a) Histogramm der Verteilung: Zunächst werden die gegebenen Messwerte in aufsteigender Reihenfolge sortiert:

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1 D Lösug zu Aufgabe 2: Histogra a) Histogra der Verteilug: Zuächst werde die gegebee Messwerte i aufsteigeder Reihefolge sortiert: i ,574 4,589 4,593 4,599 4,6 4,67 4,68 4,69 4,6 4,62 4,63 4,64 4,66 4,69 4,62 i ,62 4,62 4,622 4,625 4,625 4,627 4,628 4,63 4,63 4,634 4,639 4,64 4,64 4,642 4,65 Dait ei Histogra aussagekräftig wird, uss die Klassebreite geeiget gewählt werde. Als Richtwert sollte a de Wertebereich i idestes gleich große Teile aufteile. Dait ergibt sich für die Klasseazahl k die Forderug: k Mit = 3 lautet diese Forderug i vorliegede Fall also: k 3 5, 477 Da die Klasseazahl k gazzahlig sei uss, wird also gefordert: k 6 Der vo de Klasse des Histogras ufasste Wertebereich uss alle Eizelwerte der Messreihe eischließe. Eie Abschätzug der Klassebreite Δ ka daher it Hilfe der iiale Klasseazahl k sowie der Spaweite der Verteilug als Differez vo kleiste Wert ii ud größte Wert ia geäß folgeder Gleichug vorgeoe werde: Δ ia k ii Aus de vorliegede Messwerte ergibt sich: i i = 4,574 i a = 4, 65 4, 65 4,574 Δ =,283 6 U die Erstellug des Histogras zu erleichter, ist es sivoll, die so berechete Klassebreite auf eie sivolle Wert zu rude. I vorliegede Fall wähle wir: Δ =, Als Afagswert gewählt, für de gilt: des Histogras, d.h. als Utergreze der erste Klasse, wird ei Wert

2 E < i i I vorliegede Fall bietet es sich a, de Wert vo abzurude. Nu werde alle Messwerte jeweils jeer Klasse zugeordet, ierhalb dere Klassegreze sie ihre Wert ach liege. Ei Messwert we gilt: < + i i i i = 4,574 auf de Wert = 4,57 i wird also der Klasse zugeordet, Die Klassegreze ergebe sich dabei ausgehed vo Afagswert Vielfache der Klassebreite Δ : = + Δ it {,, 2,..., k} zu gazzahlige Es ergebe sich soit die i der. Spalte der achfolgede Tabelle aufgeführte Klassegreze sowie die i der 2. Spalte aufgetragee absolute Häufigkeite Δ. Klasse Δ Δ Δ Δ Δ 4,57 < i 4,58,33 3,33,33 4,58 < i 4,59,33 3,33,66 4,59 < i 4, 6 2,66 6,66,33 4,6 < i 4,6 4,33 3,33, 266 4,6 < i 4,62 8, ,66,533 4,62 < i 4,63 7, ,33,766 4,63 < i 4,64 4,33 3,33,9 4,64 < i 4,65 2,66 6,66,966 4,65 < i 4,66,33 3,33 3 I de zu erstellede Histogra soll die Fläche der eizele Balke als Maß für die relative Häufigkeit ierhalb der jeweilige Klasse diee. Δ Daher werde die erittelte absolute Häufigkeite Δ zuächst auf de Gesatufag = 3 der Messreihe bezoge, wodurch sich die i der 3. Spalte der obige Tabelle eigetragee Zahlewerte ergebe.

3 F Die für die Erstellug des Histogras beötigte Balkehöhe ergibt sich, ide die relative Häufigkeit durch die Klassebreite h Δ dividiert wird. Das so erhaltee Maß Δ Δ wird als relative Häufigkeitsdichte bezeichet. Die etsprechede Zahlewerte sid i der 4. Spalte der obige Tabelle eigetrage. Das resultierede Histogra ist achfolged dargestellt: relative Häufigkeitsdichte absolute Häufigkeit 5 2 4,57 4,58 4,59 4,6 4,6 4,62 4,63 4,64 4,65 4,66 Klasse Wie ahad der i obiger Tabelle aufgeführte Werte überprüft werde ka, ist die Fläche uter de Histogra, also die Sue der relative Häufigkeite, stets gleich. Prizipiell ist es icht erforderlich, dass alle Klasse des Histogras die gleiche Breite Δ aufweise. Ist dies jedoch wie i obige Beispiel der Fall, ist die relative Häufigkeitsdichte der absolute Häufigkeit proportioal, da der Faktor Δ kostat ist. Abgesehe vo der Beschriftug der y-achse zeigt das Histogra daher dasselbe Erscheiugsbild, we die absolute Häufigkeite ierhalb der eizele Klasse als Balkehöhe aufgetrage werde (vgl. obige Abbildug).

4 G b) relative Suehäufigkeit der Verteilug: Die relative Häufigkeit aller Messwerte bezeichet: S i it i + wird als relative Suehäufigkeit S = h Δ = Δ Die Suatio liefert für die vorliegede Verteilug die i der 5. Spalte der obige Tabelle eigetragee Zahlewerte. Eie grafische Darstellug der relative Suehäufigkeit liefert achfolgede Abbildug.,2 relative Suehäufigkeit,8,6,4,2 4,57 4,58 4,59 4,6 4,6 4,62 4,63 4,64 4,65 4,66 Klasse c) Schätzug vo Erwartugswert ud Stadardabweichug der Grudgesatheit Bei der obige Messreihe hadelt es sich u eie Stichprobe vo Ufag. Eie Stichprobe wird stets aus eier größere Mege vo Etitäte, der sogeate Grudgesatheit, etoe. I Abhägigkeit vo Stichprobeufag wird die Stichprobe ei ehr oder weiger präzises Abbild der Verteilug der Grudgesatheit liefer. Bei hireiched groß gewählte Stichprobeufag wird die Stichprobe repräsetativ für das statistische Verhalte der zugrudeliegede Grudgesatheit. I Histogra äußert sich dies beispielsweise dadurch, dass sich bei eier weitere Erhöhug des Stichprobeufags die For des Histogras ur och gerigfügig ädert. Etspreched ka eie Stichprobe dazu geutzt werde, die Lage- ud Streuugsparaeter der Verteilug der ihr zugrudeliegede Grudgesatheit abzuschätze. Zu de Paraeter Erwartugswert μ ud Stadardabweichug σ der Grudgesatheit stelle der arithetische Mittelwert ud die epirische Streuug S eier aus ihr etoee Stichprobe die beste Schätzwerte dar.

5 H Der arithetische Mittelwert vo Messwerte errechet sich geäß: = i= i Die epirische Streuug S vo Messwerte errechet sich geäß: S = + i= ( ) i 2 I vorliegede Fall ergibt sich: = 4,687 S,79 Da es sich bei de so berechete Werte wie erwäht ur u Schätzwerte für μ ud σ hadelt, stellt sich die Frage ach der Güte bzw. Usicherheit dieser Schätzug. Ei Maß für die Usicherheit dieser (beste) Schätzwerte liefert das sogeate Kofidezitervall, welches uter adere vo Stichprobeufag abhägt. Die Bestiug dieses Kofidezitervalls wird i Rahe achfolgeder Übugsaufgabe behadelt.