Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik 1, WS Warum Informatiker Integralrechnung brauchen
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- Tomas Holzmann
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1 Pro. Dr. Wolgg Koe Mthemtik, WS Itegrlrechug "Sius mius Itegrl, Cosius hilt lleml..." [Studiosus Aoymus] 7.. Wrum Iormtiker Itegrlrechug ruche Die Itegrtio ist ls Umkehrug der Dieretitio us sich selst herus wichtig zur Komplettierug des "mthemtische Geäudes". Drüer hius: Mit Itegrle k m die Fläche uter elieig geormte Kurve ide (die "ormle" Geometrie "k" ur eiche Polygoe) die Volumi elieiger Körper ereche Dieretilgleichuge löse >> WPF Spiele, Simultio + dymische Systeme Whrscheilichkeitsverteiluge reche (s. Kp. 7.6 ud Mthe ) Dies lles rucht der Iormtiker i der Computergrik, ei der Simultio vo dymische Systeme u dem Computer, i der Wirtschtsiormtik (kumulierte Koste, kumulierte Whrscheilichkeite) u.v..m. 7.. Ds estimmte Itegrl Wir stelle us die Auge, de Flächeihlt zwische eier Kurve ud der -Achse zu ereche: y Oersumme Utersumme - = Wir ehme eie Zerlegug Z k,..., des Itervlls [,] mit,,,...,, W. Koe ZDgesmt-et.doc Seite 6 k k k
2 Pro. Dr. Wolgg Koe Mthemtik, WS 9.. vor. Dei deiiert m ls Feiheitsmß der Zerlegug: dz m,..., Der gesuchte Flächeihlt A liegt zwische Utersumme U ud Oersumme O mit: UZ ( ) OZ ( ) k k k k k k UZ ( ) A OZ ( ) Mit dz ud gilt hoetlich: lim UZ lim OZ A dz dz M schreit symolisch ür diese Grezwert, der uhägig vo der Zerlegug ist: lim dz UZ lim OZ d dz k De D 7-: Bestimmtes Itegrl, Itegrierrkeit Der Grezwert lim k k Itegrl der Fuktio i de Greze ud ud wird durch k heißt, lls er eistiert, ds estimmte (Riemsche) d ezeichet. () heißt Itegrd,,: Itegrtiosgreze, : Itegrtiosvrile. Eie Fuktio (), ür die dieser Grezwert eistiert, heißt i [,] itegrierr. Stz S 7- We () ür lle [,], d ist Itegrl vo () is zur -Achse. d die Fläche uterhl Dieser Stz ergit sich us oigem Bild ud der Herleitug. Weiter olgert m: We () ür lle [,], d ist Itegrl d eie Fläche oerhl der -Achse. Aders usgedrückt: Fläche uterhl der -Achse zähle egtiv. Mit diesem Wisse köe wir eiige estimmte Itegrle ereche: W. Koe ZDgesmt-et.doc Seite 7
3 Pro. Dr. Wolgg Koe Mthemtik, WS 9.. () () Aildug 7-: Geometrisch erechere Itegrle Für Aildug 7-() gilt mit Dreiecksormel 9 d, lso d 4 Für Aildug 7-() gilt wg. der oige Folgerug, dss sich die positive ud die egtive Fläche weghee, lso si()d. Adere Itegrle gee größere Rätsel u: () () Aildug 7-: Weitere Itegrle Zu Aildug 7-(): Ws ist si( )d? Zu Aildug 7-(): Gilt wirklich, dss die Fläche ht? Wie rechet m ds? d ist, weil der gze Eiheitskreis Bevor wir us diese Frge zuwede, otiere wir och eiige Eigeschte des estimmte Itegrls, die m sich etsprechede Fläche-Bilder leicht klrmche k: c c d (Itervlldditivität). d d. Lierität (Fktorregel ud Summeregel): W. Koe ZDgesmt-et.doc Seite 8
4 Pro. Dr. Wolgg Koe Mthemtik, WS 9.. c d c d ud d gd g. Mittelwertstz der Itegrlrechug: We u [,] stetig ist, d git es ei y[,] mit d (y) d 7.. Stmmuktio ( ) gegee ud suchte die Aleitug y' '( ) Bisher htte wir eie Fuktio y Häuig liegt jedoch die umgekehrte Situtio vor. Gegee ist eie Fuktio. Fide diejeige Fuktio F, dere Aleitug gerde die vorgegeee Fuktio ist.. De D 7-: Stmmuktio Jede dierezierre Fuktio F mit F'( ) ( ) heißt eie Stmmuktio zu. Stz S 7- Sid F ud G zwei Stmmuktioe zu, so ist F() = G() + C. Zwei elieige Stmmuktioe zu uterscheide sich ur durch eie dditive Kostte. Beispiel: ( ) si, F( ) cos C de: F' ( ) cos