Numerische Integration und Keplersche Fassregel S. G. M. E.

Transkript

1 Numerische Itegratio ud Keplersche Fassregel S G M E

2 Ihaltsverzeichis Eileitug Ihaltsübersicht Materialbeschaffug 3 Eiführug i die Numerische Itegratio Numerische Itegratio Sehetrapezregel Herleitug Awedug ud Vergleich mit der eakte Berechug Tagetetrapezregel 4 Herleitug 4 Awedug ud Vergleich mit der eakte Berechug 4 3 Simpsoregel 5 3 Biographie vo Simpso 5 3 Herleitug durch Sehe- ud Tagetetrapezregel 5 33 Awedug ud Vergleich mit der eakte Berechug 4 Keplersche Fassregel 7 4 Biographie vo Johaes Kepler 7 4 Herleitugsmöglichkeite 8 43 Awedug ud Vergleich mit der eakte Berechug 0 3 Volumeberechug eies Fasses 3 Volumeberechug eies gewöhliche Fasses 3 Berechug durch Zerlegug i geometrische Figure 3 Berechug mit Hilfe der Keplersche Fassregel 3 33 Vergleich der Ergebisse mit der eakte Berechug 5 3 Volumeberechug eies Fasses mit kreisförmige Daube 3 Berechug durch Zerlegug i geometrische Figure 3 Vergleich mit der eakte Berechug 4 Schlusswort 8 5 Quelleverzeichis 9

3 Eileitug Ihaltsübersicht Das Thema userer Facharbeit ist die Numerische Itegratio ud ihre Awedug bei Fläche- ud Volumeberechuge Da es bei dieser Art der Flächeberechug mehrere Methode gibt, habe wir diese a eier Beispielfuktio agewedet ud die Ergebisse mit der eakte Berechug vergliche Dabei habe wir us besoders itesiv mit der Keplersche Fassregel ud ihrer Awedug bei der Volumeberechug eies Fasses auseiader gesetzt Des weitere sid wir äher auf die Volumeberechug eies Fasses mit kreisförmige Daube eigegage Materialbeschaffug Bei userer Facharbeit habe wir hauptsächlich mit dem vo userem Fachlehrer gegebee Material gearbeitet Außerdem habe wir eiige ützliche Seite im Iteret gefude ud usere Formelsammlug ud das Mathematikbuch zu Rate gezoge Da dieses Material bereits geüged Iformatioe bot ud für us verstädlich war, war es icht ötig, zusätzliches Material zu verwede 3 Eiführug i die Numerische Itegratio We sich für ei Itegral dieses mit Hilfe der Numerische Itegratio bereche b a f() d keie Stammfuktio ermittel lässt, ka ma Dazu teilt ma die zu berechede Fläche i geometrische Figure, wie zb Rechtecke, ei ud summiert aschließed dere Fläche Bei der Eiteilug i Trapeze, wie es i userer Facharbeit der Fall ist, ka ma verschiedee Methode der Flächeberechug awede We die Fläche i eie bestimmte Azahl Trapeze eigeteilt wird, ka ma zur Flächeberechug die Sehetrapez-, die Tagetetrapez- oder die Simpsoregel verwede I dem Fall = ist die Keplersche Fassregel, welche ei Soderfall der Simpsoregel ist, am beste geeiget Außerdem lasse sich mit der Numerische Itegratio auch Volumia bestimme, idem ma die Fläche uterhalb des Graphe der Querschittsfuktio Q() des zu berechede Körpers mit Hilfe eier der obe geate Regel äherugsweise berechet

