defiitio: Die Umkehrfuktio der türliche Expoetilfuktio heißt türliche Logrithmusfuktio. Sie wird mit x l x ; x R +, ezeichet Stz: Die türliche Logrithmusfuktio f mit f x =l x, x R +, ht die Aleitugsfuktio f ' x = 1 x Stz: Eie Stmmfuktio der Fuktio f mit f x = 1 x, x 0, ist die Fuktio F mit F x =l x Stz: Eie Stmmfuktio der Fuktio f mit f x = u ' x u x ist die Fuktio F mit F x =l u x. Alytische Geometrie ud Vektorrechug 7. Vektore: 7.1. Defiitio (Additio): Sid die Koordite zweier Vektore, gegee, so gilt: = Stz: Für lle Vektore,, c eier Eee oder des Rumes gelte ei der Additio = c= c= c Kommuttivgesetz ud Assozitivgesetz =

7 7.3. Stz: Für eie Vektor 7.4. Stz: ud eie reelle Zhl r gilt: r = r 1 3 Für lle Vektore, eier Eee zw. des Rumes ud lle reelle Zhle r, s gelte: r s =r s r =r r ; r s =r s 7.5. Defiitio: Assozitivgesetz ud Distriutivgesetz. Die Vektore 1, 2,..., heiße voeider lier hägig, we midestes eier dieser Vektore ls Lierkomitio der dere Vektore drstellr ist. Aderflls heiße die Vektore voeider lier uhägig Stz: Die Vektore 1, 2,..., sid geu d lier uhägig, we die Gleichug r 1 1 r r = 0 r 1,r 2,...,r R geu eie Lösug mit r 1 =r 2 =...=r =0 esitzt Stz: Jede Gerde lässt sich durch eie Gleichug der Form x= p t u t R eschreie. Hierei ist p ei Stützvektor ud u u 0 ei Richtugsvektor vo g Stz (Pukt-Richtugs-Form der Eee): Jede Eee lässt sich durch eie Gleichug der Form x= p r u s v r,s R eschreie. Hierei ist p ei Stützvektor ud die lier uhägige Vektore u, v sid zwei Spvektore Defiitio: Ist T ei Pukt der Gerde durch die Pukte A ud B ud gilt AT =t TB, d et m die Zhl t Teilverhältis des Puktes T ezüglich der Strecke AB Stz: Ist T ei Pukt eier Gerde durch zwei Pukte A ud B, d gilt: Aus AT =t TB folgt AT = t 1 t AB t Läge, Astäde, Wikel: 8.1. Defiitio: Uter dem Betrg eies Vektors versteht m die Läge der zu gehörede Pfeile. Der Betrg vo wird mit ezeichet Stz: Für de Betrg eies Vektors = Defiitio: gilt: = Ist der Wikel zwische de Vektore ud, so heißt = cos ds Sklrprodukt vo ud. 7

8 8.4. Stz: Für, mit 0, 0 gilt: geu d, we = Stz: Koorditeform des Sklrprodukts: = Stz: (Eigeschfte der Sklrmultipliktio) Für die Sklrmultipliktio der Vektore,, c gilt: (1) = Kommuttivgesetz (2) r =r für lle r R (3) c = c Distriutivgesetz (4) 0 =0 geu d, we = Stz (Normleform der Eeegleichug): 3 = Eie Eee E mit dem Stützvektor p ud dem Normlevektor wird eschriee durch die Gleichug x p = Stz: Ist 1 x 1 2 x 2 3 x 3 = eie Koorditegleichug der Eee E, so ist der Vektor mit de Koordite 1, 2, 3 ei Normlevektor vo E Defiitio: Zwei Gerde heiße zueider orthogol, we ihre Richtugsvektore zueider orthogol sid. Eie Gerde ud eie Eee heiße zueider orthogol, we ei Richtugsvektor der Gerde zu de Spvektore der Eee orthogol ist Stz: Zwei Eee sid zueider orthogol, we ihre Normlevektore zueider orthogol sid Stz: Ist 0 x p =0 die HESSE sche Normleform eier Gleichug der Eee E, so gilt für de Astd d eies Puktes R mit dem Ortsvektor r vo der Eee E: d = 0 r p Stz: Ist 1 x 1 2 x 2 3 x 3 = eie Koorditegleichug der Eee E, so gilt für de Astd d eies Puktes R r 1 r 2 r 3 vo der Eee E: Stz: = d 1 r 1 2 r 2 3 r Sid g ud h widschiefe Gerde im Rum mit g : x= p s u ud h : x= q t v ud ist 0 ei Eiheitsvektor mit 0 u ud 0 v, d he g ud h de Astd: d = 0 q p Defiitio: 1 Für Vektore = 3 2, = heißt = ds Vektorprodukt vo ud. 8