C' si De D 7-: Uestimmtes Itegrl Die Mege ller Stmmuktioe vo et m uestimmtes Itegrl ud schreit d F() C Wiederum heißt () Itegrd, ud Itegrtiosvrile (vgl. De D 7-). Zusätzlich heißt C Itegrtioskostte. Die Schreiweise ist icht gz suer, weil es j eie (uedliche) Mege vo Stmmuktioe git. Eigetlich müßte m schreie: d F() C C R er dies ist ür de "prktische Alltg" zu lgwierig Wir stelle us u die Frge, wie wir die Itegrle us Aildug 7- löse, die wir isher och icht "köe". Die Rettug ht i Form des Huptstzes der Dieretil- ud Itegrlrechug: Itegrle lsse sich systemtisch mittels Stmmuktioe ereche: W. Koe ZDgesmt-et.doc Seite 9
5 Pro. Dr. Wolgg Koe Mthemtik, WS Huptstz der Dieretil- ud Itegrlrechug Stz S 7- Huptstz der Dieretil- ud Itegrlrechug Ist stetig u [,], ud ist F irgedeie Stmmuktio zu, so gilt d F F Für F F schreit m uch F Dieser Stz ist edeutsm, weil er zwei gz verschiedee Kozepte, ämlich die Riemsche Itegrlsumme (die hiter dem estimmte Itegrl steckt) ud die Stmmuktio verküpt. Zum Beweis vo Stz S 7- mche wir im estimmte Itegrl die oere Greze vriel: I tdt Diese Fuktio I() ist eie Stmmuktio vo (!!) De: I( h) I() lim h h? (+h) () +h I I h h hh I h I h h Mit h ud der Stetigkeit vo gilt: I' I' d.h. I() ist eie Stmmuktio zu, q.e.d. W. Koe ZDgesmt-et.doc Seite
6 Pro. Dr. Wolgg Koe Mthemtik, WS 9.. He wir u mit F() irgedeie Stmmuktio zu, d muss ch Stz S 7- gelte F() C F() F() I (die letzte Umormug deshl, weil I()= sei muss). Ds estimmte Itegrl ist somit q.e.d. d I() F() F() Telle eiiger uestimmter Itegrle (Stmmuktioe): (Nchweis jeweils durch Diereziere der rechte Seite). C ( ) d. d l C. e d e C 4. d C l 5. cos d si C 6. si d cos C 7. d t C cos 8. d cot C si 9. d rcsi C Berechugseispiele: ) 5 d 5 d C Wir ehme die Stmmuktio mit C = : W. Koe ZDgesmt-et.doc Seite
7 Pro. Dr. Wolgg Koe Mthemtik, WS 9.. d ) si d cos cos cos Ü Üug: Bereche Sie ch dem gleiche Prizip: 8 d 7.5. Itegrtiosregel Wir werde i diesem Aschitt eiige Methode ereitstelle, mit dee m i estimmte Fälle Stmmuktioe ermittel k. Es git jedoch keie llgemeigültige Verhre zur Bestimmug eier Stmmuktio. Vielmehr git es erstulich eich ussehede Itegrde, ür die keie Stmmuktioe (ls Komitioe ülicher Fuktioe) ger sid. Beispiele dür sid: etc. e d si d cos d,,, d, e d, si d l WICHTIG: Itegriere k schwierig sei, er der Check, o ds Ergeis stimmt, ist immer eich (>> diereziere). Also: Immer die Proe mche! Im Folgede seie die Fuktioe ud g lle itegrierr. Stz S 7-4 Summeregel Für,, p, q us R gilt: p qgd p ()d q g()d Amerkug: Stz S 7-4 gilt uch ür uestimmte Itegrle. M läßt d eich die Itegrtiosgreze weg. Stz S 7-5 Liere Sustitutio Für p, q us R gilt: Ist F irgedeie Stmmuktio zu, so ist Fp q eie Stmmuktio zu p p q Mithi gilt ür ds uestimmte Itegrl p. p qd zdz Fp q C zpq W. Koe ZDgesmt-et.doc Seite
8 Pro. Dr. Wolgg Koe Mthemtik, WS 9.. Beweis: Eich p q F mit Ketteregel ch diereziere. Folgerug: Für ds estimmte Itegrl gilt ch Stz S 7-: p zpq p qd F(z) Fp qfp q zpq Amerkug: Achte Sie dru, dss im Itegrl der Fktor p dvorstehe muss! We der Fktor p ehlt, k m ih immer mittels Beispiel: Gesucht ist eie Stmmuktio zu d si d p p ergäze. si. Setzt m p= ud q=, so erhält m: ( cos( ) C) cos( ) C Ü Üug: Bereche Sie mit Sustitutios- ud/oder Summeregel: () e c d d ud () 5e d (c) die Fläche uter der Kurve () = si(+) vo = -5 is = -5+/ Au weitere Itegrtiostechike, wie die prtielle Itegrtio, die (llgemeie) Sustitutio ud die Prtilruchzerlegug wird hier icht eigegge. Detils hierzu ide sich ei [Stigl][Ppul]. Im prktische (Iormtiker-) Lee ist es eher wichtig, dss m eie Vorstellug dvo ht, ws ei Itegrl ist ud wo m es verwedet. Zum Bereche vo Itegrle greit m meist u Formelsmmluge zurück (m sollte die Summeregel ud die liere Sustitutiosregel llerdigs kee!) oder m eutzt Computerlgersysteme (CAS) wie Mple. W. Koe ZDgesmt-et.doc Seite
