Beispiel: p-wert bei Chi-Quadrat-Anpassungstest (Grafik) Auftragseingangsbeispiel, realisierte Teststatistik χ 2 = , p-wert: 0.

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1 8 Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Apassugstest 8.1 Beispiel: p-wert bei Chi-Quadrat-Apassugstest (Grafik) Auftragseigagsbeispiel, realisierte Teststatistik χ 2 = , p-wert: f χ 2 (4) (x) p = p = χ 4, 0.95 χ 2 = x Schließede Statistik (WS 2014/15) Folie 161

2 8 Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Apassugstest 8.1 Beispiel: Chi-Quadrat-Apassugstest auf H 0 : Y Geom(0.25) Geom(0.25)-Verteilug hat uedliche Träger {0, 1, 2,...} ud Wahrscheilichkeitsfuktio p Geom(0.25) : N 0 [0, 1]; p Geom(0.25) (i) = (1 0.25) i 0.25, Bedigug p 0 i 5 ka also mit p 0 i = p Geom(0.25) (a i ) für a i := i 1 icht für alle i N erfüllt sei. Klassierug hier also (trotz diskreter Verteilug) erforderlich. Wege (für wachsedes i bzw. a i ) abehmeder pi 0 sivoll: Zusammefassug aller große i i der letzte Klasse K k so, dass Bedigug pi 0 5 für alle i {1,..., k} erfüllt ist. Wahrscheilichkeit (uter H 0 ) pk 0 für Klasse K k über Verteilugsfuktio oder als verbleibede Wahrscheilichkeit pk 0 = 1 k 1 i=1 p0 i. Je ach Verteilug F 0 ud Stichprobeumfag köe aber auch komplexere Klassieruge ötig sei, um Bedigug pi 0 5 zu erfülle. Schließede Statistik (WS 2014/15) Folie 162

3 8 Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Apassugstest 8.1 Fortsetzug Beispiel Stichprobeiformatio: Häufigkeitsverteilug aus Klassierug eier eifache Stichprobe vom Umfag = 100 zu Y liefert: i a i i Gewüschtes Sigifikaziveau: α = 0.10 Chi-Quadrat-Apassugstest: 1 Hypothese: H 0 : F Y = F Geom(0.25) H 1 : F Y F Geom(0.25) 2 Teststatistik: k χ 2 ( i pi 0 = )2 p 0 ist uter H 0 approximativ χ 2 (k 1)-verteilt, falls i=1 i 5 für alle i gilt. p 0 i Schließede Statistik (WS 2014/15) Folie 163

4 8 Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Apassugstest Kritischer Bereich zum Niveau α = 0.10: K = (χ 2 k 1;1 α, + ) = (χ2 5;0.90, + ) = (9.236, + ) 4 Berechug der realisierte Teststatistik: ( i p 0 i )2 p 0 i K i i pi 0 pi 0 (, 0] 32 (1 0.25) = (0, 1] 19 (1 0.25) = (1, 2] 16 (1 0.25) = (2, 3] 16 (1 0.25) = (3, 4] 6 (1 0.25) = (4, + ) i=1 p0 i = Σ χ 2 = Es gilt pi 0 5 für alle i {1,..., 6} Näherug ok. 5 Etscheidug: χ 2 = (9.236, + ) = K H 0 wird abgeleht! (p-wert: 1 F χ 2 (5)(χ 2 ) = 1 F χ 2 (5)( ) = = ) Test kommt zum Ergebis, dass Y icht eier Geom(0.25)-Verteilug geügt. Schließede Statistik (WS 2014/15) Folie 164

5 8 Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Apassugstest 8.1 Beispiel: Chi-Quadrat-Apassugstest (F 0 stetig) Klassierug bei stetige hypothetische Verteiluge ubedigt erforderlich. Hier: Klassierug soll vorgegebe sei (evtl. implizit durch bereits klassierte Stichprobeiformatio statt vollstädiger Urliste!) Bei eigeer Wahl der Klassierug: Vorsicht, da Klassierug Test beeiflusst! Beispiel: Utersuchug, ob Y N(0, 1). Stichprobeiformatio (aus eifacher Stichprobe vom Umfag = 200): i K i (, 1.5] ( 1.5, 0.75] ( 0.75, 0] (0, 0.75] (0.75, 1.5] (1.5, ) i Gewüschtes Sigifikaziveau: α = 0.05 Geeigeter Test: Chi-Quadrat-Apassugstest 1 Hypothese: H 0 : F Y = F N(0,1) H 1 : F Y F N(0,1) 2 Teststatistik: k χ 2 ( i pi 0 = )2 p 0 ist uter H 0 approximativ χ 2 (k 1)-verteilt, falls i=1 i 5 für alle i gilt. p 0 i Schließede Statistik (WS 2014/15) Folie 165