4 Numerische Itegratio Sehetrapezregel Herleitug f() = y f() = + y 0 y y y3 y a = 0 3 b = Um die Fläche uter dem Graphe i de Greze a ud b äherugsweise zu bestimme, teilt ma sie i Trapeze mit der Breite h = b a ud der Höhe m = y + y 0 ei Für de Ihalt eies Trapezes gilt: m a h b A = a + b h wobei m = a + b Da die allgemeie Formel für de Ihalt eies Trapezes A = m h lautet, gilt für die Fläche des erste userer Sehetrapeze S = y + y 0 b a We ma u die Ihalte der eizele Trapeze addiert ud de Term vereifacht, erhält ma die Summe S der Trapezfläche: S = b a y + y 0 ( y + y 0 = b a + b a y + y + b a + y + y + y 3 + y = b a (y 0 + y + y + + y + y ) y3 + y + b a + y ) + y y + y Der Ausdruck, de ma u erhält, ist uter dem Name Sehetrapezregel bekat Awedug ud Vergleich mit der eakte Berechug Nu wird die Awedug der Sehetrapezregel am Beispiel des Itegrals 3 + d gezeigt Dafür teilt ma die zu berechede Fläche uter dem Graphe vo f() i Sehetrapeze, wobei bei diesem Beispiel 4 ist Um die Höhe h der eizele Trapeze Quelle: Mathematische Formelsammlug für Gymasie, S Quelle: Material vom Fachlehrer, S 3

5 zu bereche, muss ma die Gesamtläge der Fläche i de Greze a ud b durch die Azahl der Trapeze dividiere: h = b a = 3 = 4 Da ma bei 4 Trapeze 5 y-werte braucht, zwische dee die Sehe gelegt werde, ( ( 3 5 muss ma i diesem Fall f(), f, f(), f ud f(3) ausreche ) ) f() = y 0 f() = 5 y ( 3 f ) ( 5 f ) = 4 3 y = 4 9 y 3 f(3) = 0 y 4 Nu werde die berechete Werte i die Sehetrapezregel eigesetzt: S = b a (y 0 + y + y + + y + y ) ) S 4 = ( = 73 0, Dies ist der ageäherte Wert 3 für die zu berechede Fläche Im Folgede wird dieser Näherugswert mit dem eakte Ergebis vergliche, welches ma durch das Itegriere der Fuktiosgleichug erhält A = 3 + d = [arc ta ]3 = arc ta 3 arc ta 0, 43 4 Bei geauerer Betrachtug der beide Werte fällt auf, dass der eakte Wert A kleier als der Näherugswert S 4 ist, was sich durch die Graphik auf der vorherige Seite leicht erkläre lässt Wie ma sehe ka, verlaufe die Sehe der Trapeze oberhalb des Fuktiosgraphe Dies führt dazu, dass die Gesamtfläche der Sehetrapeze größer ist als die durch Itegratio berechete Fläche ud deswege gilt S 4 > A Die relative Abweichug lässt sich auf folgede Weise bereche: A = S 4 A eakt = 0, 478 0, 43 0, 009 A 0, 009 = 0, 0984, 984 % A eakt 0, 43 Dieses Ergebis zeigt, dass der Näherugswert um,984 Prozet vom eakte Wert abweicht 3 vgl Material vom Fachlehrer, S 37 4 Quelle: Mathematische Formelsammlug für Gymasie, S33 3

6 Tagetetrapezregel Herleitug f() = y f() = + y 0 y y y3 y a = 0 3 b = Eie weitere Möglichkeit zur Berechug der Fläche uter dem Graphe bietet die Tagetetrapezregel Wie der Name scho sagt, uterteilt ma die Fläche diesmal i Tagetetrapeze astatt i Sehetrapeze, wobei ma zwei Sehetrapeze zu eiem Trapez zusammefasst Dadurch wird die Breite h eies Trapezes doppelt so groß wie die eies Sehetrapezes, ämlich h = b a Außerdem gilt für die Höhe m der Trapeze m = y ugerade, weil durch diese Pukte die eizele Tagete gelegt werde Für de Ihalt des erste Tagetetrapezes ergibt sich deshalb T = y Addiert ma u die Fläche der (b a) eizele Trapeze, so erhält ma die Gesamtfläche: T = = (b a) (b a) (b a) y + y 3 + y 5 + (b a) (y + y 3 + y y ) (b a) y Die auf diese Weise erhaltee Formel, die Tagetetrapezregel 5, gilt ur für eie gerade Azahl der Sehetrapeze Mit dieser Regel lässt sich die Fläche jedoch wieder ur äherugsweise bestimme Awedug ud Vergleich mit der eakte Berechug Im Folgede wird das Itegral d mit der Tagetetrapezregel äherugs- + weise bestimmt 3 Dazu wird die Fläche i die gleiche Azahl Trapeze wie i eigeteilt, wobei u jeweils zwei Sehetrapeze zu eiem Tagetetrapez zusammegefasst werde (siehe S5) Da auf diese Weise isgesamt zwei Tagetetrapeze etstehe, werde auch ur zwei y-werte beötigt, durch die die Tagete gelegt werde Diese müsse icht mehr berechet werde, weil dies bereits i erfolgt ist 5 Quelle: Material vom Fachlehrer, S 3 4

