Mathematik 2 für Naturwissenschaften

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1 Has Walser Mathematik für Naturwisseschafte Fraue Mäer Modul 08 Teste vo Hypothese

2 Has Walser: Modul 08, Teste vo Hypothese ii Ihalt 1 Ma-Whitey-U-Test für zwei uabhägige Stichprobe Ei Ragtest Sigifikazschrake... 3 Korrelatios-Aalyse Korreliere die Blutdrücke vo Eheparter? Bivariate Normalverteilug Sigifikaztest für die Nullhypothese Vorgehe ach Spearma Chi-Quadrat-Test Vierfelder-Tafel Zwei Behadluge Allgemei Gebrauch der Tabelle Mehr als vier Felder Geschlecht ud Studierichtug Vertrauesitervall Situatio Vorbemerkuge zum Begriff Vertrauesitervall Wer sucht, der fidet Ab jetzt wird gerechet Sträucher Allgemei Grobe Schätzug Zusammefassug Ma-Whitey-U-Test für zwei uabhägige Stichprobe Korrelatios-Aalyse Pearso Spearma Chi-Quadrat-Test Vierfelder-Tafel m Felder Vertrauesitervall... 0 Modul 08 für die Lehrverastaltug Mathematik für Naturwisseschafte Sommer 006 Probeversio Sommer 007 Ergäzuge ud Korrekture Frühjahr 008 Korrekture Frühjahr 010 Kleie Äderug Frühjahr 011 Fehlerkorrekture. Kürzuge Frühjahr 014 Überarbeitug. Leichte Kürzug last modified: 5. November 013 Has Walser Mathematisches Istitut, Rheisprug 1, 4051 Basel

3 Has Walser: Modul 08, Teste vo Hypothese 1 1 Ma-Whitey-U-Test für zwei uabhägige Stichprobe 1.1 Ei Ragtest Beispiel Reaktioszeite: Zur Utersuchug der Aufmerksamkeit vo Affe wurde Reaktioszeite auf eie bestimmte Reiz gemesse. Juge ud alte Affe Gemesse wurde 9 juge ud 6 alte Tiere. Reagiere juge Affe rascher als alte? Reaktioszeite i Sekude juge Affe alte Affe 9, 15, 7, 15, >60*, 13, 9, 8, 14 16, 3, >60*, 11, >60*, 18 *) Diese Zeite sid zesiert; ach 60 Sekude wurde icht läger beobachtet.

4 Has Walser: Modul 08, Teste vo Hypothese Vergleich der zwei Gruppe mit dem Ma-Whitey-U-Test: Die Messwerte werde ragiert. Nur die Räge der Messwerte, icht aber die Messwerte selber, gehe i die Testgröße ei; wir habe eie Ragtest. Dieser Test ist daher auch awedbar, we die Merkmalsauspräguge eier Ordialskala etstamme. juge Affe alte Affe Zeit [Sek.] Rag Zeit [Sek.] Rag > >60 > = 9 R 1 = 54 = 6 R = 66 Berechug der Testgröße U aus de Stichprobeumfäge 1, ud der Ragsumme R 1 der Stichprobe 1: I userem Beispiel ist: U Exp = ( 1 +1) R 1 U Exp = = 45 Bemerkug: Die Formel U Exp = ( 1 +1) R 1 ist asymmetrisch, sie bevorzugt die Gruppe 1. Die Frage ist u, welche vo zwei Gruppe als Gruppe Nr. 1 gewählt werde soll. Ei Blick auf die Tabelle (vgl. folgede Abschitt) zeigt, dass die Tabelle so orgaisiert sid, dass ur für 1 Werte eigetrage sid. Daher muss jeweils die größere der beide Gruppe als Gruppe Nr. 1 defiiert werde.

5 Has Walser: Modul 08, Teste vo Hypothese 3 1. Sigifikazschrake Relevater Tabelleausschitt (α = 5%, eiseitig): 1 \ Aus der Tabelle erhalte wir für 1 = 9 ud = 6 die kritische utere Schrake 1. 5% 5% utere Schrake 1 Schrake obere Schrake = 1 utere Schrake Für die kritische obere Schrake gilt: Das gibt i userem Fall: kritische obere Schrake = 1 kritische utere Schrake kritische obere Schrake = = 4 U Exp. = 45 ist also größer als die kritische obere Schrake aus der Tabelle für de Ma- Whitey-U-Test, d. h. der Gruppeuterschied ist sigifikat (α = 5 %, eiseitig).