6 8 Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Apassugstest Kritischer Bereich zum Niveau α = 0.05: K = (χ 2 k 1;1 α, + ) = (χ2 5;0.95, + ) = (11.070, + ) 4 Berechug der realisierte Teststatistik: K i = (a i 1, a i ] i pi 0 = F 0 (a i ) F 0 (a i 1 ) pi 0 ( i p 0 i )2 pi 0 (, 1.5] = ( 1.5, 0.75] = ( 0.75, 0] = (0, 0.75] = (0.75, 1.5] = (1.5, + ) = Σ Es gilt pi 0 5 für alle i {1,..., 6} Näherug ok. 5 Etscheidug: χ 2 = / (11.070, + ) = K H 0 wird icht abgeleht! (p-wert: 1 F χ 2 (5)(χ 2 ) = 1 F χ 2 (5)(7.7828) = = ) Test ka Hypothese, dass Y stadardormalverteilt ist, icht verwerfe. Schließede Statistik (WS 2014/15) Folie 166

7 8 Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Apassugstest 8.1 Chi-Quadrat-Apassugstest auf parametrisches Verteilugsmodell Chi-Quadrat-Apassugstest ka auch durchgeführt werde, we statt (eizeler) hypothetischer Verteilug eie parametrische Klasse vo Verteiluge als hypothetische Verteilugsklasse fugiert. Durchführug des Chi-Quadrat-Apassugstests da i zwei Schritte: 1 Schätzug der Verteilugsparameter ierhalb der hypothetische Verteilugsklasse mit der ML-Methode. 2 Durchführug des (reguläre) Chi-Quadrat-Apassugstest mit der hypothetische Verteilug zu de geschätze Parameter. Zu beachte: Verteilug der Testgröße χ2 ädert sich! Bei ML-Schätzug auf Basis der für die Durchführug des Chi-Quadrat-Apassugstest maßgebliche Klassierug der Stichprobe gilt uter H 0 äherugsweise χ 2 χ 2 (k r 1), wobei r die Azahl der per ML-Methode geschätzte Parameter ist. Werde die Verteilugsparameter icht aus de klassierte Date, soder aus de ursprügliche Date mit ML-Methode geschätzt, gilt diese Verteilugsaussage so icht mehr (Abweichug allerdigs moderat). Schließede Statistik (WS 2014/15) Folie 167

8 8 Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Apassugstest 8.1 Zusammefassug: Chi-Quadrat-Apassugstest zur Apassug a parametrische Verteilugsfamilie Awedugsvoraussetzuge approx.: Y beliebig verteilt, X 1,..., X eif. Stichprobe zu Y Familie vo Verteilugsfuktioe F θ für θ Θ vorgegebe k 1 Klassegreze a 1 < a 2 <... < a k 1 vorgegebe Nullhypothese H 0 : F Y = F θ für ei θ Θ Gegehypothese H 1 : F Y F θ (für alle θ Θ) ( k Teststatistik χ 2 ( i pi 0 ) 2 k i = = ) 2 ( p0 i 1 k = Verteilug (H 0) i=1 p 0 i i=1 p 0 i 2 i p 0 i=1 i ) χ 2 ist uter H 0 äherugsweise χ 2 (k r 1)-verteilt, we θ ML-Schätzer des r-dim. Verteilugsparameters θ auf Basis klassierter Date ist (Verwedug vo θ siehe ute). (Näherug ur verüftig, falls pi 0 5 für i {1,..., k}) Beötigte Größe p 0 i = F θ(a k ) F θ(a k 1 ) mit a 0 :=, a k :=, i = #{j {1,..., } x j (a i 1, a i ]}, i {1,..., k} Kritischer Bereich (χ 2 k r 1;1 α, ) zum Niveau α p-wert 1 F χ 2 (k r 1)(χ 2 ) Schließede Statistik (WS 2014/15) Folie 168