7 ( 3 f = ) 4 ( ) 5 3 y f = 4 9 y 3 Nu werde die Werte i die Tagetetrapezregel eigesetzt: (b a) T = (y + y 3 + y y ) ( (3 ) 4 T 4 = ) 9 = 8 0, Auf diese Weise erhält ma de Näherugswert T 4 des Itegrals We ma diese Wert mit dem i bereits berechete eakte Wert A 0, 43 vergleicht, kommt ma zu dem Ergebis, dass der Näherugswert T 4 kleier als der ( eakte 3 Wert ist Dies lässt sich dadurch erkläre, dass die Tagete i de Pukte f ud ( ) 5 f uterhalb des Fuktiosgraphe verlaufe, was dazu führt, dass die Summe der ) Tagetetrapezfläche kleier als die durch das Itegral bestimmte Fläche ist Durch die folgede Rechug ka die relative Abweichug ermittelt werde: A = A eakt T 4 = 0, 43 0, 445 0, 08 A A eakt = 0, 08 0, , 88 % 0, 43 Wie ma sehe ka, ist der Näherugswert T 4 um etwa 3,88 Prozet kleier als der eakte Wert 3 Simpsoregel 3 Biographie vo Simpso Der Begrüder der bei der Numerische Itegratio verwedete Simpsoregel, Thomas Simpso, wurde am 0 August 70 i Market Bosworth, Leicestershire, Eglad gebore, wo er auch am 4 Mai 7 verstarb Er arbeitete hauptsächlich als Weber ud übte ebebei de Beruf eies Mathematiklehrers aus Seie Begeisterug für die Mathematik veralasste Simpso dazu, mathematische Tete zu verfasse ud zwei Bücher zu veröffetliche Im Jahre 740 erschie sei erstes Buch The Nature ad Laws of Chace ud zeh Jahre später, 750, kam das zweibädige Werk The Doctrie ad Applicatio of Fluios auf de Markt Simpso erlagte Aufmerksamkeit durch seie Arbeite über die Numerische Itegratio ud die Iterpolatio ud beschäftigte sich darüber hiaus mit der Wahrscheilichkeits- ud der Fehlertheorie 7 3 Herleitug durch Sehe- ud Tagetetrapezregel Die Simpsoregel lässt sich durch das Verreche der Sehe- ud Tagetetrapezregel S ud T im Verhältis : herleite Dabei geht die Sehetrapezregel S doppelt so vgl Material vom Fachlehrer, S 37 7 Quelle: 5

8 stark wie T i die Berechug ei, da bei S doppelt so viele Trapeze wie bei T verwedet werde K = 3 ( S + T ) Nu werde die i ud bereits hergeleitete Formel für S ud T i diese Asatz eigesetzt: K = 3 K = 3 ( ( ) b a (y 0 + y + y + y 3 + y y + y + y ) + (b a) ( b a y 0 + b a + + b a (b a) + ) (y + y y ) y + b a y + b a y + b a y + b a y + ) (b a) y y y 3 + b a y 4 (b a) K = b a 3 (y 0 + y + 4y + 4y 3 + 4y + y + y 4 + y ) K = b a 3 ((y 0 + y ) + 4(y + y y ) + (y + y y )) Diese Formel et sich Simpsoregel 8 ud ist ur für eie gerade Azahl Trapeze gültig, da ma bei ihrer Herleitug die Tagetetrapezregel verwedet, bei der ma ebefalls eie gerade Azahl beötigt (siehe ) y 33 Awedug ud Vergleich mit der eakte Berechug Im Folgede wird die Simpsoregel auf die Berechug der Fläche uter dem Graphe der bereits bekate Fuktio f() = i de Greze a = ud b = 3 agewedet Dabei wird die Fläche i die gleiche Azahl Sehe- bzw Tagetetrapeze wie + scho i ud eigeteilt, weswege die y-werte ebefalls überomme werde köe f() = ( 3 y 0 f = ) 4 3 y f() = ( 5 5 y = y f = ) 4 9 y 3 = y f(3) = 0 y 4 = y Nu setzt ma alle Werte i die Simpsoregel ei: 8 Quelle: Aalysis Zwei, Leistugskurs, S 73f

