2.3 Kontingenztafeln und Chi-Quadrat-Test

Transkript

1 2.3 Kotigeztafel ud Chi-Quadrat-Test Die Voraussetzuge a die Date i diesem Kapitel sid dieselbe, wie im voragegagee Kapitel, ur dass die Stichprobe hier aus Realisieruge vo kategorielle Zufallsvariable besteht. D.h. wir gehe vo zwei kategorielle Zufallsvariable X ud Y aus, wobei X die Werte (Kategorie) a 1, a 2,..., a r ud Y die Werte b 1, b 2,..., b s aehme ka. Das Dateiveau muss hier da sogar ur omial sei. Fasst ma eie Datezeile i eiem Wertepaar zusamme, so ka ma die (absolute) Häufigkeit bestimme, mit der das Wertepaar (a i, b j ) i der Stichprobe aufgetrete ist. Diese Häufigkeite, die die Grudlage für de Chi-Quadrat-Test auf Uabhägigkeit bilde, ka ma i eier so geate Kotigeztafel (oder Kreuztabelle) darstelle: Y b 1 b 2 b s Zeilesumme a N 1s 1. X a N 2s 2... a r r1 r2 rs r. Spaltesumme.1.2.s N Die Zeile- ud Spaltesumme ergebe sich hierbei aus s i. j 1 ud r. j i 1. Seite 90

2 Betrachtet ma u die Häufigkeite als Realisieruge der Zufallsvariable N, die als Kompoete eies Zufallsvektors (N 11,N 12,...,N 1s,N 21,..., N rs ) T mit eier r s-dimesioale Multiomialverteilug aufgefasst werde, so ergebe sich für die Wahrscheilichkeite P(X = a i ) = p i, P(Y = b j ) = q j ud P(X = a i, X = b j ) = p die folgede Maximum-Likelihood-Schätzer (was die etsprechede relative Häufigkeite sid): p i i., q j j ud p. Bemerkug: Die vo us i alle Beispiele verwedete Zahlewerte etstamme keier reale Studie, soder sid für das jeweilige Beispiel ad hoc gewählt worde. Um die Grudidee des Chi-Quadrat-Tests (oder 2 -Tests) besser verstehe zu köe, komme wir u zu drei Beispiele: Beispiel a: Mit Hilfe eier Kreuztabelle soll ei möglicher Zusammehag zwische de Atworte auf die Frage A ud de Atworte auf die Frage B utersucht werde, die beide mit "ja" oder "ei" beatwortet werde kote. Es liegt eie Stichprobe vom Umfag = 45 vor. Frage B ja ei Zeilesumme Frage Ja A ei Spaltesumme Seite 91

3 I der obige Tabelle ist beispielsweise zu sehe, dass 5 Persoe die Frage A mit ei ud die Frage B mit ja beatwortet. Beispiel b: Es soll ei möglicher Zusammehag utersucht werde zwische de Behadlugsmethode A, B ud C eies Arztes ud dem Heilugserfolg. Es liegt eie Stichprobe vom Umfag = 320 vor. Heilugserfolg Erfolg kei Erfolg Zeilesumme Beh. A B C Spaltesumme Beispiel c: Es wurde = 36 Persoe befragt, ob sie Raucher seie, bzw. ob sie regelmäßig Alkohol kosumiere. Es soll festgestellt werde, ob die Variable Rauchverhalte mit de beide Kategorie Raucher ud Nichtraucher vo der Variable Trikverhalte mit de beide Kategorie Abstiezler ud Alkoholkosumet uabhägig ist. Es ware i dieser Stichprobe 9 Alkoholkosumete ud 27 Abstiezler. Festgestellt wurde 12 Raucher (ud daher = 24 Nichtraucher). Uter de 12 Raucher ware 8 Abstiezler (ud daher 12-8 = 4 Alkoholkosumete). Bei de 24 Nichtraucher ware 19 Abstiezler ud 5 Alkoholkosumete. Seite 92