6 Has Walser: Modul 08, Teste vo Hypothese 4 Korrelatios-Aalyse.1 Korreliere die Blutdrücke vo Eheparter? Wir gehe vo folgeder Tabelle aus: Nr. i Ma x Frau y

7 Has Walser: Modul 08, Teste vo Hypothese 5 I eiem x,y-koordiatesystem ka jedes Ehepaar als Pukt dargestellt werde: Fraue Mäer Jedes Ehepaar ist ei Pukt Für de Korrelatioskoeffiziete ach Pearso ergibt sich: Nur zur Erierug: Empirische Variaz: r x,y = ( x i x ) y i y ( x i x ) ( ) ( y i y ) Empirische Kovariaz: s x = 1 1 i =1 ( x i x ) ud s y = 1 1 i =1 ( y i y ) Korrelatioskoeffiziet: c x,y = 1 1 i =1 ( x i x ) y i y ( ) r x,y = c x,y s x s y = ( x i x ) y i y ( x i x ) ( ) ( y i y ) = x i x i y i x y x y i y

8 Has Walser: Modul 08, Teste vo Hypothese 6 Zurück zum Thema Ist user relativ großer Korrelatioskoeffiziet r x,y aussagekräftig? Wir sehe auch aus der Grafik, dass die Puktwolke eie Korrelatio vermute lässt. Es sei u ρ der Korrelatioskoeffiziet der Grudgesamtheit, aus der die Stichprobe stammt.. Bivariate Normalverteilug Aahme: Die 0 Wertepaare sid eie Zufallsstichprobe aus eier bivariatormalverteilte Grudgesamtheit. Das heißt im Klartext, dass sowohl die x wie auch die y ormalverteilt sid. Schee auf dem Kilimadscharo.3 Sigifikaztest für die Nullhypothese Die Nullhypothese bedeutet, dass i der Grudgesamtheit keie Korrelatio vorliegt, also: Nullhypothese: ρ = 0. Für de Test verwede wir die folgede Tabelle (Ausschitt): α (zweiseitig) 10% 5% % 1% Kritische Werte für de Korrelatioskoeffiziete ach Pearso Aus dieser Tabelle etehme wir für = 0 ud α = 5% de kritische Wert: r krit = User berecheter Wert r x,y ist größer; wir müsse daher die Nullhypothese ablehe. Ei Wort zur Vorsicht: Dieser Test ist sehr empfidlich auf Abweichuge vo der Normalverteilug.

9 Has Walser: Modul 08, Teste vo Hypothese 7.4 Vorgehe ach Spearma We keie bivariate Normalverteilug vorausgesetzt werde ka, müsse wir mit dem aus de Ragdiffereze berechete Ragkorrelatioskoeffiziete ach Spearma arbeite: Bei usere Eheleute sähe das so aus: r Spearma =1 6 d 3 i i =1 Nr. i Ma x Frau y r M r F d i =r M -r F d i Summe r Spearma =1 6 d 3 i i =1 r x,y Berechug vo r Spearma Zum Vergleich ist auch och der Pearsosche Korrelatioskoeffiziet r x,y agegebe.

10 Has Walser: Modul 08, Teste vo Hypothese 8 Da arbeite wir mit der folgede Tabelle weiter: α (zweiseitig) 10% 5% % 1% Kritische Werte für de Korrelatioskoeffiziete ach Spearma Für = 0 ud = 5% erhalte wir r Spearmakrit = User berecheter Wert r Spearma ist größer; wir müsse daher auch bei diesem Vorgehe die Nullhypothese ablehe. 3 Chi-Quadrat-Test 3.1 Vierfelder-Tafel Zwei Behadluge Zwei Behadluge für eie bestimmte Krakheit wurde kliisch utersucht. 14 Patiete erhielte Behadlug 1, 109 Patiete Behadlug 1. Die Resultate sid i eier Vierfelder-Tafel aufgelistet: Behadlug 1 Behadlug total wirksam uwirksam total Nullhypothese: Beide Behadluge habe die gleiche Wirkugswahrscheilichkeit. Dazu folgedes Gedakespiel: Wir gehe vo eier Tabelle aus, bei der ur die Radhäufigkeite gegebe sid. Behadlug 1 Behadlug total wirksam 180 uwirksam 53 total Wie lässt sich die Tabelle uter Aahme der Nullhypothese sivoll ergäze?

