Parameter von Häufigkeitsverteilungen

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1 Kapitel 3 Parameter vo Häufigkeitsverteiluge 3. Mittelwerte Mo Der Modus (:= häufigster Wert, Abk.: Mo) ist der Merkmalswert mit der größte Häufigkeit, falls es eie solche gibt. Er sollte ur bei eigipflige (= uimodale) Verteilug verwedet werde. Beispiele, bei dee das icht der Fall ist: Häufigkeitsverteilug ohe Modus x x x ist als Modus icht sivoll Der Media (= Zetralwert, Abk.: Me) ist dadurch charakterisiert, daß er die Schar der Merkmalswerte halbiert, d.h. daß die Azahl der i mit Merkmalswert x i < Me möglichst gleich der Azahl der i mit Merkmalswert x i > Me ist (bis auf extreme Soderfälle). Im Grezfall der Häufigkeitsverteilug mit glatter Kurve ist der Media damit folgedermaße zu veraschauliche:

2 50% 50% Me Bei klassierte Häufigkeitstabelle ist damit der Wert, desse kumulierte prozetuale Häufigkeit aufsteigeder Kumulatio äherugsweise 50% beträgt (vergl. Tab..), ei Näherugswert für de Media. Bei weige Merkmalswerte, die i eier Ragliste geordet sid (x x x 3... x ), gilt: { x + falls ugerade ist Me = (x + x + ) falls gerade ist Das arithmetische Mittel gibt eie Durchschittswert der Merkmalswerte a: a) Berechug aus der Urliste (x, x, x 3,...,x ): (3..) x := x i = (x + x x ) b) Berechug aus eier eifache Häufigkeitstabelle: x i f i (3..) x = = k x i h i x i h i = 00 (f i ist die absolute, h i die relative ud h i prozetuale Häufigkeit vo x i) Dies ist ei Spezialfall eies gewogee arithmetische Mittels: (3..3) a = G i a i G j = k g i a i, g i := G i G j Dabei müsse die Gewichte G i bei der erste Darstellug ur die Bedigug G i 0 für alle i erfülle. Für die Gewichte g i bei der zweite Darstellug ergibt sich daraus: 0 g i ud k g i =. Bei klassierte Häufigkeitstabelle ist (3..) als Näherugsformel mit x i als Klassemitte zu verwede. Das geometrische Mittel wird als Durchschittswert vo Verhältiszahle (vgl. Absch. 4. gelegetlich verwedet: 3. Streuugsmaße G := q q q Spaweite := Differez zwische größtem ud kleistem Merkmalswert. Die Mittelbildug über die Differeze (x i x) liefert kei Streuugsmaß, da z.b. im Falle der 3

3 Urliste folgedes gilt: (3..0) Mittlere absolute Abweichug: (3..) (x i x) = x i x = x x = 0 x i x auf eie Urliste bezoge h i x i x h i x i x = d := x i x := 00 f i x i x = auf eie eifache Hf - Tabelle bezoge Häufig verwedet ma statt x i (3..) auch de Media Me. Variaz: (3..) σ := (x i x) := (x i x) auf eie Urliste bezoge h h i (x i x) i (x i x) = 00 f i (x i x) = auf eie eifache Hf - Tabelle bezoge Bei klassierte Häufigkeitstabelle sid (3..) u. (3..) als Näherugsformel mit x i als Klassemittel zu verwede. Stadardabweichug: σ = V ariaz Formel zur Vereifachug der Berechug der Variaz: (3..3) σ = x x Dabei ist x das arithmetische Mittel über x i (statt x i ). (3..3) ist gegeüber Rudugsfehler ud Fehler i de Date x i wesetlich afälliger als (3..). Deshalb sollte bei der Verwedug vo (3..3) bei x eie höhere Stellezahl verwedet werde als es für die Iterpretatio vo x sivoll ist, also u. U. sogar eie höhere Stellezahl als bei de x i selbst. Dasselbe gilt für eiige später behadelte Verfahre, i dee arithmetische Mittel verwedet werde. Allgemeie Eigeschaft: Streuugsmaß = 0 Alle Merkmalswerte sid gleich Relatives Streuugsmaß := (absolutes) Streuugsmaß Mittelwert Prozetuales Streuugsmaß := rel. Streuugsmaß 00 4

4 3.3 Pearsosches Schiefemaß Voraussetzug: Die Häufigkeitsverteilug besitzt eie Modus (3.3.) sk := x Mo σ Rechtsteile Verteilug sk < 0 Likssteile Verteilug sk > 0 Symmetrische Verteilug sk = 0 Aber: sk = 0 Verteilug ist symmetrisch 3.4 Lorez Kurve, Gii Koeffiziet Für die Eiführug der Lorez Kurve ud des Gii Koeffiziete gehe wir davo aus, dass die Merkmalswerte icht-egativ sid ud i eier Ragliste geordet wurde: 0! x x... x Beispiele: x! > 0 x i Eikomme vo Perso i oder x i Umsatz vo Firma i oder x i Marktateil vo Firma i usw. Agestrebt wird der Vergleich des Ateils der k kleiste (hisichtlich z.b. des Eikommes x i ) statistische Elemete a der Gesamtzahl der statistische Elemete, k =: u k (k =,...,), 5

5 mit dem Ateil des Gesamteikommes dieser k statistische Elemete a dem Gesamteikomme aller statistische Elemete, x i =: v k, x j k =,...,, Dieser Vergleich wird graphisch veraschaulicht durch die Lorezkurve. Dies ist der Streckezug, der im (u,v) Koordiatesystem die Pukte (0,0) =: (u 0,v 0 ),(u,v ),(u,v ),...,(u,v ) = (, ) verbidet. Als Maß für die Kozetratio verwedet ma de Gii Koeffiziete: G := Fläche zwische der Lorez Kurve ud der Gerade v = u Fläche zwische der u Achse ud der Gerade v = u (0 u ) ( = (v + 0) (u 0) (v + v ) (u u )... (v + v ) (u u ) = ) (v i + v i ) = + v i, 0 G. Lorez Kurve ud Gii Koeffiziet wurde hier für die Beschreibug der Kozetratio der Eikomme verwedet. Will ma die Kozetratio der Umsätze beschreibe, so ist offesichtlich ur Eikomme durch Umsatz zu ersetze. Für adere Größe gilt etsprechedes. Extremfälle:. Alle x i sid gleich, d.h. es gibt überhaupt keie Kozetratio G = 0. G = v = v =... = v = 0 v = x =... = x = 0,x > 0, d.h. es ist alles auf das statistische Elemet mit dem größte Eikomme (z.b.) kozetriert. Der Maximalwert des Gii Koeffiziete ist icht soder ( /). Durch eie Modifikatio des Gii Koeffiziete gewit ma ei Maß für die Kozetratio, das i dem Extremfall der Kozetratio auf das statistische Elemet mit dem größte Merkmalswert de Wert aimmt. Dieses leistet der ormierte Gii Koeffiziet: G := G 0 G Nebe dem Gii Koeffiziete ud dem ormierte Gii Koeffiziete gibt es och weitere Kozetratiosmaße. 6