9 Pro. Dr. Wolgg Koe Mthemtik, WS Ueigetliche Itegrle Bisher gige wir dvo us, dß die zu itegrierede Fuktio eschräkt ist ud die Itegrtiosgreze edlich sid. Diese Vorussetzuge wolle wir jetzt schwäche. Beispiel: M ereche die Fläche A uter der Kurve ( ) e ür..5 y ep(-).5.5 A Owohl der Itegrtiosereich uedlich ist, ht die Fläche A eie edliche Wert. Dies wolle wir u geuer deiiere: De D 7-4: Ueigetliches Itegrl. Art Die Fuktio () sei stetig ud itegrierr. M et die olgede Grezwerte zw. ()d lim ()d lim ()d ()d ( der oere zw. utere Greze) ueigetliche Itegrle. Art. Eistiere die zugehörige Grezwerte, so heiße die Itegrle koverget. Für eidseitig uedliche Itegrtiosereiche setzt m ( ) d ( ) d ( ) d Beispiel: W. Koe ZDgesmt-et.doc Seite 4
10 Pro. Dr. Wolgg Koe Mthemtik, WS 9.. c c c c c e d lim e d lim e lim e. c Nee diese ueigetliche Itegrle. Art, die durch ueschräkte Itegrtiosgreze chrkterisiert sid, ist der Fll dekr, dß die zu itegrierede Fuktio () ierhl oder de Greze des Itegrtiositervlls Pole (d.h. Uedlichkeitsstelle) esitzt. Dies deiiert die ueigetliche Itegrle. Art. De D 7-5: Ueigetliches Itegrl. Art Die Fuktio () sei itegrierr ud he der Stelle = eie Polstelle. M et die Grezwerte ( ) d lim ( ) d zw. d c c d c c ( ) d lim ( ) d ( der oere zw. utere Greze) ueigetliche Itegrle. Art. Eistiere die zugehörige Grezwerte, so heiße die Itegrle koverget. Beispiel: M ereche die Fläche A uter der Kurve ( ) ür,. Schem: (/sqrt()) 5 4 A lim ( ) d lim d lim. Ds ueigetliche Itegrl kovergiert lso. I Vorlesug Beispiel ür Itegrle, die der Polstelle icht kovergiere. W. Koe ZDgesmt-et.doc Seite 5
11 Pro. Dr. Wolgg Koe Mthemtik, WS 9.. Ü Üug: Bereche Sie e () d Komme eigetlich ueigetliche Itegrle i der Pris vor? Wozu rucht m sie? Sie komme viel öter vor, ls Sie vielleicht deke. Beispiel: Ü Üug: Sie sid Qulitätsmger ei eiem große Glühire-Hersteller ud müsse dher die Leesduer der Produkte prüe. Dzu ht Ihr Mitreiter im Werk Süd lge Versuchsreihe gemcht, i dee er ür Glühire die Breduer estimmte. Er rut Sie ud sgt: "Die Treppekurve der Glühire, die im Itervll t+dt uslle, läßt sich pproimiere durch eie Epoetilkurve mit h(t) Zerllskostte =.6." Also ls Formel ud ls Bild h( t) dt ce t dt (Fläche Rechteck h(t)dt = Azhl der Glühire, die zwische t ud t+dt uslle) dt Frge: Wie groß ist die Whrscheilichkeit, dss eie Glühire midestes s= Zeiteiheite let? 7.7. Geometrische Aweduge der Itegrtio Wir sse die wichtige geometrische Auge, die sich mit Itegrle löse lsse, i cholgedem Stz zusmme: Stz S 7-6 Geometrische Aweduge der Itegrtio Es sei () eie im Itervll [,] itegrierre Fuktio. Für die Kurveläge-Formel sei () zusätzlich stetig dierezierr i [,]. D gelte olgede Formel: () Fläche uter Kurve F ()d () Volume Rottioskörper V () d Fläche zwische () ud -Achse. Bereiche mit ()< zähle egtiv. Volume des sich ergeede Körpers, we m () um die -Achse rotiere läßt (c) Kurveläge L '() d Läge der Kurve zu, die sich vo (,()) is (,()) erstreckt Fll () ist ch De D 7- klr. Zu () ud (c) Zeichuge ud geometrische Beweise i Vorlesug Ü Üug: Die Fuktio () cosh( ) (e e ) (Cosius hyperolicus) heißt uch Ketteliie ud dies ht eie sehr schuliche Bedeutug: Eie zwei Pukte ugehägte Kette hägt dzwische i eier durch cosh estimmte Form. W. Koe ZDgesmt-et.doc Seite 6