11 Has Walser: Modul 08, Teste vo Hypothese 9 Dazu verwede wir Variable ud Brüche: Behadlug 1 Behadlug total wirksam w x uwirksam y z 53 total = 1 We die Wirksamkeit vo der Behadlug stochastisch uabhägig ist, ist folgedes zu erwarte: Also: w = x = y = z = Behadlug 1 Behadlug total wirksam uwirksam total Wir sehe, dass die Radhäufigkeite zwar stimme, dass aber die beobachtete Häufigkeite vo de Erwartugswerte abweiche. Als Maß für die Abweichug ehme wir i jedem Feld das Quadrat der Differez zwische der beobachtete Häufigkeit ud dem Erwartugswert, ud dividiere durch de Erwartugswert. Also: wirksam uwirksam total Behadlug 1 Behadlug total ( 10 96) ( ) = = 36 8 ( 78 84) ( ) = = 36 5 Es fällt auf, dass die Zähler alle gleich sid. Das hägt damit zusamme, dass wege der gegebe Radhäufigkeite eie Veräderug i eiem der Felder eie betragsmäßig gleich große Veräderug i de drei adere Felder zur Folge hat. Wir habe ur eie Freiheitsgrad. Die Summe der berechete Zahle wird als χ bezeichet ud ist eie Testgröße für die Nullhypothese. χ =

12 Has Walser: Modul 08, Teste vo Hypothese 10 Im Idealfall der Nullhypothese müsste χ = 0 sei; ei großes χ wirft eie Schatte auf die Nullhypothese. Der kritische Wert für de Sigifikaztest ka der χ -Tabelle etomme werde: Freiheitsgrad α = 10% α = 5% α =.5% α = 1% α = 0.5% Wir habe eie Freiheitsgrad. Bei eier Wahl vo α = 5% beträgt der kritische Wert 3.84; größere Werte spreche sigifikat gege die Nullhypothese. Im Beispiel erreicht die Testgröße de Wert Dieser Wert ist kleier als 3.84; die Nullhypothese wird deshalb icht verworfe Allgemei Allgemei sieht die Situatio so aus: A A total B a b a + b B c d c + d total a + c b + d = a + b + c + d Die Nullhypothese H 0 lautet: Die beide Merkmale A ud B sid stochastisch uabhägig voeiader. Das Merkmal A habe die Wahrscheilichkeit P( A) = p A, das Merkmal B die Wahrscheilichkeit P( B) = p B. We die Nullhypothese H 0 richtig ist, habe die vier Klasse die Wahrscheilichkeite: A A total ( ) p B p B ( ) ( 1 p A )( 1 p B ) 1 p B B p A p B 1 p A B p A 1 p B total p A 1 p A 1 We wir mit der Gesamtzahl multipliziere, erhalte wir die Erwartugswerte der vier Klasse: ( ) = p B bekat, ließe sich die Abweichuge der beobach- A A total B p A p B ( 1 p A )p B p B B p A ( 1 p B ) ( 1 p A ) 1 p B total p A ( 1 p A ) Wäre P( A) = p A ud P B tete Häufigkeite vo ihre Erwartugswerte messe: ( ) ( 1 p B )

