2 ISO/BIPM-Leitfaden Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, GUM (2008 überarbeitet, die deutsche Fassung ist [3])

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1 I- Messusicherheite: Lit.: Prof. Dr. Gerz Wahrscheilichkeitsrechug ud Usicherheitsberechug IO/BIPM-Leitfade Guide to the Epressio of Ucertaity i Measuremet, GUM (008 überarbeitet, die deutsche Fassug ist [3]) 3 Vororm DIN V ENV 3005, Ausgabe : [4] Joh R. Taylor: A Itroductio to Error Aalysis: The tudy of Ucertaites i Physical Measuremets a.) Histogramme: Die meiste Messuge vo physikalische Größe habe eie kotiuierliche Bereich möglicher Werte zb. 00,04 99,83 99,89 00,07 99,99 00,0 00,08 00,09 99,93 00,3 Um über treuug, statistische Verteilug ud wahre Wert eier Messgröße Aussage mache zu köe, werde die Messwerte i Itervalle = Klasse j eigeteilt ud die Zahl der Messwerte i de Klasse aufgetrage. Klassegreze j Abs.Häufigkeit j i Klasse j Rel.Häufigkeit j /= h j Rel.ummehäufig keit F j (Klasseede) 99,80 - < 99,90 0, 0, 99,90 - < 00,00 0, 0,4 00,00 - < 00, ,5 0,9 00,0 - < 00,0 4 0,,0 = = 0 = Prof. Dr. Higsammer, HM, Nachdruck verbote

2 Fläche h j /Gesamtfläche = h j Ateil der Messwerte i der j te Klasse. 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0,0 i 99,80 99,90 00,00 00,0 00,0 3 4 Klasse j 0, 0, 0, 0, Klassebreite j = Grezverteilug, Wahrscheilichkeitsdichte: Die Zahl der Messwerte wird immer weiter erhöht, aus der Häufigkeitsverteilug etsteht die Wahrscheilichkeitsdichte f(). f() = Wahrscheilichkeitsdichte Grezverteilug Gesamtfläche = (Normierug) f()d = Ateil der Messwerte, die zwische ud +d falle = relative Häufigkeit h der Messwerte zwische ud +d +d

3 Bedeutug der Grezverteilug bzw. der Wahrscheilichkeitsdichte: Die Wahrscheilichkeit, dass ei beliebiges Messergebis zwische ud liegt ist : Fläche zwische ud / Gesamtfläche = wege Normierug f f d d dh., P f d a Verteiluge, die i der Messtechik häufig vorkomme: f() f() hohe Geauigkeit gerige Geauigkeit Normalverteilug Rechteckverteilug f() Dreieckverteilug 3

4 Aufgabe : Bei eier Lägemessug erhält ma folgede Messwerte: Läge i /mm 00,04 99,89 99,99 00,08 99,93 00,0 00,9 99,94 00,3 00,09 99,83 00,07 00,0 00,09 99,99 00,03 00,4 99,93 00,04 99,97 Teile ie die Messwerte i Klasse ei ud gebe ie die absolute Häufigkeite j, die relative Häufigkeite h j i de Klasse j ud die relative ummehäufigkeit F j tabellarisch a. Trage ie das Histogramm auf. b.) Häufige Verteiluge: Normalverteilug (stetig): Damit wird die treuug rei zufälliger Messwerte beschriebe (die Abbildug bezieht sich auf die obige Aufgabe) f e b X Zum chätzwert vo σ ud µ siehe Abschitt Variaz ud Erwartugswert. Die Zahl der beobachtete Messwerte i de Klasse erhält ma äherugsweise, idem ma das Itegral vo f() über die jeweilige Klassegreze ausführt ud mit der Zahl der Messwerte multipliziert. Das gibt de Erwartugswert E k der Messwerte i de Klasse, der bei eier Vielzahl vo Wiederholugsmessuge im Mittel auftritt. 4