12 Pro. Dr. Wolgg Koe Mthemtik, WS 9.. Wird eie Kette de Pukte P(-5 cosh(-5)) ud P(5 cosh(5)) ugehägt ud gee wir ihr dzwische soviel Kette, dss sie is u P( ) durchhägt (siehe Zeichug, weil cosh() = ), d wird die Ketteliie geu durch cosh() eschriee: Nu zur Auge: We ei Ketteglied. Eiheite lg ist ud die Kette wie oe eschriee zw. -5 ud 5 ugehägt wird, wieviel Ketteglieder rucht m d? Zustz: Wie köe Sie checke, o Ihr Ergeis plusiel ist? Suche Sie i der Zeichug eie oere ud utere Schrke ür die Ketteläge ud vergleiche Sie diese Schrke mit Ihrem Ergeis. [uctio-plots.mws] 7.8. Fzit Itegrle Folgede Begrie zu Itegrle he wir keegelert estimmtes Itegrl ()d uestimmtes Itegrl ()d F() C ueigetliches Itegrl. Art ueigetliches Itegrl. Art Fläche zwische Kurve () ud -Achse vo = is =. Fläche, ei dee die () uterhl der -Achse ist, zähle egtiv. Wird erechet ls Dierez des uestimmte Itegrls F()-F(). Mege ller Stmmuktioe, lso eie Fuktioemilie, dere Elemete sich lle durch eie dditive Kostte " + C" uterscheide. Itegrl mit mid. eie Itegrtiosgreze im Uedliche, z.b. c ()d lim ()d. K wie jeder Grezwert c koverget oder diverget sei. Itegrd ht eier Itegrtiosgreze eie Polstelle, z.b. d W. Koe ZDgesmt-et.doc Seite 7
13 Pro. Dr. Wolgg Koe Mthemtik, WS 9.. Itegrtiostechike: Summeregel (Lierität) Liere p p Sustitutiosregel g d d g d q d F(z) zpq zpq Awedugseispiele Itegrle: o Fläche uter Kurve o Volume vo Rottioskörper o Läge vo Kurve o Kumultio vo (Whrscheilichkeits-) Verteiluge (Bsp. Glühire) (s. Mthe ) o Löse vo Dieretilgleichuge (s. Mthe u. WPF Spiele, Simultio + dymische Systeme) W. Koe ZDgesmt-et.doc Seite 8
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Komplexe Zahlen Ac '16
Komplexe Zhle Ac '16 I der Mege der reelle Zhle ist die Gleichug x² = -1 icht lösr. Ahilfe schfft eie Zhlereichserweiterug vo der Mege uf die Mege der sogete komplexe Zhle. Die Mege der komplexe Zhle esteht
Vektorrechnung. Ronny Harbich, 2003
Vektorrechug Ro Hrich, 2003 Eiführug Ihlt Defiitio Betrg Sklrmultipliktio Nullvektor Gegevektor Eiheitsvektor Additio Sutrktio Gesetze Defiitio Ei Vektor ist eie Mege vo Pfeile, die gleichlg (kogruet),
14. EINFÜHRUNG IN DIE INTEGRALRECHNUNG
Itegrlrechug. EINFÜHRUNG IN DIE INTEGRALRECHNUNG.. Prolemstellug () Stmmfuktioe Im Kpitel Differetilrechug wurde festgestellt, dß es eie Zusmmehg zwische zurückgelegtem Weg, Geschwidigkeit ud Beschleuigug
Á 6. Integration. 6.1 Integrale. Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 2003 / 4
Á 6. Itegrtio Mterilie zur Vorlesug Elemetre Alysis, Witersemester / 4 6. Itegrle Wie k der Flächeihlt eies Kreises erechet werde? Ds wr eie Frgestellug zu Begi dieser Vorlesug. Die Kreisgleichug für eie
SS 2017 Torsten Schreiber
SS 07 Torste Schreier e Wert eier etermite köe wir is zu eiem Formt vo mittels dem Verfhre vo Srrusestimme. Für Mtrize, die ei höheres Formt he, köe wir die etermite mit dem estimme. zu sollte Sie im erste
Übungen zur Analysis 1 für Informatiker und Statistiker. Lösung zu Blatt 12
Mthemtisches Istitut der Uiversität Müche Prof. Dr. Peter Otte WiSe 203/4 Lösug 2 2.0.204 Aufgbe 2. [8 Pute] Übuge zur Alysis für Iformtier ud Sttistier Lösug zu Bltt 2 Für eie Teilmege Ω R, sei {, flls
7 Ungleichungen und Intervalle
Mthemtik. Klsse 7 Ugleichuge ud Itervlle Aufgbe 0 Löse Sie folgede Ugleichuge > + 8 < 5 + + 7. Itervlle Um gze Bereiche vo reelle Zhle zugebe, wird die Schreibweise mit Itervlle verwedet. Beispiele [,