13 Has Walser: Modul 08, Teste vo Hypothese 11 χ = ( a p A p B ) + b 1 p A p A p B 1 p A Aber P( A) = p A ud P B B B total ( ( ) p B ) ( + c p A ( 1 p B )) ( ) p B ( ) p A 1 p B ( ( )( 1 p B )) ( )( 1 p B ) + d 1 p A 1 p A ( ) = p B sid meist ubekat ud werde geschätzt durch: A A total p A = a+c Damit erhalte wir für χ de Schätzwert: χ = ( ) a a +c a +b a +c a +b + ( ) b b +d a +b b +d a +b Zur Vereifachug bearbeite wir zuächst: a a+c a+b a a+c = 1 p A = b+d ( )( a+b) + p B = a+b 1 p B = c+d 1 ( ) c a +c c+d a +c c+d + = a ( a+b+c+d ) a+c ( ) d b +d c+d b +d c+d ( )( a+b) a a+c a+b = a +ab+ac+ad a ab ca cb = ad cb Die drei adere Zähler ergebe (bis allefalls auf Vorzeiche) dasselbe: b b+d c a+c d b+d Damit erhalte wir mit eiiger Rechug: χ = χ = χ = χ = χ = ( ) 1 ad cb a +c ( ad cb) 1 a+c ( ad cb) ( ad cb) ( ad cb) a +b a+b c+d c+d + 1 b +d a +b = ad cb = ad cb = ad cb + 1 a +c c+d + 1 b +d c+d ( )( a+b) + 1 ( b+d ) ( a+b) + 1 ( a+c) ( c+d ) + 1 ( b+d ) ( c+d ) ( b+d ) c+d ( )+( a+c) ( c+d )+( a+b) ( b+d )+ a+b a+b ( )( a+c) ( b+d )( c+d ) ( a+b) [( b+d )+( a+c) ]+ c+d a+b ( )[( b+d )+( a+c) ] ( )( a+c) ( b+d )( c+d ) ( a+b)+ ( c+d ) a+b χ ( ad cb) = ( a+b) ( a+c) ( b+d )( c+d ) ( ) ( )( a+c) ( b+d )( c+d ) = ad cb 1 ( )( a+c) ( a+b)+ ( c+d ) ( a+b) ( a+c) ( b+d )( c+d )

14 Has Walser: Modul 08, Teste vo Hypothese 1 Somit ergibt sich (das Quadrat der Determiate ist eie Merkregel): a b χ ( ad cb) det = ( a+b) ( a+c) ( b+d) ( c+d) = c d ( a+b) ( a+c) ( b+d) ( c+d) Für user Beispiel mit der Hirhautetzüdug erhalte wir: χ ( ad cb) = ( a+b) ( a+c) ( b+d )( c+d ) = ( ) Das Resultat weicht etwas ab mit dem früher berechete Wert, dort hatte wir aber kräftig gerudet! 3. Gebrauch der Tabelle Die Testgröße ist uter der Nullhypothese χ -verteilt mit Freiheitsgrad 1. (Das heißt, bei gegebee Radhäufigkeite ka och eie Zahl frei gewählt werde.) Wir müsse also mit der erste Zeile der Tabelle arbeite. Der kritische Wert für de Sigifikaztest ka der χ -Tabelle etomme werde. Bei eier Wahl vo α = 5% beträgt der kritische Wert 3.84; größere Werte spreche sigifikat gege die Nullhypothese. Im Beispiel erreicht die Testgröße de Wert Dieser Wert ist kleier als 3.84; die Nullhypothese wird deshalb icht verworfe. Bemerkug: Weil die χ -Testgröße ur für große Stichprobe χ -verteilt ist, ist die Verwedug der kritische Werte aus der χ -Tabelle ur für solche Stichprobeumfäge korrekt. Das Kriterium für groß ka folgedermaße defiiert werde: a + b + c + d 30 Radhäufigkeite : a + b 10 a + c 10 b + d 10 c + d 10 Falls diese Bedigug icht erfüllt ist, ka der exakte Fisher-Test für Vierfelder-Tafel als Alterative verwedet werde (siehe zum Beispiel i: S. Siegel & N. J. Castella: Noparametric Statistics for Behavioral Scieces, Mc Graw Hill, New York).

15 Has Walser: Modul 08, Teste vo Hypothese Mehr als vier Felder Illustratio a eiem Beispiel: Geschlecht ud Studierichtug Ui Basel, Sommer 006,. Semester Bio Chemie Geo Nao Pharma Frau Ma Nullhypothese: Kei Zusammehag zwische Geschlecht ud Studierichtug. Wir prüfe die Nullhypothese auf dem 1%-Niveau. Wir habe ei Problem mit 4 Freiheitsgrade. Tabelle mit Radwerte: Bio Chemie Geo Nao Pharma Frau Ma Aus de Radwerte erhalte wir die theoretische Verteilug bei stochastischer Uabhägigkeit: Bio Chemie Geo Nao Pharma Frau Ma Die folgede Tabelle gibt die Differeze zwische de tatsächliche ud de theoretische Häufigkeite: Bio Chemie Geo Nao Pharma Frau Ma Quadrate davo: Bio Chemie Geo Nao Pharma Frau Ma I Relatio zu de theoretische Werte: Bio Chemie Geo Nao Pharma Frau Ma