9 8.15. Stz: Für Vektore ud ud c= im R 3 (1) c ist orthogol zu ud. gilt: (2), ud c ilde ei Rechtssystem. (3) Der Betrg vo c ist gleich dem Flächeihlt des vo ud ufgespte Prllelogrmms: c = = si Stz (Eigeschfte des Vektorprodukts): Für Vektore,, c R 3 (1) = gilt: (2) c = c (3) r =r für r R (4) c = c Stz: Der vo de Vektore,, c R 3 ufgespte Spt ht ds Volume V = c Stz: Scheide sich die Gerde g : x= p t u ud h : x= q s v, d gilt für de Schittwikel : cos = u v u v Stz: Scheide sich die Gerde g : x= p t u ud die Eee E : x q =0, d gilt für ihre Schittwikel : si = u u mit Stz: Scheide sich zwei Eee mit de Normlevektore 1 ud 2, d gilt für ihre Schittwikel : cos = mit Kreise ud Kugel: 9.1. Stz (Vektor- ud Koorditegleichug vo Kreis ud Kugel): Ei Kreis k wird mit dem Mittelpukt M m 1 m 2 ud dem Rdius r wird eschriee durch die Gleichug x m 2 =r 2 zw. x 1 m 1 2 x 2 m 2 2 =r 2. Eie Kugel K mit dem Mittelpukt M m 1 m 2 m 3 ud dem Rdius r wird eschriee durch die Gleichug x m 2 =r 2 zw. x 1 m 1 2 x 2 m 2 2 x 3 m 3 2 =r Stz: Die Tgete de Kreis k : x m 2 =r 2 im Pukt B 1 2 mit dem Ortsvektor ht die Gleichug x m m =r 2 zw. x 1 m 1 1 m 1 x 2 m 2 2 m 2 =r 2. Ist der Mittelpukt des Kreises der Ursprug, lutet die Gleichug x =r 2 zw. x 1 1 x 2 2 =r Stz: Die Polre de Kreis k : x m 2 =r 2 zum Pukt P p 1 p 2 mit dem Ortsvektor p ht die Gleichug x m p m =r 2. 9

10 9.4. Stz: Scheidet eie Eee E eie Kugel K mit dem Mittelpukt M ud dem Rdius r, d ist der Mittelpukt M' des Schittkreises Lotfußpukt vo M uf E. Für de Rdius r' des Schittkreises gilt: r '= r 2 d 2 mit d =MM ' Stz: Die Tgetileee die Kugel K: x m 2 =r 2 im Pukt B( ) mit dem Ortsvektor ht die Gleichug x m m =r 2 zw. x 1 m 1 1 m 1 x 2 m 2 2 m 2 x 3 m 3 3 m 3 =r 2. Ist der Mittelpukt der Kugel der Ursprug, so lutet die Gleichug x =r 2 zw. x 1 1 x 2 2 x 3 3 =r 2. Stochstik 10. Whrscheilichkeite Defiitio: Ei Zufllsexperimet he die Ergeismege S={e 1 ;e 2 ;...;e k }. D et m jede Teilmege A vo S ei zu diesem Zufllsexperimet gehöredes Ereigis. Edet die Durchführug des Zufllsexperimetes mit eiem Ergeis us A, so ist ds Ereigis A eigetrete Defiitio: Ist ei Ereigis A ei Durchführuge eies Zufllsexperimetes H-ml eigetrete, so et m H seie solute ud H seie reltive Häufigkeit h. h A = H Empirisches Gesetz der große Zhle: Nch eier hireiched große Azhl vo Durchführuge eies Zufllsexperimetes stilisiere sich die reltive Häufigkeite h(a) eies Ereigisses A Defiitio: Ist jedem der Ereigisse eies Zufllsexperimetes mit S={e 1 ;e 2 ;... ;e k } eie reelle Zhl P e i so zugeordet, dss (1) 0 P e i für lle i (2) P e 1 P e 2... P e k =1 gilt, d heiße die Zhle P e i Whrscheilichkeite. Eie Fuktio P, die jedem Ereigis eies Zufllsexperimetes eie Whrscheilichkeit zuordet, heißt Whrscheilichkeitsfuktio (Whrscheilichkeitsverteilug). Ist A={ 1 ; 2 ;... ; r } mit i S für lle i ei Ereigis, d ist (3) P A =P 1 P 2... P r die Whrscheilichkeit des Ereigisses A. Für ds umögliche Ereigis setzt m P = Stz: Für ei Ereigis A ud sei Gegeereigis A gilt: P A =1 P A. 10