- 1 - VB Inhaltsverzeichnis
- - VB 2004 Ihltsverzeichis Ihltsverzeichis... Folge ud Grezwerte... 2 Aäherug eie Grezwert... 2 Die Fläche des 5 Ecks... 3 Nährugsweise Berechug vo Pi... 4 Die Folge... 5 Defiitio der Folge... 5 Beispiele
8 Unendliche Reihen, Potenzreihen, Taylor-Reihen, Fourier-Reihen
8 Uedliche Reihe, Potezreihe, Tylor-Reihe, Fourier-Reihe 8. Uedliche Reihe 8.. Grudlegede Deiitioe ud Eigeschte Im Kp..4. wurde Zhleolge ud ihre Kovergez behdelt. Hier betrchte wir olgede uedliche geometrische
VI. Integralrechnung. VI.1. Treppenfunktionen. 124 VI. Integralrechnung 5. Oktober 2006
24 VI. Itegrlrechug 5. Oktoer 26 VI. Itegrlrechug Nchdem wir im letzte Kpitel die Differetilrechug keegelert he, mit dere Hilfe es möglich ist, die Äderugsrte eier Fuktio durch dere Aleitug zu eschreie,
Angewandte Mathematik und Programmierung
Agewdte Mthemtik ud Progrmmierug Eiführug i ds Kozept der objektorietierte Aweduge zu mthemtische Reches WS 2012/13 Ihlt Wiederholug (Eigeschfte vo Folge zusmmegefsst) Zhlereihe Kovergez vo Reihe Beweis
Funktion: Grundbegriffe A 8_01
Fuktio: Grudegriffe A 8_ Eie Fuktio ist eie eideutige Zuordug: Jede Wert us der Defiitiosege wird geu ei Wert us der Werteege zugeordet. Ist f eie Fuktio ud sid ud y eider zugeordete Werte, d schreit kurz:
5.7. Aufgaben zu Folgen und Reihen
5.7. Aufgbe zu Folge ud Reihe Aufgbe : Lieres ud beschrätes Wchstum Aus eiem Qudrt mit der Seiteläge dm gehe uf die rechts gedeutete Weise eue Figure hervor. Die im -te Schritt gefügte Qudrte sid jeweils
Lösungsformel für quadratische Gleichungen. = ± q + Lösungsformel für. Potenzen. negative Exponenten: gebrochene Exponenten: a a.
HUNKLOIHDWKHPDWLN Dies ist keie Fomelsmmlug im klssische Si - die vewedete Bezeichuge wede icht eklät ud Voussetzuge fü die ültigkeit de Fomel wede i de Regel icht gegee. 7HLO,6WRIIJHELHWHHULWWHOVWXIH
ALGEBRA Potenzen Teil 2. Trainingsheft. Alle Regeln Musterbeispiele - Trainingsaufgaben. Datei Nr INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
ALGEBRA Poteze Teil it egtive Expoete Triigsheft Alle Regel Musterbeispiele - Triigsufgbe Dtei Nr. 0 Std 9. Dezeber 0 Friedrich W. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.the-cd.de 0 Potezreche
Carmichaelzahlen und andere Pseudoprimzahlen
Crmichelzhle ud dere Pseudoprimzhle Christi Glus 26.05.2008 1 Der fermtsche Primzhltest Erierug 1 (Kleier Stz vo Fermt). Für p prim, Z, ggt(, p) 1 gilt: p 1 1 (mod p) Algorithmus 2 (Fermtscher Primzhltest).
Repetitionsaufgaben Potenzen und Potenzgleichungen
Ktole Fchschft Mthemtik Repetitiosufge Poteze ud Potezgleichuge Ihltsverzeichis A) Voremerkuge B) Lerziele C) Poteze D) Potezgleichuge E) Aufge Poteze mit Musterlösuge F) Aufge Potezgleichuge mit Musterlösuge
Teilfolgen aus und fragen nach deren Rekursionsformel. Die Ideen gehen auf Édouard Lucas zurück.
Hs Wlser, [0090331] Teilfolge der Fibocci-Folge 1 Worum geht es? Wir wähle us der Fibocci-Folge 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 1 1 3 5 8 13 1 34 55 89 144 33 377 Teilfolge us ud frge ch dere Rekursiosformel.
Die Berechnung des Flächeninhalts krummlinig begrenzter Flächen
Die Berechug des Flächeihlts krummliig egrezter Fläche Eiführug i die Itegrlrechug Teil : Die Fläche zwische der Normlprel y = x ud der x-achse im Bereich 0 x Die Fläche sieht us wie ei Dreieck, ei dem
10. Stetigkeit Definition (Stetigkeit) Beispiele. Wir übertragen den Stetigkeitsbegriff für reelle Funktionen auf metrische Räume.