9 K = b a 3 ((y 0 + y ) + 4 (y + y y ) + (y + y y )) K 4 = 3 ( ( ) ) 5 = = 049 0, 437 Der damit erhaltee Wert 9 ist ereut ei Näherugswert des Itegrals 3 + d Beim Vergleich mit dem i bereits ermittelte eakte Wert A 0, 43 stellt sich heraus, dass der Näherugswert K 4 erst ab der vierte Stelle ach dem Komma vo dem eakte Wert abweicht ud damit ur etwas größer ist Durch die folgede Rechug lässt sich die relative Abweichug bestimme: A = K 4 A eakt = 0, 437 0, 43 0, 000 A 0, 000 = 0, , 057 % A eakt 0, 43 Da der Näherugswert ur um 0,057 Prozet vom eakte Wert abweicht wird deutlich, dass ma durch die Awedug der Simpsoregel eie sehr gute Näherugswert für de Ihalt eier Fläche erhält 4 Keplersche Fassregel 4 Biographie vo Johaes Kepler Der Mathematiker Johaes Kepler ist am 7 Dezember 57 i Weil, Württemberg gebore ud verstarb am 5 November 30 Im Alter vo achtzeh Jahre schrieb er sich a der Uiversität Tübige für die Studiegäge Theologie, Astroomie ud Mathematik ei ud erlagte ach zwei Jahre de Grad des Magisters Drei Jahre später zog er ach Graz, um dort Mathematik ud Astroomie zu uterrichte 59 veröffetlichte er sei erstes Werk Mysterium cosmographicum, i dem er seie Idee zur Harmoie des Alls veraschaulichte, welche später zu de Plaetegesetze führte Nach seier Heirat 597 verließ er die Stadt ud ahm eie Stelle als kaiserlicher Mathematiker i Prag a Im Jahre 09 brachte er sei wichtigstes Buch Astroomie Nova auf de Markt, welches die erste beide Plaetegesetze ethält Als ei Bürgerkrieg ausbrach, bei dem er seie Frau verlor, zog Kepler ach Liz, um dort als Ladschaftsmathematiker zu arbeite Zwei Jahre später, bei seier zweite Hochzeit, ist er darauf aufmerksam geworde, auf welche Art das Volume vo Weifässer bestimmt wurde Sogleich widmete er sich der Volumeberechug vo Rotatioskörper ud verfasste etwas 9 Quelle: Aalysis Zwei, Leistugskurs, S 74 7

10 später das Buch Nova Stereometria Währed dieser Zeit etwickelte er die ach ihm beate Keplersche Fassregel, die heute och bei der Itegralrechug verwedet wird 0 4 Herleitugsmöglichkeite Die Keplersche Fassregel ka ma uter aderem wie folgt herleite: Erste Herleitugsmöglichkeit: Da die Simpsoregel ur für eie gerade Azahl Trapeze gültig ist, ka ma die zu berechede Fläche im eifachste Fall i = Sehetrapeze eiteile Beim Eisetze dieser Azahl der Trapeze i die Simpsoregel ergibt sich folgeder Ausdruck: K = b a 3 ((y 0 + y ) + 4(y + y y ) + (y + y y )) K = b a 3 (y 0 + 4y + y ) = b a (y 0 + 4y + y ) Der auf diese Weise erhaltee Term heißt Keplersche Fassregel, welche somit eie Soderfall der Simpsoregel darstellt Die Namesgebug lässt sich dadurch erkläre, dass ihr Begrüder Johaes Kepler sie für die Berechug vo Weifässer etwickelt hat y - y y 0 y a m b Zweite Herleitugsmöglichkeit: Die Keplersche Fassregel lässt sich auch aus dem folgede Asatz herleite: h 0 f() d c f(0) + c f ( h ) + c 3 f(h) Dabei müsse die Koeffiziete so bestimmt werde, dass für f() = die jeweils eakte Werte für = 0, = ud = bestimmt werde köe Zuerst werde die eizele Werte für i das Itegral eigesetzt: = 0 = h 0 h 0 0 d = [] h 0 = h c + c + c 3 d = [ ] h 0 = h c 0 + c h + c 3 h 0 Quelle: Quelle: Material vom Fachlehrer, S 37 Quelle: Material vom Fachlehrer, S 37 8