5 Die Wahrscheilichkeit P, Messwerte im Itervall a < b zu fide, ist b b a Pa b f X d a b a erf erf ; b z z erf ; z z ; 0; z ; Brostei z 0 z 0,5 ist die sog. Verteilugsfuktio der tadard-normalverteilug ( ud erf die sog. Errorfuctio; beides ist i Formelsammluge bzw. oftwareprogramme (Mathematica ) tabellarisch dokumetiert, da das Itegral i (b) icht elemetar lösbar ist. iehe ächste eite! Im Bereich - bis + sid 68,3% aller Messwerte ethalte - bis + sid 95,5% aller Messwerte ethalte - 3 bis + 3 sid 99,7% aller Messwerte ethalte Aufgabe: Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, daß bei = 50 mm ud = 0 mm ei Messwert im Itervall (45-55) mm liegt bzw. kleier 45 mm ist? (0,383; 0,3085) ( Die tadard-normalverteilug ist symmetrisch mit µ = 0 ud σ =. Jede allgemeie Gauß sche Verteilugsfuktio t F e dt läßt sich auf sie zurückführe. 5

6 z (-z) (z) z (-z) (z) z (-z) (z)

7 Prüfug auf Normalverteilug: oll geprüft werde, ob eie vorhadee Verteilug eier Normalverteilug = Gaußverteilug etspricht, trägt ma die relative ummehäufigkeite i ei Wahrscheilichkeitsdiagramm ei, desse Ordiate so geteilt ist, daß bei Normalverteilug eie Gerade etsteht. Bei = ist die relative ummehäufigkeit 5,87% bzw. 84,3%. Aufgabe: Prüfe ie ahad des Wahrscheilichkeitsdiagrammes die Häufigkeitsverteilug der Aufgabe eite 4 auf Normalverteilug. Variaz ud Erwartugswert: Der Erwartugswert vo (-)² ergibt die Variaz ², ei Maß für die treuug der Messwerte, der Erwartugswert vo liefert de Mittelwert. 7

8 3 lim i E X f d b i X X E X f d Der Erwartugswert ist die umme aller mit ihrer Wahrscheilichkeit multiplizierte Messwerte oder das arithmetische Mittel bei uedlich viele Messwerte i. j = -Wert der Klassemitte. Da ur eie edliche Zahl vo Messwerte vorliegt, läßt sich ud icht bestimme, soder ur ei chätzwert = Arithmetisches Mittel für ud ei chätzwert s = Empirische tadardabweichug (treuug) für die tadardabweichug : i ; s i b4 i treuug des arithmetische Mittels: Werde verschiedee Messreihe erstellt, erhält ma i.a. jedesmal adere arithmetische Mittelwerte, dh.auch die Mittelwerte streue, ur wesetlich geriger, wie die Messwerte. Ma erhält allgemei für jede Verteilug: s s b5 Das Arithmetische Mittel ist also ormalverteilt mit / Bem.: Zufallsvariable werde großgeschriebe, ihre chätzwerte (Messwerte, Mittelwerte) klei. I der vorliegede Broschüre werde sie äherugsweise oft gleichgesetzt. 8

9 Aufgabe ach Kapitel a: Urliste der Meßwerte: Läge i i mm 00,04 99,89 99,99 00,08 99,93 00,0 00,9 99,94 00,3 00,09 99,83 00,07 00,0 00,09 99,99 00,03 00,4 99,93 00,04 99,97 Bestimme ie de Mittelwert, die tadardabweichug der Messwerte ud die treuug des arithmetische Mittels. (00,0 mm; 0,0875 mm; 0,0 mm) Wichtige Awedug: s / wird als sog. tadardusicherheit ach DIN ENV 3005 bei Vielfachmessuge verwedet, dh. als Usicherheit des als Ergebis agegebee arithmetische Mittelwertes. (Kapitel c) Rechteckverteilug: Jede Lage vo Messwerte i ierhalb eies bestimmte Bereiches soll gleich wahrscheilich sei: f X () = a = b f X fuer a b b b a 0 sost 6 Wege der Normierugsbedigug (. ud 3) muß die Wahrscheilichkeitsdichte f() im Bereich a bis b de Wert /(b-a) besitze ud ull für alle übrige -Werte. Für de Erwartugswert vo X = µ ud de Erwartugswert vo (X-µ)² = σ² = Variaz vo X erhält ma: 9