10 Stetigkeit Wir übertrge de Stetigkeitsbegriff für reelle Fuktioe uf metrische Räume 101 Defiitio (Stetigkeit) Seie (X, d x ), (Y,d y ) metrische Räume, f : X Y eie Abbildug Wir sge f ist stetig im Pukt
Vorkurs Mathematik für Informatiker Folgen
Vorkurs Mathematik ür Iormatiker -- 8 Folge -- 11.10.2015 1 Folge: Deiitio Eie (uedliche) Folge im herkömmliche Sie etsteht durch Hitereiaderschreibe vo Zahle 1,2,3,4,5, Dabei ist die Reiheolge wichtig,
4 Konvergenz von Folgen
4 Kovergez vo Folge Defiitio 4.. Sei M eie Mege. Ist 0 Z ud für jedes Z mit 0 ei a M gegebe, so et ma die Abbildug { Z; 0 } M, a eie Folge i M. Abkürzed schreibt ma für eie solche Abbildug auch a ) 0 oder
Aufgaben für Klausuren und Abschlussprüfungen
Techikerschule Aufge für Klusure ud Aschlussprüfuge Epoetilgleichuge, Logrithmusgleichuge Grudlgewisse: Recheregel zur Epoetil- ud Logrithmusrechug. Hiweise ud Formelsmmlug siehe Seite - 5. Bereche Sie.
Höhere Mathematik für technische Studiengänge Vorbereitungsaufgaben für die Übungen. Reihen reeller Zahlen
Höhere Mathematik für techische Studiegäge Vorereitugsaufgae für die Üuge Reihe reeller Zahle. Utersuche Sie die folgede Reihe mit Hilfe geeigeter Kovergezkriterie otwediges Kovergezkriterium, Quotiete-,
Die Logarithmusfunktion
Ihltsverzeichis Ihltsverzeichis...1 Die Logrithusfuktio...2 Eiführug...2 Eiige Beispiele...2 Spezielle Logrithe...3 Die Ukehrfuktio der Epoetilfuktio...3 Die Eigeschfte der Logrithusfuktio...4 Defiitiosereich
Tutorium Mathematik in der gymnasialen Oberstufe 3. Veranstaltung: Berechnung von Wahrscheinlichkeiten 16. November 2016
Tutorium Mthemti i der gymsile Oerstufe 3. Verstltug: Berechug vo Whrscheilicheite 6. ovemer 6. Komitori Permuttio: Elemete werde i eie Reihefolge gestellt Vritio: us Elemete werde usgewählt ud i eie Reihefolge
Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. WS 05/06 04..05 Höhere Mathematik für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zum 6. Übugsblatt Aufgabe
4.1 G sei Gruppe (mit multiplikativ geschriebener Verknüpfung) und a G. Dann heißt. falls a k 1 G k 1 ord(a) := k 1 a k = 1 G sonst
15 Wichtige Sätze ud Defiitioe zu 4: Ds qudrtische Rezirozitätsgesetz us der Vorlesug: LV-NR 150 39 Verstltug Diskrete Mthemtik II, 4.0 std Dozet Holtkm, R. 4.1 G sei Grue (mit multiliktiv geschriebeer
c) Wir betrachten alle möglichen Potenzen der natürlichen Zahlen. In welchen Fällen endet das Ergebnis einer Potenz immer auf eine 1?
Aufge : Poteze ) We die Zhl elieig oft mit sich selst multipliziert wird, d edet ds Ergeis immer uf eie. Git es och mehr Zhle, die diese Eigeschft esitze? ) Welche Edziffer esitzt die ute stehede Summe?
Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik 1, WS Wozu InformatikerInnen Folgen brauchen
Prof. Dr. Wolfgg Koe Mthemtik WS06 7.0.06. Zhlefolge.. Wozu IformtikerIe Folge bruche Kovergez vo Folge ist die Grudlge der Alysis (Differetil- ud Itegrlrechug) Trszedete Gleichuge wie x l x = 50 k m äherugsweise
MATTHIAS HEINLEIN. 1. Einleitung
SEMINRRBEIT: HUPTSTZ DER DIFFERENTIL- UND INTEGRLRECHNUNG MTTHIS HEINLEIN. Eileitug Oftmls wird ds Itegrl i de fägervorlesuge uf zweierlei Weise eigeführt. D ist zum eie ds formle Itegriere, lso ds uffide
Musterlösung zu Blatt 8 der Vorlesung Analysis I WS08/09
Musterlösug zu Blatt 8 der Vorlesug Aalysis I WS08/09 Schriftliche Aufgabe Aufgabe. Voraussetzuge: Für alle N setze a : +2 ud b : ( 2. [Amerkug: I der Aufgabestellug heiÿe die Reihe beide gleich. Es steht
Zusammenfassung der Sätze und Definitionen zur von Prof. Wirths im WS 97/98 gehaltenen Vorlesung Analysis für Informatiker I September 1998
Zusmmefssug der Säte ud iitioe ur vo Prof. Wirths im WS 97/98 gehltee Vorlesug Alysis für Iformtier I Septemer 998 vo Crste F. Buschm mil@crste-uschm.com Ihlt Die geordete Körper IR ud Q 3 Relle Folge
Algebra/Arithmetik. Eine Variable ist ein Platzhalter oder ein Stellvertreter für eine Zahl.