9 8 Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Apassugstest 8.1 Beispiel: Chi-Quadrat-Apassugstest auf H 0 : Y Geom(p) für p (0, 1) Stichprobeiformatio: Häufigkeitsverteilug aus voragegageem Beispiel: i a i i Erster Schritt: ML-Schätzug vo p mit Hilfe der klassierte Stichprobeiformatio: Ma ka zeige, dass der ML-Schätzer auf Basis der klassierte Stichprobe durch k p = k + k i=1 (i 1) i gegebe ist. Hier erhält ma also die Realisatio p = = = Schließede Statistik (WS 2014/15) Folie 169

10 8 Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Apassugstest 8.1 Zweiter Schritt: Durchführug des Chi-Quadrat-Apassugstest für H 0 : F Y = F (mit F p := F Geom(p) ) gege H 1 : F Y F uter Berücksichtigug der ML-Schätzug vo p durch geäderte Verteilug vo χ 2 uter H 0! Isgesamt: Chi-Quadrat-Apassugtest für Verteilugsfamilie: 1 Hypothese: H 0 : F Y = F p für ei p (0, 1) (mit F p := F Geom(p) ) gege H 1 : F Y F p 2 Teststatistik: k χ 2 ( i pi 0 = )2 p 0 ist uter H 0 approximativ χ 2 (k 1 r)-verteilt, falls i=1 i pi 0 5 für alle i gilt ud r-dimesioaler Verteilugsparameter per ML-Methode aus de klassierte Date geschätzt wurde. 3 Kritischer Bereich zum Niveau α = 0.10: K = (χ 2 k 1 r;1 α, + ) = (χ2 4;0.90, + ) = (7.779, + ) Schließede Statistik (WS 2014/15) Folie 170

11 8 Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Apassugstest Berechug der realisierte Teststatistik: Eie ML-Schätzug aus de klassierte Date liefert de Schätzwert p = für de ubekate Verteilugsparameter p. ( i p 0 i )2 p 0 i K i i pi 0 pi 0 (, 0] 32 ( ) = (0, 1] 19 ( ) = (1, 2] 16 ( ) = (2, 3] 16 ( ) = (3, 4] 6 ( ) = (4, + ) i=1 p0 i = Σ χ 2 = Es gilt pi 0 5 für alle i {1,..., 6} Näherug ok. 5 Etscheidug: χ 2 = / (7.779, + ) = K H 0 wird icht abgeleht! (p-wert: 1 F χ2 (4)(χ 2 ) = 1 F χ2 (4)(4.8175) = = ) Test kommt zum Ergebis, dass Y Geom(p) icht verworfe werde ka. (ML-Schätzug vo p: p = ) Schließede Statistik (WS 2014/15) Folie 171

12 8 Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Apassugstest 8.1 Beispiel: p-wert bei Chi-Quadrat-Apassugstest (Grafik) Test auf geometrische Verteilug, realisierte Teststatistik χ 2 = , p-wert: f χ 2 (4) (x) p = p = χ 2 2 = χ 4, 0.9 x Schließede Statistik (WS 2014/15) Folie 172

13 8 Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Uabhägigkeitstest 8.2 Chi-Quadrat-Uabhägigkeitstest (Kotigeztest) Bisher: Eifache Stichprobe X 1,..., X zu eier Zufallsvariable Y. Im Folgede: Betrachtug vo eifache Stichprobe zu mehrdimesioale Zufallsvariable bzw. (später) mehrere (uabhägige) eifache Stichprobe zu mehrere Zufallsvariable. Erste Problemstellug: Utersuchug vo zwei Zufallsvariable Y A, Y B auf stochastische Uabhägigkeit. Erforderliche Stichprobeiformatio: Eifache Stichprobe (X A 1, X B 1 ), (X A 2, X B 2 ),..., (X A, X B ) vom Umfag zu zweidimesioaler Zufallsvariable (Y A, Y B ). Testidee: de bei Uabhägigkeit vo Y A, Y B bestehede Zusammehag zwische Radverteiluge vo Y A ud Y B sowie gemeisamer Verteilug vo (Y A, Y B ) ausutze: Gemeisame Wahrscheilichkeite stimme bei Uabhägigkeit mit Produkt der Radwahrscheilichkeite überei (falls (Y A, Y B ) diskret). Daher spreche gerige Abweichuge zwische gemeisame (relative) Häufigkeite ud Produkt der (relative) Radhäufigkeite für Uabhägigkeit, große Abweichuge dagege. Schließede Statistik (WS 2014/15) Folie 173

