Thema: Integralrechnung (Grundlagen und Flächenberechnungen)

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Thema: Integralrechnung (Grundlagen und Flächenberechnungen)"

Heike Armbruster
vor 6 Jahren
Abrufe

1 Q GK Mathematik-Vh Vorereitug zur. Kursareit am..7 Thema: Itegralrechug Grudlage ud Flächeerechuge Checkliste Was ich alles köe soll Ich kee de Begri des krummliige Trapezes ud weiß, dass sei Flächeihalt durch das Itegral üer die Raduktio agegee wird. Ich ka de Flächeihalt eies krummliige Trapezes zw. ei Itegral äherugsweise durch Zerlegugssumme ereche. Daei ka ich zwische Utersumme, Oersumme, Likssumme, Rechtssumme ud Trapezsumme uterscheide. Ich ka Likssumme, Rechtssumme ud Trapezsumme mit Hile des GTR ereche. Ich weiß, dass das Itegral als Grezwert vo Zerlegugssumme deiiert ist. hier ide ich Iormatio Al,. Näherugsweise Berechug... Al,. Näherugsweise Berechug... S. 6. Al,. Näherugsweise Berechug... Seite, Al. ud eakte Berechug ka ich muss ich üe Ich kee de Begri der Stammuktio ud weiß, dass ich au eiem Itervall alle Stammuktioe agee ka, we ich eie Itegratioskostate hizuüge. S. Ich ka vo olgede Fuktioe Stammuktioe agee; - Potezuktioe mit ratioale Epoete außer Daei eutze ich die Potezgesetze, um Wurzel- oder Bruchuktioe als Potezuktioe zu schreie. - Polyomuktioe daei weiß ich, dass ich zuerst ausmultipliziere muss! - Sius- ud Kosiusuktio Ich verwede die Summe- ud die Faktorregel, um Stammuktioe vo Zusammesetzuge dieser Fuktioe zu ereche. Ich kee de Hauptsatz der Dierezial- ud Itegralrechug ud seie Bedeutug ür die Berechug vo Itegrale. Ich ka Itegrale mit Hile des Hauptsatzes ereche. Ich ka i Sachzusammehäge, die durch Fuktioe modelliert werde, die Bedeutug der Fläche zwische Aszisse ud Graphe erkee ud iterpretiere ud die Itegralrechug i eiem solche Kotet awede Itegraluktioe! Ich ka Fläche zwische Fuktiosgraphe ud Aszisse ereche. Daei suche ich ach Schittpukte mit der Aszisse ud eachte, dass Fläche uterhal der Aszisse im Itegral egativ zähle. Ich ka Flächeihalte zwische Fuktiosgraphe ereche. Daei ereche ich zuächst die Schittstelle. S. Üugsaugae Mitschrit, Üugsaugae Al. Hauptsatz S. 7. S. 8 Üugsaugae Al eiührede Beispiele S., S. S.. Üugsaugae S.. Al. mit Üugsaugae

2 Q GK Mathe- Vh Üugsaugae zur Kursareit Nr. Oktoer.7 Augae : Gee Sie jeweils alle Stammuktioe a: y a; g t t t ; c h y, y >. y Augae : Bereche Sie: a 9 d ; 6 d ; c d. Augae : Bestimme Sie de Ihalt der Fläche zwische der -Achse ud dem Graphe der Fuktio 8 6. Augae : a Bestimme Sie de Ihalt des Flächestücks, das vo der -Achse ud dem Graphe der Fuktio 8 sowie liks vo der Gerade ud rechts vo der Gerade 7 egrezt wird. Welche Beziehug git es zwische de vo Ihe i a erechete 7 Flächeihalte ud dem Itegral d? Augae : icht relevat ür die Klausur! Bereche Sie d ohe Zuhileahme des Hauptsatzes direkt als Grezwert der Oersumme! Augae 6: Das Diagramm stellt de zeitliche Verlau der Mometa-Geschwidigkeit eies Fahrzeuges dar. a Zeiche Sie ei Diagramm, aus dem die Eterug des Fahrzeuges vom Aagsort i Ahägigkeit vo der Zeit agelese werde ka! Wie viel Bezi wurde ür die gesamte Fahrt eötigt, we der Verrauch im Schitt ei 6 Liter pro km lag? c Welche aschauliche Bedeutug hat i diesem Sachzusammehag die Fuktio g t dt?,

Q GK Mathe- Vh Ergeisse der Üugsaugae zur Kursareit Nr. Okt. 7 A: a C F ; C t t t G 6 6 ; c C y y y y H. A: a, ;... 8 ; c... 7 7 9 7. A: Nullstelle: ; ; 6. A 6 d d 6 8 6 FE. A: a Nullst.: irrel.! ;. A A A 7 d d 8 6 8 FE.

3 Q GK Mathe- Vh Ergeisse der Üugsaugae zur Kursareit Nr. Okt. 7 A: a C F ; C t t t G 6 6 ; c C y y y y H. A: a, ;... 8 ; c A: Nullstelle: ; ; 6. A 6 d d FE. A: a Nullst.: irrel.! ;. A A A 7 d d FE. 7 d A A, da die erste Fläche uterhal der -Achse liegt. A:... O Damit ist d 6 lim O. A6: a siehe liks. Die gesamte Fahrtstrecke eträgt etwa 9 km km km 6 km. Damit wurde ca. 6,6 9,7 Liter Bezi verraucht. c Sie stellt die Eterug zu dem ach ½ Stude erreichte Ort i km ach Stude dar. Der Graph etspricht daher oigem, ist aer um km ach ute verschoe.