Algebr/Arithmetik 1. Grudbegriffe Geometrie: Lehre vo de Rumgrösse Algebr: Lehre vo de Gleichuge Arithmetik: Lehre vo de Zhlegrösse (Zhle, Vrible) Defiitio: Eie Vrible ist ei Pltzhlter oder ei Stellvertreter
6 Folgen. 6.4 Folgen reeller Zahlen. Mathematik für Informatiker B, SS 2012 Dienstag 5.6. $Id: folgen.tex,v /06/05 11:12:18 hk Exp $
Mathematik für Iformatiker B, SS 0 Diestag 5.6 $Id: folge.tex,v. 0/06/05 ::8 hk Exp $ 6 Folge 6.4 Folge reeller Zahle I der letzte Sitzug habe wir de Begriff des Grezwerts eier Folge i eiem metrische Raum
n gerade 0 n ungerade (c) x n = a 1 n, a R + (d) x 1 := 2, x n+1 = 2 + x n (e) x n = (f) x n = exp(exp(n)) (g) x n = sin(n)
Übugsaufgabe Aalysis I Aufgabe. Beweise oder widerlege Sie: a Jede i R kovergete Folge ist beschräkt. b Es gibt Cauchy-Folge im R, die icht kovergiere. c Beschräkte Folge sid koverget. d Folge mit eiem
5.5. Integralrechnung
.. Integrlrechnung... Berechnung von Integrlen mit der Streifenmethode Definition: Gegeen seien, R mit < und eine uf [; ] stetige Funktion f. Der orientierte Inhlt der Fläche, die durch die -Achse, ds
3.2 Potenzreihen und komplexe Taylorentwicklung
40 Kapitel 3. Holomorphe Fuktioe 3.2 Potezreihe ud komplexe Tayloretwicklug Wede wir us u de Reiheetwickluge vo Fuktioe zu. 3.2. Defiitio Uter eier Potezreihe um de Pukt z 0 C versteht ma eie Reihe der
Bestimmtes (Riemannsches) Integral / Integral als Grenzwert einer Summe : Bedeutung: Fläche unter einer Funktion innerhalb bestimmter Grenzen
III. Integrlrechnung : Bestimmtes (Riemnnsches Integrl / Integrl ls Grenzwert einer Summe : Bedeutung: Fläche unter einer Funktion innerhl estimmter Grenzen yf( y n y n ( Δ Berechnung der Fläche A unter
Rekurrenz. Algorithmen rufen sich selbst (rekursiv) auf.
Rekurrez Rekurso: Algorthme rue sch selst rekursv u. Rekurrez: Ds Luzetverhlte zw. der Specherpltzedr vo rekursve Algorthme k der Regel durch ee Rekursosormel recurrece, RF eschree werde. Rekurrez Bespel:
Marek Kubica, Diskrete Strukturen Übungsblatt 13 Gruppe 11
Mrek Kubic, kubic@i.tum.de Diskrete Strukture Übugsbltt Gruppe Pukteverteilug: Σ Aufgbe () 8 () 7 Der Grph B ht de Prüfer-Code,,,,, der zustde kommt, we m de kleiste Kote vom Grd streicht ud de dere, übrig
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Iformatiker II (Sommersemester 004) Aufgabe 7. Ubeschräktes
2.3. ZAHLENREIHEN 109. Eine Reihe ist also per Definitionem genau dann konvergent, wenn die Folge ihrer Partialsummen konvergiert.
2.3. ZAHLENREIHEN 109 2.3 Zhlereihe 2.3.1 Reihe Für IN, 0 sei IR. D ist die Reihe defiiert ls die = 0 m Folge (S m ) der Prtil- oder Teilsumme S m :=. = 0 Eie Reihe ist lso per Defiitioem geu d koverget,
Integralrechnung I. Teil
Itegrlrechg I. Teil f() F() F() INHALT. Ds estimmte Itegrl. Stmmfktioe. Itegrtiosregel 6. Fktoreregel 6. Smmeregel 6. Gritegrle 6. Itegrtiosmethoe 8. Sstittiosmethoe 8. Ügseispiele 8. Proktitegrtio 4.