10 b f d b a a 3 f d b a 3 a 3 3 b b a a b a b a b a 3 b a 3 8 s a b b a b a b a halbes Itervall ; 3 3 Wichtige Awedug: s ist die tadardusicherheit (Kap. c) ach DIN, we zu vermute ist, daß die Messwerte mit ihre Usicherheite gleichmäßig über ei Itervall verteilt sid, zb. bei Geräte mit eier Fehlergreze. Fehlergreze ach DIN 39-: Es hadelt sich hier um vereibarte oder garatierte Höchstwerte für Abweichuge eier Messeirichtug vom richtige Wert, der wirklich gemessee Wert liegt irgedwo ierhalb des garatierte Itervalles. b 3 Aufgabe: Bei der Produktio vo 00 gleichartige Lägemeßgeräte wird die Messläge cm mit eiem Edmaß vo cm Läge ( wahrer Wert) vergliche. Ma erhält eie Häufigkeitsverteilug für die Azeige bei der wahre Läge cm, die zwische 0,999 cm ud,00 cm gleichmäßig verteilt ist. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, Azeige im obere Drittel des Itervalls 0,999 cm,00 cm bei der Messug vo cm zu erhalte. (/3) Zeige ie, daß bei der Rechteckverteilug die Normierugsbedigug z fbgd erfüllt ist. Bestimme ie die Wahrscheilichkeitsdichte für die Dreiecksverteilug uter Verwedug der Normierugsbedigug ud die tadardabweichug. Der Hersteller eier Persoewaage garatiert, daß der tatsächliche Wert ierhalb des Itervalles [abgeleseer Messwert. 00 g ] liegt. Wie groß ist die tadardusicherheit s? (00 g / 3) 0

11 t-(tudet ( -) Verteilug (stetig) Dies ist die Verteilug der Zufallsvariable T X b7 Mit als empirischer tadardabweichug, µ als wahre Wert ud X als arithmetische Mittelwert der Messuge, dh. chätzwert vo µ. Für geht die Verteilug i die Normalverteilug mit µ = 0 ud = über. Die Wahrscheilichkeit, eie Wert vo T im Itervall t +t zu erhalte ist P t T t F t F t Vertrauesivau b T t ; T T T T 3 ; 8 F t P T t f t dt f t Wahrscheilichkeitsdichte ( Wurde vo W..Gosset uter dem Pseudoym tudet veröffetlicht. ( Zufallsvariable werde mit Großbuchstabe gekezeichet, ihre chätzwerte (Messwerte, Mittelwerte) mit Kleibuchstabe; (3 auch Kofidezkoeffiziet

12 F T (t) ist die Verteilugsfukio aalog zu i (b). Die Ugleichug (b8) ka folgedermaße umgeschriebe werde: X t t t X t t X t X X t X t Damit ka (b8) auch so geschriebe werde: PX t X t FT t FT t b9 Die Wahrscheilichkeit P = - heißt Kofidezkoeffiziet, Vertrauesiveau oder Kofideziveau, Irrtumswahrscheilichkeit. Ist vo eier ormalverteilte Größe der arithmetische Mittelwert ud die empirische tadardabweichug s bekat, so gibt (b9) die Wahrscheilichkeit P = (- a, de wahre Mittelwert µ im Kofidezitervall s s s tp, ; tp, bzw. tp, P, azutreffe. P = F T (t) - F T (-t) = - ist als 68,6%, 90%, 99%, 99,5% ud 99,73% als Tabelle ute agegebe; i Abhägigkeit vo P ud etimmt ma daraus t P,. Die Verteilugsfuktio F T (t) ud die Dichtefuktio f T (t) ist i Formelsammluge ud oftware tabelliert oder ka ach de Formel ute berechet werde.