14 8 Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Uabhägigkeitstest 8.2 Betrachtete Awedugssituatioe: 1 Sowohl Y A als auch Y B sid diskret mit weige Auspräguge, i der Stichprobe trete die Auspräguge a 1,..., a k vo Y A bzw. b 1,..., b l vo Y B auf. 2 Y A ud Y B sid diskret mit viele Auspräguge oder stetig, die Stichprobeiformatio wird da mit Hilfe vo Klassieruge A 1 = (, a 1], A 2 = (a 1, a 2],..., A k = (a k 1, ) vo Y A bzw. B 1 = (, b 1], B 2 = (b 1, b 2],..., B l = (b l 1, ) vo Y B zusammegefasst. 3 Mischforme vo 1 ud 2. Der Vergleich zwische (i der Stichprobe) beobachtete gemeisame absolute Häufigkeite ij ud bei Uabhägigkeit (auf Basis der Radhäufigkeite) zu erwartede gemeisame absolute Häufigkeite ñ ij erfolgt durch die Größe χ 2 = k l i=1 j=1 ( ij ñ ij ) 2 ñ ij, wobei ij die beobachtete gemeisame Häufigkeite für (a i, b j ) bzw. (A i, B j ) aus der Stichproberealisatio ud ñ ij = i j = i j die erwartete gemeisame Häufigkeite aus de Radhäufigkeite i vo a i bzw. A i ud j vo b j bzw. B j sid (i {1,..., k}, j {1,..., l}). Schließede Statistik (WS 2014/15) Folie 174

15 8 Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Uabhägigkeitstest 8.2 Für wachsede Stichprobeumfag kovergiert die Verteilug der Testgröße χ 2 bei Gültigkeit vo H 0 : Y A, Y B sid stochastisch uabhägig gege die χ 2 ((k 1) (l 1))-Verteilug. Die Näherug der Verteilug vo χ 2 uter H 0 ist für edliche Stichprobeumfag verüftig, falls gilt: ñ ij 5 für alle i {1,..., k}, j {1,..., l} Wie beim Chi-Quadrat-Apassugstest spreche große Werte der Teststatistik χ 2 gege die Nullhypothese Y A ud Y B sid stochastisch uabhägig, währed kleie Werte für H 0 spreche. Als kritischer Bereich zum Sigifikaziveau α ergibt sich also etspreched: K = (χ 2 (k 1) (l 1);1 α, ) Die Testgröße χ 2 ist eg verwadt mit der bei der Berechug des korrigierte Pearsosche Kotigezkoeffiziete beötigte Größe χ 2. Aalog zum Chi-Quadrat-Apassugstest ka der Chi-Quadrat-Uabhägigkeitstest ebefalls auf Merkmale Y A bzw. Y B agewedet werde, dere Auspräguge a 1,..., a k bzw. b 1,..., b l och icht Zufallsvariable-koform als reelle Zahle kodiert wurde. Schließede Statistik (WS 2014/15) Folie 175

16 8 Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Uabhägigkeitstest 8.2 Darstellug der Stichprobeiformatio üblicherweise i Kotigeztabelle der Form Y A \ Y B b 1 b 2 b l a l a l bzw. Y A \ Y B B 1 B 2 B l A l A l a k k1 k2 kl A k k1 k2 kl Beötigte Größe ñ ij = i j köe da ach Ergäzug der Kotigeztabelle um ihre Radhäufigkeite i = l j=1 ij ud j = k i=1 ij i weiterer Tabelle mit aalogem Aufbau Y A \ Y B B 1 B 2 B l i A 1 ñ 11 = 1 1 ñ 12 = 1 2 ñ 1l = 1 l 1 A 2 ñ 21 = 2 1 ñ 22 = 2 2 ñ 2l = 2 l A k ñ k1 = k 1 ñ k2 = k 2 ñ kl = k l k j 1 2 l (hier für 2. Variate) oder (falls geüged Raum vorhade) direkt i der Kotigeztabelle berechet werde. Schließede Statistik (WS 2014/15) Folie 176