11 = h 0 d = [ ] 3 h 3 0 = h3 3 c 0 + c h 4 + c 3 h Aus de drei auf diese Weise erhaltee Gleichuge ka ma ei Gleichugssystem aufstelle, durch das ma u die drei ubekate Koeffiziete bestimme ka h h 3 3 h = c + c + c 3 = c h + c 3 h = c h 4 + c 3 h Nu werde die eizele Gleichuge vereifacht h = c + c + c 3 h ( ) c = h + c 3 h h 3 ( ) = h c c 3 h h = c + c + c 3 h h 3 = c + c 3 = c 4 + c 3 Jetzt wird die dritte Gleichug vo der zweite subtrahiert h = c + c + c 3 h h = c + c 3 = c 4 4 c = 4h = h 3 Dieser Wert wird u i die zweite Gleichug, welche ach c 3 aufgelöst wird, eigesetzt c 3 = h c = 3h h 3 = h Nu werde die Werte vo c ud c 3 i die erste Gleichug eigesetzt c = h c c 3 = h h 3 h = h Die somit erhaltee Werte für die Koeffiziete setzt ma u i de Asatz ei: 9

12 = 7 5 0, 47 0 h 0 f() d c f(0) + c f ( h ) + c 3 f(h) h f(0) + h ( ) h 3 f + h f(h) h ( ( ) ) h f(0) + 4f + f(h) We ma diese Ausdruck mit der bereits hergeleitete Keplersche Fassregel K = b a (y 0 + 4y + y ) vergleicht, kommt ma zu dem Ergebis, dass beide idetisch sid, we folgedes gilt: h = b a a = 0 b = h y 0 = f(0) ( ) h y = f y = f(h) 43 Awedug ud Vergleich mit der eakte Berechug Das Itegral K = b a 3 d wird u mit Hilfe der Keplersche Fassregel + (y 0 + 4y + y ) äherugsweise bestimmt f() = y f() = + y 0 y y a = 0 b = Wie ma der Zeichug etehme ka, wird die Fläche i zwei Trapeze eigeteilt Aus diesem Grud müsse folgede y-werte berechet werde: f() = y 0 f() = 5 y f(3) = 0 y Zur Berechug der Fläche werde diese Werte i die Keplersche Fassregel eigesetzt: K = b a = 3 (y 0 + 4y + y ) ( )

13 Der soebe ermittelte Näherugswert K 0, 47 3 ist größer als der eakte Wert A 0, 43 (siehe ) des Itegrals Dies lässt sich dadurch erkläre, dass die Fläche der beide Sehetrapeze größer als die durch das Itegral ermittelte Fläche sid Mit der folgede Rechug wird die relative Abweichug bestimmt: A = K A eakt = 0, 47 0, 43 0, 003 A 0, 003 = 0, 008 0, 8% A eakt 0, 43 Die relative Abweichug beträgt ca 0,8 Prozet 3 vgl Aalysis Zwei, Leistugskurs, S74

14 3 Volumeberechug eies Fasses 3 Volumeberechug eies gewöhliche Fasses 3 Berechug durch Zerlegug i geometrische Figure Um das Volume eies Fasses zu bestimme, ka ma dieses durch geometrische Figure, dere Volumeformel bereits bekat sid, aäher y f() = 8 + y f() = f(m) a m b - f(a) f(m) f(b) a m b Wie ma de Graphike etehme ka, wurde das Volume des Fasses eimal durch eie Zylider ud eimal durch zwei gleichgroße Kegelstümpfe ageähert Der Zylider etsteht dadurch, dass ma durch de Pukt f(m) eie Tagete i de Greze a ud b legt ud das dadurch etstadee Rechteck um die -Achse rotiere lässt We ma zwei Sehetrapeze i die Fläche des Fasses eibeschreibt ud diese um die -Achse rotiere lässt, da erhält ma zwei Kegelstümpfe Das Volume des Zyliders lässt sich folgedermaße bereche: h r V = π r h wobei r = f(m) ud h = b a Nach dieser Formel beträgt das Volume des Zyliders V Z = π f(m) h Für das Volume eies Kegelstumpfes gilt: h r r V = 3 π h (r + r r + r ) wobei r = f(m) ud r = f(a) = f(b) Da bei dem erste Kegelstumpf r = f(a) ist, gilt für desse Volume folgede Formel: Quelle: Mathematische Formelsammlug für Gymasie, S 4 Quelle: Mathematische Formelsammlug für Gymasie, S 4