4 Die vollstädige Tabelle mit de zugehörige Radsumme sehe Sie hier: Raucher Nichtraucher Zeilesumme Alkohol Kosumet Abstiezler Spaltesumme We u Rauchverhalte ud Trikverhalte uabhägig vo eiader wäre, so gäbe es uter de Abstiezler i dieser Stichprobe (das sid 27/36 = 3/4 aller Persoe) eie ebeso große Ateil a Raucher, wie i der Gesamtstichprobe, wo 12/36 = 1/3 aller Persoe rauche. Es müsste daher 1/3 vo 3/4 aller 36 Persoe (das sid absolut 1/3 3/4 36 = 9 Persoe) rauchede Abstiezler sei. Diese Azahl wäre bei Uabhägigkeit der beide Variable zu erwarte. Tatsächlich festgestellt wurde 8 rauchede Abstiezler, was i diesem Beispiel keie große Abweichug darstellt. Etsprechede Überleguge wäre allerdigs u für die adere Zelleihalte durchzuführe. Wäre die summierte (quadratische ud bezüglich der erwartete Häufigkeite relativierte) Abweichuge aller Zelleihalte der kokrete (aus de Beobachtuge aufgestellte) Kreuztabelle vo de bei Uabhägigkeit erwartete Werte groß, so spräche das gege eie Uabhägigkeit. Diese Abweichuge köte allerdigs zufallsbedigt groß sei, da es sich um eie Stichprobe hadelt. Der Chi-Quadrat-Test auf Uabhägigkeit stellt ei statistisches Verfahre dar, das aus diese Abweichuge eie Prüfgröße berechet, ahad derer die Hypothese der Uabhägigkeit für die Gesamtpopulatio bzw. Grudgesamtheit, die hiter der Stichprobe steht, überprüft werde ka. Der Name Chi-Quadrat-Test rührt vo Seite 93

5 der Tatsache her, dass die Prüfgröße uter der Hypothese der Uabhägigkeit eie Realisierug eier Chi-Quadrat-verteilte zufällige Größe ist. Bevor wir u auf Details eigehe, ist es hier ist zuächst wichtig, sich die obe gezeigte Vorgehesweise bei der Berechug der erwartete Zelleihalte klar zu mache. Wir wolle dies u etwas mathematischer fasse: Zwei kategorielle Zufallsvariable X ud Y sid geau da stochastisch uabhägig, we P(X = a i, Y = b j ) = P(X = a i ) P(Y = b j ) für alle i = 1, 2,, r ud j = 1, 2,, s gilt. Das heißt i Worte: Die Wahrscheilichkeit, dass die Zufallsvariable X de Wert a i aimmt ud zudem die Zufallsvariable Y de Wert b j, ist gleich dem Produkt der Wahrscheilichkeit, dass die Zufallsvariable X de Wert a i aimmt, mit der Wahrscheilichkeit, dass die Zufallsvariable Y de Wert b j aimmt. Somit muss bei Uabhägigkeit der beide Zufallsvariable X ud Y für die relative Häufigkeite als Schätzuge für die Wahrscheilichkeite gelte: i. j Demetspreched gilt für die bei Uabhägigkeit erwartete absolute Häufigkeite: i. j = i.. j Seite 94

6 Vergleiche Sie dies mit der afags gezeigte Berechug der erwartete absolute Häufigkeite im Beispiel des Rauch- ud Trikverhaltes. Bei Uabhägigkeit der beide Zufallsvariable müsste die beobachtete Häufigkeite i der Nähe der erwartete Häufigkeite ' = i.. j liege. Falls diese Abweichuge zu groß sid, so spricht dies gege die Uabhägigkeit. Aus de beobachtete ud (de bei Uabhägigkeit) erwartete Häufigkeite lässt sich u eie Prüfgröße z bereche, die als Realisierug eier Zufallsvariable Z betrachtet werde ka, welche uter der Uabhägigkeitshypothese H 0 asymptotisch 2 -verteilt ist, mit (r-1) (s-1) Freiheitsgrade. Diese Prüfgröße errechet sich aus de bezüglich der erwartete Häufigkeite relativierte Differezequadrate zwische beobachtete ( ) ud erwartete ' ) Häufigkeite, welche da aufsummiert werde: ( z = r i 1 s j 1 ( ' ) ' 2 Gehe wir u vo de Hypothese H 0 : X ud Y sid uabhägig gege H 1 : X ud Y sid abhägig Seite 95

7 aus, so ka die Nullhypothese H 0 der stochastische Uabhägigkeit auf dem Sigifikaziveau verworfe werde, falls z größer als das (oder gleich dem) (1- )-Quatil der 2 -Verteilug mit (r-1) (s-1) Freiheitsgrade ist, also we gilt: Ist F die Verteilugsfuktio der 2 -Verteilug mit (r-1) (s-1) Freiheitsgrade, da ist H 0 zu verwerfe für z F -1 (1 - ) oder p-wert = 1- F(z). 1 - F(z) wird als (approximativer) p-wert im Output ausgegebe. Ist dieser kleier als das (oder gleich dem) gewählte Sigifikaziveau, so ka die Nullhypothese verworfe werde. I diesem Fall wurde da ei sigifikater Zusammehag zwische de Zufallsvariable X ud Y achgewiese, da die Nullhypothese H 0 zuguste der Alterativhypothese H 1 verworfe werde ka. Wir gebe die Werte der drei Beispiele bei Statistikpaket.de ei. Hier habe wir zwei Möglichkeite. Wir begie mit Beispiel a ud erkläre, wie ma die Date im System eitrage ka. Die Date für die Beispiele b ud c köe da aalog eigegebe werde. Die Stichprobe zum Beispiel a köte wie folgt eigebe werde: v1 v2 ja ja ja ja.. ja ja (isgesamt 9-mal ja, ja) ja ei ja ei.. ja ei (isgesamt 6-mal ja, ei).... Seite 96