13 68,6% 90% 95% 99% 99,5% 99,73%,84 6,3,7 63,66 7,3 35,8 3,3,9 4,30 9,93 4,09 9, 4,0,35 3,8 5,84 7,45 9, 5,5,3,78 4,60 5,60 6,6 6,,0,57 4,03 4,77 5,5 8,08,90,37 3,50 4,03 4,53 0,06,83,6 3,5 3,69 4,09 3,05,78,8 3,05 3,43 3,76 0,03,73,09,86 3,7 3,45 30,0,70,05,76 3,04 3,8 3,0,70,04,74 3,0 3,6 50,0,68,0,68,94 3,6 80,00,66,99,64,89 3,0 00,00,66,98,63,87 3,08 5,00,66,98,6,86 3,07 00,00,65,97,60,84 3,04 >00,00,65,96,58,8 3,00 ft t ; / t t dt t F t / ; Zahl der Freiheitsgrade Beispiel ahad der Urliste der Messwerte eite 8 ute (Teil ) soll das 90% Kofidezitervall agegebe werde. Dabei wird eie Läge zwazigmal i mm gemesse : 00,04 99,89 99,99 00,08 99,93 00,0 00,9 99,94 00,3 00,09 99,83 00,07 00,0 00,09 99,99 00,03 00,4 99,93 00,04 99,97 3

14 00, 0 mm, s i 00, 0mm 0, 09mm 9 i s 0,09 mm ; Vertrauesiveau 90% ud 0 t, 73 aus Tabelle 0 t s 0, 035 mm; fuer das 90% Kofidezitervall erhaelt ma s s t ; t 99,98 mm;00, 06 mm P, P, 90%, 0 s t 00, 0 0, 035 mm 90%, 0 90%, 0 bzw. Bedeutug: i 90% aller Fälle dh. i 90 vo 00 Fälle beihaltet das agegebee Itervall de wahre Mittelwert µ. µ muß also icht zwiged im Itervall ethalte sei. Wege F(t 90%,=0 ) - F(-t 90%,=0 ) = 0,90 ach (b9) ka ma aus der Verteilugsfuktio gemäß Abbildug direkt das t 90%,=0 etehme. 4

15 Die ächste Abbildug zeigt die Läge des Kofidezitervalles i Abhägigkeit vom tichprobeumfag : je geriger, desto größer muß das Kofidezitervall gewählt werde, um de wahre Mittelwert µ mit 90% iger Wahrscheilichkeit dari zu fide. Itervall mm

16 Poisso ( - Verteilug (diskret) Nebe adere wichtige Aweduge beschreibt sie i der Physik die Messug radioaktiver trahlug mit eiem Zählrohr. Die Wahrscheilichkeitsfuktio f X ( j ) eistiert ur a de diskrete Werte,.. f X ( j ) ist die Wahrscheilichkeit, eie Wert j zu erhalte. Für µ 5 ähert sich die Verteilug immer mehr der Normalverteilug (Zetraler Grezwertsatz der tatistik). I der Abbildug sid die Hüllkurve gezeichet, für µ=3 die tatsächliche Wahrscheilichkeitsfuktioe. (Nach DIN 39 Teil 4 wird f X ( j ) Wahrscheilichkeitsfuktio geat) j j 0 f X e b! j ( vo.d.poisso 837 eigeführt 6

17 Für de Erwartugswert = Mittelwert vo X ud die Variaz ergibt sich : j X j ; j X j P X f E X f j X j E X f b j tadardabweichug des Mittelwertes... ; s ; j Bei praktische Messuge ist die chätzfuktio für de Mittelwert µ der Grudgesamtheit, die empirische tadardabweichug s der chätzwert für die tadardabweichug σ der Grudgesamtheit ud s der chätzwert für die Variaz des Mittelwertes der Grudgesamtheit µ (s = tadardabweichug des arithmetische Mittels, ma erhält diese, weil bei jeder eue Versuchsreihe adere Mittelwerte gemesse werde). Korrelatioe werde i DIN39 Teil 4 behadelt. Beispiel: I =500 Beobachtuge werde j Impulse pro Zeititervall mit eiem Zählrohr erfaßt. µ=,99; s=,73 ; Urliste j j geordet Häufigkeit H j gemesse f X ( j ) 500, berechet = = = ,4 500 =