MATRIZENRECHNUNG A = Matrix: m Zeilen, n Spalten. Allgemein: A = heißt Komponente der Matrix (Element der Matrix) aij:
MATRIZENRECHNUNG Mtri: 3 5 4 5 A = 3 5 5 7 8 3 8 Allgeei: A = 3 3 3 Zeile, Splte ij: heißt Kopoete der Mtri (Eleet der Mtri) ij ist Kopoete der i-te Zeile, j-te Splte Mtri der Ordug, ( -Mtri): A(,) oder
Wir wiederholen zunächst das Majorantenkriterium aus Satz des Vorlesungsskripts Analysis von W. Kimmerle und M. Stroppel.
Uiversität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof. Dr. C. Hesse PD Dr. P. H. Lesky Dr. D. Zimmerma MSc. J. Köller MSc. R. Marczizik FDSA 4 Höhere Mathematik II 30.04.2014 el, kyb, mecha, phys 1 Kovergezkriterie
1 Lösungen zu Analysis 1/ 12.Übung
Lösuge ausgewählter Beispiele zu Aalysis I, G. Bergauer, Seite Lösuge zu Aalysis / 2.Übug. Eileitug Gleichmäßige Kovergez ist eie starke Eigeschaft eier Fuktioefolge. Formuliert ma sie für Netze, statt
$Id: komplex.tex,v /04/13 15:09:53 hk Exp $
Mathematik für Igeieure IV, SS 206 Mittwoch 3.4 $Id: komplex.tex,v.2 206/04/3 5:09:53 hk Exp $ Komplexe Zahle I diesem Kapitel wolle wir erst eimal zusammestelle was aus de vorige Semester über die komplexe
Vorkurs Mathematik Fachhochschule Frankfurt, Fachbereich 2 1
Vorkurs Mthemtik Fchhochschule Frkfurt, Fchbereich 1 Reche mit Poteze N bezeichet die Mege der türliche Zhle, Q die Mege der rtiole Zhle ud R die Mege der reelle Zhle. N bedeutet: ist eie türliche Zhl.
3. Taylorformel und Taylorreihen
Prof Dr Siegfried Echterhoff Aalysis Vorlesug SS 9 3 Taylorformel ud Taylorreihe Sei I R ei Itervall ud sei f : I R eie Fuktio Ziel: Wolle utersuche, wa sich die Fuktio f i eier Umgebug vo eiem Pukt I
von solchen Abbildungen. Eine solche Folge bestimmt für jedes x M die Folge der Werte f n. Schreibt man dies noch einmal formal hin, so erhält man:
Gleichmäßige Kovergez Wir betrachte im Folgede Abbilduge f : M N, wobei M eie Mege ud N ei metrischer Raum ist. Isbesodere iteressiere ud Folge f vo solche Abbilduge. Eie solche Folge bestimmt für jedes
Grenzwert. 1. Der Grenzwert von monotonen, beschränkten Folgen
. Der Grezwert vo mootoe, beschräkte Folge Der Grezwert vo mootoe, beschräkte Folge ist eifacher verstädlich als der allgemeie Fall. Deshalb utersuche wir zuerst diese Spezialfall ud verallgemeier aschliessed.
Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 12. Übungsblatt
UNIVERSITÄT KARLSRUHE Istitut für Aalysis HDoz. Dr. P. C. Kustma Dipl.-Math. M. Uhl WS 8/9 Höhere Mathematik I für die Fachrichtuge Elektroigeieurwese, Physik ud Geodäsie Lösugsvorschläge zum. Übugsblatt
Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz
LGÖ Ks VMa Schuljahr 6/7 Zusammefassug Folge ud Kovergez Ihaltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 5 Für Experte 7 Defiitioe ud Beispiele
$Id: reihen.tex,v /06/14 13:59:06 hk Exp $
Mathematik für Iformatiker B, SS 202 Doerstag 4.6 $Id: reihe.tex,v.9 202/06/4 3:59:06 hk Exp $ 7 Reihe 7.4 Kovergezkriterie für Reihe 7.4. Alterierede Reihe Wir hatte gesehe das die harmoische Reihe divergiert,
Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 1
Techische Uiversität Müche Zetrum Mathematik Mathematik (Elektrotechik) Prof. Dr. Ausch Taraz Dr. Michael Ritter Übugsblatt Hausaufgabe Aufgabe. Bestimme Sie de Kovergezbereich M der folgede Reihe für
[ a, b, c ], 3= [ a, b, d ]
![[ a, b, c ], 3= [ a, b, d ]](/thumbs/68/59805700.jpg "[ a, b, c ], 3= [ a, b, d ]")
Vektordditio 3= 3 3 3 Formelsmmlug Mthemtik Sklres Vielfches e = e 3 3 e Betrg vo = 3 3 Sklrprodukt 3= 3 3 = cos, =0 we cos,= = 3 3 3 3 i cos, e i = 3 3 Kreuzprodukt 3 3 3=3 3 = si, (Grssm) c= c c (Lgrge)