8 De Output erhalte Sie, we Sie auf de Butto Zusammehäge utersuche klicke, wobei Sie zuvor die Variable v1 ud v2 uter diesem Meüpukt auswähle müsse. Daach köe Sie Kreuztabelle ud Chi-Quadrat-Test wähle. Alterativ köte ma auch ach der Auswahl vo Zusammehäge utersuche auf de Lik Kreuztabelle selbst eigebe klicke ud die Kreuztabelle direkt eigebe. Oder Sie gehe auf die Seite Kreuztabelle/Kreuztabelle.html (hierhi gelagt ma auch über die Startseite vo we ma uter Utersuchug vo Zusammehäge de Pukt Kreuztabelle ud Chi-Quadrat-Test auf Uabhägigkeit wählt). Daach köe Sie im Text hier ka die Kreuztabelle direkt eigegebe werde auf de Like hier klicke. Da müsse Sie im Beispiel a bei Spalte ud Zeileazahl 2 eigebe ud komme da zum folgede Fester: Hier köe Sie die Kreuztabelle direkt eigebe ud gelage da zum Output, we Sie Berechug starte wähle. Seite 97

9 Output des Beispiels a: Kreuztabelle / Chi-Quadrat-Test auf Uabhägigkeit Kreuztabelle mit absolute Häufigkeite: Summe Summe Die bei Uabhägigkeit erwartete absolute Häufigkeite: Prüfgröße für de Chi-Quadrat-Test auf Uabhägigkeit: Approximativer p-wert (Freiheitsgrade Chi-Quadrat-Verteilug: 1): Auf eiem Sigifikaziveau vo 5% köte die Nullhypothese der Uabhägigkeit verworfe werde, de p-wert 0,0365 0,05. Seite 98

10 Output im Beispiel b: Kreuztabelle / Chi-Quadrat-Test auf Uabhägigkeit Kreuztabelle mit absolute Häufigkeite: Summe Summe Die bei Uabhägigkeit erwartete absolute Häufigkeite: Prüfgröße für de Chi-Quadrat-Test auf Uabhägigkeit: Approximativer p-wert (Freiheitsgrade Chi-Quadrat-Verteilug: 2): 0 Wie zu sehe ist, ka im Beispiele b die Hypothese der Uabhägigkeit auf eiem Sigifikaziveau vo = 1% verworfe werde, da der p-wert 0,01 ist. Gegebeefalls köte hier sogar auf mit kleierem Sigifikaziveau verworfe werde, wobei allerdigs zu bedeke ist, dass das Sigifikaziveau bei sauberer Arbeitsweise stets vor Begi eies Tests festgelegt werde muss. Seite 99

11 Output im Beispiel c: Kreuztabelle / Chi-Quadrat-Test auf Uabhägigkeit Kreuztabelle mit absolute Häufigkeite: Summe Summe Die bei Uabhägigkeit erwartete absolute Häufigkeite: Prüfgröße für de Chi-Quadrat-Test auf Uabhägigkeit: Approximativer p-wert (Freiheitsgrade Chi-Quadrat-Verteilug: 1): I midestes eier Zelle der Kreuztabelle ist die absolute Häufigkeit gerig als 5! Im Beispiel c ka auf keiem gägige Sigifikaziveau die Nullhypothese verworfe werde. Hier ist zudem zu beachte, dass es i eier Zelle der Kreuztabelle eie absolute Häufigkeit vo weiger als 5 gibt, was problematisch ist, da die asymptotische Verteilug verwedet wird! Seite 100

12 Umsetzug des Beispiels a mit SAS: data dat1; iput x y; datalies; ru; proc freq data = dat1; table x*y / Chisq; ru; Seite 101

13 Oder: data dat1; iput azahl x y; datalies; ru; proc freq data=dat1 order = data; tables x*y / chisq; weight azahl; ru; SAS-Output zur Prozedur FREQ: Die Prozedur FREQ Häufigkeit Prozet Row Pct Col Pct x Tabelle vo x ach y y Summe Summe

14 Statistike für Tabelle vo x ach y. Statistik DF Wert Prob Chi-Quadrat Likelihood-Ratio Chi-Quadrat Kotiuitätskorr. Chi-Quad Matel-Haeszel Chi-Quadrat Phi-Koeffiziet Kotigezkoeffiziet Cramers V Exakter Test vo Fisher Zelle (1,1) Häufigkeit (F) 9 Liksseitige Pr <= F Rechtsseitige Pr >= F Tabellewahrscheilichkeit (P) Zweiseitige Pr <= P Stichprobegröße = 35 Seite 103