15 V K = 3 π h (f(m) + f(m) f(a) + f(a) ) Für das Volume des zweite Kegelstumpfes mit r = f(b) gilt demach: V K = 3 π h (f(m) + f(m) f(b) + f(b) ) Um die Formel für das Gesamtvolume zu erhalte, werde die Volumia der eizele Kegelstümpfe addiert V Kges = π h (f(m) + f(m) f(a) + f(a) + f(m) f(b) + f(b) ) Nu werde V Z ud V Kges im Verhältis : miteiader verrechet, da die Aäherug durch zwei Kegelstümpfe doppelt so geau ist wie die durch eie Zylider V G = 3 (V Z + V Kges ) = ( ( )) π h f(m) + 3 π h (f(m) + f(m) f(a) + f(a) + f(m) f(b) + f(b) ) Nach weitere Vereifachuge ergibt sich folgede Formel 3 : V G = 9 π h (5f(m) + f(m) f(a) + f(a) + f(m) f(b) + f(b) ) Nu wird diese Formel auf folgedes Fass agewedet: y f() = f(a) a f(m) m f(b) b f(a) = f() = 3 f(b) = f() = 3 f(m) = f(4) = h = b a = 4 Diese Werte werde i die soebe ermittelte Formel eigesetzt V G = ( 9 π ( ) ( ) ) 3 + V G = π 4, Dieser Wert ist ei Näherugswert für das Volume des Fasses 3 Berechug mit Hilfe der Keplersche Fassregel Mit der Keplersche Fassregel lasse sich icht ur Fläche, soder auch Volumia bestimme Dies wird u am Beispiel des i 3 verwedete Fasses gezeigt 3 vgl seite/kepler-hhtml 3

16 y f() = a b } r = f() Wie ma der Graphik etehme ka, ist die Querschittsfläche des Fasses ei Kreis mit dem Radius r = f() Da der Ihalt eies Kreises 4 A = π r ist, gilt für die Querschittsfläche Q() folgede Formel: ( Q() = π (f()) = π ) 8 + = π 4 ( 8) Der Graph dieser Fuktiosgleichug i de Greze a ud b sieht folgedermaße aus: Q() Q(a) a Q(m) m Q() = π 4 ( 8) Q(b) b Nu wird die Fläche uter dem Graphe i de Greze a ud b mit Hilfe der Keplersche Fassregel K = b a (y 0 + 4y + y ) äherugsweise bestimmt Dabei gilt: Q(a) = Q() = 9 4 π y 0 Q(m) = Q(4) = 4 π y Q(b) = Q() = 9 4 π y We ma diese Werte i die Keplersche Fassregel eisetzt, ergibt sich daraus folgeder Ausdruck: V K = K = b a = (y 0 + 4y + y ) ( 9 4 π + 4 (4 π) + 9 ) 4 π = 4 3 π 4, Quelle: Mathematische Formelsammlug für Gymasie, S 3 4