16 Has Walser: Modul 08, Teste vo Hypothese 14 Die Summe dieser Zahle ist χ = Freiheitsgrad α = 10% α = 5% α =.5% α = 1% α = 0.5% Beim Freiheitsgrad 4 ist P( χ 13.8) = Die Nullhypothese ka verworfe werde 4 Vertrauesitervall 4.1 Situatio Vo 60 zufällig i eier Platage ausgewählte Sträucher erwiese sich 18 als krak, das heißt: h krak = = 0.3 Wie groß ist der Ateil p krak i der Grudgesamtheit, aus der die Stichprobe stammt? Gesucht ist ei zweiseitiges Vertrauesitervall für 1 α ( ) = 95%. p krak zum Niveau Dazu fasse wir die beobachtete Azahl der krake Sträucher i der Zufallsstichprobe als Realisatio eier biomial verteilte Zufallsgröße auf mit = 60 ud eiem ubekate, aber gesuchte p. Für die praktische Rechug verwede wir die Approximatio durch die Normalverteilug Vorbemerkuge zum Begriff Vertrauesitervall De Begriff Vertrauesitervall hatte wir scho eimal agetroffe. Dort gig es um gegebee Messwerte, ud gesucht war ei Vertrauesitervall für de Mittelwert. Wir erhielte mit Hilfe der t-verteilug: x t α,ν SE x,x + t α,ν SE x [ ]. I userem jetzige Fall geht es um Ateile. Auch i userem jetzige Fall ist das Vertrauesitervall vo der jeweilige Stichprobe abhägig. Der Ateil p krak der krake Sträucher i der Grudgesamtheit ist aber fest ud atürlich icht vo der jeweilige Stichprobe abhägig.

17 Has Walser: Modul 08, Teste vo Hypothese Wer sucht, der fidet I der Figur sid versuchsweise für p = 0.1, 0.,, 0.9 die zugehörige Normalverteiluge eigezeichet Normalverteiluge für p = 0.1, 0.,..., 0.9 Wir sehe, dass zuächst für p = 0.1 der Fall 18 weitab vom Schuss ist p = 0.1 Für p = 0. ist der Fall 18 zwar och extrem, aber scho (kapp) ierhalb der (zweiseitige) 95%-Schrake. Die exakte Schrake sid 5.97 ud Bei Berücksichtigug der 1 -Korrektur ist der 5%-Verwerfugsbereich { 0,,5} { 19,,60} ud daher der 95%-Akzeptazbereich { 6,,18} Uff, gerade och geschafft (p = 0.)

18 Has Walser: Modul 08, Teste vo Hypothese 16 Für p = 0.3 ist der Fall 18 voll im Kuche (warum?) p = 0.3 Auch für p = 0.4 liegt der Fall 18 och dri p = 0.4 Für p = 0.5 ud größer sid wir außerhalb der Glaubwürdigkeit p = 0.5 Die exakte Greze des 95%-Vertrauesitervalles sid also ute kapp uterhalb 0. ud obe zwische 0.4 ud 0.5. Wie fide wir diese Greze?

19 Has Walser: Modul 08, Teste vo Hypothese Ab jetzt wird gerechet Sträucher Für die utere Greze des Vertrauesitervalls muss gelte: µ +1.96σ =! 18 Der Faktor 1.96 ergibt sich aus dem zweiseitige 95%-Bereich (Tabelle Normalverteilug). Aus = 60 erhalte wir die Bedigug: 60p p( 1 p) =! 18 Dies ka zu eier quadratische Gleichug umgeformt werde: p( 1 p) =18 60 p 1.96 ( 60p( 1 p) ) = ( 18 60p) Der Computer liefert die beide Lösuge: ud Die gesuchte utere Greze ist offebar kapp uter 0.. Da der Faktor 1.96 aus der Tabelle der Normalverteilug ur 3 bedeutugsvolle Ziffer ethält, geüge auch hier drei Ziffer: ud 0.45 Für die obere Greze des Vertrauesitervalls muss gelte: µ 1.96σ =! 18, also 60p p( 1 p) =! 18 Auch dies ka zu eier quadratische Gleichug umgeformt werde: p( 1 p) = p ( 1.96) 60 p( 1 p) = ( p) Es ist sogar dieselbe quadratische Gleichug wie obe, das heißt, dass die zweite Lösug, also 0.45, die obere Greze des Vertrauesitervalls darstellt Allgemei Im Beispiel mit de Sträucher war die Zahl 18 = h. Somit ergebe sich im allgemeie Fall die Greze als Lösuge der quadratische Gleichug für p: 1.96 p( 1 p) = ( h p) 1.96 p( 1 p) = ( h p) 1.96 p( 1 p) = ( h p) Dies gilt für ei zweiseitiges 95%-Vertrauesitervall. Bei adere Prozetzahle muss die Zahl 1.96 etspreched geädert werde. Für ei zweiseitiges 99%- Vertrauesitervall etwa ist die Schlüsselzahl.575. Das Vertrauesitervall wird größer.