17 8 Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Uabhägigkeitstest 8.2 Zusammefassug: Chi-Quadrat-Uabhägigkeitstest Awedugs- approximativ: (Y A, Y B ) beliebig verteilt voraussetzuge (X1 A, X1 B ),..., (X A, X B ) eifache Stichprobe zu (Y A, Y B ) Auspräguge {a 1,..., a k } vo Y A, {b 1,..., b l } vo Y B oder Klassegreze a 1 <... < a k 1 zu Y A, b 1 <... < b l 1 zu Y B Nullhypothese H 0 : Y A,Y B stochastisch uabhägig Gegehypothese H 1 : Y A,Y B icht stochastisch uabhägig Teststatistik k l χ 2 ( ij ñ ij ) 2 k l = = ij 2 ñ ij Verteilug (H 0) Beötigte Größe i=1 j=1 i=1 ñ ij j=1 χ 2 ist äherugsweise χ 2 ((k 1) (l 1))-verteilt, falls H 0 gilt (Näherug ur verüftig, falls ñ ij 5 für alle i, j) ij = #{m {1,..., } (x m, y m) A i B j } für alle i, j mit A i = {a i }, B j = {b j } bzw. Klasse A i, B j ach vorg. Greze, ñ ij = i j mit i = l j=1 ij, j = k i=1 ij, Kritischer Bereich (χ 2 (k 1) (l 1);1 α, ) zum Niveau α p-wert 1 F χ 2 ((k 1) (l 1))(χ 2 ) Schließede Statistik (WS 2014/15) Folie 177

18 8 Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Uabhägigkeitstest 8.2 Beispiel: Zusammehag Geschlecht/tägl. Fahrzeit (PKW) Utersuchugsgegestad: Sid die beide Zufallsvariable Geschlecht (Y A ) ud täglich mit PKW zurückgelegte Strecke (Y B ) stochastisch uabhägig? Stichprobeiformatio: (Kotigez-)Tabelle mit gemeisame (i der Stichprobe vom Umfag = 2000 beobachtete) Häufigkeite, wobei für Y B eie Klassierug i die Klasse kurz, mittel ud lag durchgeführt wurde: Fahrzeit (Y B ) Geschlecht (Y A ) kurz mittel lag Mälich Weiblich Gewüschtes Sigifikaziveau: α = 0.05 Geeigeter Test: Chi-Quadrat-Uabhägigkeitstest 1 Hypothese: H 0 : Y A, Y B stochastisch uabhägig gege H 1 : Y A, Y B stoch. abhägig 2 Teststatistik: k l χ 2 ( ij ñ ij ) 2 = ist uter H 0 approximativ i=1 j=1 ñ ij χ 2 ((k 1) (l 1))-verteilt, falls ñ ij 5 für alle 1 i k ud 1 j l. Schließede Statistik (WS 2014/15) Folie 178

19 8 Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Uabhägigkeitstest Kritischer Bereich zum Niveau α = 0.05: K = (χ 2 (k 1) (l 1);1 α, + ) = (χ2 2;0.95, + ) = (5.991, + ) 4 Berechug der realisierte Teststatistik: Um Radhäufigkeite i ud j ergäzte Tabelle der gemeisame Häufigkeite: Tabelle der ñ ij = i j : Y A \ Y B kurz mittel lag i Mälich Weiblich j Y A \ Y B kurz mittel lag i Mälich Weiblich j Es gilt ñ ij 5 für alle 1 i 2 ud 1 j 3 Näherug ok. Schließede Statistik (WS 2014/15) Folie 179

20 8 Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Uabhägigkeitstest (Fortsetzug: Berechug der realisierte Teststatistik) χ 2 = 5 Etscheidug: 2 i=1 j=1 3 ( ij ñ ij ) 2 ñ ij ( )2 ( )2 ( )2 = ( )2 ( )2 ( ) = = χ 2 = (5.991, + ) = K H 0 wird abgeleht! (p-wert: 1 F χ2 (2)(χ 2 ) = 1 F χ2 (2)( ) = = ) Der Test kommt also zum Ergebis, dass die beide Zufallsvariable Geschlecht ud tägliche Fahrzeit (PKW) stochastisch abhägig sid. Schließede Statistik (WS 2014/15) Folie 180