17 Das Ergebis dieser Rechug ist ei Näherugswert für das Volume des obe geate Fasses Wie ma a der Rechug sehe ka, wurde hier mit der Keplersche Fassregel keie Fläche, soder ei Volume berechet Dies lässt sich dadurch erkläre, dass i diesem Beispiel die Keplersche Fassregel icht auf de Graphe vo f(), soder auf de Graphe vo Q() agewedet wurde Diese Fuktio gibt die Ihalte aller Querschittsfläche des Fasses wieder, zb ist der Wert vo Q() der Ihalt der Querschittsfläche a dieser Stelle Um das Volume des Fasses zu erhalte, muss ma die Ihalte aller Querschittsfläche addiere, was hier mit Hilfe der Keplersche Fassregel geschieht 33 Vergleich der Ergebisse mit der eakte Berechug Um die i 3 ud 3 bestimmte Näherugswerte mit dem eakte Wert des Fassvolumes vergleiche zu köe, muss dieser erst eimal ermittelt werde Dies geschieht dadurch, dass ma die Fuktio Q() der Querschittsfläche i de Greze a = ud b = itegriert V = = π 4 = π 4 = 03 5 Q() d = π 4 ( 8) d ( ) d [ π 4, 5 ] Dieser Wert ist der eakte Wert des Volumes We ma ih mit de i 3 ud 3 ermittelte Näherugswerte vergleicht, kommt ma zu dem Ergebis, dass beide Näherugswerte größer als der eakte Wert sid Dabei fällt auf, dass der durch geometrische Figure ermittelte Näherugswert V G geauer als der mit Hilfe der Keplersche Fassregel bestimmte Wert V K ist Im Folgede wird die relative Abweichug beider Näherugswerte vom eakte Wert berechet V = V G V eakt = 4, 580 4, 5 0, 098 V V eakt = 0, 098 0, 004 0, 4 % 4, 5 Die relative Abweichug des Näherugswertes V G vom eakte Wert beträgt 0,4 Prozet V = V K V eakt = 4, 935 4, 5 0, 489 V V eakt = 0, 489 0, , 9853 % 4, 5 Der Näherugswert V K weicht um 0,9853 Prozet vom eakte Wert ab Daraus geht hervor, dass V G um 0,8 Prozet geauer als V K ist 5

18 3 Volumeberechug eies Fasses mit kreisförmige Daube 3 Berechug durch Zerlegug i geometrische Figure Im Folgede wird das Volume eies Fasses mit kreisförmige Daube bestimmt f(a) a r y f(m) m - f() = r f(b) b r = 5 m = b a = 0 h = a + b = 8 f(a) = f( 4) = 3 f(b) = f(4) = 3 f(m) = f(0) = 5 Da die Daube kreisförmig sid, werde sie durch die Kreisfuktio f() = r beschriebe, die ma wie folgt herleitet: + r } f() Durch de Satz des Pythagoras gilt: r = + (f()) f() = r Um das Volume des Fasses äherugsweise zu bestimme, wird u die i 3 bereits hergeleitete Formel verwedet V N = 9 π h (5f(m) + f(m) f(a) + f(a) + f(m) f(b) + f(b) ) = 9 π 8 ( ) = π 483, 07 Dies ist ei Näherugswert für das Volume des obe geate Fasses 3 Vergleich mit der eakte Berechug Um de i 3 bestimmte Näherugswert V N mit dem eakte Wert für das Volume des Fasses vergleiche zu köe, muss dieser erst ermittelt werde Dazu wird die Querschittsfläche Q() des Fasses itegriert

19 y f() = r a - b } r = f() Wie ma der Zeichug etehme ka, ist die Querschittsfläche Q() ei Kreis mit dem Radius r = f() Da die Formel für eie Kreisihalt 5 A = π r lautet, gilt für die Querschittsfläche Q() folgeder Ausdruck: Q() = π (f()) = π ( r ) = π (r ) Nu wird das Volume mit Hilfe des Itegrals V = b a Q() d berechet, wobei die i 3 ermittelte Werte für die Greze a ud b ud de Radius r überomme werde V = 4 4 = π = 47 3 π (5 ) d [ ] 4 4 π 494, 77 Beim Vergleich des soebe berechete eakte Wertes mit dem Näherugswert V N fällt auf, dass der Näherugswert kleier als der eakte Wert ist Im Folgede wird die relative Abweichug der Werte bestimmt V = V eakt V N = 494, , 07, 7 V V eakt =, 7 0, 059, 59 % 494, 77 Der Näherugswert weicht um ca,59 Prozet vom eakte Wert ab 5 Mathematische Formelsammlug für Gymasie, S 3 7

20 4 Schlusswort 8

21 5 Quelleverzeichis Material vom Fachlehrer (ubekate Herkuft) Lambacher Schweizer Aalysis Zwei, Leistugskurs Erst Klett Schulbuchverlag GmbH Stuttgart 989 Sieber Mathematische Formelsammlug für Gymasie Erst Klett Schulbuchverlag GmbH Stuttgart