11 10.2. Defiitio: We für lle Ergeisse eies Zufllsexperimets gleiche Whrscheilichkeite geomme werde köe (Gleichverteilug), d heißt ds Zufllsexperimet ei Lplce-Experimet Stz: We die Whrscheilichkeitsverteilug eie Gleichverteilug ist, so gilt für die Whrscheilichkeit P A eies Ereigisses A: Azhl der Ergeisse,ei dee A eitritt P A = Azhl ller mögliche Ergeisse Defiitio (Pfdregel):. Im Bumdigrmm ist die Whrscheilichkeit eies Pfdes gleich dem Produkt der Whrscheilichkeite uf de Teilstrecke des Pfdes. 11. Bereche vo Whrscheilichkeite mit Azählverfhre Stz(Produktregel): Aus k ichtleere Mege M 1... M k mit 1... k Elemete k m k verschiedee k-tupel x 1 ;... ; x k ilde mit x 1 M 1,..., x k M k Stz: Eier Gesmtheit vo verschiedee Elemete k m k geordete Stichproe mit Zurücklege vom Umfg k etehme Stz: Eier Gesmtheit vo verschiedee Elemete k m k 1 geordete Stichproe ohe Zurücklege vom Umfg k ( für k ) etehme Stz: Eie Mege vo verschiedee Elemete ht =! Permuttioe Stz: Eier Gesmtheit vo verschiedee Elemete k m k =! k! k! ugeordete Stichproe ohe Zurücklege vom Umfg k ( für k ) etehme Stz: I eier Ure efide sich N Kugel, vo dee M schwrz ud N M weiß sid. Es werde Kugel ohe Zurücklege gezoge. Beschreit die Zufllsvrile X die Azhl der schwrze uter de gezogee Kugel, so gilt: P X =k = M k N M k für k=0,1,...,. M N ; N N Stz (Symmetriegesetz): k = k 11

12 11.8. Stz (Additiosformel): k k 1 = 1 k Additiosstz ud Multipliktiosstz Stz (Additiosstz): Für zwei elieige Ereigisse A, B gilt: Defiitio: P A B =P A P B P A B Sid A, B zwei elieige Ereigisse mit P A 0, so ezeichet P A B die durch A edigte Whrscheilichkeit vo B; d.h. es ist P A B = P A B P A Stz (Allgemeier Multipliktiosstz für zwei Ereigisse): Ist P A 0, so gilt: P A B =P A P A B Stz (Allgemeier Multipliktiosstz für mehr ls zwei Ereigisse): Für Ereigisse A 1,..., A mit P A 1... A 1 0 gilt: P A 1... A =P A 1 P A1 A 2 P A1 A 2 A 3... P A1... A 1 A Defiitio: Ereigisse A ud B mit positive Whrscheilichkeite et m voeider uhägig, we gilt: P A B =P B (ud dmit uch P B A =P A ); derflls heiße A ud B voeider hägig. Zwei Ereigisse vo dee midestes eies die Whrscheilichkeit 0 ht, sid uhägig Defiitio 2: Ereigisse heiße voeider uhägig, we sie prweise uhägig sid, ud ußerdem jedes der Ereigisse vo lle Schitte uhägig ist, die m us de ürige Ereigisse ilde k Stz (Spezieller Multipliktiosstz für zwei Ereigisse) Zwei Ereigisse A ud B sid geu d uhägig, we gilt: P A B =P A P B Stz: Sid die Ereigise A ud B voeider uhägig,so sid uch A ud B, A ud B zw. A ud B voeider uhägig Stz: (Spezieller Multipliktiosstz für mehr ls zwei Ereigisse) Sid Ereigisse A 1,..., A uhägig, so gilt: P A 1... A = P A 1... P A i Stz 1: Ist P A 0 ud P A 0, so gilt für ei elieiges Ereigis B P B =P A P A B P A P A B Stz 2: (Stz vo der totle Whrscheilichkeit) Wird die Ergeismege S i die Ereigisse A 1,..., A zerlegt ud ist P A i 0 für i=1 ;... ;, so gilt für ei elieiges Ereigis B: P B =P A 1 P A1 B... P A P A B Stz: Sid A, B Ereigisse mit P 0 ud P B 0, so gilt: P B A = P A B P A P = A B P B P A P A B P A P A B 12