4 Q GK Mathe- Vh Vortest zu Kursareit 7..7 A Hilsmittelreier Teil. Bereche Sie jeweils alle Stammuktioe: a 8 g t si t cos t c 7 a h y y, y > y. Bereche Sie: π a cos d π d B mit Verwedug vo GTR ud Formelsammlug. Gegee ist die Fuktio. Gesucht ist der Ihalt der Fläche, die ihr Graph, die Aszisse ud die Gerade ud egreze. a Bereche Sie i. die Utersumme ür Rechtecke ii. die Oersumme ür Rechtecke iii. die Trapezsumme ür Trapeze. Stelle Sie jeweils Ihre Asatz dar ud gee Sie auch die Ihalte des jeweils erste ud letzte Rechteckes zw. Trapezes a. i. Bestimme Sie mit dem GTR eie möglichst geaue Näherugswert ür diese Flächeihalt ii. ud vergleiche Sie mit Ihre Ergeisse aus a.. a Skizziere Sie die Fläche, die vom Graphe der Fuktio, der - Achse ud der y-achse egrezt wird. Ermittel Sie ihre Flächeihalt.. Gegee sid die eide Fuktioe ud g der Fläche, die vo ihre eigeschlosse wird.. Bereche Sie de Ihalt 6. I eier Badewae eide sich zur Zeit t mi. Liter Wasser. Das Diagramm stellt die Zuordug Zeit i Miute Zulussrate i l/mi, t rt dar. a Iterpretiere Sie i diesem Sachzusammehag die Fuktio T V T r t dt. Bestimme Sie, wa die Badewae leer ist. Zulussrate i l/mi Zeit i mi 6

6 Rechtssumme.

8 8

9 Mathematik Q Flächeerechuge mittels Itegralrechug... Berechug der Fläche zwische Schauild ud -Achse A Bestimme de Flächeihalt der egrezte Fläche, die vo der -Achse ud dem Graphe der Fuktio eigeschlosse wird, woei a ³ ² ² 9 c ² 6 7 d ³ ² B I de olgede Fälle esteht diese Fläche aus mehrere Aschitte, da der Graph mehr als zwei Schittpukte mit der -Achse hat 6 e g. Berechug der Fläche zwische Schauild ud -Achse i eiem gegeee Itervall A Falls die Fuktio stetig ist ud dort keie Nullstelle hat: direkte Berechug als Betrag des Itegrals: B Bereche jeweils de Ihalt der Fläche, die vo dem Graphe der Fuktio, der -Achse ud de Gerade a ud eigeschlosse wird: e ² ; a : ² ; a : g ² ; a :. Berechug der Fläche zwische zwei Fuktiosgraphe A Bereche jeweils de Ihalt der Fläche, die vo de Graphe der Fuktioe ud g ud de Gerade a ud eigeschlosse wird: a ; g ; a : ; g ² ; a : B Bereche de Ihalt der vo de Graphe vo ud g eigeschlossee egrezte Fläche: c 6 ½ ; g d ; g ² e ; g ; g g ; g h ; g i ; g

10 Mathematik Q Flächeerechuge mittels Itegralrechug Lösuge. A Bestimme de Flächeihalt der egrezte Fläche, die vo der -Achse ud dem Graphe der Fuktio eigeschlosse wird: a ³ ² Nullstelle ;, F ¼ ³, A 6 ¾ FE. ² 9 Nullstelle ;, uterhal -Achse, F / 9, A 6 FE. c ² 6 7 Nullstelle ; 7, uter -Achse, F / ² 7, A 8 / FE d ³ ² Nullstelle ;, uter -Achse, F ¼ / ³, A / FE. B e Nullstelle ; ;, ³ ² ; F ¼ / ³ / ² ; A ; / A ; /, A / FE. 6 Nullstelle ; ;; ; / ² ² F / / ³ ; A ; A ;,6, A ;,8 ; A,6 FE. g Nullstelle ; ;; ; ³ ² ; F / / / ³ 6² ; A ; /6; A ; 6/, A ; / ; A /6 FE,88 FE.. Berechug der Fläche zwische Schauild ud -Achse i eiem gegeee Itervall B Bereche jeweils de Ihalt der Fläche, die vo dem Graphe der Fuktio, der -Achse ud de Gerade a ud eigeschlosse wird: e ² ; a : Nullstelle ; drei Teilläche A ; 6 /, A ; /, A ; / A 9! / FE ² ; a : Nullstelle ; ; vier Teilläche A ; 6 / ³ ² A ;, A ; ; A ; 6 / A! / FE g ² ; a : Nullstelle ; drei Teilläche A ; / 6, A ;, A ; / 6 A 8! / 6 FE

11 . Berechug der Fläche zwische zwei Fuktiosgraphe a c

12 d e i

13 g h

Ähnliche Dokumente

Klausur 1 über Folgen

Klausur 1 über Folgen www.mathe-aufgabe.com Klausur über Folge Hiweis: Der GTR darf für alle Aufgabe eigesetzt werde. Aufgabe : Bestimme eie explizite ud eie rekursive Darstellug! a) für eie arithmetische Folge mit a = 6, ;