WS 2009/10. Diskrete Strukturen

Transkript

1 WS 2009/10 Diskrete Strukture Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grudlage der Softwarezuverlässigkeit ud theoretische Iforatik Fakultät für Iforatik Techische Uiversität Müche

2 Kapitel III - Kobiatorik Kobiatorische Strukture ud Algorithe Ziehe vo Eleete aus eier Mege Kobiatorische Beweisprizipie Fudaetale Zählkoeffiziete Bälle ud Ure 2 Vorlesug Diskrete Strukture WS 09/10 Prof. Dr. J. Esparza Istitut für Iforatik, TU Müche

3 Kapitel III Kobiatorik Die bisher betrachtete Zählproblee köe als Spezialfälle vo Abzählproblee agesehe werde, bei dee es daru geht, die Azahle vo Abbilduge it bestite Eigeschafte vo eier Urbildege auf eie Bildege zu fide. Oder auch, eie gewisse Azahl vo Bälle auf eie Azahl vo Ure zu verteile. 3 Vorlesug Diskrete Strukture WS 09/10 Prof. Dr. J. Esparza Istitut für Iforatik, TU Müche

4 Kapitel III Kobiatorik Bei der Verteilug vo Bälle auf Ure kot es darauf a, ob die Bälle ud Ure als uterschiedlich agesehe werde. Zusätzlich köe Forderuge a die axiale/iiale Mege vo Bälle pro Ure gestellt werde. 4 Vorlesug Diskrete Strukture WS 09/10 Prof. Dr. J. Esparza Istitut für Iforatik, TU Müche

5 Kapitel III Kobiatorik Die folgede Tabelle stellt die Azahle vo Möglichkeite dar, uter gewisse Aahe Bälle auf Ure zu verteile. B =, U = beliebig ijektiv surjektiv bijektiv 5 B utersch. U utersch. B gleich U utersch. B utersch. U gleich B gleich U gleich, S! 0, sost, Vorlesug Diskrete Strukture WS 09/10 Prof. Dr. J. Esparza Istitut für Iforatik, TU Müche k 1 1 S k, 1, 0, sost 1, P k 1 k, P, 0, sost 1 1 S,!, 0, sost 1, 0, sost 1, 0, sost 1, 0, sost

6 Kapitel III Kobiatorik Die Eiträge i der erste Zeile der Matrix sid direkt verstädlich. 6 Eitrag (1,1): für jede Abbildug vo B ach U habe wir für jedes Eleet aus B ögliche Bilder. Daraus folgt it der Produktregel die Azahl. Eitrag (1,2): Die Produktregel liefert für die Azahl der ijektive Abbilduge (-1)(-2) (-+1) = Vorlesug Diskrete Strukture WS 09/10 Prof. Dr. J. Esparza Istitut für Iforatik, TU Müche

7 Kapitel III Kobiatorik Die Eiträge i der erste Zeile der Matrix sid direkt verstädlich. 7 Eitrag (1,3): I Falle vo surjektive Abbilduge iterpretiere wir die Urbilder {f -1 (y): y U} als geordete -Partitioe vo B. D.h., wir habe S, solcher Partitioe, dere Zuordug zu de Eleete perutiert werde ka. Soit habe wir! S, uterschiedliche Möglichkeite. Vorlesug Diskrete Strukture WS 09/10 Prof. Dr. J. Esparza Istitut für Iforatik, TU Müche

8 Kapitel III Kobiatorik Nu zu de Eiträge (3,1) ud (4,1). Eitrag (3,1): Jede Zuordug der Bälle zu k Ure etspricht eier Partitio der Ure i k Teile. Die Azahl der k-partitioe wird duch S,k beschriebe, vo dee es isgesat gibt. k 1 S k, 8 Vorlesug Diskrete Strukture WS 09/10 Prof. Dr. J. Esparza Istitut für Iforatik, TU Müche

9 Kapitel III Kobiatorik Nu zu de Eiträge (3,1) ud (4,1). Eitrag (4,1): Da jede Belegug der Ure eideutig durch die Azahl der Bälle i de Ure bestit ist, erhalte wir die Sue über die Azahle vo ugeordete k-partitioe der Zahl : k 1 P k, 9 Vorlesug Diskrete Strukture WS 09/10 Prof. Dr. J. Esparza Istitut für Iforatik, TU Müche

10 Kapitel III Kobiatorik Beispiel: Zufällige Speicherug vo Dateie i Server. Dateie werde zufällig i Server gespeichert. Wir suche eie Zahl k, so dass it großer W keit kei Server ehr als k Dateie bekot. Modellierug: uterscheidbare Bälle (Dateie) ud uterscheidbare Ure (Server). 10 Gesatzahl aller Möglichkeite: Vorlesug Diskrete Strukture WS 09/10 Prof. Dr. J. Esparza Istitut für Iforatik, TU Müche

11 Kapitel III Kobiatorik Wie viele Möglichkeite gibt es, i dee idestes eie Ure idestes k Bälle ethält? Die Azahl der Möglichkeite, i dee die i-te Ure idestes k Bälle ethält, ist höchstes: k k 11 (wir wähle k Bälle für die i-te Ure, die adere werde beliebig verteilt) Vorlesug Diskrete Strukture WS 09/10 Prof. Dr. J. Esparza Istitut für Iforatik, TU Müche

12 Kapitel III Kobiatorik Sei M die Azahl der Möglichkeite i dee idestes eie Ure idestes k Bälle ethält. Es gilt: M k k (eiige Möglichkeite werde ehrals gezählt). Mit der Abschätzug e k k k erhalte wir M e k k Vorlesug Diskrete Strukture WS 09/10 Prof. Dr. J. Esparza Istitut für Iforatik, TU Müche

13 Kapitel III Kobiatorik Die W keit p k, i idestes eie Ure idestes k Bälle zu fide erfüllt p k = M e k k Wir wähle k = l (die Kostate wird später bestit). Dait habe wir: p k ³ e l l = l l l = 1+ (1 l l l ) 13 Vorlesug Diskrete Strukture WS 09/10 Prof. Dr. J. Esparza Istitut für Iforatik, TU Müche

14 Kapitel III Kobiatorik Sei z.b = e. Da erhalte wir p e l 1 e2 l l e l 12,05 18,78 25,04 31,30 e 2 l l 11,28 14,28 16,40 18,05 p e l Vorlesug Diskrete Strukture WS 09/10 Prof. Dr. J. Esparza Istitut für Iforatik, TU Müche

15 Kapitel III Kobiatorik Zusaefassug Kobiatorik Ziehe vo Eleete aus Mege: it/ohe Zurücklege, it/ohe Berücksichtigug der Reihefolge der gezogee Eleete. Kobiatorische Beweisprizipie: Sueregel, Produktregel, Gleichheitsregel, doppeltes Abzähle, Iklusio/Exklusio, Schubfachprizip. Zählkoeffiziete: Bioialkoeffiziete, Pascalsche Idetität, Vaderode Idetität, k-partitioe u. Perutatioe (Stirligzahle). Bälle ud Ure: Awedug der Zählprizipie. 15 Vorlesug Diskrete Strukture WS 09/10 Prof. Dr. J. Esparza Istitut für Iforatik, TU Müche