13 Stz: (Stz vo Byes) A 1,..., A Seie Ereigisse, die eie Zerlegug vo S ilde ud positive Whrscheilichkeite he. Ist d B ei elieiges Ereigis mit P B 0 ud A i eies der Ereigisse A 1,..., A so gilt: P B A i = P A B i P A = i P Ai B P B P A 1 P A1 B... P A P A B 13. Zufllsvrile ud ihre Whrscheilichkeitsverteilug Defiitio: Eie Aildug x :S R, die jedem Ergeis eies Zufllsexperimetes eie reelle Zhl zuordet, heißt Zufllsvrile Defiitio: Üer die Ergeismege S eies Zufllsexperimetes mit der Whrscheilichkeitsverteilug P sei eie Zufllsvrile X defiiert, welche die Werte x i i=1 ;...; ehme k. D heißt die Fuktio x i P X =x i Whrscheilichkeitsverteilug der Zufllsvrile X Defiitio: Ist X eie Zufllsvrile, welche die Werte x i,..., x ehme k, so heißt die reelle Zhl E x mit E x =x i P X = x 1... x P X =x Erwrtugswert der Zufllsvrile X Defiitio: Ist X eie Zufllsvrile, welche die Werte x i,..., x ehme k ud de Erwrtugswert μ ht, so heißt die reelle Zhl V X mit σ 2 =V X = x 1 μ 2 P X = x 1... x μ 2 P X =x die Vriz der Zufllsvrile X. σ = V X Heißt Stdrdweichug vo X. 14. Spezielle Whrscheilichkeitsverteiluge Defiitio: Ei Zufllsexperimet heißt Beroulli-Experimet,we es ur zwei Ergeisse ht.eie Zufllsvrile,die ei eiem der Ergeisse de Wert 1( Treffer ),eim dere de Wert 0( Niete )immt,heißt Beroulli-Vrile.Die Whrscheilichkeit für Treffer wird mit p,für Niete mit q=1-p ezeichet Defiito: Ei Zufllsexperimet,ds us uhägige Durchführuge dessele Beroulli-Experimets esteht,heißt Beroulli-Kette der Läge Stz:(Formel vo Beroulli) Ei Beroulli-Experimet mit der Whrscheilichkeit p für Treffer werde -ml durchgeführt.die Durchführuge seie uhägig. X sei Zufllsvrile für die Azhl der Treffer i dieser Beroulli- Kette. D eträgt die Whrscheilichkeit für geu k-treffer (k=0,1,...,) P X =k = k pk 1 p k Defiitio: X sei eie Zufllsvrile, welche die Werte 0;1;...; ehme k. D et m eie Whrscheilichkeitsverteilug vo X der Form k k pk 1 p k eie Biomilverteilug mit de Prmeter ud p. Für die Whrscheilichkeit P X =k schreit m uch B ; p k. Eie Zufllsvrile X mit dieser Whrscheilichkeitsverteilug et m kurz eie B ; p -verteilte Zufllvrile. 13

14 14.5. Stz: Für de Erwrtugswert, die Vriz ud die Stdrdweichug eier B ; p - verteilte Zufllsvrile X gilt: E X = p V X = p q x = p q mit q = 1-p Stz (Näherugsformel vo De Moivre-LPlce) Für eie B ; p -verteilte Zufllsvrile X gilt ei große Werte vo : P k 1 X k 2 x 2 x 1 mit x 1 = k 1 0,5 p pq ; x 2 = k 2 0,5 p pq x 1 = k p 1 pq ; x = k p 2 2 pq (mit Korrekturglied). (ohe Korrekturglied) zw. Die Näherugsformel liefert ruchre Werte, we die Fustformel pq > 9 erfüllt ist Defiitio: Gilt ei eier Zufllsvrile X für gewisse Zhle, P X x = x für lle x R, so sgt m, X sei ormlverteilt zw. X esitze eie Normlverteilug mit de Prmeter ud, kurz: X sei N ; -verteilt. 15. Teste vo Hypothese Sigifikz ei große Stichproeumfg Ist für eie Biomilverteilug ei sehr große Werte (z.b. > 100) die Bedigug p 1 p 9 erfüllt, k m ei eiem Sigifikztest de Alehugsereich äherugsweise mit Hilfe der dzugehörige Normlverteilug ermittel. 16. Schätze vo Prmeter Vertruesitervll für p zur Vertrueswhrscheilichkeit γ Bei eiem Zufllsexperimet trete ei Ergeis oder llgemei ei Ereigis mit der uekte Whrscheilichkeit p ei. Wird ds Experimet -ml durchgeführt ud eschreit X die Azhl der Versuche, ei dee ds Ereigis eigetrete ist, so ist X iomilverteilt mit de Prmeter ud p. Die X p 1 p Whrscheilichkeit, dss die reltive Häufigkeit im Itervll der Läge 2c um p liegt, ist etw. 1. Bereche vo c: c Bereche der Koeffiziete,, c' : = c 2 = 2X c 2 c' = 3. Löse der qudrtische Gleichug: p 1,2 = ± 2 4c' 2 4. Vertruesitervll: [ p 1 ; p 2 ] x2 14