Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II Anwendungen des bestimmten Integrals

Transkript

1 Didaktik der Mathematik der Sekudarstufe II Aweduge des bestimmte Itegrals Fläche zwische zwei Graphe Mittelwert eier Fuktio Volume eies Rotatioskörpers Läge vo Kurve, die Graphe vo Fuktioe sid (Bogeläge bei Fuktiosgraphe) Matelfläche vo Rotatioskörper Neuma/Roder 1

2 Mittelwert eier Fuktio Itegriere bedeutet auch Mittel Möglicher Eistieg: Meteorologe zeiche eie Vielzahl vo Wetterdate miutiös auf, um Wetterlage zu dokumetiere ud Progose zu erstelle. z.b. Temperaturkurve Ges: Durchschittstemperatur im Zeititervall [a, b] Neuma/Roder 2

3 Mittelwert eier Fuktio Itegriere bedeutet auch Mittel Messe der Temperatur: z.b. jede Stude, alle 10 Miute, jede Miute, jede Sekude Bilde des arithmetische Mittels Neuma/Roder 3

4 Mittelwert eier Fuktio Itegriere bedeutet auch Mittel Abstrakt werde i äquidistate Abstäde Werte (Fuktioswerte) gewählt ud gemittelt arithmetische Mittel muss icht otwedig vo eiem Eizelwert ageomme werde y 1 i1 f ( x i ) Neuma/Roder 4

5 Mittelwert eier Fuktio Itegriere bedeutet auch Mittel Was köte ei verüftiger Mittelwert eier stetige Fuktio f auf dem Itervall [a; b] sei? Wie ka das mithilfe der Itegralrechug geschehe? Neuma/Roder 5

6 i äquidistate Abstäde Mittelwert eier Fuktio Itegriere bedeutet auch Mittel Werte (Fuktioswerte) gewählt ud gemittelt y Für die Rechtecksumme gilt: 1 i1 f ( x i ) b a x i also i1 y f ( ) ( b Rechtecksumme Neuma/Roder 6 x i b a a ) y,

7 Mittelwert eier Fuktio Itegriere bedeutet auch Mittel Für ergibt sich als Rechtecksumme der Flächeihalt uter dem Graphe, also gilt : b 1 a b f ( x )dx a Flächeihalt Neuma/Roder 7

8 Mittelwert eier Fuktio Itegriere bedeutet auch Mittel Geometrisch gedeutet ist der Mittelwert der Wert, der als kostate Fuktio über dem Itervall [a, b] deselbe Flächeihalt uter dem Graphe hat. (z.b. als Durchschittsgeschwidigkeit; gleicher zurückgelegter Weg bei dieser kostate Geschwidigkeit) Neuma/Roder 8

9 Mittelwert eier Fuktio Itegriere bedeutet auch Mittel Für stetige Fuktioe f ist der Mittelwert der Fuktioswert eies Wertes x0 des Itervalls [a; b]. Mittelwertbegriffs tieferes Verstädis des Fuktios- ud Bezug zur Stochastik: Erwartugswert eier Zufallsvariable für de diskrete Fall: E( X ) p i x i i1 für stetige Zufallsgröße: Übergag zum Itegral Neuma/Roder 9

10 Volume rotatiossymmetrischer Körper Mögliches Eistiegsbeispiel: Bestimmug des Volumes eies Weifasses Näherugsweises Bestimme durch Volumebestimmug: eies mittlere Zyliders zweier Kegelstümpfe eies mittlere Zyliders ud zweier Kegelstümpfe mehrerer Zylider ud der Summe dieser Volumia Neuma/Roder 10

11 Volume rotatiossymmetrischer Körper wesetliche Date müsse bei de verschiedee Asätze festgelegt bzw. ermittelt werde der letzte Asatz eriert a de aschauliche Zugag zur Itegralrechug mit de Riema sche Summe durch Riema sche Summe wurde bisher eie Fläche durch Rechteck-Streife approximiert bei zur x-achse rotatiossymmetrische Körper wird durch Zylider approximiert Neuma/Roder 11

12 Volume rotatiossymmetrischer Körper V i1 V i i1 ( f ( x i ))² x Aäherug der Außewad durch Fuktiosgraphe eier Fuktio f Uterteiluge des Itervalls [a; b] Verwedug vo Zylider der Dicke x b a Radius: f ( xi ) Summe dieser Zylidervolumia Neuma/Roder 12

13 Volume rotatiossymmetrischer Körper Ist die Fuktio f i [a; b] stetig, da existiert das Itegral als Grezwert der Riema sche Summe ud es gilt für das Volume: V b f ( x ) a 2 dx Welche Fehler köe die Schüler bei der Awedug mache? Statt düe Zyliderscheibe köe auch Hohlzylider aufsummiert werde. Welcher Ausgagspukt liegt dieser Überlegug zugrude? Neuma/Roder 13