20 Has Walser: Modul 08, Teste vo Hypothese Grobe Schätzug Für große Stichprobe köe die Greze des 95%-Vertrauesitervalls mit der Formel bestimmt werde. h ±1.96 I userem Beispiel ergibt das ( ) 60 h( 1 h ) 0.3 ( ) für die utere Greze. Herleitug der Schätzug: Für das 95%-Itervall gilt zuächst: µ ±1.96σ p ±1.96 p( 1 p) p ±1.96 p( 1 p) Für große ist p h. Daraus ergibt sich die obige Formel für die obere Greze ud 5 Zusammefassug 5.1 Ma-Whitey-U-Test für zwei uabhägige Stichprobe Ragtest für zwei uabhägige Stichprobe. Test auch awedbar, we Merkmalsauspräguge aus Ordialskala. Stichprobeumfäge 1,, Ragsumme R 1, R Testgröße: U Exp = 1 + 1( 1 +1) R 1 Tabelle gibt utere kritische Schrake. Tabelle so orgaisiert, dass 1 Kritische obere Schrake = 1 kritische utere Schrake

21 Has Walser: Modul 08, Teste vo Hypothese Korrelatios-Aalyse Gepaarte Stichprobe x i, y i ( ) (Beispiel: Blutdruck vo Eheparter) 5..1 Pearso Voraussetzug: Bivariate Normalverteilug. Nullhypothese: keie Korrelatio Testgröße: r x,y = c x,y s x s y = ( x i x ) y i y ( x i x ) ( ) ( y i y ) Bei r x,y > r krit, Tabelle Nullhypothese verwerfe = x i x i y i x y x y i y 5.. Spearma Keie bivariate Normalverteilug. Nullhypothese: keie Korrelatio Testgröße: r Spearma = 1 6 d 3 i Bei r Spearma > r krit, Tabelle Nullhypothese verwerfe, wobei d i = Ragdiffereze 5.3 Chi-Quadrat-Test Vierfelder-Tafel A A total B a b a + b B c d c + d total a + c b + d = a + b + c + d Bei gegebee Radhäufigkeite ei Freiheitsgrad. Nullhypothese H 0 : Merkmale A ud B stochastisch uabhägig Bei χ > χ krit a b χ ( ad cb) det = ( a+b) ( a+c) ( b+d) ( c+d) = c d ( a+b) ( a+c) ( b+d) ( c+d) Nullhypothese H 0 verwerfe

22 Has Walser: Modul 08, Teste vo Hypothese m Felder ( m 1) 1 ( ) Freiheitsgrade. H 0 : stochastische Uabhägigkeit Aus Radhäufigkeite die Erwartugswerte bei H 0 (stochastische Uabhägigkeit) bereche Differeze zwische beobachtete Häufigkeite ud Erwartugswerte Quadrate davo Relatio zu de Erwartugswerte Summe dieser Zahle ist χ Bei χ > χ krit Nullhypothese H 0 verwerfe 5.4 Vertrauesitervall Bekat: h,. Dabei ist h = relative Häufigkeit eies Merkmals bei Stichprobe vom Umfag. Gesucht: Ateil p des Merkmals i Grudgesamtheit. Vorgehe: - Vertrauesitervall festlege (Beispiel 95%). - Normalverteilugstabelle: u so, dass [ u,u] Vertrauesitervall umfasst (zweiseitig). - Beispiel: Φ( 1.96) = 0.975, [ 1.96,1.96] umfasst 0.95 = 95%. - Greze des Vertrauesitervalls für p: Lösuge vo u p( 1 p) = ( h p) (Beispiel: 1.96 p( 1 p) = ( h p) ) Grobe Schätzug: h ± u h( 1 h) (Beispiel: h ±1.96 h 1 h ( )